人教B版高中同步学考数学必修1精品课件 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.2 集合的基本关系

规律方法 由集合间的关系求参数的取值范围问题中的两点注意事项
(1)求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴
上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”
用实心点表示,不含“=”用空心点表示.
(2)涉及“A⊆B,且B≠⌀”或“A⫋B,且B≠⌀”的问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况
例如集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为
⌀,{1},{2},{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个
数为22-1=3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空
真子集分别为{1},{2}.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画 ,错误的画×)
(2)已知集合M满足{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7},则符合条件的集合M有
7
个.
解析 根据子集、真子集的定义,可得集合M必定含有1,2两个元素,而且含
有5,6,7中的至多两个元素,因此,满足条件{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7}的集合M有
{1,2},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7},共7个.
元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两个集合相等.
2.两个集合相等的问题一般转化为解方程(组),但要注意最后需检验,看是
否满足集合元素的互异性.
3.找准两个集合中对应相等的元素是解决集合相等问题的关键.
探究点四
由集合间的关系求参数的取值范围
【例5】 已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}.
(1)∈与⊆的区别:∈表示元素与集合之间的关系,因此,有
1
3
∈Q, 3 ∉Q 等;⊆
3
表示集合与集合之间的关系,因此,有Q⊆R,⌀⊆R等.
(2)a与{a}的区别:一般地,a表示一个对象,而{a}表示由一个元素组成的集
合(常称单元素集),a是集合{a}的一个元素.因此,有a∈{a},不能写成a={a}.
=
1
,
4
1
.
2
验证得,当 x=0,y=0 时,A={2,0,0},这与集合元素的互异性相矛盾,舍去.
=
= 0,
∴x,y 的值为
或
=1
=
1
,
4
1
.
2

变式探究已知集合 1,, ={0,a2,a+b},求a2 023+b2 022的值.

解 因为{0,a ,a+b}=
2

1,,

,所以 0∈
(1)任何集合至少有两个子集.( × )
(2){0,1,2}⊆{2,0,1}.(
)
(3)若A⊆B,且A≠B,则A⫋B.(
)
(4)集合{0,1}的子集是{0},{1},{0,1}.( × )
2.以下五种写法:①{0}∈{0,1,2};②⌀⊆{1,2};③⌀∈{0};④{0,1,2}={2,0,1};
A.1个
B.2个
C.3个
D.7个
解析 因为集合A={x∈N|x2<3}={0,1},所以集合A的真子集有{0},{1},⌀,共3
个.故选C.
1 2 3 4
2.已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},集合A与B的关系如图所示,则集合B
进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视.
变式训练3[2023江苏高一专题练习]设集合A={x|1<x<2},B={x|x<a},若
A⫋B,则实数a的取值范围是 [2,+∞) .
解析 因为A={x|1<x<2},B={x|x<a},A⫋B,所以a≥2.
成果验收·课堂达标检测
1.已知集合A={x∈N|x2<3},则A的真子集共有( C )
对于⑤,⌀是空集,表示不含任何元素,应该是0∉⌀,∴⑤错误.
∴正确的是②④.故选B.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
集合关系的判断
【例1】 已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是( A )
A.A⫋B
B.A=B
C.B⫋A
D.A⊈B
解析 由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,
子集、真子集的性质
由子集、真子集和空集的概念可得:
(1)空集是任意一个集合A的子集,即
(2)任意集合A是它自身的子集,即
⌀⊆A
;
A⊆A
;
(3)空集只有一个子集,即它自身;
(4)对于集合A,B,C,由A⊆B,B⊆C可得
(5)对于集合A,B,C,由A⫋B,B⫋C可得
A⊆C
A⫋C
;
.
名师点睛
1.∈与⊆、a与{a}、{0}与⌀的区别
过关自诊
集合能用直观图形来表示吗?
提示 能,可以用封闭的曲线表示集合,解决问题更加直观.
知识点2
子集、真子集、集合相等的概念
A⊆B(或B⊇A)
任意一个元素
集合B
不属于
A⫋B(或B⫌A)
A=B
名师点睛
1.对子集的理解
(1)如果集合A中存在着不是集合B的元素,那么A不包含于B,或B不包含A,分
别记作A⊈B或B⊉A.
课程标准
1.理解集合之间包含与相等的含义,会求一些给定集合的子集.
2.能使用维恩图表示集合之间的关系,尤其要注意空集这一特殊集合的意
义.
3.理解集合关系与其特征性质之间的关系,并能写出有限集的子集、真子
集与非空真子集.
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
⑤0∈⌀其中正确的有( B )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 对于①,是集合与集合的关系,应该是{0}⊆{0,1,2},∴①错误;
对于②,空集是任何集合的子集,⌀⊆{1,2},∴②正确;
对于③,⌀是一个集合,是集合与集合的关系,⌀⊆{0},∴③错误;
对于④,根据集合中元素的无序性可知{0,1,2}={2,0,1},∴④正确;
根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.
解 由已知A⊇B得:
①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.
②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.
如图,在数轴上表示出两个集合,
2-3 ≥ -5,
由图可得
解得-1≤a≤4.
-2 ≤ 2,
又因为a<1,所以-1≤a<1.
(3){0}与⌀的区别:{0}是含有一个元素的集合,⌀是不含任何元素的集合.因
此,有⌀⊆{0},不能写成⌀={0},⌀∈{0}.
2.有限集合的子集问题
若有限非空集合A中含有n个元素,则:
(1)集合A的子集的个数为2n;
(2)集合A的真子集的个数为2n-1;
(3)集合A的非空子集的个数为2n-1;
(4)集合A的非空真子集的个数为2n-2.
综上,a的取值范围为[-1,+∞).
变式探究本例(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范
围;若不存在,试说明理由.
解 因为A={x|-5<x<2},所以若A⊆B,则B一定不是空集 -1,显然这样的实数 a 不存在.
≥ 4,
-2 ≥ 2,
(2)若A⊆B,则A有以下三种情况:
①A是空集;②A是由B的部分元素组成的集合;③A是由B的全部元素组成的
集合.
故不能简单地认为“若A⊆B,则A是由B的部分元素组成的集合”.
2.对真子集的理解
(1)真子集的概念也可以叙述为:若集合A⊆B,存在元素x∈B且x∉A,则称集
合A是集合B的真子集.
(2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:①集合A是集合B的子
(2)因为{x|x=6k,k∈Z}={x|x=3×2k,k∈Z}={x|x=3k',k'是偶数},所以
{x|x=3n,n∈Z}⫌{x|x=6k,k∈Z}.
探究点二
确定集合的子集、真子集
【例3】 (1)已知集合A={x∈R|x2+x=0},则集合A=
足{0}⫋B⊆A,则集合B= {-1,0} .
{-1,0}

1,,

.
所以b=0,此时有{1,a,0}={0,a2,a}.
所以a2=1,a=±1.
当a=1时,不满足集合元素的互异性,所以a=-1.
所以a2 023+b2 022=(-1)2 023+0=-1.
规律方法 1.判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同,有两
种方法:(1)将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2)看集合中的代表
所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.
所以A的子集有:⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),
(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.
规律方法 1.求集合子集、真子集的步骤
2.求元素个数有限的集合的子集的两个关注点
(1)若a=-1,试判断集合A,B之间的关系;
分析令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其关系.
解 若a=-1,则B={x|-5<x<-3}.
如图,在数轴上标出集合A,B.
由图可知,B⫋A.
(2)若A⊇B,求实数a的取值范围.
分析根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两个集合在数轴上标出,
的关系,最后得到集合之间的关系.
变式训练1[北师大版教材习题]判断下列各组中两个集合之间的关系:
(1){1,2,3}与{x|x是6的正因数};
(2){x|x=3n,n∈Z}与{x|x=6k,k∈Z}.
解 (1)因为{x|x是6的正因数}={1,2,3,6},
所以{1,2,3}⫋{x|x是6的正因数}.
基础落实·必备知识全过关
知识点1
维恩图
如果用平面上一条 封闭曲线的内部 来表示集合,那么我们就可作出示意
图来形象地表示集合之间的关系,这种示意图通常称为维恩图.
对维恩图的理解
(1)维恩图为利用数形结合法求解集合问题创造了条件.
(2)用维恩图表示集合的优点是能够直观地表示集合与集合间的关系,缺点
是集合中元素的特征性质不明显
.若集合B满
解析 因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,所以集合A={x∈R|x2+x=0}={-1,0},
因为集合B满足{0}⫋B⊆A,所以集合B={-1,0}.
(2)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出集合A的所有子集.
解 因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},
集;②存在元素x∈B,且x∉A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A
一定是集合B的子集,反之不成立.
(3)⌀是任何非空集合的真子集,这里强调的是“非空”两字,解题时不能丢掉
空集这一情况.
(4)任何集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集.
过关自诊
1.用适当的符号填空(⫋,=,⊈).
(1)要注意两个特殊的子集:⌀和自身;
(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.
变式训练2(1)集合A={x∈N|1≤x<4}的真子集的个数是( C )
A.16 B.8
C.7
D.4
解析 ∵A={x∈N|1≤x<4}={1,2,3},∴A={x∈N|1≤x<4}的真子集为
⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共7个.故选C.
探究点三
两个集合相等及其应用
【例4】 已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},若A=B,求x,y的值.
分析A=B→列方程组→解方程组求x,y
解 ∵A=B,∴集合A与集合B中的元素相同.
=
= 2,
= 0,
= 0,
= 2 ,
∴
解得
或
或
2 或

=
0

=
1
=
= 2,
⫋
(1){0,1}
N;
(2){2}
(3){2,1}
⊈
{x|x2=x};
=
{x|x2-3x+2=0}.
2.下列写法哪些是正确的?
①0={0};②{0}⊆{0};③0∈{0};④0⫋{0}.
提示 只有②③写法是正确的,一般地,元素与集合之间是属于关系,而两个
集合间的关系一般用子集、真子集或相等表示.
知识点3
值的取舍.
【例 2】 已知集合 A={x =
之间的关系是
A⫋B
解析 集合 A= =
1
+ ,
2
∈ {,B={x =

,
2
∈ },则 A 与 B
.
2+1
,
2
∈ ,集合 B= =

,
2
∈ .
∵2k+1可以表示任何奇数,k可以表示任何整数.
∴A⫋B.
规律方法 将集合中元素的特征性质进行等价变形,从而发现各性质之间
集合A中的元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所
以A⫋B.
变式探究例1中将集合B改为{x|x+3>4},则集合A与B是什么关系?
解 A⊈B,且B⊈A.
规律方法 判断两个集合之间的关系,一般是依据子集等相关定义分析.对
于两个连续数集,则可将集合用数轴表示出来,数形结合判断,需注意端点