河南省商丘市九校高三数学上学期期中联考试题 文

河南省商丘市九校2018届高三数学上学期期中联考试题 文
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题（本大题共12个小题,每个小题5分,满分60分.每个小题的四个选项中,只有一项符合要求）
1.已知集合2
{|20},A x x x Z =+-<是整数集,则A
Z =
A.{1}-
B.{1}
C.{1,0}-
D.{0,1}
2. 复数2
(1)1i z i
+=-（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为
A. 1
B. i -
C. i
D.1-
3．下列说法正确的是
A. 命题“若21x =，则1x ≠”的否命题是“若21x =，则1x =”
B. 命题“0,02
00<-∈∃x x R x ”的否定是“2,0x x R x ∀∈->”
C. 命题“若函数()21f x x ax =-+有零点，则“2a ≥或2a ≤-”的逆否命题为真命题
D.“()y f x =在0x 处有极值”是“()00f x '=”的充要条件 4. 函数()()
12
1
log 21f x x =
+的定义域为
(A)1(,0)2-
(B)1(,)2-+∞
(C)()
1(,0)0,2-+∞
(D)1
(,2)2-
5.函数sin sin ()cos sin cos sin x x
f x x x x x
=
+
+-的最小正周期为 A.4π B.2
π
C.π
D.2π
6．向量a ,b 均为非零向量，b a b a b a
⊥-⊥-)2(,)2(，则a ,b 的夹角为 A ．
3π B ．2π C ．23π D ．56
π
7.设21
log 3
a =，1
2b e -=，ln c π=，则（ ）
A ．c a b <<
B ．a c b <<
C ．a b c <<
D ．b a c << 8．已知函数()2sin()f x x ϕ=+，且(0)1f =，(0)0f '<，则函数()3
y f x π
=-
图象的一
条对称轴的方程为( ) A ． 0x = B ． 6
x π
=
C ． 23x π=
D ． 2
x π= 9．已知tan 2α=，则2sin 2cos αα+=
(A)
35 (B)35- (C) 3
5
-或1 (D)1 10.若函数(),1
()231,1a
x x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩
是R 上的减函数，则实数a 的取值范围
A.2,13⎛⎫
⎪⎝⎭ B. 23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D. 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
11.对于下列命题：
①在∆ABC 中，若cos2A=cos2B,则∆ABC 为等腰三角形； ②∆ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ,若2,5,6
a b A π
===，则∆ABC 有两组解；
③设201420142014sin
,cos ,tan ,333
a b c πππ
=== 则;a b c << ④将函数2sin(3)6y x π=+的图象向左平移6π个单位，得到函数y =2cos(3x +6
π
)的图象.
其中正确命题的个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
12．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，对于R x ∈∀,都有0)()2(=++x f x f ,当[0,1]x ∈时，2
()1f x x =-+，若2
[()]()30a f x bf x -+=在[-1,5]上有五个根，则此五个根的和是（ ）
A ．7
B ．8
C ．10
D ．12
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本小题共4个小题,每小题5分,满分20分.
13. 设α为锐角，若53)6πcos(=+α，则sin 212απ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭的值为 .
14.设向量,a b →→，满足4,a b →→→→+=∙b a =则_______.→→
-=a b 15．在△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC ＝3 ：4 ：6，则cosB ＝_________
16．函数()2sin f x x x =-，对任意12,[0,π]x x ∈，恒有12()()f x f x M -≤，则M 的最小值为 .
三、本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）
已知函数π
ππ())2sin()sin()344
f x x x x =---+. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ
[,]122
-上的值域. 18．（本小题满分12分）
已知向量)sin ,cos 2(x x =，)cos 32,(cos x x = ()x ∈R ，设函数1)(-∙=x f ． （1）求函数()f x 的单调增区间；
（2）已知ABC ∆的三个内角分别为A B C ，，，
若2)(=A f ，4
π
=B ，边3=AB ，
求边BC ． 19.（本小题满分12分）
设函数2
()ln (0)f x a x bx x =->，若函数()f x 在1x =处的切线方程为6270x y --=． （Ⅰ）求实数,a b 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 在1
[,]e e
上的最大值．
20.（本小题满分12分）
如图所示，某公路AB 一侧有一块空地△OAB ，其中OA ＝3 km ，OB ＝3 3 km ，∠AOB ＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN ，其中M ，N 都在边AB 上（M ，N 不与A ，B 重合，M 在A ，N 之间），且∠MON ＝30°．
（1）若M 在距离A 点2 km 处，求点M ，N 之间的距离；
（2）为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使△OMN 的面积最小，并求出最小面积．
21．（本小题满分12分）
已知R a ∈,函数3
2
()3333f x x x ax a =-+-+，]2,0[∈x . （1）求()f x 的单调区间；
（2）求()f x 取得最大值时的x 的值.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，直线l 过点)1,0(P 且斜率为1，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 2sin 2+=. （Ⅰ）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求PB PA +的值. 23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）求不等式()2≥x f 的解集；
（2）已知函数()x f 的最小值为M ，若实数0,>b a 且Mab b a =+2，求b a +2的最小值
\
文科数学参考答案
1—12 CACCB ACADB DC
13. 502
31
14.2. 15.2936 16. 23π17.(本题满分12分)
解：（I ）
πππ
())2sin()sin()344
f x x x x =---+
3cos 22(cos sin )(sin cos )2x x x x x x =-++-+
223cos 22cos sin 2x x x x =-+-
3cos 22cos 222
x x x =-++πsin(2)6x =-，………………….......……3分
2π
T π2
∴=
=，………………….................................................................……..4分 由ππ2π62x k -
=+()Z k ∈得ππ
23
k x =+()Z k ∈. ∴函数()f x 的最小正周期为π，对称轴方程为π
π3
x k =+
()Z k ∈.………………6分 （II ）
ππππ5π[,],2[,]122636
x x ∈-
∴-∈- 因为π
()sin(2)6
f x x =-在区间ππ[,]123-
上单调递增，在区间ππ
[,]32
上单调递减， 所以，当π
3
x =时，()f x 取最大值1..………………….........................……..8分
又π1
()()12
22
f f π
-
=<=，.…………………..........................……..10分
当π12x =-
时，()f x
取最小值-.…………………....................……..11分 所以函数()f x 在区间ππ[,]122-
上的值域为[..……………………..12分 18．（本题满分12分）
解：1)(-∙=x f 1cos sin 32cos 22
-+=x x x x x 2sin 32cos +=．
)6
2sin(2π
+
=x …………………………4分
∵
x ∈R ，由 ππ
π
ππ
k x k 22
6
222
+≤
+
≤+-
得
)(6
3
Z k k x k ∈+≤
≤+-
ππ
ππ
……… 6分
∴函数()f x 的单调增区间为．)(6,3Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-
ππππ ………………7分
（2）∵2)(=A f ，即2)6
2sin(2=+
π
A ，∵角A 为锐角，得6
π
=
A ， ……9分
又4
π
=
B ，∴π12
7
=
C ，∴42
6)34sin(127sin sin +=+==πππC
∵3=AB ，由正弦定理得2
)
26(3sin sin -==C A AB BC ……… 12分
19. (本题满分12分) 解:(I)'()2,(0)a
f x bx x x
=
->， …………1分 ∵函数()f x 在1x = 处的切线方程为6270x y --=.
∴'(1)23,1(1),2
f a b f b =-=⎧⎪⎨=-=-⎪⎩ …………3分
解得4,1.2
a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以实数,a b 的值分别为4和
1
2
. …………5分
(II)由(I)知，2
1()4ln 2
f x x x =-
， 2
44'()x f x x x x
-=-=， …………6分
当
1x e e ≤≤时，令'()0f x > ，得1
2x e
≤≤， …………7分 令'()0f x <， 得2x e <≤, …………8分 ∴()f x 在[1
e
，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减， …………9分
()f x 在2x = 处取得极大值这个极大值也是()f x 的最大值. …………10分
又(2)4ln 22f =- ， ……11分 所以，函数()f x 在1
[,]e e
上的最大值为4ln 22-. …………12分 20. (本题满分12分)
解：（1）在△OAB 中，因为OA ＝3，OB ＝33，∠AOB ＝90°，所以∠OAB ＝60°．
在△OAM 中，由余弦定理得OM 2
＝AO 2
＋AM 2
－2AO ·AM ·cos A ＝7，
所以OM ＝7，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝27
7
，
在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝27
7
．
在△OMN 中，由MN sin30°＝OM sin ∠ONA ，得MN ＝7277
×12＝7
4
． ………6分
（2）：设∠AOM ＝θ，0＜θ＜3
在△OAM 中，由OM sin ∠OAB ＝OA
sin ∠OMA
，得OM ＝
33
2sin(θ＋3
)
．
在△OAN 中，由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA ，得ON ＝332sin(θ＋2
)
＝33
2cos θ
．
所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·332sin(θ＋3)
·332cos θ·1
2
＝
27
16sin(θ＋3
)cos θ
＝
27
8sin θcos θ＋83cos 2
θ
＝
27
4sin2θ＋43cos2θ＋43
＝
274sin2θ＋43cos2θ＋43
＝
27
8sin(2θ＋3
)＋43
，0＜θ＜3
．
当2θ＋3＝2，即θ＝12时，S △OMN 的最小值为27(2－3)
4．
所以应设计∠AOM ＝12，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3)
4
km 2
． ………12分
21(本题满分12分)
解：（1）由已知得到:2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+, ……...1分
(1)当0a ≤时,Q [0,2]x ∈,∴(2)0x x -≤,∴()0f x '≤恒成立； ……..…………...2分
(2)当1a ≥时,Q [0,2]x ∈,∴2(2)(1)11x x x -=--≥-，()0f x '≥恒成立; …….3分 (3)当01a <<时，2()3630f x x x a '=-+=,36360a ∆=->,
11x ∴=，21x =，且12012x x <<<<,
令
()0
f x '>解得：
1
0x x <<或
22x x << .……………………………………………....5分
综上：当0a ≤时,()f x 的单调减区间为(0,2)； 当1a ≥时,()f x 的单调増区间为(0,2);
当01a <<时，()f x 的单调増区间为(
0,1-和()
12+， 单
调
减
区
间
为
(
1-
.………………………………………………………6分
（2）由(I)知(1)当0a ≤时,()f x 在(0,2)上递减,所以max ()(0)33f x f a ==-； (7)
分 (2)
当
1
a ≥时,
()
f x 在
(0,2)
上递增,所以
m a
x
()(2)31f x f a ==-; ………....…...8分
(3)当01a <<时，max 1()max{(),(2)}f x f x f =，
332221111111()(2)23(2)3(2)(2)(23)f x f x x a x x x x a -=---+-=---+， 21120x x a -+=∴2112x x a =-,()112a x x =-,111()(2)(2)(22)f x f x x a -=--+，
…..9分
①当304
a <≤
，由()112a x x =-，得1102x <≤，所以13222x -<-≤-，且3022a <≤，
此时120x a -+≤，又
12x <，∴1()(2)0f x f -≥，即max 1()()f x f x =；
…..10分
②当
314
a <<时，由()112a x x =-，得1112x <<，所以13212x -<-<，且3
222a <<，
此时1220x a -+>，又
12x <，∴1()(2)0f x f -<，即max ()(2)f x f =；
(11)
分
综上，当0a ≤时, ()f x 在0x =处取得最大值； 当3
04a <≤
时，()f x
在1x =- 当
34
a >时
，
()
f x 在2x =处取得最大
值. …..........................................................…..12分 22．（本题满分10分）
解：（Ⅰ）直线l
的普通方程为(1x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数） ……………………2分 ∵θθρcos 2sin 2+=， ………………………3分
∴曲线C 的直角坐标方程为
2)1()12
2=-+-y x （ …5分
- 11 - （Ⅱ）将直线的参数方程为参数）
t t y t x (22122⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+== 代入曲线方程2)1()122=-+-y x （
………………………………7分
，0121<-=⋅t t ………………………………9分 ∴64)(212212121=-+=
-=+=+t t t t t t t t PB PA ． ……… 10分
23．（本题满分10分） 解：（Ⅰ）
⎩⎨⎧≥-≥∴2322x x 或⎩⎨⎧≥<<2121x 或⎩⎨⎧≥+-≤2321x x
解得25≥x 或2
1≤x ∴不等式()2≥x f 的解集为}2125{≤≥
x x x 或 …………5分
函数()x f 的最小值为1=M ……………6分
分
0,>b a
当且仅当b a =时等号成立
故b a +2的最小值为9． ………………10分。