高中圆锥曲线椭圆双曲线抛物线规律技巧总结

八、圆锥曲线
1. 圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F i , F 2的 距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于旷店2，当常数等于卩店2时，轨迹是 线段卩汗
2
，当常数小于卩汀2|时，无轨迹；双曲线中，与两定点F i ，F 2的距离的差的 绝对值等于常
数2a ，且此常数2a 一定要小于| F 1F 2I ，定义中的“绝对值”与2a v
IF 1F 2I 不可忽视。

若2a = IF 1F 2I ，则轨迹是以F i ，F 2为端点的两条射线，若2a > |F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如（1）
已知定点F i （ 3,0）,F 2（3,0），在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A • PF 1 PF 2 4 B • PF 1 PF 2 6 C. PF i PF ? 10
D. |PF i |2
|PF 2|2
12 (答：C); (2)…方程 J (x 6)2
y 2
J (x 6)2
y 2
8表示的曲线
是 _____ （答：双曲线的左支）
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、 点线距为分母”，其商即是离心率e 。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点 到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转
2
化。

如已知点Q （2j2,0）及抛物线y —上一动点P （x,y ）,则y+|PQ|的最小值是 _______
4
（答：2）
2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的 标准位置的方程）：
圆的充要条件是什么？（ ABC 工0,且A ，B ，C 同号，A 工B ）。

女口（ 1）已知方程
i 1
(答：(3, 1)U( 1,2) );
(2)
若
x, y R ，且3x 2
2y 2
6，则x y 的最大值是 ___________ ， x 2
y 2
的最小值是
x
2 （1）椭圆：焦点在x 轴上时-7
a
b 2
x a cos y bsi n
（参数方程,
2
其中为参数），焦点在y 轴上时笃
a
x 2
b 2
方程Ax 2 By 2 C 表示椭
1表示椭圆，则k 的取值范围为
(答:
5,2 )
2 2 2 2
（2）双曲线：焦点在x轴上：笃爲=1，焦点在y轴上：爲笃=1
a b a b
（a 0,b 0 ）。

方程Ax2 By2 C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC工0,且A ,
B异号）。

如（1）双曲线的离心率等于—，且与椭圆-y 1有公共焦点，则该双曲 2 9 4
2
线的方程________ （答：—寸1）；（ 2）设中心在坐标原点O,焦点R、F2在坐标
4
轴上，离心率e 迈的双曲线C过点P（4,厕），则C的方程为____________ （答：
2 2
x y 6）
（3）抛物线：开口向右时y2 2px（p 0），开口向左时y22px（p 0），开口向
2 2
上时x 2 py（ p 0），开口向下时x 2py（ p 0）。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由x 2, y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程
2 2
—一—一 1表示焦点在y轴上的椭圆，贝U m的取值范围是—（答： m 1 2 m
3
（,1）（1,亍）
2
（2）双曲线：由x2, y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，a2 b2 c2，在双曲线中，c最大，c2 a2 b2。

4.圆锥曲线的几何性质：
2 2
（1） 椭圆（以笃爲1 （a b 0）为例）：①范围：a x a, b y b ；
a b
②焦点：两个焦点（c,0）:③对称性：两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心（0,0 ）,
四个顶点（a,0）,（0, b ），其中长轴长为2a ，短轴长为2b ;④准线：两条准线
2
x —；⑤离心率：e -，椭圆 0 e 1，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越
c a
2 2
扁。

如（1）若椭圆—1的离心率e 乂0
，则m 的值是
（答：3或一）；（2）
5 m
5
— 3 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1时，贝U 椭圆长轴的最小
值为_（答：2、2 ）
X 2 y 2
（2） 双曲线（以飞
1 （ a 0,b 0 ）为例）：①范围：x a 或x a, y R ;
a 2
b 2
②焦点：两个焦点（c,0）:③对称性：两条对称轴x 0, y 0，一个对称中心（0,0 ）， 两个顶点（a,0），其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等
2
时，称为等轴双曲线，其方程可设为 x 2 y 2 k,k 0 ;④准线：两条准线x —;
c
离心率e€ [ 72,2],则两条渐近线夹角B 的取值范围是 _________ （答：[—,—]）;
3 2
（3）抛物线（以y 2 2px （p 0）为例）：①范围：x 0, y R :②焦点：一个焦
点（E,0），其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴
y 0，
大，开口越大；⑥两条渐近线： y
-x 。

如（1）双曲线的渐近线方程是3x 2y 0， a
e 1，等轴双曲线 e . 2， e 越小，开口越小，e 越
则该双曲线的离心率等于
（2）双曲线ax 2 by 2 1的离心 ⑤离心率：e C ，双曲线
a
率为，则a:b= ____________
（答：4
或
1）; （3）
设双曲线手
2
y
b 2
1 (a>0,b>0)中,
2 2
2
没有对称中心，只有一个顶点（0,0）;④准线：一条准线x —;⑤离心率：e ■—，
2a
直线与圆锥曲线的位置关系：
0 直线与椭圆相交； 0,当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 0 直线 与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0,当直线与抛物线的对称轴平行
时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条
件，但不是必要条件。

如（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2
-y 2
=6的右支有两个不同的交
2 2
— —1恒有公共点，则m 的取值范围是 ____________ （答：［1，5） U （5, +7） ; （3）
5 m
2 2
过双曲线
X y
1 2
1的右焦点直线交双曲线于 A 、
B 两点，若丨AB|= 4,则这样的直
线有 条
（答：
3) 7
（2）相切： 0 直线与椭圆相切； 0 直线与双曲线相切； 0 直线 与抛物线相切；
（3）相离： 0 直线与椭圆相离； 0 直线与双曲线相离； 0 直线 与抛物线相离
特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形： 相切和相交。

如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点； 如果直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（2）过双曲线
2 2
七=1外一点P （X 0, y 。

）的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：① P 点在两
a b
抛物线
e 1。

如设 a 0,a R ，则抛物线 y 4ax 的焦点坐标为
（答：
(0, 1
) ）；
16a
2 2
5、
点P （X 0, y °）和椭圆笃 I ? 1 ( a
b 0) 的关系： (1) 点P （X 0,y 。

）在椭圆
外
a
b
2
2
2
2
X
a 2 卷1 ； （2）点P （x °,y °）在椭圆上
x
2 a y
o
= 1； b 2 l ； (3) 点P （X 0,y 。

）在椭圆
内
2
b> 1 2 X
o
~2 a
6.
（1）相
交： 曲线相交不
一定有 一个交
点，故
点，则k 的取值范围是
（答：（-于,-1）
）；
（2）直线y — kx —仁0与椭圆
0 直线与双曲线相交，但直线与双
条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条
渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④ P
为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一 个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

如（1）过点（2,4）作直线与抛物线
y
2 3 4
8x 只有一个公共点，这样的直线有 ______ （答：2）； （2）过点（0,2）与双曲线
2 2
— 仝1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 __________ （答：
9 16
4
,冬5）； （3）过双曲线x 2
工1的右焦点作直线I 交双曲线于A 、B 两点， 3 3 2
若AB 4,则满足条件的直线I 有 _______
（答：3）； （4）对于抛物线C ： y 2
4x ，
我们称满足y o 2
4x o 的点M （x o ,y o ）在抛物线的内部，若点M （x °,y °）在抛物线的内部， 则直线I : Y o Y 2（x X 。

）与抛物线C 的位置关系是 ________ （答：相离）；（5）过抛物 线y 2 4x 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是P 、
2
；（4）点P 在椭圆—
25
2 2
（答：1）；（6
）设双曲线七 1的右焦点为F ,右准线
为I ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分别于 P,Q,R ， 则 PFR 和 QFR 的大小
关系为 （7）求椭圆 7x 2
4y 2
28
上
的点到直线3x 2y 16 0的最短距离（答：诸） ；(8) 直线y ax 1与双曲线 3x 2 y 2 1交于A 、B 两点。

①当a 为何值时, B 分别在双曲线的两支上？②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？（答：①
.3^. 3 :② a 1)； 7、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第 二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 2 的距离。

如（ 1）已知椭圆— 25 （答：35
）； 3
线的距离为
r ed ，其中d 表示P 到与F 所对应的准线 2
红1上一点P 到椭圆左焦点的距离为3,则点P 到右准 16 （2）已知抛物线方程为 y 2 8x ，若抛物线上一点到y 轴
的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于
（3）若该抛物线上的点
M 到焦
点的距离是4,则点M 的坐标为
(答：7,(2, 4))
上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为(答
:
25
）；
（ 5）
抛物线
y 2 2X
上的两点A 、B 到焦点的距离和是5
,则线段AB 的中点到
y
2
y
1内有一点P （1, 1），F 为右焦点,
3
（竽，1））;
8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形） 问题：常利用
第一定义和正弦、余弦定理求解。

设椭圆或双曲线上的一点
x
4 5
距离分别为r i ,r 2，焦点F i PF 2的面积为S ，则在椭圆-y
a
2b 2
arccos — 1），且当r i 辽即P 为短轴端点时，
最大为
吋2
②S b 2 tan c| y o |，当| y o | b 即P 为短轴端点时，S max 的最大值为be ；对于双曲线 2
x 2 y 2 2b 2 1
2
2
1的焦点三角形有：① arccos 1
:②S
r^sin b 2
cot 。

女口
a 2
b 2
re
2
2
（i ）短轴长为・-5，离心率e -的椭圆的两焦点为F i 、F 2，过F i 作直线交椭圆于A 、
3
（答：6）; （2）设P 是等轴双曲线x 2
y 2
a 2
（a 0）
右支上一点，F i 、F 2是左右焦点，若PF 2 F 1F 2 0，|PF i |=6,贝U 该双曲线的方程为
1的焦点为F i 、F 2,点P 为椭圆上的动
点，当
/咏
3亦3亦
（答：（——,一 5）） ; （4）
5
5
J R
4 2
（答：x 2 y2 4
） ；（ 3
）椭圆 x
冷
轴的距离为 2 （答：2）; （6）椭圆—
4 在椭圆上有一点M ，使MP
2MF 之值最小，则点M 的坐标为
（答:
P （x o ,y 。

）到两焦点F i , F 2的
2 2
b c
max — arccos -- 2
—;
B 两点，贝U ABF 2的周长为 Pfe • PF <0时，点P 的横坐标的取值范围是
双曲线的虚轴长为4,离心率Fi、F2是它的左右焦点，若过Fi的直线与双曲线
的左支交于A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则 AB
（答: 8.2); (5)已知双曲线的离心率为2, F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且
2 2 F1PF2 60，S PF I F2 12.
3 •求该双曲线的标准方程(答：X上1 );
1 2 4 12。