高中数学必修五：3.1《不等关系与不等式(1)》ppt课件
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高一数学必修5课件《3.1 不等关系与不等式》
例 2．如果 30＜x＜42，16＜y＜24，求 ． ＜ ＜ ， ＜ ＜ ， x x＋y，x－2y 及 的取值范围. ＋ ， － 的取值范围 y
例题讲解
例 3． ． 已知−
π
2
≤α < β ≤
π
2
α +β
，求 2
,
α −β
2
. 的取值范围
例题讲解
已知a > b > c > 1 ，设M = a − c， 例 4． ． a +b N = a − b，P = 2( − ab)，比较M、 2 N、P的大小 、P
复习引入 复习引入
比较两实数大小的理论依据是什么？ 问题 1:比较两实数大小的理论依据是什么？ 比较两实数大小的理论依据是什么
问题 2:“作差法”比较两实数的大小的一般步骤 “作差法”比较两实数的大小的一般步骤.
新课讲授
常用的不等式的基本性质
(1) a > b ⇔ b < a (2) a > b, b > c ⇒ a > c (3) a > b ⇒ a + c > b + c
4、一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根、二次函数 y = ax2 + bx+ c(a ≠ 0) 、 、 的根、 的解集有什么关系？ 一元二次不等式 ax2 + bx+ c > 0(或< 0或≥ 0或≤ 0) 的解集有什么关系？
B. a > b
2
2
D. a | c |> b | c |
课堂练习
4. 若α、 β满足−
π
2
<α < β <
例题讲解
例 3． ． 已知−
π
2
≤α < β ≤
π
2
α +β
，求 2
,
α −β
2
. 的取值范围
例题讲解
已知a > b > c > 1 ，设M = a − c， 例 4． ． a +b N = a − b，P = 2( − ab)，比较M、 2 N、P的大小 、P
复习引入 复习引入
比较两实数大小的理论依据是什么？ 问题 1:比较两实数大小的理论依据是什么？ 比较两实数大小的理论依据是什么
问题 2:“作差法”比较两实数的大小的一般步骤 “作差法”比较两实数的大小的一般步骤.
新课讲授
常用的不等式的基本性质
(1) a > b ⇔ b < a (2) a > b, b > c ⇒ a > c (3) a > b ⇒ a + c > b + c
4、一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根、二次函数 y = ax2 + bx+ c(a ≠ 0) 、 、 的根、 的解集有什么关系？ 一元二次不等式 ax2 + bx+ c > 0(或< 0或≥ 0或≤ 0) 的解集有什么关系？
B. a > b
2
2
D. a | c |> b | c |
课堂练习
4. 若α、 β满足−
π
2
<α < β <
《不等关系与不等式》课件1(新人教B版必修5)
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b
am a
(a m)a
作差
ab ma ab bm (a m)a
变形
m(a b) (a m)a
∵ a 、b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
作差
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 变形
7
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) 确定大小
4
例 2 已知 x≠0，比较 (x2 1)2 与 x4 x2 1的大小．
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0
作差比较法
abab0
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
3
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
3.1.1不等关系与不等式
1
不等式的定义：用不等号连接两
个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、 ≤（≯）、≠． (2)解析式是指：代数式和超越式(包 括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集R．
2
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
解: ∵ (x2 1)2 (x4 x2 1)
作差
x4 2x2 1 (x4 x2 1) x2
新人教B版必修五3.1.1《不等关系与不等式》ppt课件
岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。
其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。
作差
x4 2x2 1 (x4 x2 1) x2
变形
∴当 x 0 时, (x2 1)2 (x4 x2 1) 0 定符号
∴当 x 0 时, (x2 1)2 (x4 x2 1) 确定大小
5
例 3 已知 a 、b 、m 都是正数,且 a b ,求证: b m b am a
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b
作差
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 变形
7
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) 确定比较 (x2 1)2 与 x4 x2 1的大小．
解: ∵ (x2 1)2 (x4 x2 1)
您生活愉快! 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。
人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。
其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。
作差
x4 2x2 1 (x4 x2 1) x2
变形
∴当 x 0 时, (x2 1)2 (x4 x2 1) 0 定符号
∴当 x 0 时, (x2 1)2 (x4 x2 1) 确定大小
5
例 3 已知 a 、b 、m 都是正数,且 a b ,求证: b m b am a
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b
作差
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 变形
7
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) 确定比较 (x2 1)2 与 x4 x2 1的大小．
解: ∵ (x2 1)2 (x4 x2 1)
您生活愉快! 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。
人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。
人教版高中数学必修五3.1不等关系与不等式公开课教学课件 (共26张PPT)
500 x 600 y 4000
不等关系为不等式组：
3x y
x0 y0
【提升总结】 1. 将实际的不等关系写成对应的不等 式时，应注意实际问题中关键性的文字语 言与数学符号间的正确转换.
文字语言 大于 小于 大于等于 数学符号 文字语言 数学符号 ≤ ≥
＞
＜
至多
至少 不少于 不多于
x 2.5 0.2 x 20 8 0.1
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成
500mm和600mm两种,按照生产的要求,600mm钢 管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出 满足上述所有不等关系的不等式呢?
解:设截得500mm的钢管数x根,截得600mm的钢管y根，则
如果a>b,c<0,那么ac<bc. 如果a>b,c=0,那么ac=bc.
注意：不等式两边同乘一个正数，不等式方向不变； 不等式两边同乘一个负数，不等式方向相反.
思考：证明不等式的下列性质： 性质5
如果a>b,c>d,则a+c>b+d.
(同向可加性)
注：同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.
证明：
(开方法则)
注意:当不等式两边都是正数时，不等式两 边同时开方所得的不等式和原不等式同向. 以上这些关于不等式的事实和性质是解决 不等式问题的基本依据.
三.不等式的基本性质：
性质1 性质2
a b, b c a c
abba
使用时注意弄 清每条性质的 条件和结论.
性质3
性质4
性质5 性质6 性质7 性质8
如果a>b,b>c,那么a>c.即 (传递性)
人教A版数学必修五3.1《不等关系与不等式》同步课件
3 x
x 0
y
y
0
x,y∈N
考虑到实际问题的意义，还应有x,y∈N
课堂练习1：用不等式表示下面的不等关系：
1.a与b的和是非负数；
a+b≥0
2.某公路立交桥对在一个面积为350平方米的矩形地基
上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ
大于宽Ｗ的4倍．写出L与W的关系
(x2)2(y1)2 ------（2）变形 (x2)2(y1)20----------（3）定号
MN------------------------（4）结论
课堂练习 2:比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的 大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a2 2a 15) (a2 2a 8)
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍；
(3)截得两种钢管的数量都不能为负.
思考：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管
y根。根据题意，应当用什么样的不等式（组）？
上面三个不等关系，是“且”的关系，要同 时满足的话，可以用下面的不等式组来表示：
500 x 600 y 4000
解：c-bb-caa=cb-（ b（ c ca） a） -c（ aaccb） -b
bc ab-ac+ab
c-b（ c a）
bc-ac
c-b（ c
a）
c(b a)
c-b（ c
a）
cab0
cb0,ca0,ba0
c-cb(b（ ca)a）
b 0c-b
a ca
课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？ 谈谈你的体会。
问题1：上面的不等关系是用什么不等词表示的? 问题2：请你举出生活中的一些不等关系的例子 问题3：用怎样的数学语言来表示不等关系？
2015-2016年最新审定人教A版高中数学必修五：3.1《不等关系与不等式(1)》ppt(优秀课件)
[ 答案]
(1)T≤40
d≤20 (2) f≤
2．比较实数大小的依据与方法
(1)比较两个实数a，b大小的依据 ①语言叙述 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是 负数，那么a<b.反之亦然． ②符号表示 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b. 实数的两个特征 ①任意实数的平方不小于0，即对任意a∈R，都有a2≥0； ②任意两个实数可以比较大小．
根，依题意，可得不等式组： 500x＋600y≤4 000 3x≥y x≥0 y≥0
.
[ 方法总结 ] 骤：
用不等式 ( 组) 表示实际问题中不等关系的步
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量； ②列不等关系． 列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么 条件)； ③列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的 关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件)．
某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售， 可以售出 8 万本． 根 据市场调查， 若单价每提高 0.1 元， 销售量就可能相应减少 2 000 本，若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售 的总收入仍不低于 20 万元？
[ 解析]
提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8
x－2.5 － 0.1 ×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为： x－2.5 (8－ 0.1 ×0.2)x≥20.
(1)一桥头竖立的“限重 40t”的警示牌，是提示司机要安 全通过该桥，应使货车总重量 T 不超过 40t，用不等式表示为 ________； (2)某火腿肠的质量检查规定，每 100 克火腿肠中，淀粉含 量 d 不能超过 20 克，防腐剂 f 含量不能超过 0.5 克．用不等式 组表示为________．
人教版高中数学必修五3-1_不等关系与不等式_课件 - 副本
[作业布置]
阳光课堂活页P16 1-8题
人教版高一年级必修五第三章 B<AB
A C
AB+A C>BC
B A
AB-A C<BC
[引经据典]
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理，并且根据 这一原理设计出了一些简单机械，并把它们用到了生活实践当 中。
由此可见，“不相等”处处可见. 从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式．
[提出问题] 在日常生活中，我们经常看到下列标志：
比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3 与 2x； (2)已知 a，b 为正数，且 a≠b，比较 a3＋b3 与 a2b＋ab2 的大 小．
[类题通法] 比较两个代数式大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形； (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号； (4)作出结论． 这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差 →变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．
解析：据题意知，500x＋400y≤20 000，即 5x＋4y≤200， 故选 D.
答案：D
2．若 x≠－2 且 y≠1，则 M＝x2＋y2＋4x－2y 的值与－5 的大小关 系是( ) B．M＜－5 D．M≤－5
A．M＞－5 C．M≥－5
解析：M－(－ 5)＝ x2＋ y2＋4x－2y＋ 5 ＝ (x＋ 2)2＋ (y－1)2， ∵ x≠－2，y≠1，
三
[导入新知] 比较两个实数 a、b 大小的依据
文字语言 如果 a＞b，那么 a－b 是正数； 如果 a＜b，那么 a－b 是负数； 如果 a＝b，那么 a－b 等于 0， 反之亦然 符号表示 a>b⇔a－b>0 a<b⇔a－b<0 a＝b⇔a－b＝0
高中数学必修五：3.1《不等关系与不等式(1)》ppt课件
第三章
3.1 第1课时 不等关系与不等式 不等关系与不等式的性质
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
课前自主预习
购买火车票有一项规定：随同成 人旅行， 身高超过 1.1m(含 1.1m)而不 超过 1.5m 的儿童，享受半价客票、 加快票和空调票 ( 简称儿童票 ) ，超 1.5m 时应买全价票．每一成人旅客 可免费携带一名身高不足 1.1 米的儿 童，超过一名时，超过的人数应买儿 童票．从数学的角度，应如何理解和 表示“不超过”“超过”呢？
实数的两个特征 ①任意实数的平方不小于0，即对任意a∈R，都有a2≥0； ②任意两个实数可以比较大小．
(2)比较两个实数大小的方法 作差比较法 a－b>0⇔a>b a－b<0⇔a<b a－b＝0⇔a ＝b 若数(式)的符 号不明显，作 差后可化为 积商的形式 ①作差 ②变形 ③判断符号 ④下结论 作商比较法 乘方比较法 a a>0， b>0， 且b>1⇒a>b；a2>b2 且 a>0， a b>0⇒a>b a>0，b>0 且b<1⇒a<b 同号两数比较大小或 指数式之间比较大小 ①作商 ②变形 ③判断商值与 1 的大小 ④下结论 要比较的两 数(式)中有根 号 ①乘方 ②用作差比 较法或作商 比较法
成才之路 · 数学
人教A版 · 必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
不等式
化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种 方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通 过变换加以转化，进而解决问题的思想．转化是将数学命题 由一种形式向另一种形式变换的过程，化归是把待解决的问 题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的 问题．化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数 学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题 过程的各个环节中．转化有等价转化与不等价转化．等价转 化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转化，则部分 地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要地修正，进 而得到原问题的解．
高中数学必修五课件：3.1-1《不等关系与不等式》(人教A版必修5)
w 答案：B
w 3．某市环保局为增加城市的绿地面积， 提出两个方案：方案A为 每 年投资20万元； 方案B为 第一年投资5万元，以后每年都比 前一年增加10万元．要表示“经 过 n年之后 方案B的投入不少于方案A的投入”应 列的不 等式为________．(不用化简)
w 4．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为 ________．
w [解] 设提供A药片x片、B药片y片．
w 由题意，得
w 迁移变式1 一个盒子中红、白、黑三种球 分别有x个、y个、z个，黑球个数至少是白 球个数的一半，至多是红球个数的 ，白 球与黑球的个数之和至少为55，试用不等 式将题中的不等关系表示出来．
w [点评] 要比较大小的两个实数中有无理数， 不能直接作差，可作它们的平方差．
w 事实上，要解决上述问题 ，需要用到本章 的知识．本章共分为四节：
w 第一节是不等关系与不等式，教材首先通 过 具体问题 情境，使我们感受到现实 世界 和日常生活中存在着大量的不等关系，然
后提出如何用不等式研究及表示不等关系， 最后给出了不等式的九条基本的性质；
w 第二节是一元二次不等式及其解法，教材 通过观 察具体的二次函数图象及其相应的 一元二次方程的关系，推出了一般的一元
w 迁移变式3 比较下面两个代数式的大小： w (1)x2＋3与3x；
w (2)已知a、b为 正数，且a≠b，比较a3＋b3 与a2b＋ab2.
w [例4] 建筑设计 规 定，民用住宅的窗户面 积 必须小于地板面积．但按采光标准，窗 户 面积与地板面积的比值应 不小于10%， 且这个比值越大，住宅的采光条件就越好， 试 问 ：同时增加相等的窗户面积和地板面 积 ，住宅的采光条件是变好了，还是变坏 了？请说 明理由．
w 3．某市环保局为增加城市的绿地面积， 提出两个方案：方案A为 每 年投资20万元； 方案B为 第一年投资5万元，以后每年都比 前一年增加10万元．要表示“经 过 n年之后 方案B的投入不少于方案A的投入”应 列的不 等式为________．(不用化简)
w 4．已知x<1，则x2＋2与3x的大小关系为 ________．
w [解] 设提供A药片x片、B药片y片．
w 由题意，得
w 迁移变式1 一个盒子中红、白、黑三种球 分别有x个、y个、z个，黑球个数至少是白 球个数的一半，至多是红球个数的 ，白 球与黑球的个数之和至少为55，试用不等 式将题中的不等关系表示出来．
w [点评] 要比较大小的两个实数中有无理数， 不能直接作差，可作它们的平方差．
w 事实上，要解决上述问题 ，需要用到本章 的知识．本章共分为四节：
w 第一节是不等关系与不等式，教材首先通 过 具体问题 情境，使我们感受到现实 世界 和日常生活中存在着大量的不等关系，然
后提出如何用不等式研究及表示不等关系， 最后给出了不等式的九条基本的性质；
w 第二节是一元二次不等式及其解法，教材 通过观 察具体的二次函数图象及其相应的 一元二次方程的关系，推出了一般的一元
w 迁移变式3 比较下面两个代数式的大小： w (1)x2＋3与3x；
w (2)已知a、b为 正数，且a≠b，比较a3＋b3 与a2b＋ab2.
w [例4] 建筑设计 规 定，民用住宅的窗户面 积 必须小于地板面积．但按采光标准，窗 户 面积与地板面积的比值应 不小于10%， 且这个比值越大，住宅的采光条件就越好， 试 问 ：同时增加相等的窗户面积和地板面 积 ，住宅的采光条件是变好了，还是变坏 了？请说 明理由．
高中数学人教版必修5课件：3.1不等关系与不等式(共27张PPT)
性质7：a b 0 a n b n(n N * ,n 2 )
性质8：ab0 nanb(n N *,n2 )
(可开方性)
例 １ :已 知 a>b>0,c<0,求 证 a cb c
已a知 b0,cd0,求证 a： b dc
课堂练习
若a、b、c R，a b，则下列不等式成
立的是
（C ）
A. 1 1 ab
迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主要 实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但你 你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出 是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。 很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看自 尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人生的 上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静等灵 些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所以， 要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接挑战的 社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自己去努 一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至于所有 高自己。看着身边一个个同龄人那么优秀，看着朋友圈的老同学个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，害怕被这个社会抛弃。所以努力、焦躁、急迫这些名词缠绕 变自己，太想早一日成为自己梦想中的那个自己。收藏各种技能学习资料，塞满了电脑各大硬盘；报名流行的各种付费社群，忙的人仰马翻；于是科比看四点钟的洛杉 早起打卡行动。其实……其实我们不觉得太心急了吗？这是有一次自己疲于奔命，病倒了，在医院打点滴时想到的。我时常恐慌，害怕自己浪费时间，就连在医院打点 浪费。想快点结束，所以乘着护士不在，自己偷偷的拨快了点滴速度。刚开始自己还能勉强受得了，过了差不多十分钟，真心忍不住了，只好叫护士帮我调到合适的速 就在想，平时做事和打点滴何尝不是一样，都是有一个度，你太急躁了、太想赶超，身体是受不了的。身体是革命的本钱，我们还年轻，还有大把的时间够我们改变， 前面的那个若是1都不存在了，后面再多的0又有什么用？我是一个急性子，做事风风火火的，所以对于想改变自己，是比任何人都要心急。这次病倒了，个人感觉完全 乎才导致的，病倒换来的努力根本是一钱不值。生病的那几天，我跟自己的大学老师打了一个电话，想让老师帮我解惑一下，自己到底是怎么了。别人也很努力啊，而 为啥他们反到身体倍棒而一无所获的自己却病倒了？老师开着电脑，�
性质8：ab0 nanb(n N *,n2 )
(可开方性)
例 １ :已 知 a>b>0,c<0,求 证 a cb c
已a知 b0,cd0,求证 a： b dc
课堂练习
若a、b、c R，a b，则下列不等式成
立的是
（C ）
A. 1 1 ab
迹往往是执著者造成的。许多人惊奇地发现，他们之所以达不到自己孜孜以求的目标，是因为他们的主要目标太小、而且太模糊不清，使自己失去动力。如果你的主要 实现就会遥遥无期。因此，真正能激励你奋发向上的是确立一个既宏伟又具体的远大目标。实现目标的道路绝不是坦途。它总是呈现出一条波浪线，有起也有落，但你 你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调整计划。这才是明智之举。在自己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出 是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激情。困难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。 很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力陡生。所以，困难不可怕，可怕的是回避困难。大多数人通过别人对自己的印象和看法来看自 尤其正面反馈。但是，仅凭别人的一面之辞，把自己的个人形象建立在别人身上，就会面临严重束缚自己的。因此，只把这些溢美之词当作自己生活中的点缀。人生的 上找寻自己，应该经常自省。有时候我们不做一件事，是因为我们没有把握做好。我们感到自己“状态不佳”或精力不足时，往往会把必须做的事放在一边，或静等灵 些事你知道需要做却又提不起劲，尽管去做，不要怕犯错。给自己一点自嘲式幽默。抱一种打趣的心情来对待自己做不好的事情，一旦做起来了尽管乐在其中。所以， 要尽量放松。在脑电波开始平和你的中枢神经系统时，你可感受到自己的内在动力在不断增加。你很快会知道自己有何收获。自己能做的事，放松可以产生迎接挑战的 社会，面对工作，一切的未来都需要自己去把握。人一定要靠自己。命运如何眷顾，都不会去怜惜一个不努力的人，更不会去同情一个懒惰的人，一切都需要自己去努 一时的享受也只不过是过眼云烟，成功需要自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至于所有 高自己。看着身边一个个同龄人那么优秀，看着朋友圈的老同学个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，害怕被这个社会抛弃。所以努力、焦躁、急迫这些名词缠绕 变自己，太想早一日成为自己梦想中的那个自己。收藏各种技能学习资料，塞满了电脑各大硬盘；报名流行的各种付费社群，忙的人仰马翻；于是科比看四点钟的洛杉 早起打卡行动。其实……其实我们不觉得太心急了吗？这是有一次自己疲于奔命，病倒了，在医院打点滴时想到的。我时常恐慌，害怕自己浪费时间，就连在医院打点 浪费。想快点结束，所以乘着护士不在，自己偷偷的拨快了点滴速度。刚开始自己还能勉强受得了，过了差不多十分钟，真心忍不住了，只好叫护士帮我调到合适的速 就在想，平时做事和打点滴何尝不是一样，都是有一个度，你太急躁了、太想赶超，身体是受不了的。身体是革命的本钱，我们还年轻，还有大把的时间够我们改变， 前面的那个若是1都不存在了，后面再多的0又有什么用？我是一个急性子，做事风风火火的，所以对于想改变自己，是比任何人都要心急。这次病倒了，个人感觉完全 乎才导致的，病倒换来的努力根本是一钱不值。生病的那几天，我跟自己的大学老师打了一个电话，想让老师帮我解惑一下，自己到底是怎么了。别人也很努力啊，而 为啥他们反到身体倍棒而一无所获的自己却病倒了？老师开着电脑，�
人教版必修五第三章3.1.1《不等关系与不等式》(共23张PPT)
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于 2.3%，用不等式可以表示为：( )
A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3%
B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
f ≥ 2.5% C. p ≥ 2.3%
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示 它们之间的不等关系。含有这些不等号的 式子叫做不等式。 数轴上的任意两点中，右边点对应的 实数比左边点对应的实数大。
a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
例1．比较x2－x与x－2的大小。 解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
=(x－1)2+1，
几个两边都是正数的同向不等式的两边 分别相乘，所得的不等式与原不等式同向。
推论2：（性质7）如果a>b>0，则an>bn， (n∈N+，n>1).
性质8如果a>b>0，则，
n
a b
n
(n∈N+，n>1).
常用的不等式的基本性质有: ⑴a b b a ; (对称性) ⑵ a b，b c a c ; (传递性) ⑶ a b a c b c , (可加性)此法则又称为移项法则; a b，c d a c b d (同向不等式可相加) a b，c 0 ac bc ⑷ (可乘性) a b，c 0 ac bc a b 0，c d 0 ac bd (正数同向不等式可相乘)
高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与不等式的性质课件新人教A版必修5-推荐ppt版本
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大 >
不等式
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– 第四>级
» 第五级
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(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac___>___bc. ②如果a>b，c<0，那么ac___<___bc. (5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c___>___b＋d. (6)性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac___>___bd. (7)性质7：如果a>b>0，那么an__>____bn，(n∈N，n≥2)．
(8)性质8：如果a>b>0，那么n a___>___n b，(n∈N，n≥2)．
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A
– 第二级
• 第三级
[解析] M－– N第＝四x2级＋x＋1＝(x＋12)2＋34>0， ∴M>N，故选A»．第五级
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• 第三级
– 第四级 » 第五级
命题方向3 ⇨不等式性质的应用
例题 3 对于实数a、b、c，有下列结论：
①若a＞b，则ac＜bc；
②若ac2＞bc2，则a＞b；
③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；
④若c＞a＞b＞0，则c－a a＞c－b b；
⑤若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0.
其中正确结论的个数
A．2
B．3
C．4
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成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
不等式
化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种 方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通 过变换加以转化，进而解决问题的思想．转化是将数学命题 由一种形式向另一种形式变换的过程，化归是把待解决的问 题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的 问题．化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数 学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题 过程的各个环节中．转化有等价转化与不等价转化．等价转 化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转化，则部分 地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要地修正，进 而得到原问题的解．
第三章
3.1 第1课时 不等关系与不等式 不等关系与不等式的性质
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
课前自主预习
购买火车票有一项规定：随同成 人旅行， 身高超过 1.1m(含 1.1m)而不 超过 1.5m 的儿童，享受半价客票、 加快票和空调票 ( 简称儿童票 ) ，超 1.5m 时应买全价票．每一成人旅客 可免费携带一名身高不足 1.1 米的儿 童，超过一名时，超过的人数应买儿 童票．从数学的角度，应如何理解和 表示“不超过”“超过”呢？
下列命题正确的是( A．a>b，c≠0⇒ac2>bc2 B．a<b⇒ a< b
)
C．a>b 且 c<d⇒a＋c>b＋d D．a>b⇒ac>bc
[答案] A
[解析] ∵c≠0，∴c2>0，又∵a>b， ∴由不等式的性质可得ac2>bc2，故选A．
课堂典例探究
用不等式表示不等关系
某钢铁厂要把长度为 4 000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量 不能超过 500mm 钢管的 3 倍． 试写出满足上述所有不等关系的 不等式． [ 分析] 应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两 种钢管的总长度不能超过4 000mm；②截得600mm钢管的数量 不能超过500mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为 负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
[ 答案]
(1)T≤40
d≤20 (2) f≤0.5
2．比较实数大小的依据与方法
(1)比较两个实数a，b大小的依据 ①语言叙述 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b； 如果a－b是负数，那么a<b.反之亦然．
②符号表示
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.
1.数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的 实数________．
[答案] 大
2．对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么 a________b；如果a－b是负数，那么a________b；如果a－b 等于零，那么a________b. [答案] > < ＝
1.不等关系与不等式 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接 两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号 的式子，叫做不等式．
[ 解析]
设截得 500mm 的钢管 x 根， 截得 600mm 的钢管 y 5x＋6y≤40 3x≥y ，即 x≥0 y≥0
根，依题意，可得不等式组： 500x＋600y≤4 000 3x≥y x≥0 y≥0
(1)一桥头竖立的“限重 40t”的警示牌，是提示司机要安 全通过该桥，应使货车总重量 T 不超过 40t，用不等式表示为 ________； (2)某火腿肠的质量检查规定，每 100 克火腿肠中，淀粉含 量 d 不能超过 20 克，防腐剂 f 含量不能超过 0.5 克．用不等式 组表示为________．
依据
应用 范围
步骤
已知 x<a<0，则一定成立的不等式是( A．x2<a2<0 C．x2<ax<0
)
B．x2>ax>a2 D．x2>a2>ax
[答案] B
[解析] ∵x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两 边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.
3．不等式的性质 (1)性质 1：如果 a>b，那么 b<a； 如果 b<a，那么 a>b. 即 a>b⇔b<a. (2)性质 2：如果 a>b，b>c，那么 a>c. 即 a>b，b>c⇒a>c. (3)性质 3：如果 a>b，那么 a＋c>b＋c.
实数的两个特征 ①任意实数的平方不小于0，即对任意a∈R，都有a2≥0； ②任意两个实数可以比较大小．
(2)比较两个实数大小的方法 作差比较法 a－b>0⇔a>b a－b<0⇔a<b a－b＝0⇔a ＝b 若数(式)的符 号不明显，作 差后可化为 积商的形式 ①作差 ②变形 ③判断符号 ④下结论 作商比较法 乘方比较法 a a>0， b>0， 且b>1⇒a>b；a2>b2 且 a>0， a b>0⇒a>b a>0，b>0 且b<1⇒a<b 同号两数比较大小或 指数式之间比较大小 ①作商 ②变形 ③判断商值与 1 的大小 ④下结论 要比较的两 数(式)中有根 号 ①乘方 ②用作差比 较法或作商 比较法
(4)性质 4：如果 a>b，c>0 那么 ac>bc. 如果 a>b，c<0，那么 ac<bc. (5)性质 5：如果 a>b，c>d，那么 a＋c>b＋d. (6)性质 6：如果 aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb>0，c>d>0，那么 ac>bd. (7)性质 7：如果 a>b>0，那么 an>bn，(n∈N，n≥2)． (8)性质 8：如果 a>b>0，那么 a> b，(n∈N，n≥2)． n n
注意：(1)不等式a≤b应读作“a小于或等于b”，其含义是 指“a<b和a＝b中有一个成立即可”．等价于“a不大于b”， 即若a<b和a＝b中有一个成立，则a≤b成立． (2)不等式a≥b应读作“a大于或等于b”，其含义是指“a>b 和 a ＝ b 中有一个成立即可”，等价于“ a 不小于 b ”，即若 a>b或a＝b中有一个成立，则a≥b成立．
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
不等式
化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种 方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通 过变换加以转化，进而解决问题的思想．转化是将数学命题 由一种形式向另一种形式变换的过程，化归是把待解决的问 题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的 问题．化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数 学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题 过程的各个环节中．转化有等价转化与不等价转化．等价转 化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转化，则部分 地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要地修正，进 而得到原问题的解．
第三章
3.1 第1课时 不等关系与不等式 不等关系与不等式的性质
1
课前自主预习
2
课堂典例探究
3
课 时 作 业
课前自主预习
购买火车票有一项规定：随同成 人旅行， 身高超过 1.1m(含 1.1m)而不 超过 1.5m 的儿童，享受半价客票、 加快票和空调票 ( 简称儿童票 ) ，超 1.5m 时应买全价票．每一成人旅客 可免费携带一名身高不足 1.1 米的儿 童，超过一名时，超过的人数应买儿 童票．从数学的角度，应如何理解和 表示“不超过”“超过”呢？
下列命题正确的是( A．a>b，c≠0⇒ac2>bc2 B．a<b⇒ a< b
)
C．a>b 且 c<d⇒a＋c>b＋d D．a>b⇒ac>bc
[答案] A
[解析] ∵c≠0，∴c2>0，又∵a>b， ∴由不等式的性质可得ac2>bc2，故选A．
课堂典例探究
用不等式表示不等关系
某钢铁厂要把长度为 4 000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量 不能超过 500mm 钢管的 3 倍． 试写出满足上述所有不等关系的 不等式． [ 分析] 应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两 种钢管的总长度不能超过4 000mm；②截得600mm钢管的数量 不能超过500mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为 负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
[ 答案]
(1)T≤40
d≤20 (2) f≤0.5
2．比较实数大小的依据与方法
(1)比较两个实数a，b大小的依据 ①语言叙述 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b； 如果a－b是负数，那么a<b.反之亦然．
②符号表示
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.
1.数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的 实数________．
[答案] 大
2．对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么 a________b；如果a－b是负数，那么a________b；如果a－b 等于零，那么a________b. [答案] > < ＝
1.不等关系与不等式 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接 两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号 的式子，叫做不等式．
[ 解析]
设截得 500mm 的钢管 x 根， 截得 600mm 的钢管 y 5x＋6y≤40 3x≥y ，即 x≥0 y≥0
根，依题意，可得不等式组： 500x＋600y≤4 000 3x≥y x≥0 y≥0
(1)一桥头竖立的“限重 40t”的警示牌，是提示司机要安 全通过该桥，应使货车总重量 T 不超过 40t，用不等式表示为 ________； (2)某火腿肠的质量检查规定，每 100 克火腿肠中，淀粉含 量 d 不能超过 20 克，防腐剂 f 含量不能超过 0.5 克．用不等式 组表示为________．
依据
应用 范围
步骤
已知 x<a<0，则一定成立的不等式是( A．x2<a2<0 C．x2<ax<0
)
B．x2>ax>a2 D．x2>a2>ax
[答案] B
[解析] ∵x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两 边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.
3．不等式的性质 (1)性质 1：如果 a>b，那么 b<a； 如果 b<a，那么 a>b. 即 a>b⇔b<a. (2)性质 2：如果 a>b，b>c，那么 a>c. 即 a>b，b>c⇒a>c. (3)性质 3：如果 a>b，那么 a＋c>b＋c.
实数的两个特征 ①任意实数的平方不小于0，即对任意a∈R，都有a2≥0； ②任意两个实数可以比较大小．
(2)比较两个实数大小的方法 作差比较法 a－b>0⇔a>b a－b<0⇔a<b a－b＝0⇔a ＝b 若数(式)的符 号不明显，作 差后可化为 积商的形式 ①作差 ②变形 ③判断符号 ④下结论 作商比较法 乘方比较法 a a>0， b>0， 且b>1⇒a>b；a2>b2 且 a>0， a b>0⇒a>b a>0，b>0 且b<1⇒a<b 同号两数比较大小或 指数式之间比较大小 ①作商 ②变形 ③判断商值与 1 的大小 ④下结论 要比较的两 数(式)中有根 号 ①乘方 ②用作差比 较法或作商 比较法
(4)性质 4：如果 a>b，c>0 那么 ac>bc. 如果 a>b，c<0，那么 ac<bc. (5)性质 5：如果 a>b，c>d，那么 a＋c>b＋d. (6)性质 6：如果 aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb>0，c>d>0，那么 ac>bd. (7)性质 7：如果 a>b>0，那么 an>bn，(n∈N，n≥2)． (8)性质 8：如果 a>b>0，那么 a> b，(n∈N，n≥2)． n n
注意：(1)不等式a≤b应读作“a小于或等于b”，其含义是 指“a<b和a＝b中有一个成立即可”．等价于“a不大于b”， 即若a<b和a＝b中有一个成立，则a≤b成立． (2)不等式a≥b应读作“a大于或等于b”，其含义是指“a>b 和 a ＝ b 中有一个成立即可”，等价于“ a 不小于 b ”，即若 a>b或a＝b中有一个成立，则a≥b成立．