反常积分答案

第十一章 反常积分
一、单选题（每题2分）
1、广义积分
dx
x x ⎰
∞
+-1
2
1
1=（ ）
A 、0
B 、2π
C 、4π
D 、发散
2、广义积分dx x x ⎰∞+-+2221
=（ ） A 、 B 、0 C 、4ln 31 D 、发散
3、广义积分⎰+-202
34x x dx =（ ）
A 、3ln 1-
B 、
32ln 21 C 、 D 、发散 4、下列广义积分收敛的是（ ）
A 、⎰
∞
+e
dx x x
ln B 、
⎰∞+e x x dx ln C 、⎰∞
+e x x dx 2
)(ln D 、⎰∞
+e
x x dx
21)(ln
5、下列广义积分发散的是（ ）
A 、
⎰∞
-0
dx
e x
B 、⎰
π
2cos x dx C 、⎰-20
2x dx D 、⎰∞+-0dx e x
6、下列积分中（ ）是收敛的
A 、⎰∞
+∞-xdx sin B 、⎰-2
22sin π
πx dx C 、⎰∞+0dx e x D 、
⎰-101x dx 7、下列广义积分发散的是（ ）
A 、⎰-1
1sin x dx B 、⎰--112
1x dx C 、⎰∞+-0
2
dx xe x D 、⎰∞+22)(ln x x dx 8、⎰=-1
01
2
1dx e x x
（ ）
A 、e 1
B 、11-e
C 、e 1
-
D 、∞
9、已知2sin 0π
=⎰∞+dx x x ，则=⎰∞+dx x x x 0cos sin （ ）
A 、0
B 、4π
C 、 2π
D 、
10、广义积分=+⎰∞+∞-dx x 2
11
（ ）
A 、0
B 、2π
C 、2π
-
D 、
11、下列积分中绝对收敛的是（ ）
A 、
dx x x ⎰
∞
+1
2sin B 、dx x x ⎰∞+1sin C 、dx x ⎰∞+12sin D 、dx x x ⎰∞+14sin
12、已知广义积分
dx
x ⎰
∞+∞
-sin ，则下列答案中正确的是（ ）
A 、因为在()+∞∞-,上是奇函数，所以0sin =⎰∞
+∞-dx x
B 、dx
x ⎰∞+∞-sin =()
()()[]0
cos cos cos =∞--∞+-=∞
-∞+-x
C 、
dx x ⎰
∞
+∞-sin =()0
cos cos lim sin lim =+-=⎰
-+∞
→+∞→b b xdx b
b
b b
D 、
dx
x ⎰∞+∞
-sin 发散
13、设广义积分
dx
e kb ⎰∞+-0
收敛，则k （ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
答案：BCDCB DAABD ADB
二、判断题（每题2分）
1、当10<<λ时，无穷积分dx x x
⎰∞
+1cos λ条件收敛； （ ）
2、当10<<λ时，无穷积分dx x x
⎰∞+1sin λ绝对收敛； （ ）
3、若无穷积分
()⎰
∞
+a
dx
x f 收敛，而函数在[)+∞,a 单调有界， 则无穷积分
()()⎰∞+a
dx
x x f ϕ收敛； （ ）
4、若
()⎰
∞
+a
dx
x f 收敛，则()0
lim =+∞
→x f x ； （ ）
5、若在[)+∞,a 无界，则()⎰∞
+a
dx
x f 发散； （ ） 6、若()
x f x +∞
→lim 不存在，则
()⎰
∞+a
dx
x f 发散； （ ）
7、若单调，
()⎰∞
+a
dx
x f 收敛，则()0
lim =+∞
→x f x ； （ ）
8、若
()⎰
∞+a dx
x f 收敛，则
()⎰
∞
+a
dx
x f 2收敛； （ ）
9、若
()⎰∞
+a
dx
x f 2，
()⎰∞+a
dx
x g 2收敛，则
()()⎰∞+a
dx
x g x f 收敛； （ ）
10、如果()⎰∞+a
dx
x f 收敛，在[)+∞,a 上有界，则()()⎰∞
+a
dx
x g x f 收敛；（ ）
11、若
()⎰∞
+a
dx
x f 收敛，()0
lim =+∞
→x f x ，则
()⎰∞
+a
dx
x f 2收敛； （ ）
12、如果
()⎰∞
+a
dx
x f 绝对收敛，
()1
lim =+∞
→x g x ，则
()()⎰∞+a
dx
x g x f 收敛；（ ）
答案：××× ××× ×
三、填空题（每题2分）
1、若无穷积分
()⎰∞
+a dx x f 收敛，则
()=
⎰
∞++∞
→dx x f p
p lim
；
2、若无穷积分
()⎰
∞
+a
dx
x f 收敛，则时，无穷积分
()⎰
∞
+b
dx
x f ；
3、设(]b a x ,∈∀，函数()0≥x f ，a 是其瑕点，且极限())
0()(lim +∞≤≤=-+→d d x f a x a
x λ，
若+∞≤<≥d 0,1λ，则瑕积分()⎰b
a dx x f ；
4、设[)+∞∈∀,a x ，函数()0≥x f ，，且极限())
0(lim +∞≤≤=+→d d x f x a
x λ，
若+∞<≤>d 0,1λ，则无穷积分()⎰∞
+a dx x f ；
5、若
()⎰∞+a
dx
x f 收敛，则无穷积分
()⎰∞
+a
dx
x f ；
6、当时，无穷积分
dx x x
⎰
∞+1
cos λ ；
7、当时，瑕积分⎰1
0p
x dx ；
8、若
()⎰∞
+a
dx
x f 收敛，且存在极限
()A
x f x =+∞
→lim ，则 ；
9、
=+⎰
∞
+1
2)1(x x dx ；=
⎰∞+e x x dx 2ln ；
10、设
⎰∞
-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a
t ax
x dt
te x x 1lim ，则常数 ；
11、如果广义积分
dx
x p ⎰
∞
++1
1收敛，则 ；
12、如果广义积分
dx
x p ⎰-1
1发散，则 ；
答案：1、0 2、收敛 3、发散 4、收敛 5、绝对收敛 6、绝对收敛
7、发散 8、0 9、2
ln 21；1 10、2 11、 12、
四、计算题（每题5分） 1、
⎰
∞+++0
284x x dx
解：
⎰
∞+++0
284x x dx =)022arctan 21(lim 4)2(lim 02u x x dx u u u +=+++∞→+∞→⎰
=8)42(21)422(arctan 2
1lim
ππππ=
-=-++∞→u u 2、dx
x x 1
sin 122⎰∞+π
解：设
x t 1=
，则dt t dx 21
-=，
有dx x x 1sin 122⎰∞
+π=120cos sin 02==-⎰ππt tdt 3、⎰∞+-+22
2x x dx
解：
⎰∞
+-+222x x dx =221ln 31lim )2111(31lim 2u x x dx x x u u u ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--+∞→+∞→⎰ =2
ln 32)2ln 221ln lim (31=-+-+∞←u u u
4、⎰1
ln xdx
解：
⎰
1
ln xdx =()1)ln 1(lim 1
ln lim ln lim 0
100-=+--=-=+++→→→⎰εεεεεεεεx x x xdx
5、
⎰
--1
1
21x dx
解：
⎰
--11
21x dx
=⎰
⎰
-→+-→-+-++εεε
ε10
20
012
1lim 1lim x dx
x dx =)01arcsin 10(arcsin lim 0ε
εε-++-+→x x
))
1arcsin()1arcsin((lim 0
εεε-++--=+→=π
π
π
=+
2
2
6、
()
⎰--1
12x x dx 解：因为
()
C x C t t dt
t x x x dx
+--=+-=+-=---⎰
⎰1arctan 2arctan 2121122
所以
()⎰--10
12x x dx
=01)
1arctan 2(lim 1)2(lim 0
10
εεε
ε---=--++→-→⎰
x x
x dx
=2)4
arctan lim (20
π
π
εε=
-
-+→
7、
⎰
∞+++0
4211
dx x x
解：由
C
x
x
x
x
x
x
d
dx
x
x
x
dx
x
x
+
-
=
+
-
-
=
+
+
=
+
+
⎰
⎰⎰
2
1
arctan
2
1
2
)
1
(
)
1
(
1
1
1
1
12
2
2
2
3
4
2
得⎰∞+
+
+
04
2
1
1
dx
x
x
=
2
2
1
arctan
2
1
lim
1
1
lim
2
4
2
π
ε
ε
ε
ε
=
-
=
+
+
⎰
+
+→
+∞
→
→
+∞
→
u
x
x
dx
x
x u
u
u
8、
())0
(
ln
>⎰∞+a
x
x
dx
a p
解：时，
+∞
=
=
=
+∞
→
∞
+
+∞
→
⎰
⎰
a
u
x
x
x
d
x
x
dx
u
u
a
a u
ln
ln
lim
ln
ln
lim
ln
时，
()()a
u
x
p
x
x
d
x
x
dx
p
u
u
a p
u
a p
-
+∞
→
+∞
→
∞
+
-
=
=⎰
⎰1)
(ln
1
1
lim
ln
ln
lim
ln
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
∞
>
-
-
1
1
)
(ln
1
1
1
p
p
a
p
p
故当时，
()
⎰∞+a p
x
x
dx
ln=
()p
a
p
-
-
1
ln
1
1
时，
()
⎰∞+a p
x
x
dx
ln发散；
9、⎰20)
ln(sin
π
dx
x
解：⎰20)
ln(sin
π
dx
x
=
⎰+
→
2
sin
ln
lim
π
ε
xdx⎰+→
=4
2
2
sin
ln
lim
2
π
ε
ε
tdt
t
x
=
⎰+
+
+
→
4
2
)
cos
ln
sin
ln
2
(ln
lim
2
π
ε
ε
dt
t
t
=
⎰
⎰+
+
⋅4
4
cos
ln
2
sin
ln
2
4
2
ln
2
π
π
π
tdt
tdt
=
⎰
⎰+
=
+
+4
4
2
2
ln
2
cos
ln
2
sin
ln
2
2
ln
2
π
πππ
I
xdx
xdx
由此求得
2
ln
2
π
-
=
I
10、
⎰∞+-∈
=
)
(N
n
dx
e
x
I x
n
n
解：当时，
⎰∞+-=
=
1
dx
e
I x
当时，
dx
x
e
n
u
x
e
dx
x
e
I u n
x
u
n
x
u
u n
x
u
n⎰
⎰-
-
+∞
→
-
+∞
→
-
+∞
→
+
-
=
=
1 0
lim
)
(
lim
lim
=⎰---+∞
→=u
n n x u nI dx x e n 0
1
1lim
则 !12)1(0n I n n I n =⋅⋅-= 五、证明题（每题5分） 1、证明
01ln 0
2
=+⎰
∞
+dx x x
证：令t x 1=，则 ⎰⎰⎰∞-∞+∞++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=+00222021ln 1111
ln
1ln dt t t dt t
t t dx x x =⎰∞++-021ln dx
x x
则有 01ln 02
=+⎰∞+dx x x
2、证明dx x x
⎰∞++01cos 收敛，且11cos 0≤+⎰∞+dx x x
证：
dx x x ⎰∞
++0
1cos =dx x x x x ⎰∞+++∞++02)1(sin 01sin =
dx
x x
⎰
∞++0
2)1(sin
又()22
11
1sin x x x
+≤
+）（，而dx
x ⎰∞
++0
2)1(1
收敛，所以
dx x x ⎰
∞++0
2)1(sin 收敛dx
x x ⎰∞++01cos 收敛
而
≤+=+⎰
⎰
∞
+∞+0
2
)
1(sin 1cos dx x x
dx x
x
1011)1(10
2
=∞
++-=+⎰
∞
+x dx x
3、证明：若在()+∞∞-,上连续，且()⎰∞
+∞-dx x f 收敛，则对任何()+∞∞-∈,x ，有
()()⎰∞-=x x f dt t f dx d , ()()⎰∞
+-=x x f dt t f dx d ,
证：由条件
()1
0J dx x f =⎰∞
-，
()⎰∞
+=0
2
J dx x f 都存在；再由连续可得
()()()⎰⎰∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=x x a x f dt t f J dx d dt t f dx d ,1
()()()⎰⎰∞+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x a
x x f J dt t f dx d dt t f dx d ,2
4、 设
()⎰
∞
+a
dx
x f 收敛，证明：（1）若极限()
x f x +∞
→lim 存在，则()0
lim =+∞
→x f x
（2）若在[)∞+a 上为单调函数，则()0lim =+∞→x f x 证：（1）设
()A x f x =+∞
→lim 。

若
()00>≠A A ，则由极限保号性，
a G >∃，
当G x ≥时满足 02>≥
A
于是有
()()()()()G u A
dx x f dx x f dx x f dx x f G
a
G
a
u
G
u a
-+
≥+=⎰⎰⎰⎰
2
()∞+=⎰+∞→u
a
u dx x f lim
而这与
()⎰
∞
+a
dx
x f 收敛相矛盾，故0=A 。

（2）若在[)∞+a 上单调而无界（设为递增而无上界），则0>∀A ，a G >∃，当G x ≥时，使()A x f ≥。

类似于（1）的证明，推知()+∞
=⎰
∞+a
dx x f ，矛盾。

所以在[)∞+a 上单调
而有界，则存在极限()A
x f x =+∞
→lim 。

依据已证得的命题（1），()0
lim =+∞
→x f x 5、证明：若
()⎰
∞
+a
dx
x f 收敛，且在[)∞+a 上一致连续，则必有()0
lim =+∞
→x f x 。

证：由在[)∞+a 上一致连续，则,0,0>∃>∀δε（设εδ≤），当[)+∞∈''',,a x x 且
δ<''-'x x 时，总有
()()2ε
<
''-'x f x f ，
又因
()⎰
∞
+a
dx
x f 收敛，故对上述，a G >∃，当G x x >21,时，有
()22
2
1
δ<
⎰
x x dx x f
现对任何G x >，取 G x x >21,，且使δ=-<<1221,x x x x x 。

此时有
()()()()⎰
⎰
⎰
+-=
2121
21
x x x x x x dt
t f dt t f dt x f x f δ
()()()εδ
δδε
≤+
⋅<
+-≤⎰
⎰
2
2
2
21
21
x x x x dt t f dt t f x f
便有
()G x x f <<,ε，这就证得()0
lim =+∞
→x f x
6、证明：若
()⎰∞+a
dx
x f 绝对收敛，()A
x g x =+∞
→lim 存在，则
()()⎰∞+a
dx
x g x f 必定绝对收敛
又若把()⎰∞
+a dx x f 该为条件收敛，试举出反例说明()()⎰∞
+a dx x g x f 不一定收敛。

证：由
()A x g x =+∞
→lim 可知当x 充分大时有
(){}()G x A A M x g >-+=≤1,1max
从而又有
()()()G x x f M x g x f >≤,
再由
()⎰∞+a
dx
x f 收敛，根据比较法则便证得
()()⎰∞+a
dx
x g x f 收敛。

例如对于条件收敛的
()⎰∞+a
dx
x f =
⎰∞
+1
sin dx
x
x 和
()()
+∞→→+
=x x
x x g 1
sin 1
得到 ()()⎰∞
+a dx x g x f =
⎰∞
+⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+12
sin sin dx x x x x +∞→x 由于 ⎰∞+1sin dx x x 收敛。

而
21sin 12=⎰∞+dx x x ⎰∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-12cos 1dx x x x 显然是发散的，所以
()()⎰∞+a
dx
x g x f 也是发散的无穷积分。

7、证明当+∞→x 时，⎰∞+-
x t
dt e 22
和1
22
-⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
x xe 是等价无穷小量。

证：
lim 1
22
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+∞→x x xe ，又因
lim 2
22=-
+∞
→x x e x ，所以
⎰∞+-
2
2
dx
e
x 收敛，
又收敛定义又知 0
lim
2
2=⎰
∞+-
+∞
→x
t x dt e
这说明当+∞→x 时，它们是无穷小量；下面再来证明它们是等价无穷小量
()
1
1lim
lim
2
2
2
1
22
222
2=+--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛---
+∞
→-∞+-
+∞
→⎰
x e
e xe dt
e
x x x x x
t x
故结论成立。

8、证明：若
()⎰
∞
+1
dx
x xf 收敛，则
()⎰
∞
+1
dx
x f 也必收敛.
证：由于 =()x xf x ⋅1
，[)+∞∈,1x ， 而()⎰∞+1dx x xf 收敛，x 1
在[)+∞,1上单调有界，
故由 判别法证得
()⎰
∞
+1
dx
x f 收敛.
9、证明：若()⎰∞
+a dx x f 收敛，为单调函数，则
()⎪⎭⎫
⎝⎛=x o x f 1. 证：不妨设 单调减少。

先证当时，()0≥x f 。

否则 ∃点，使()0<c f ，而时，()()c f x f ≤，
从而
()≤⎰
∞
+c dx x f ()-∞
=⎰
∞
+c
dx c f
得出
()⎰∞
+c
dx
x f 发散，与
()⎰∞+a
dx
x f 收敛矛盾，故为非负的单调函数.
由
()⎰∞
+a
dx
x f 收敛，则0,0>∃>∀A ε，使得当 A x >时，恒有
()22
ε
<
⎰
x x
dt t f
但是
()=
⎰
x x dt t f 2
()()()
x f x x x x f dt t f x x 222
=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⋅≥⎰
所以当A x >时，()ε<≤x xf 0，即 ()0lim =+∞→x f x 或 ()⎪⎭⎫
⎝⎛=x o x f 1. 当单调增加时，只要考虑()x f -，同样可证得
()⎪
⎭⎫
⎝⎛=x o x f 1. 10、设 ()0>x f 且单调减少，证明：
()⎰
∞
+a
dx
x f 与
()⎰
∞
+a
xdx
x f 2sin 敛散性相同.
证：（1）若
()0
→
x
f，由狄利克雷判别法
()
⎰∞+a xdx
x
f2
cos
收敛，于是由
()
⎰∞+a xdx
x
f2
sin
=
()
⎰∞+-
a
dx
x
x
f
2
2
cos
1
=
()
⎰∞+a dx
x
f
2
1()
⎰∞+
-
a
xdx
x
f2
cos
2
1
知
()
⎰∞+a dx
x
f
与
()
⎰∞+a xdx
x
f2
sin
敛散性相同.
(2) 若
())0
(>
→A
A
x
f,则
()
⎰∞+a dx
x
f
发散，从而
()
⎰∞+a xdx
x
f2
sin
与
()
⎰∞+a dx
x
f
同时发散.。