高中数学 2.1.4余弦定理(二)复习学案 北师大版必修5

2.1.4余弦定理（二）
知识梳理 1．余弦定理：
(1)形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=
形式二：bc
2a c b A cos 2
22-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab 2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）
2.解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
3.三角形ABC 中 222222222是直角ABC 是直角三角形
是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形
∆
典例剖析
题型一：利用余弦定理解三角形
例1在ABC ∆中，已知3
sin 5A =
，sin cos 0A A +<，
a =，5
b =，求c. 解∵sin cos 0A A +<且3sin 5A =，∴A 为钝角，4
cos
5
A ==-，
由余弦定理知2222cos a b c bc A =+-，∴2224
525()5
c c =+-⨯⨯⨯-
即28200c c +-=，解得2c =或10c =-（舍去） ∴2c =.
评述 已知三角形的三边或两边和一角可应用余弦定理求解。

熟练掌握余弦定理是解题的关键，同时还要注意方程思想的运用。

题型二：判断三角形的形状
例2在ABC ∆中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，试判断ABC ∆的形状. 解：方法一：
由正弦定理和已知条件得：2222sin sin sin sin 2sin sin cos cos B C C B B C B C +=， ∵sin sin 0B C ≠，∴sin sin cos cos B C
B C =，即cos()0B C +=， ∵B 、C 为ABC ∆的内角，∴90B C +=，90A = 故ABC ∆为直角三角形.
方法二：
原等式变形为：2222(1cos )(1cos )2cos cos b C c B bc B C -+-=， 即：222222cos cos 2cos cos b c b C c B bc B C +--=， 由余弦定理得：
222222222222
2
2
2
222()()22222a b c a c b a c b a b c b c b c bc ab ac ac ab +-+-+-+-+--=⋅⋅
⇒2222222222
[()()]4a b c a c b b c a
+-++-+=⇒222
b c a += 故ABC ∆为直角三角形.
评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。

备选题：余弦定理的应用
例3：已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足（sin A ＋sin B ）2－sin 2C ＝3sin A sin B 求证：A ＋B ＝120°
证明：由（sin A ＋sin B ）2－sin 2C ＝3sin A ·sin B 可得sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A ·sin B 又∵sin A ＝a k ，sin B ＝b k ，sin C ＝c
k ， ∴a 2k 2 ＋b 2k 2 －c 2k 2 ＝a k ·b k 整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1
2 又0°＜C ＜180°，∴C ＝60° ∴A ＋B ＝180°－C ＝120°
评述：（1）有关三角形内角的证明，选择余弦值与正弦值相比较，要省去取舍的麻烦.但注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围；
（2）在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，这一转化技巧，要求熟练掌握.
（2）解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式，但应注意在根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围.另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sin B ·cos A ＝sin A cos B
两端同除以sin A sin B 得cot A ＝cot B ，再由0＜A ，B ＜π，而得A ＝B . 点击双基
1.在在△ABC 中，AB=3,AC=4,BC=13,则AC 边上的高为（ ）
A.
223 B. 233 C. 2
3
D, 33 解：由余弦定理知：cosA=AB AC BC AB AC •-+2222=34213916⨯⨯-+=21,∴A=3
π
∴AC 边上的高为ABsinA=
2
33 答案：B
2.在在△ABC 中,已知其面积S=
4
1
（a 222c b -+）,则角C 的度数为（ ） A. 135
B. 45
C. 60
D. 120
解： S=41（a 222c b -+），∴21absinC=4
1（a 2
22c b -+）∴sinC=ab c b a 2222-+
即sinC=cosC,∴tanC=1∴C=45
答案：C
3．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ）
A ．12
B ．221
C ．28
D ．36
解： 011
cos ,60,sin 22
ABC A A S bc A ====
答案：D
4.. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 ．
解：在锐角三角形中，⎩⎨⎧>++<2
222
223
232x x ∴135<<x 答案：135<<x
5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠= 解： 22222201
,,cos ,1202
a c
b b
c b c a bc A A -=++-=-=-
=
答案：120 课后作业
1若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能组成（ ）三角形。

A.锐角
B.钝角
C.直角
D.等腰
解：长为7的边所对角最大，设它为α， 则05
1
652493625cos >=⨯⨯-+=α
∴︒<<︒090α 答案：A
2.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2(a 2+b 2)c 2 则∠C 的度数（ ） A 、600 B 、450或1350 C 、1200 D 、300 解：由a 4+b 4+c 4=2(a 2+b 2)c 2
，得 a 4+b 4+c 4-2a 2c 2
-2b 2c 2
=0
∴(a 222c b -+)2= a 4+b 4+c 4-2a 2c 2-2b 2c 2+2b 2c 2=2b 2c 2,∴ a 222c b -+=±
bc 2
∴ab
2c b a C cos 222-+==
bc bc 22±=±22
,∴C=450或1350 答案：B
3.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则a 的取值范围是 ( ) A.03a << B.13a << C.34a << D.4<a<6
解：∴a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则（a+2）2
>a 2
+(a+1)2
，∴a 322--a <0
∴-1<a<3,又 a>0∴03a <<
答案：A
4. △ABC 中，a,b,c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若ab
c b a 22
22++<0,则△ABC （ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 锐角或钝角三角形 解：由余弦定理得cosC<0,C 是钝角 答案：C
5.已知△ABC 的三边满足（a+b+c ）(a+b-c)=3ab,则C 的度数为（ ） A. 15
B. 30
C. 45
D. 60
解：由条件将a+b 看作一个整体，利用平方差公式得到（a+b ）2-c 2=3ab,化简整理，得
a 2
2
2
c b -+=ab,cosC=ab c b a 2222-+=ab ab 2=2
1
,∴C= 60
答案：D
6.在△ABC 中，cos 2
2A =c
c b 2+,则△ABC 的形状是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 解：根据余弦的二倍角公式变形式，原式可化为
21cos +A =c c b 2+，∴cosA=c
b
bc
2a c b A cos 222-+=
=c b ,∴a 2+b 2=c 2∴△ABC 为直角三角形
答案:B
7.在△ABC 中，若10=b ，15=c ，C=
6
π
，则此三角形有( )
A. 一解
B. 两解
C. 无解
D. 无法判断 解：由余弦定理得：
222
cos 2a b c C ab +-=⇒2100225
20a a
+-=
21250a ⇒--=a ⇒=
负值不合题意，舍去。

答案：A
8. 若ABC △的周长等于20，面积是，60A =，则BC 边的长是（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
解：由三角形面积1sin 2S bc A =
，得1
sin 602
bc =⇒40bc =， 又∵ABC △的周长等于20，∴20a b c ++=⇒20b c a +=- 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-=22b c bc +-=2
()3b c bc +- ∴2
2
(20)120a a =--，解得7a =. 答案：C 二．填空题
9.在△ABC 中，A=600,最大边和最小边的长是方程2327320x x -+=的两实根，那么BC 边长等于 .
解： A=600∴最大边和最小边为b,c, 最大边和最小边的长是方程2327320x x -+=的两根，∴b+c=9,bc=3
32
, ∴a 2=b 2+c 2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bccosA=49, ∴a=7 答案：7
10.在△ABC 中，a=1,B=450,2ABC S ∆=,则△ABC 的外接圆的直径是 .
解：S ABC △ =
2
1
acsinB=42c,∴c=42,∴B ac c a b cos 2222⋅-+==25
2R=
B b sin =2
2
5
=52 答案：52
11.在△ABC 中,222sin A sin B+sinBsinC +sin C =,则角A= . 解：由222sin A sin B+sinBsinC +sin C =得bc c b a ++=222，
又 bc
2a c b A cos 222-+==-21，∴A=120
答案：120
三．解答题
12. 在四边形ABCD 中，BC a DC a ==，，2四个角A 、B 、C 、D 的度数的比为3:7:4:10，求AB 的长。

解：设四个角A 、B 、C 、D 的度数分别为3x 、7x 、4x 、10x 则有37410360x x x x +++=︒ 解得x =︒15
∴=︒=︒=︒=︒A B C D 4510560150，，， 连BD ，在∆BCD 中，由余弦定理得：
BD BC DC BC DC C a a a a a 22222224221
2
3=+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=cos ∴=BD a 3
此时，DC BD BC 222=+
∴∆BCD 是以DC 为斜边的直角三角形 ∴∠=︒CDB 30
∴∠=︒-︒=︒BDA 15030120 在中，由正弦定理有：∆A BD AB BD BDA
A
a a =
⋅∠=
⋅
=sin sin 33
22
2
322
∴AB a 的长为
3
2
2 13.在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，试判断三角形的形状.
解法一：利用余弦定理将角化为边. ∵b cos A ＝a cos B
∴b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 2
2ac ∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2 ∴a 2＝b 2 ∴a ＝b 故此三角形是等腰三角形.
解法二：利用正弦定理将边转化为角. ∵b cos A ＝a cos B 又b ＝2R sin B ，a ＝2R sin A ∴2R sin B cos A ＝2R sin A cos B ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0 ∴sin （A －B ）＝0
∵0＜A ，B ＜π，∴－π＜A －B ＜π ∴A －B ＝0，即A ＝B 故此三角形是等腰三角形
.
14.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 2A =
， 3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．
解析：（I ）因为cos
2A =
，234
cos 2cos 1,sin 255
A A A ∴=-==，又由3A
B A
C ⋅=，得cos 3,bc A =5bc ∴=，1
sin 22
ABC S bc A ∆∴=
= （II ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得
2222cos 20a b c bc A =+-=，a ∴=。