配套K12全国版2019版高考数学一轮复习第5章数列第3讲等比数列及其前n项和学案

第3讲 等比数列及其前n
项和
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 等比数列的有关概念 1．定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为
a n ＋1
a n
＝q . 2．等比中项
如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2
＝ab (ab ≠0)．
考点2 等比数列的有关公式 1．通项公式：a n ＝a 1q
n －1
.
2．前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q
＝a 1－a n q
1－q ，q ≠1.
[必会结论]
等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q
n －m
(n ，m ∈N *
)．
(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *
)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2
k .
(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．
(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n
＋3k
，…为等比数列，公比为q k
.
(5)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，
其公比为q n
.
(6)等比数列{a n }满足⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1>0，
q >1或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1<0，
0<q <1
时，{a n }是递增数列；满足⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1>0，
0<q <1
或
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1<0，
q >1时，{a n }是递减数列．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )
(2)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *
，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2
＝ab .( )
(4)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (5)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2．[2018·河南名校联考]在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，a 9＝a 2a 3a 4，则公比q 的值为( )
A. 2
B. 3 C ．2 D ．3 答案 D
解析 由a 9＝a 2a 3a 4得a 1q 8
＝a 31q 6
，所以q 2
＝a 2
1，因为等比数列{a n }的各项都为正数，所以q ＝a 1＝3.故选D.
3．[课本改编]等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－1
9 答案 C
解析 由已知条件及S 3＝a 1＋a 2＋a 3，得a 3＝9a 1，设数列{a n }的公比为q ，则q 2
＝9. 所以a 5＝9＝a 1·q 4
＝81a 1，得a 1＝19
.故选C.
4．[2018·黄冈调研]设等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4
a 3
的值( ) A.
154 B.152 C.74 D.72
答案 A
解析 根据等比数列的公式，得S 4a 3＝a 1(1－q 4)
1－q a 1q 2＝1－q 4(1－q )q 2＝1－24
(1－2)×22＝
15
4
. 5．[2015·全国卷Ⅰ]在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________.
答案 6
解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，
∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴2(1－2n
)
1－2
＝126，∴n ＝6.
6．[2018·衡中检测]在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________. 答案 4或－4
解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，则
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1q 3
－a 1q ＝6，a 1q 4
－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝25，即2q 2
－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12
.
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝－16，q ＝1
2
.故a 3＝4或a 3＝－4.
板块二 典例探究·考向突破 考向
等比数列的基本运算
例 1 (1)[2017·全国卷Ⅱ]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏 答案 B
解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，
q ＝2，∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)
1－2
＝381，解得a 1＝3.故选B.
(2)[2017·江苏高考]等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝7
4，S 6
＝63
4
，则a 8＝________. 答案 32
解析 设{a n }的首项为a 1，公比为q ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a 1(1－q 3)1－q ＝7
4
，a 1
(1－q 6
)1－q ＝634，
两式相除得1－q 3
1－q 6＝1－q 3
(1－q 3)(1＋q 3
)＝1
9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14
×27＝25
＝32.
触类旁通
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，
S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．解决此类问题的关键是
熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．
【变式训练1】 (1)[2018·东北师大附中月考]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1
＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S n
a n
＝( )
A ．4
n －1
B ．4n －1
C ．2
n －1
D ．2n
－1
答案 D
解析 设等比数列的公比为q ，由题意，
得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1(1＋q 2)＝5
2
，
a 1
q (1＋q 2
)＝5
4
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，q ＝1
2
，
则a n ＝a 1·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＝a 1
2n －1，S n ＝
a 1⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12
n 1－
1
2
＝
a 1(2n －1)
2
n －1
，所以S n a n
＝2n
－1.故选D.
(2)[2018·安徽皖江名校联考]已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，若
a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝________.
答案 128
解析 ∵a 2·a 4＝a 2
3＝16，∴a 3＝4(负值舍去)，
∵a 3＝a 1q 2
＝4，S 3＝7，∴q ≠1，S 2＝a 1(1－q 2
)1－q
＝
4
q
2
(1＋q )(1－q )
1－q
＝3，
∴3q 2
－4q －4＝0，解得q ＝－23或q ＝2，∵a n >0，∴q ＝－23
舍去，∴q ＝2，∴a 1＝1，∴
a 8＝27＝128.
考向
等比数列的性质
命题角度1 等比数列性质的应用
例 2 (1)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )
A ．5 2
B ．7
C ．6
D ．4 2 答案 A
解析 (a 1a 2a 3)×(a 7a 8a 9)＝a 6
5＝50，a 4a 5a 6＝a 3
5＝5 2.选A.
(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________. 答案 31
解析 a 3a 5＝a 2a 6＝64，因为a 3＋a 5＝20，所以a 3和a 5为方程x 2
－20x ＋64＝0的两根，因为a n >0，q >1，所以a 3<a 5，所以a 5＝16，a 3＝4，所以q ＝a 5a 3＝164＝2，所以a 1＝a 3
q
2＝44＝1，所以S 5＝1－q 5
1－q
＝31.
命题角度2 等比数列前n 项和性质的应用
例 3 (1)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578 D.55
8 答案 A
解析 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－
S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝1
8
.故选A.
(2)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 答案 B
解析 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．
设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2
＝2×(14－x )， 解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．
∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23
＝30.故选B. 触类旁通
等比数列的性质应用问题
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
考向
等比数列的判定与证明
例 4 [2018·兰州模拟]已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n
，且a 1＝8.
(1)证明：数列{a n －3n
}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a n
3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)因为a n ＋1＝5a n －2·3n
， 所以a n ＋1－3
n ＋1
＝5a n －2·3n －3
n ＋1
＝5(a n －3n
)，
又a 1＝8，所以a 1－3＝5≠0，
所以数列{a n －3n
}是首项为5、公比为5的等比数列． 所以a n －3n
＝5n
，所以a n ＝3n
＋5n
.
(2)由(1)知，b n ＝a n 3n ＝3n ＋5n
3n ＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫53n
，
则数列{b n }的前n 项和T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫531＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫532＋…＋1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫53n ＝n ＋53⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53n 1－53＝5n ＋12·3n ＋n －52
. 触类旁通
等比数列的判定方法
(1)定义法：若
a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1
＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *
)，则{a n }是等比数列．
(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2
n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *
)，则数列{a n }是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n
(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *
)，则{a n }是等比数列．
(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n
－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．
提醒 前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中．
【变式训练2】 已知数列{a n }满足2a 1＋4a 2＋…＋2n a n ＝
n (n ＋1)
2
.
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 是等比数列；
(2)求数列{a n }的前n 项和T n .
解 (1)证明：当n ＝1时，由2a 1＝1，得a 1＝1
2，
当n ≥2时，由2a 1＋4a 2＋ (2)
a n ＝n (n ＋1)
2
，得
2a 1＋4a 2＋…＋2n －1
a n －1＝
(n －1)n
2， 于是2n
a n ＝
n (n ＋1)2
－
(n －1)n
2
＝n ，
整理得a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，又a 1＝1
2
符合上式，
所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n n 是等比数列．
(2)由(1)得，a n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
，①
12T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋n ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＋1，②
由①－②得12T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＋1
，
即T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
1－12
－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
－
n ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
n ＝2－n ＋22
n .
核心规律
1.已知a 1、q 、n 、a n 、S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．
2.证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法，其他方法用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
满分策略
1.求解等比数列的问题，要注意等比数列性质的应用以减少运算量，而提高解题速度．
2.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略
q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.
板块三 启智培优·破译高考 易错警示系列7——数列中的思维定式致误
[2018·武汉检测]已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0)∪[1，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
错因分析 本题易错的原因是受q >0的思维定式的影响，遗漏当q <0时的情况，认为
S 3＝1
q
＋1＋q ≥3.
解析 因为等比数列{a n }中a 2＝1，设其公比为q ，所以S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1q
＋1＋q ＝1
＋q ＋1
q
.
当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1
q
≥1＋2
q ·1
q
＝3，当且仅当q ＝1时，等号成立； 当公比q <0时，S 3＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－q －1q ≤1－2
－q ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1q ＝－1，当且仅当q ＝－1时，等
号成立．
所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案 D
答题启示 等比数列的公比q <0时，相邻两项一定异号，相隔一项的两项符号一定相同；等比数列的公比q >0时，数列中的各项符号相同；用等比数列前n 项和公式时，如果其公比
q 不确定，要分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论.
跟踪训练
已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 答案 D
解析 由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 4＋a 7＝2，
a 5a 6＝a 4a 7＝－8，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 4＝4，
a 7＝－2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 4＝－2，
a 7＝4.
当a 4＝4，a 7＝－2时，易得a 1＝－8，a 10＝1， 从而a 1＋a 10＝－7；
当a 4＝－2，a 7＝4时，易得a 10＝－8，a 1＝1， 从而a 1＋a 10＝－7.
板块四 模拟演练·提能增分
[A 级 基础达标]
1．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．－1 D ．1 答案 A
解析 两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3
＝3＝q .故选A. 2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1
4，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )
A ．2
B ．1 C.12 D.1
8
答案 C
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2·a 1q
4
＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫14×q 3－1，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，∴q 3
＝8，∴q
＝2，∴a 2＝1
2
.故选C.
3．[2018·江西九江一模]已知单调递增的等比数列{a n }中，a 2·a 6＝16，a 3＋a 5＝10，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )
A ．2
n －2
－14
B ．2n －1
－12 C ．2n －1 D ．2
n ＋1
－2
答案 B
解析 因为a 2·a 6＝16，所以a 3·a 5＝16，又a 3＋a 5＝10，等比数列{a n }单调递增，所以a 3＝2，a 5＝8，所以公比q ＝2，a 1＝12，所以S n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1
－12
.故选B.
4．[2018·延庆模拟]等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前
n 项和S n ＝( )
A ．n (n ＋1)
B ．n (n －1) C.
n (n ＋1)
2
D.
n (n －1)
2
答案 A
解析 ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，
∴a 2
4＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2
＝(a 1＋d )(a 1＋7d )， 将d ＝2代入上式，解得a 1＝2， ∴S n ＝2n ＋
n (n －1)·2
2
＝n (n ＋1)．故选A.
5．[2015·全国卷Ⅱ]已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )
A ．21
B ．42
C ．63
D ．84 答案 B
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1(1＋q 2
＋q 4
)＝21，又a 1＝3，所以q 4
＋q 2
－6＝0，所以q 2
＝2(q 2
＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B.
6．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，
则S 5等于( )
A ．35
B ．33
C ．31
D ．29 答案 C
解析 设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 3a 5＝a 21q 6＝14a 1，得a 1q 6
＝14，即a 7＝14
.又a 4＋
a 7＝2×98，解得a 4＝2，所以q 3
＝a 7a 4＝18，所以q ＝12，a 1＝16，故S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝16⎝ ⎛⎭⎪
⎫1－1321－1
2
＝
31.故选C.
7．[2018·昆明模拟]设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4
S 2＝3，则S 6S 4
＝( ) A ．2 B.73 C.3
10 D ．1或2
答案 B
解析 设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，
∴S 6＝7k ，S 4＝3k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝7
3
.故选B.
8．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2
a 1＋a 2
的值
为________．
答案
310
解析 因为1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10.又1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 2
2＝1×9＝9，易知b 2>0，所以b 2＝3，所以
b 2
a 1＋a 2＝310
. 9．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．
答案
－1＋5
2
解析 已知(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项，即(c －a )2
＝(b －c )(b －a )，把c ＝a ＋x (b －a )代入上式，得x 2
(b －a )2
＝[b －a －x (b －a )](b －a )，即x 2
(b －a )2
＝(1－x )(b －a )2
.
因为b >a ，所以b －a ≠0，所以x 2＝1－x ，即x 2
＋x －1＝0，解得x ＝－1＋52或x ＝
－1－52(舍去)．
10．等比数列{a n }满足：对任意n ∈N *,
2(a n ＋2－a n )＝3a n ＋1，a n ＋1>a n ，则公比q ＝________. 答案 2
解析 由题知2(a n q 2－a n )＝3a n q ，即2q 2
－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12，又a n ＋1>a n ，
故q ＝2.
[B 级 知能提升]
1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1
－1
6
，则x 的值为( ) A.13 B ．－13 C.12 D ．－12 答案 C
解析 解法一：∵S n ＝x ·3
n －1
－16＝x 3·3n
－16
， 由上述结论，得x 3＝16，∴x ＝1
2
.
解法二：当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －1
6；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2x ·3
n －2
.
∵{a n }是等比数列，∴n ＝1时也应适合a n ＝2x ·3n －2
，即2x ·3－1
＝x －16，解得x ＝12
.
故选C.
2．记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *
)，已知a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m 的值为( )
A ．4
B ．7
C ．10
D ．12 答案 A
解析 因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2
m .又a m －1a m ＋1－2a m ＝0，则a 2
m －2a m ＝0.所以
a m ＝2. 由等比数列的性质可知前2m －1项积T 2m －1＝a 2m －1m
，即22m －1
＝128，故m ＝4.选A. 3．[2016·全国卷Ⅰ]设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．
答案 64
解析 设{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，得a 1＝8，q ＝12，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4
(n
∈N *
)，即数列为递减数列．当n ≤4时，a n ≥1；当n ≥5时，0<a n <1，所以当n ＝3或4时，
a 1a 2…a n 最大，又a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64.
4．[2017·北京高考]已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4
＝a 5.
(1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10， 解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q ，
因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3
＝9，解得q 2
＝3， 所以b 2n －1＝b 1q
2n －2
＝3
n －1
.
从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32
＋…＋3
n －1
＝3n
－12
.
5．已知在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝4，且a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2)． (1)证明：数列{a n ＋1－a n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝2n －1
a n
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)由a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)， 因此数列{a n ＋1－a n }是公比为2，首项为a 2－a 1＝2的等比数列． 所以当n ≥2时，a n －a n －1＝2×2
n －2
＝2
n －1
，
a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1＋2n －2＋…＋2)＋2＝2n ，
当n ＝1时，也符合，故a n ＝2n . (2)由(1)知b n ＝2n －12
n ，
所以T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －1
2n ①，
12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －1
2n ＋1②， ①－②，得
12T n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋1
24＋…＋12n －2n －12n ＋1
＝1
2＋2×14⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n －12
n ＋1 ＝12＋1－12n －1－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1， 所以T n ＝3－2n ＋3
2
n .。