11.3证明(1)
11.3.1多边形说课稿 2022-2023学年人教版数学八年级上册
11.3.1 多边形说课稿一. 说课内容本节课程是2022-2023学年人教版数学八年级上册的《多边形》第十一章第三节的第一部分，包括知识点的讲解、示例的演示和练习的完成。
本节课主要内容是介绍多边形的定义、分类和性质，帮助学生了解和掌握多边形的基本概念和特征。
二. 说课目标1.知识与能力目标：–通过讲解和示例，使学生掌握多边形的定义和基本性质；–能够辨认和分类不同种类的多边形；–能够应用多边形的性质进行相关问题的解决。
2.过程与方法目标：–采用示例引入、归纳总结等教学方法，激发学生的学习积极性；–引导学生通过观察、思考和实践，探索多边形的特征和性质；–注重学生的互动参与，培养学生的合作意识和团队意识。
3.情感态度价值观目标：–培养学生对数学的兴趣和好奇心，提高他们的数学思维能力；–培养学生的观察、分析和解决问题的能力，培养他们的逻辑思维和创新意识；–培养学生的团队合作和积极参与的精神，培养他们的沟通和表达能力。
三. 教学重点与难点本节课的教学重点是让学生掌握多边形的定义和基本性质，以及应用多边形的性质进行问题解决。
教学难点是帮助学生理解多边形的概念和特征，并能够灵活应用多边形的性质进行推理和证明。
四. 教学准备•PowerPoint课件和投影仪；•教学素材：多边形的示例图片、多边形相关问题的练习；•板书工具和板书设计：多边形的定义和基本性质，多边形分类的归纳总结。
五. 教学过程1. 导入新课（5分钟）通过展示多边形的图片，引发学生对多边形的认知，引导他们思考多边形的特征和性质。
学生观察图片后，老师提问并引导讨论，引出多边形的定义和基本概念。
2. 讲解多边形的定义与基本性质（10分钟）通过PPT课件，给出多边形的定义，并引导学生分析多边形名称的含义。
然后介绍多边形的基本性质，包括多边形边数、角数以及顶点数的确定方法。
3. 分类讨论不同种类的多边形（15分钟）通过示例演示，引导学生观察和分类不同种类的多边形。
角平分线的性质(1)课堂实录
第6课时11.3角平分线的性质（1）课堂实录角平分线的性质(1)…工厂里有些图片不能折，故不适合用这个方法，那么工作是怎么样画出一个角的平分线的呢？请看他们的操作过程：尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：A ＢＯＭＮＣ画法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．A ＢＭＮＣ为什么OC 是角平分线呢？O Ｏ想一想：已知：OM=ON ，MC=NC 。
求证：OC 平分∠AOB 。
证明：在△OMC 和△ONC 中，OM=ON ，MC=NC ，OC=OC ，∴△OMC ≌△ONC （SSS ）∴∠MOC=∠NOC 即：OC 平分∠AOB 请大家准备练习本，圆规，尺等工具准备上课师：大家拿出一张纸折一个角出来，然后折出这个角的平分线！学生活动，教师巡视师：同学1：你演示一下你的操作过程好吗！同学1：上讲台演示。
师：很好，给点掌声。
师：工厂里有些图片不能折，故不适合用这个方法，那么工作是怎么样画出一个角的平分线的呢？教师出示多媒体，需要作图中角的平分线，师：工人采取的办法是：教师出示多媒体展示工人的操作。
并从图中告知工具中哪些线段是相等的！师：提问：为什么这种方法画出的射线是所求呢？生2：这可以用SSS 定理得以证明师；具体说说生2在屏幕上指示两个三角形三边对应相等的条件，说明所画射线可以平分所研究的角。
师：很好，你真能动脑！师：根据工人作角平分线的原理，你能设计出画一个角平分线的方法吗？小组讨论激烈。
生3：我们组研究的办法是；在OA 上画1cm 线段OM,在OB 上画1cm 线段ON,再在M,N 的正中画一点C ，那么OC 就是角平分线。
师；哪里是正中？生3；就是不左不右嘛笑声。
师：是不是一定要在OA ，OB 上取1cm 线段？生4：不必，只需要让OM ＝ON 就行了！生5；然后只要保证MC ＝NC 就定下了C生3：很激动，是，我也是这个意思。
一元二次方程根与系数的关系(11.3)
一元二次方程根与系数的关系一、验根1．判断下列各方程后面括号内的两个数是不是前面方程的根。
（1）x2+5x+4=0 (1,4)；（2）2x2-3x+1=0 (12,1)；（3）x2+5x=6 (2,3)；（4）x2-(√3+√2)x+√6=0 (√3,√2)。
二、不解方程，直接找出方程的两根之和与积1．3x2-2x-1=0的两根之积为，两根之和为。
2．3x2-x=0的两根之积为。
3．2x2-1=0的两根之积为。
4．2x2+(√3-4)x-2√3=0的两根之和为。
5．3x2-2(x+1)=2的两根之和为，两根之积为。
6．若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为相反数，则b= 。
7．若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为负倒数，则b= 。
8．若ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为零，则c= 。
9．若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根都为零，则b= ，c= 。
10．已知关于x的一元二次方程x2-px+6=0的两根恰是一矩形的长和宽，则这个矩形的面积= 。
三、求有关根的式子的值1．已知方程x2+4x-6=0的两个根是α和β，求下列代数式的值。
(1)（α+2）（β+2）；(2)α2β+β2α； (3)1α+1β； (4)α2+β2；(5)（α-β）2；（6）βα+αβ； (7)α3+β3； (8)|α-β|； (9)α-β。
2．已知x2+11x+16=0的两根为x1, x2；求√x2x1+√x1x2的值。
3．已知实数a，b满足a2-a-11=0，b2-b-11=0，且a≠b，求a2+b2的值。
4．已知a4+2a2-5=0,1b2+2b-5=0，且a2≠1b，求ba4+a2b2的值。
5．若ab≠1且实数a，b满足5a2+2001a+2000=0和2000b2+2001b+5=0，则ab= 。
6．设实数a，b分别满足19a2+99a+1=0，b2+99b+19=0，且ab≠1，求ab+4a+1b的值。
测试标准综合版11.3.11
90(ISO) 24小時1%鹽霧95%相對濕度,無銹蝕 (Shall withstand 24 hours In 1% Salt Spray(Fog) With No Corrosion or visual change)
工藝(workmanship ) 工藝 產品外觀做工(workmanship ) 產品外觀做工
不可變形,沒有尖邊利角,表皮不能皺,沒有油漆和染色 無缺陷(NO major defects ,sharp points 缺陷,無擦傷毀壞,顏色均勻平坦,無開口線,無玷污,附 or hazards) 件無脫落現在 無尖邊利角等缺陷 Sb: 銻-60PPM; As: 砷-25PPM; Ba: 鋇-1000PPM; Cd: 鎘-75PPM; Pb: 鉛-90ppm; Cr: 鉻-60; Hg: 汞60ppm; Se: 硒-500ppm 8类重金屬. 無缺陷
里程測試(Wearproof test )
4KM/HR * 8HR無異常(No Abnormal)
測試拉杆輪子的強度(Wearproof tபைடு நூலகம்st)
摔箱測試(Drop test)
頂面/底面/側面/頂角/單輪著地 (top,bottom,gusset,top coner/single handle touchfloor) 5角度定高60CM各摔5次(5 point 60cm need drop 5times)
測試其箱體承受的強度 (Drop test)
翻到测试（Tip-Over Test）(滚筒）
在负重情况下在不小于4lbs力的作用下使其在一英寸 的障碍物下翻倒，结构功能未有损坏。
色牢度(干濕摩擦 色牢度 干濕摩擦)(Colorfastness--Crocking(dry/wet) 干濕摩擦 (Dry)干4(wet)濕3
《11.3.1 多边形》教学设计教学反思-2023-2024学年初中数学人教版12八年级上册
《多边形》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 掌握多边形的定义和基本性质。
2. 学会运用多边形的基本性质进行问题解决。
3. 培养观察、分析和抽象思维的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：多边形的定义和性质的理解与应用。
2. 教学难点：多边形内角和外角的计算以及多边形形状的判断。
三、教学准备准备教学用PPT，准备多边形模型，准备几何工具以便学生动手操作。
四、教学过程：本节课的教学设计主要分为以下几个环节：1. 引入新课起首，我会回顾之前学过的三角形相关知识，帮助学生回忆三角形的边和角，并引导学生思考多边形的基本特征。
通过引导学生观察身边的多边形物体，让学生感受多边形在生活中的广泛应用，激发学生对多边形的学习兴趣。
2. 探索新知接下来，我将引导学生探索多边形的定义和性质。
通过展示不同形状的多边形，让学生观察它们的共同特征，并引导学生通过观察、测量、比较等方法，归纳出多边形的定义和性质。
在此过程中，我会鼓励学生积极参与讨论，培养学生的观察能力和推理能力。
3. 实践操作为了加深学生对多边形性质的理解，我将组织学生进行实践操作。
通过设计一些与多边形相关的实际问题，让学生运用所学知识解决实际问题。
例如，让学生设计一个多边形图案，并计算其面积或周长等。
通过实践操作，学生可以更好地掌握多边形的性质和应用。
4. 教室小结最后，我将引导学生对本节课所学知识进行总结和归纳。
通过回顾多边形的定义、性质和应用，帮助学生稳固所学知识，并培养学生的总结能力和归纳能力。
同时，我也会强调多边形在平时生活中的应用和价值，鼓励学生将所学知识应用到实际生活中。
在每个环节中，我都会注重学生的参与度和教学效果，采用多种教学方法和手段，激发学生的学习兴趣和积极性。
同时，我也会关注学生的个体差别，根据学生的实际情况调整教学策略，确保每个学生都能在教室中获得进步和发展。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 学生能够熟练掌握多边形的内角和公式，并能够运用该公式计算多边形的内角和。
人教版数学八年级上册 《11.3 多边形及其内角和》 同步训练题 (1)
《11.3 多边形及其内角和》同步训练题基础题训练（一）：限时30分钟1．如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．（1）求证：AD⊥AC；（2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．2．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处【感知】如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是；【探究】如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【拓展】如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，则∠A的大小为．3．【知识回顾】：如图①，在△ABC中，根据三角形内角和定理，我们知道∠A+∠B+∠C＝180°．如图②，在△ABC中，点D为BC延长线上一点，则∠ACD为△ABC的一个外角．请写出∠ACD与∠A、∠B的关系，直接填空：∠ACD＝．【初步运用】：如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点．（1）若∠A＝70°，∠DBC＝150°，则∠ACB＝°．（直接写出答案）（2）若∠A＝70°，则∠DBC+∠ECB＝°．（直接写出答案）【拓展延伸】：如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点．（1）若∠A＝70°，∠P＝150°，则∠DBP+∠ECP＝°．（请说明理由）（2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O＝40°，求出∠A和∠P 之间的数量关系，并说明理由．（3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A＝∠P，求证：BM∥CN．4．如图，已知四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB．试判断∠AEF与∠CFE是否相等？并证明你的结论．5．如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D＝210°（1）∠DAB+∠CBA＝度；（2）若∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点E，求∠E的度数．基础题训练（二）：限时30分钟6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE∥DF，∠1＝∠2．求证：∠3＝∠4．7．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数；（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）8．（1）如图1，在△ADC中，∠ADC的平分线和∠ACD的外角平分线交于点P，若∠ADC＝70°，∠ACD＝50°，求∠P的度数．（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，∠A＝90°，∠B＝150°，求∠P的度数．（3）如图3，若将（2）中“∠A＝90°，∠B＝150°”改为“∠A＝α，∠B＝β”，其余条件不变，直接写出∠P与α+β之间的数量关系．9．三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图1，点D为BC延长线上一点，则∠ACD为△ABC的一个外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B证明：过点C作CE∥AB（过直线外一点）∴∠B＝∠A＝∵∠ACD＝∠1+∠2∴∠ACD＝∠+∠B（等量代换）应用：如图2是一个五角星，请利用上述结论求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值为10．如图1，在∠A内部有一点P，连接BP、CP，请回答下列问题：①求证：∠P＝∠1+∠A+∠2；②如图2，利用上面的结论，在五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝；③如图3，如果在∠BAC间有两个向上突起的角，请你根据前面的结论猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之间有什么等量关系，直接写出结论即可．基础题训练（三）：限时30分钟11．观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：（1）将下面的表格补充完整：正多边形边数3 4 5 6 …∠a的度数…10°（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．12．阅读材料：如图1，点A是直线MN上一点，MN上方的四边形ABCD中，∠ABC＝140°，延长BC，2∠DCE＝∠MAD+∠ADC，探究∠DCE与∠MAB的数量关系，并证明．小白的想法是：“作∠ECF＝∠ECD（如图2），通过推理可以得到CF∥MN，从而得出结论”请按照小白的想法完成解答：拓展延伸保留原题条件不变，CG平分∠ECD，反向延长CG，交∠MAB的平分线于点H（如图3），设∠MAB＝α，请直接写出∠H的度数（用含α的式子表示）．13．（1）思考探究：如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P 点，请探究∠P与∠A的关系是．（2）类比探究：如图②，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，α+β＞180°，四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线相交于点P．求∠P的度数．（用α，β的代数式表示）（3）拓展迁移：如图③，将（2）中α+β＞180°改为α+β＜180°，其它条件不变，请在图③中画出∠P，并直接写出∠P＝．（用α，β的代数式表示）14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，且CE交AD 于点F，∠EAD和∠ECD的角平分线相交于点P．（1）求证：①AB∥CD；②∠EAD+∠ECD＝2∠APC；（2）若∠B＝70°，∠E＝60°，求∠APC的度数；（3）若∠APC＝m°，∠EFD＝n°，请你探究m和n之间的数量关系．15．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，点E在AB边上，DE平分∠ADC，且∠ADE＝∠DEA．（1）求证：AD∥BC；（2）如图2，已知DF⊥BC交BC边于点G，交AB边的延长线于点F，且DB平分∠EDF．若∠BDC＜45°，试比较∠F与∠EDF的大小，并说明理由．参考答案1．解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，在△ABD中，∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，∵∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB+∠BAD＝180°，即∠ACB+∠BAC+∠CAD＝180°，∴∠CAD＝90°，∴AD⊥AC．（2）∠BAC＝2∠ACD；∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣（∠BCD﹣∠ACD），∵∠DAC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣∠ACD，∵∠ADC＝∠BCD，∴∠BCD＝90°﹣∠ACD，∴∠BAC＝90°﹣（90°﹣∠ACD﹣∠ACD）＝2∠ACD．2．解：（1）如图①，∠1＝2∠A．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A．（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折叠知识可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2．（3）如图③，∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠A′+∠2，∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，∴2∠A＝∠1﹣∠2＝56°，解得∠A＝28°．故答案为：∠1＝2∠A；28°．3．解：【知识回顾】∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACD＝∠A+∠B；故答案为：∠A+∠B；【初步运用】（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠A＝70°，∠DBC＝150°，∴∠ACB＝∠DBC﹣∠A＝150°﹣70°＝80°；故答案为：80；（2）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝110°，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣110°＝250°，故答案为：250；【拓展延伸】（1）如图④，连接AP，∵∠DBP＝∠BAP+∠APB，∠ECP＝∠CAP+∠APC，∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC＝∠BAC+∠BPC，∵∠BAC＝70°，∠BPC＝150°，∴∠DBP+∠ECP＝∠BAC+∠BPC＝70°+150°＝220°，故答案为：220；（2）∠A和∠P之间的数量关系是：∠P＝∠A+80°，理由是：如图⑤，设∠DBO＝x，∠OCE＝y，则∠OBP＝∠DBO＝x，∠PCO＝∠OCE＝y，由（1）同理得：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P，2∠A+2∠O＝∠A+∠P，∵∠O＝40°，∴∠P＝∠A+80°；（3）证明：如图，延长BP交CN于点Q，∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP，∴∠DBP＝2∠MBP，∠ECP＝2∠NCP，∵∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，∠A＝∠BPC，∴2∠MBP+2∠NCP＝∠A+∠BPC＝2∠BPC，∴∠BPC＝∠MBP+∠NCP，∵∠BPC＝∠PQC+∠NCP，∴∠MBP＝∠PQC，∴BM∥CN．4．解：∠AEF＝∠CFE．证明：∵∠D＝∠B＝90°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，又∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，∴∠DAE＝∠DAB，∠DCF＝∠DCB，∴∠DAE+∠DCF＝（∠DAB+∠DCB）＝90°，∵∠D＝90°，∴∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠DEA＝∠DCF，∴AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE．5．解：（1）∵∠DAB+∠CBA+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠CBA＝360°﹣（∠C+∠D）＝360°﹣210°＝150°．故答案为：150；（2）∵∠DAB与∠ABC的平分线交于四边形内一点E，∴∠EAB＝∠DAB，∠EBA＝∠ABC，∴∠E＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝180°﹣（∠DAB+∠CBA）＝180°﹣（360°﹣∠C﹣∠D）＝（∠C+∠D），∵∠C+∠D＝210°，∴∠E＝（∠C+∠D）＝105°．6．证明：∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵BE∥DF，∴∠2＝∠5，∠AEB＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠5，∴∠AEB＝∠4，∴∠3＝∠4．7．解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了180×5度，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．8．解：（1）如图1，在射线DC上取一点E，∵∠ADC的平分线和∠ACD的平分线交于点P，∴，，∴∠P＝∠PCE﹣∠PDC＝30°；（2）如图2，在射线DC上取一点E，∵∠ADC的平分线和∠BCD的外角平分线交于点P，∴，，∴∠P＝∠PCE﹣∠PDC＝＝＝＝＝＝30°；（3）．9．证明：过点C作CE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）∴∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等），∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），∵∠ACD＝∠1+∠2，∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）应用：对于△BDN，∠MNA＝∠B+∠D，对于△CEM，∠NMA＝∠C+∠E，对于△ANM，∠A+∠MNA+∠NMA＝180°，∴∠A+∠B+∠D+∠C+∠E＝180．故答案为：有且只有一条直线与已知直线平行；∠2（两直线平行，同位角相等）；∠1（两直线平行，内错角相等）；A；180°10．解：①连接AP并延长，则∠3＝∠2+∠BAP，∠4＝∠1+∠PAC，故∠BPC＝∠1+∠A+∠2；②利用①中的结论，可得∠1＝∠A+∠C+∠D，∵∠2＝∠B+∠E，∵∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．③连接AP、AD、AG并延长，同①由三角形内角与外角的性质可求出∠4+∠5＝∠1+∠2+∠3+∠BAC．故答案为：180°．11．解：（1）填表如下：正多边形的边数 3 4 5 6 (18)∠α的度数60°45°36°30°…10°故答案为：60°，45°，36°，30°，18；（2）不存在，理由如下：假设存在正n边形使得∠α＝21°，得∠α＝（）°＝21°，解得：n＝8，又n是正整数，所以不存在正n边形使得∠α＝21°．12．解：阅读材料：延长CB交MN于点T，∵∠ECF＝∠ECD，2∠DCE＝∠MAD+∠ADC，∴2∠ECD＝∠MAD+∠ADC＝360°﹣∠CTA﹣∠DCT＝360°﹣（180°﹣∠MTC）﹣（180°﹣∠ECD）＝∠MTC+∠ECD，∴∠ECD＝∠MTC，∴∠ECF＝∠MTC，∴CF∥MN，∵∠ABC＝140°，∴∠ABT＝40°，∴∠MTC＝∠MAB+40°，即∠DCE＝∠MAB+40°；拓展延伸：∠H＝360°﹣∠CDA﹣∠MAB﹣∠DAB﹣∠HCD＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠ECD）﹣∠MAB﹣（180°﹣∠ECD）]＝180°﹣（∠ECD﹣∠MAB），∵∠DCE＝∠MAB+40°，∴∠H＝180°﹣（∠MAB+60°），∵∠MAB＝α，∴∠H＝120°﹣α．13．解：（1）如图1中，结论：2∠P＝∠A．理由：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC，∵P点是∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，∴2∠PCD＝∠ACD，2∠PBC＝∠ABC，∴2（∠P+∠PBC）＝∠A+∠ABC，2∠P+2∠PBC＝∠A+∠ABC，2∠P+∠ABC＝∠A+∠ABC，∴2∠P＝∠A；（2）如图2中，解法一：由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性质得∠PCE＝∠P+∠PBC，∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCE的平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠DCE，∴∠P+∠PBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，∴∠P＝（∠A+∠D）﹣90°，∵∠A＝α，∠D＝β，∴∠P＝（α+β）﹣90°；解法二：延长BA交CD的延长线于F．∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA＝180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣β）＝α+β﹣180°，由（1）可知：∠P＝∠F，∴∠P＝（α+β）﹣90°；②如图3，延长AB交DC的延长线于F．∵∠F＝180°﹣α﹣β，∠P＝∠F，∴∠P＝（180°﹣α﹣β）＝90°﹣α﹣β．故答案为：2∠P＝∠A；90°﹣α﹣β．14．解：（1）证明：①∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠D，∴AB∥CD；②过点P作PQ∥AB，则∠EAP＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠DCP＝∠CPQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠DCP＝∠CPQ，∵∠EAP＝∠EAD，∠DCP＝，∴；（2）由（1）知AD∥BC，AB∥CD，∴∠EAD＝∠B＝70°，∠ECD＝∠E＝60°，由（1）知∠EAD+∠ECD＝2∠APC，∴∠APC＝；（3）过点F作FH∥AB，则∠EAD＝∠AFH，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠ECD＝∠CFH，∴∠EAD+∠ECD＝∠AFH+∠CFH＝∠AFC＝∠EFD，由（1）知∠EAD+∠ECD＝2∠APC，∴∠EFD＝2∠APC，∵∠APC＝m°，∠EFD＝n°，∴．15．解：（1）证明：∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠DEA，∴∠CDE＝∠DEA，∴CD∥AB，∴∠B+∠C＝180°，又∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵DF⊥BC，∴∠BGF＝90°，又∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠BGF＝90°，∵CD∥AB，∴∠CDF＝∠F．设∠EDB＝∠BDF＝x°，∠CDF＝∠F＝y°，则∠EDF＝2x°，∠ADE＝∠EDC＝（2x+y）°，由∠ADF＝∠ADE+∠EDF，得2x+y+2x＝90，∴y＝90﹣4x，∴∠F﹣∠EDF＝y°﹣2x°＝90°﹣4x°﹣2x°＝90°﹣6x，∵∠BDC＜45°，∴x+y＜45°，x+90﹣4x＜45，解得x＞15，∴6x＞90．∴∠F﹣∠EDF＝90°﹣6x°＜0，∴∠F＜∠EDF．。
高中数学第十一章立体几何初步11.3空间中的平行关系11.3.1平行直线与异面直线
∴DE 綉13AC，∴DE＝13a.
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三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，12、 13、15 题各 12 分，14 题 6 分，共 42 分
12．在正方体 ABCD-A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分 别是 AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
(1)证明：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′； (2)求S△SA△′ABB′CC′的值．
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解：(1)证明：∵AA′与 BB′相交于 O 点，且OAAO′＝OBBO′， ∴AB∥A′B′. 同理 AC∥A′C′，BC∥B′C′. (2)∵AB∥A′B′，AC∥A′C′且 AB 和 A′B′，AC 和 A′C′的方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′. 同理∠ABC＝∠A′B′C′，因此△ABC∽△A′B′C′， 又A′ABB′＝AA′OO＝23.∴S△SA△′ABB′CC′＝232＝49.
解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注 意和等角定理的区别．
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4．E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 四条边的中点，则 EG 与 FH 的位置关系是( C )
A．异面 B．平行 C．相交 D．重合
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解析：由平行的传递性知①正确； 若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 可能平行，也可能相 交或异面，②错误； 若平面 α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则 a∥b，③错 误．
11.3探索三角形全等的条件(1)(SAS)
B
C
∠1 ∠2 ______=________( 对顶角相等 ) BO=CO(已知 已知) 已知 ∴ △AOB≌△DOC（ SAS ） ≌ （
如图，已知 ＝ ， ＝ 。 如图，已知AB＝AC，AD＝AE。 求证：∠B＝∠C 求证： ＝ 证明： 证明：在△ABD和△ACE中 E 和 中 已知） AB＝AC（已知） 公共角） B ∠A＝∠A（公共角） AD＝AE（已知） A 已知） ∴△ABD≌△ACE（SAS） ≌ （ ） ∴∠B＝ ∴∠ ＝∠C（全等三角形 （ 对应角相等） 对应角相等）
C
它既是△ACB
看看线 段AB AB
的一条边, 的一条边
A
△ACB 和△ADB的 ADB的 公共边
B
D 又是△ADB
的一条边
已知: 例1已知
如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 如图 ∠ ∠ 求证: 求证 △ACB ≌ △ADB.
C
证明: 证明
在△ACB 和 △ADB中 中 AC = A D ∠CAB=∠DAB ∠
1、全等三角形的定义？ 全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形
2、全等三角形的性质？ 全等三角形的性质
A A’ ∠A=∠A’ ∠A=∠A’ ∠B=∠B’ ∠B=∠B’ ∠C=∠C’ ∠C=∠C’ AB=A’ AB=A’B’ BC=B’ BC=B’C’ AC=A’C’ AC=A’ B’ C’
S ——边 ——边
A——角 ——角
三角形全等判定方法1 三角形全等判定方法1 两边和它们的夹角对应相等的两个三 角形全等。简写成“边角边” SAS” 角形全等。简写成“边角边”或“SAS” 用符号语言表达为： 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 与 中 AB=DE
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思全册第11章 三角形(11.3.1 多边形教案
第十一章三角形11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形一、教学目标【知识与技能】了解多边形的有关概念,理解正多边形和有关概念.【过程与方法】经历动手、作图的过程,进一步发展空间能力.【情感态度与价值观】经历探索、归纳等过程,学会研究问题的方法.二、课型新授课三、课时第1课时四、教学重难点【教学重点】1.了解多边形的边、顶点、内角、外角、对角线等有关概念.2.了解正多边形的基本性质.【教学难点】1.在多边形的概念中，对“在同一平面内”的理解.2.对多边形对角线的理解.3.对正多边形性质的理解.五、课前准备教师：课件、三角尺、多边形图片等。
学生：三角尺、直尺、多边形纸片。
六、教学过程（一）导入新课在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？（出示课件2-4）（二）探索新知1.师生互动，探究多边形的定义及其有关概念教师问1：观察下面的图片，你能找到哪些我们熟悉的图形？学生回答：三角形、长方形、正方形、平行四边形、五边形、六边形、八边形等.教师讲解引入多边形：上面这些图形我们要给出一个统一的名称，称它们为多边形.那么到底什么是多边形呢？我们先回忆一下三角形的定义.教师问2：同学们想一想，什么是三角形呢？学生回答：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.做一做教师讲解：请同学们拿出准备好的材料，随意画几个多边形.教师问3：观察画多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？学生回答：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫多边形.（出示课件6）教师问4：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？学生交流，教师讲解并强调“在平面内”，并总结：这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.根据边数的多少来命名为，有四条边就是四边形，有五条边就是五边形，依次命名为六边形、七边形、八边形…学生问：观察这个多边形，为什么有一条边是虚线？教师回答：虚线代表的是“不止一条边”，所以这个图形不仅可以代表七边形，也可以代表八边形、九边形等任意一个多边形.教师问5：根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角和对角线.学生讨论回答，教师引导如下：内角：多边形相邻两边组成的角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.对角线：连接多边形两个顶点的线段教师问6：多边形按边数分类，可以分为哪一些呢？学生回答：多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.（出示课件8）教师总结如下：(1)多边形的分类:多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形就叫做n边形. 其中,三角形是最简单的多边形.如图所示的多边形记作五边形ABCDE.(2)多边形的边:所连接的线段叫做多边形的边. 如图中的AB、BC、CD、DE、EA都是五边形ABCDE的边.(3)多边形的角:①内角:多边形相邻的两边所组成的角叫做多边形的内角,如图中的∠EAB、∠ABC、∠BCD、∠CDE、∠DEA都是五边形ABCDE的内角;n 边形共有n个内角.②外角:多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角,如图中的∠DCF是五边形ABCDE的一个外角.n边形共有2n个外角,其中每个顶点处有两个相等的外角,这两个外角是对顶角.(4)多边形的对角线:多边形不相邻的两个顶点的连线组成的线段叫做多边形的对角线. 如图中,AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线.教师问7：回想三角形的表示方法，多边形应如何表示？学生讨论回答并得出结论.多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序.（出示课件7）教师问8：请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得到什么结论？学生讨论回答，并得出结论：如图（2）这样，此类多边形被一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧是凹多边形.如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形.（出示课件9）例：凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明．师生共同解答如下：（出示课件10）解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，∴新多边形的边数为7、5、6三种情况，如图所示.总结点拨：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条.①从所截角的两边截，边数增加1.②从所截角的相邻两角的顶点截，边数减少1.③从所截角的一边及相邻角的顶点截，边数不变.2.动手画图，寻找多边形对角线的特征教师问9：三角形有对角线吗？为什么？学生回答：三角形没有对角线，因为三角形只有三个顶点，而这三个顶点是两两相邻的，它没有不相邻的顶点，所以没有对角线.教师问10：四边形有对角线，过四边形的一个顶点有几条对角线？学生画图并回答：过四边形的一个顶点有1条对角线.（如下图所示）教师问11：过五边形的一个顶点有几条对角线？学生回答：过五边形的一个顶点有2条对角线.(如下图所示)（出示课件13）教师问12：请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数，并看一下边数与对角线的条数之间有何规律？多边形三角形四边形五边形六边形八边形n边形从同一顶点引出的对角线的条数0 1 2 3 5 n-3分割出的三角形的个数1 2 3 4 6 n-2学生动手操作并回答（如上表数字）教师问13：每个多边形被过同一顶点的对角线分为几个三角形？学生观察并回答（如上表数字）（出示课件14）教师指导学生完成下列问题：（1）学生画一画画出下列多边形的全部对角线.（出示课件17）（2）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，解答下列问题：教师问14：十边形有多少条对角线？n边形呢？（出示课件18）学生解答如下：（出示课件19）解：∵四边形的对角线条数为4×(4－3)×1＝2.2＝5.五边形的对角线条数为5×(5－3)× 12＝9.六边形的对角线条数为6×(6－3)× 12∴十边形的对角线条数为10×(10－3)× 1＝35.2n(n－3) .n边形的对角线条数为12教师问15：多边形一共有多少条对角线呢？学生讨论并回答，教师引导总结如下：（出示课件15）从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个三角形.n(n≥3)边形共有对角线n(n−3)条.2例2：过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分割多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多边形的边数．师生共同解答如下：（出示课件16）解：设这个多边形为n边形，则有(n-3)条对角线，所分得的三角形个数为n-2，∴n-3+n-2=21，解得n=13．答：该多边形的边数有13条．3.自主探索正多边形的概念及基本性质教师问16：观察下列图形，它们的边、角有什么特点？学生回答：它们的边都相等，它们的角也都相等.教师问17：像这样的多边形我们称为正多边形.请用自己的语言说明什么是正多边形？学生回答：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.问题3：由定义可知，正多边形有什么性质？学生回答：正多边形的各个角都相等，各条边都相等.教师问18：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？（出示课件21）（四条边都相等）（四个角都相等）学生回答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等.总结点拨：判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角都相等，两个条件必须同时具备.（三）课堂练习（出示课件24-27）1.下列多边形中，不是凸多边形的是（）2. 九边形的对角线有（）A. 25条B. 31条C. 27条D. 30条3. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）A.六边形 B .五边形C.四边形D.三角形4. 若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是__________边形.5. 过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成________个三角形.6. 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，则(m－k)n为多少？参考答案：1.B2.C3.A4. 十三5.六6. 解：∵m＝10，n＝3，k＝5.∴(m－k)n＝(10－5)3＝53＝125.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.本节主要学习多边形及有关概念，多边形的分类和正多边形的概念及基本性质.2.本节涉及的思想方法是类比思想.（五）课前预习预习下节课（11.3.2）的相关内容。
人教版八年级数学上册11.3.1《多边形》说课稿
人教版八年级数学上册11.3.1《多边形》说课稿一. 教材分析《多边形》是人教版八年级数学上册第11章第3节的内容，本节课主要介绍了多边形的概念、性质和分类。
通过本节课的学习，使学生了解多边形的基本概念，掌握多边形的性质，能够对多边形进行分类，并为后续学习多边形的面积和角等知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了图形的初步知识，对图形的性质和分类有一定的了解。
但是，对于多边形的概念和性质，学生可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来逐步理解和掌握。
同时，学生需要通过实例来加深对多边形概念和性质的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解多边形的基本概念，掌握多边形的性质，能够对多边形进行分类。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生体验到成功的喜悦。
四. 说教学重难点1.教学重点：多边形的基本概念，多边形的性质。
2.教学难点：多边形的分类，多边形性质的证明。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：多媒体课件、几何画板、黑板等。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的多边形图片，引导学生观察和思考，引出多边形的概念。
2.自主学习：学生通过阅读教材，了解多边形的性质，并尝试对多边形进行分类。
3.合作交流：学生分组讨论，分享对多边形性质的理解和分类方法，教师巡回指导。
4.讲解与演示：教师讲解多边形的性质和分类，利用几何画板进行动态演示，帮助学生理解。
5.练习与拓展：学生进行练习题，巩固对多边形概念和性质的理解，教师及时反馈。
6.总结与反思：学生总结本节课的收获，教师进行点评和总结。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出多边形的基本概念和性质。
可以设计如下板书：•定义：由三条以上边构成的图形•性质：对角线、内角和、外角和等•分类：三角形、四边形、五边形等八. 说教学评价教学评价可以从学生的学习态度、课堂参与度、练习题的正确率等方面进行评价。
专题11 立体几何 11.3平行与垂直证明 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)
所以 EF∥BC．
又因为 EF⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，
△PAD 是正三角形，平面 PAD⊥平面 PBD．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）设二面角 P﹣BD﹣A 的大小为α，直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小为β，求 cos
（α+β）的值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵∠BAD＝45°，AD＝1，�� = 2，
∴由余弦定理，得：
BD=
1 + 2 − 2 × 1 × 2 × ���45° =1，…（2 分）
性质定理
行，则过这条直线的任一
∵l∥α，
平面与此平面的交线与
l⊂β，α∩β
该直线平行(简记为“线面
＝b，∴l∥b
平行⇒线线平行”)
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
判定定理
图形语言
符号语言
一个平面内的两条相交
∵a∥β，b
直线与另一个平面平行，
∥β，a∩b
则这两个平面平行(简记
＝P，a⊂α，
⊥AC，
所以 PA⊥面 ABC，
因为 BC⊂平面 ABC，
所以 PA⊥BC．
又因为 AB⊥BC，且 PA∩AB＝A，
所以 BC⊥面 PAB．
…．（9 分）
（Ⅲ）解：当点 F 是线段 AB 中点时，过点 D，E，F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC
平行．
取 AB 中点 F，连 EF，连 DF．
由（Ⅰ）可知 DE∥平面 PBC．
��
理由．
【解答】（Ⅰ）证明：取 AB 中点 O，连接 EO，DO．
因为 EA＝EB，所以 EO⊥AB． …（2 分）
11.3角的平分线的性质1(预习+展示)
四、学习过程：
1、明确目标，导学新知：角平分线定义是什么？角的平分线还有什么性质呢？（板书课题）
2、自主学习，感受新知：
自学教材第19页，
（1）想一想：在平分角的仪器中，为什么AE一定平分∠DAB？写出证明步骤。
（2）作一作：如图1，已知∠ABC，求作：∠ABC的平分线
在△PDO和△PEO中，
∠PDO＝∠PEO（）
∠AOC＝∠BOC（）
OP＝OP（）
∴△PDO≌△PEO（）
∴PD＝PE（）
（3）归纳：如图3，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB
∴PE＝PF（角平分线上的点到）
6、反思小结，提炼升华：角 Nhomakorabea平分线有什么性质？
（3）想一想：在平分角的作法中有什么数学道理？
（4）练一练：如图2，作平角∠AOB的平分线CD，CD与AB有什么关系？
（4）体会：证明一个几何命题的步骤：
1、。
2、。
3、。
4、应用新知，展现提升：
（1）完成教材第22页“练习”。
（2）完成教材第22页“复习巩固”第2题。
（3）如图4，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6㎝，求△DEB的周长。
教学流程：
一、明确目标导学新知
二、自主学习感受新知
三、分组活动探究新知
四、应用新知展现提升
五、穿插巩固达标测评
六、反思小结提炼升华
学生提出的疑惑。
教后反思：
一、学习目标：
1、掌握画已知角的平分线的方法。
2、掌握角平分线的性质。
二、学习重点难点：
重点：角的平分线的性质的证明及应用。
大庆市五中八年级数学上册第十一章三角形11.3多边形及其内角和1多边形教学课件1新版新人教版3
9．已知a＋b＝2 , 那么a2－b2＋4b的值是C( ) A．2 B．3 C．4 D．6 10．假设m2－n2＝6 , 且m－n＝3 , 那么m＋n＝2____． 11．假设x＋y＝3 , xy＝1 , 那么x2＋y2＝7 ____． 12．已知a2＋b2＝13 , (a－b)2＝1 , 那么(a＋b)2＝2_5___．
多边形
学习目标
(1)观察生活中大量的图片 , 认识一些简单的几何体 〔四边形、五边形〕 , 了解多边形及其内角 , 対角 线等数学概念 ;
(2)能由实物中区分寻找出几何体 , 由几何体图形联 想或设计一些实物形状 ;
(3) 了解类比的数学学习方式。
重点与难点 : (1)重点:连接多边形、内角、外角、対角线的概念 以及凸多边形的形状的区分 ; (2)难点:正多边形的准确理解以及凸多边形的区分
你能从以下图形中找出一些平面图形吗?
你能说出上述平面图形的名称吗?
三角形
四边形
四边形
六边形 八边形
多边形的有关概念 什么叫三角形?
由三条线段首尾顺次连接而成的图形 叫做三角形.
什么叫多边形 ？ 在平面内 , 由一些线段首尾顺次相接
组成的图形叫做多边形.
如果一个多边形由n条线段组成 , 那么这个多边形就叫做 n 边形.
正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正八边形
正多边形的概念
在平面内 , 各个角都相等、各条边都相等的多 边形叫做正多边形。
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
11.3.1多边形的有关概念(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与多边形相关的实际问题，如多边形地板的铺设。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量多边形的内角和，演示多边形的基本原理。
-多边形对角线数量的计算：如何从n边形的一个顶点引出的对角线数量为（n-3）条，学生可能觉得难以掌握。
-多边形外接圆与内切圆的性质：理解外接圆与内切圆的半径、圆心与多边形顶点的关系，以及如何应用这些性质解决问题。
-多边形的分类及其特性：学生可能难以区分不同多边形的特性，如五边形的对称性、六边形的可分割性等。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解多边形的基本概念。多边形是由三条或三条以上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形。多边形在我们的生活中无处不在，理解它们的性质对于解决实际问题非常重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个六边形的性质，展示多边形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了多边形的基本概念、分类、内角和定理等知识点，并通过实践活动和小组讨论加深了对多边形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：在解释多边形内角和定理的推导过程时，可以通过剪纸或动态软件演示，将多边形分割成三角形，从而引导学生发现内角和的计算规律。对于多边形对角线数量的计算，可以通过图形直观展示，使学生看到从一个顶点出发的对角线与多边形边数的关系，进而理解计算公式。
2021学年高二上学期物理人教版(教材)必修第三册PPT-11.3实验-导体电阻率的测量[1]
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二、实验步骤
1.韩愈所说的“师”，有其独特含义，明确自己所说的老师不是指启蒙教师的句子是：彼童子之师，授之书而习其句读者，非吾所谓
传教其师道 阐解述其：惑这者样1也一．。个才测华长直久径没显：出来用的人螺，当旋国家测有难微的时器候他在还是被出来测解金国家属之围导了。线上三个不同位置
太子丹恐惧，乃请荆卿曰：“秦兵旦暮渡易水，则虽欲长侍足下，岂可得哉？”荆卿曰：“微太子言，臣愿得谒之。今行而无信，则
4．(半刻度已露出)下图是用螺旋测微器测量金属棒直径的示 意图，则该金属棒的直径为________ mm.
答案 3.550 解析 先读固定刻度部分，半刻度露出，为 3.5 mm；再读可动 部分 5.0×0.01 mm＝0.050 mm，该金属棒的直径为 3.5 mm＋0.050 mm＝3.550 mm.
实验二：金属丝电阻率的测量
一、实验原理 1．把金属丝接入电路中，用伏安法测金属丝的电阻 RR＝UI . 2．用毫米刻度尺测出金属丝的长度 l，用螺旋测微器测出金 属丝的直径 d，算出横截面积 SS＝π4d2. 3．由电阻定律 R＝ρSl ，得 ρ＝RlS＝π4dl2R＝π4dlI2U，求出电 阻率．
没有立即指出秦、晋联盟的虚伪性，却巧妙地点明秦、晋毕竟是两国这一事实。这样既符合实际，又从根本上动摇了秦、晋联盟的基 础，这不能不让秦伯动心。
答案 3.203 宋人秦观又在词中这样描绘春雨：“自在飞花轻似梦，无边丝雨细如愁。”春雨也是一个惹人闲愁几许的经典意象。(板书:春雨)而《
雨巷》则把文人对雨的喜爱推向了极至：象一幅微微泛黄的旧水墨画，自在飞花、无边丝雨之中，一个长发披肩的女子，从雨巷中袅 袅走来，携着一缕丁香花的幽香，载着一怀嫣然极致的心事，有叹息，但不哀伤，有顾盼，但不凄然。
2020_2021学年新教材高中数学立体几何初步11.3.1平行直线与异面直线学案
11.3 空间中的平行关系11.3.1 平行直线与异面直线必备知识·自主学习一、平行直线如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.(1)在等角定理中如果去掉方向相同,这两个角还相等吗?提示:可能相等,也可能互补,只有这两种情况.(2)等角定理有什么作用?提示:可以证明两个角相等.二、异面直线空间中既不平行也不相交的直线.与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.(1)空间中两条不相交的直线是异面直线吗?提示:不一定.空间中不相交的直线可能是异面直线,也可能是平行直线.(2)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?提示:不一定. 可能平行、相交或异面.三、空间四边形顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形.其中4个点都是空间四边形的顶点. 连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线.(1)空间四边形与四面体是一回事吗?提示:不是一回事.空间四边形可以看成由一个四面体的四条棱构成的图形,空间四边形不是四面体.(2)梯形是空间四边形吗?提示:不是.因为梯形是一个平面图形,它的四个顶点在一个平面上,所以它不是空间四边形.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( )(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.( )(3)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线.( )提示:(1)×.没有公共点的两条直线是平行直线或异面直线.(2)×.在空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,例如在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB,AD都与棱AA′垂直,但是这两条直线相交.(3)×.若a,b是异面直线,a,c是异面直线,那么b,c可以平行,可以相交,可以异面.2.已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,则∠PQR等于( )A.30°B.30°或150°C.150°【解析】选B.因为AB∥PQ,BC∥QR,所以∠PQR与∠ABC相等或互补.因为∠ABC=30°,所以∠PQR=30°或150°.3.(教材二次开发:例题改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是( )A.正方形B.菱形C.矩形【解析】选B.设正方体的棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为,又四边形D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形.1B1C1D1中,E,F分别是线段C1D,BC的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是_______.【解析】直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.答案:相交关键能力·合作学习类型一两直线的平行(逻辑推理、直观想象)【典例】1.在如图所示三棱台中,平行的直线有几对?2.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC AD,BE FA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)判断C,D,F,E四点是否共面?为什么?【思路导引】1.平行直线是在一个平面内没有公共点的直线,可在三个侧面中寻找.2. (1)证明四边形BCHG的一组对边平行且相等.(2)只需证明C,H,F,E四点共面,即可推出C,D,F,E四点共面.【解析】1.由题知三棱台中平行的直线:AB∥A1B1,BC∥B1C1,AC∥A1C1,共有三对.2.(1)由已知FG=GA,FH=HD,可得GH AD,所以GH BC,所以四边形BCHG为平行四边形.(2)共面.理由:由BE AF,G为FA的中点知,BE FG,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.由(1)知BG CH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法.三角形中位线、平行四边形的性质等.(2)定义法.用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点.(3)空间平行线的传递性.用空间平行线的传递性证明两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由空间平行线的传递性即可得到a∥c.1.(2020·佛山高一检测)已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2,D为CC1的中点.(1)求多面体ABD-A1B1C1的体积;(2)设A1C与AD的交点为E,B1C与BD的交点为F,求证:A1B1∥EF.【解析】(1)多面体ABD-A1B1C1的体积等于三棱柱ABC-A1B1C1的体积减去三棱锥D-ABC的体积,即×22×2-××22×1=2-=.(2)在正方形ACC1A1中,==,在正方形BCC1B1中,==.所以==,所以在三角形DAB中,有EF∥AB,由于AB∥A1B1,所以A1B1∥EF.2.在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面DCEF沿EF翻折起来,使CD到C′D′的位置,G,H分别为AD′和BC′的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.【证明】因为在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,所以EF∥AB且EF=(AB+CD),又C′D′∥EF,EF∥AB,所以C′D′∥AB.因为G,H分别为AD′,BC′的中点,所以GH∥AB且GH=(AB+C′D′)=(AB+CD),所以GH EF,所以四边形EFGH为平行四边形.类型二异面直线的定义及应用(逻辑推理、直观想象)【典例】1.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②EF与MN是异面直线;③MN∥CD.其中,正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③2.已知a,b,c是三条直线,且a与b异面,b与c异面,试判断a与c的位置关系,并画图说明. 【思路导引】1.将正方体表面的展开图还原成正方体,在正方体中可以直观作出判断.2.选择恰当的平面作为衬托,画出可能出现的情况.【解析】1.选A.把正方体的平面展开图还原到原来的正方体如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,MN⊥CD,只有①②正确.2.直线a与c的位置关系有三种,如图所示.直线a与c可能平行(如图①所示),也可能相交(如图②所示),还可能异面(如图③所示).(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.(1)证明两条直线既不平行又不相交.(2)利用结论:与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.1.如图,a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,E,F分别是线段AC和BD的中点,判断EF和a,EF和b 的位置关系,并证明你的结论.【解析】假设EF和a共面,设这个平面为α,则EF⊂α,a⊂α.所以A,B,E,F∈α,所以BF⊂α,AE⊂α.又因为C∈AE,D∈BF,所以C,D∈α.于是b⊂α.从而a,b共面于α,这与题设条件a,b是异面直线相矛盾.所以EF和a共面的假设不成立,所以EF和a是异面直线.同理可得EF和b也是异面直线.2.如图所示,已知α∩β=a,b⊂β,a∩b=A,且c⊂α,c∥a.求证:b,c为异面直线.【证明】假设b,c不是异面直线,则b,c一定相交或平行.若b,c相交于一点P,b⊂β,c⊂α,又α∩β=a,则P∈b⊂β,且P∈c⊂α,所以交点P一定在α,β的交线上,即P∈a,所以a∩c=P,这与已知a∥c矛盾,故b,c不可能相交.若b∥c,又已知a∥c,则a∥b,这与已知条件a∩b=A矛盾,故b,c不可能平行.综上可知b,c为异面直线.类型三等角定理的应用(逻辑推理、直观想象)【典例】在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.求证:(1)四边形EFF1E1为平行四边形.(2)∠EA1F=∠E1CF1.【思路导引】(1)欲证四边形EFF1E1为平行四边形可证其一组对边平行且相等.(2)可结合(1)利用等角定理证明.【证明】(1)连接BD,B1D1,在△ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF BD,同理E1F1B1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AA1DD1,AA1BB1,所以B1B DD1,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BD B1D1,所以EF E1F1.所以四边形EFF1E1为平行四边形.(2)取A1B1的中点M,连接BM,F1M,因为MF1B1C1,B1C1BC,所以MF1BC,所以四边形BCF1M是平行四边形,所以MB∥CF1,因为A1M EB,所以四边形EBMA1是平行四边形,所以A1E∥MB,所以A1E∥CF1,同理可证:A1F∥E1C,又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.证明角相等的方法一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形.(2)求证:∠BMC=∠B1M1C1.【证明】(1)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体.所以AD=A1D1,且AD∥A1D1,又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,所以AM=A1M1且AM∥A1M1,所以四边形AMM1A1为平行四边形,所以MM1=AA1且MM1∥AA1.又AA1=BB1且AA1∥BB1,所以MM1=BB1且MM1∥BB1,所以四边形BB1M1M为平行四边形.(2)方法一:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M1∥1M1M为平行四边形,所以C1M1∥∠BMC和∠B1M1C1方向相同,所以∠BMC=∠B1M1C1. 方法二:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M11M1M为平行四边形,所以C1M11C1=BC,所以△BCM≌△B1C1M1,所以∠BMC=∠B1M1C1.课堂检测·素养达标1.如果两条异面直线称为“一对”,那么正方体的12条棱中,异面直线共有( )B.24对C.36对【解析】选B.如图所示,正方体中与AB异面的棱有CC1,DD1,B1C1,A1D1.因为各棱具有相同的位置,且正方体有12条棱,排除两棱的重复计算,所以异面直线共有=24对.2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )A.平行或异面C.异面【解析】选B.假设a与b是异面直线,而c∥a,则c显然与b不平行(否则c∥b,则有a∥b,矛盾),因此c与b可能相交或异面.3.(多选题)(教材二次开发:练习改编)下列结论中,错误的是( )A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D.如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线互相垂直【解析】选AD.A中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故选项A错误;B中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等,故选项B正确;C中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,两角相等或互补,故选项C正确;D中,如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线可能为异面直线,故选项D错误.4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是_______.【解析】在△ABC中,因为AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥1B1C1中,BC∥B1C1,所以EF∥B1C1.答案:平行1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点,求证:∠DNM=∠D1A1C1.【证明】如图,连接AC,在△ACD中,因为M,N分别是CD,AD的中点,所以MN是△ACD的中位线,所以MN∥AC,MN=AC.由正方体的性质,得AC∥A1C1,AC=A1C1,所以MN∥A1C1,又因为ND∥A1D1,所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角,所以∠DNM=∠D1A1C1.课时素养评价十五平行直线与异面直线(15分钟30分)1.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( )A.全等C.仅有一个角相等【解析】选D.由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,所以这两个三角形相似.2.在三棱锥S-ABC中,与SA是异面直线的是( )【解析】选C.如图所示,SB,SC,AB,AC与SA均是相交直线,BC与SA既不相交,也不平行,是异面直线.3.如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有.【解析】题干图①中,GH∥②中,G,H,N三点共面,但M∉③中,连接MG,GM∥④中,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,所以GH与MN异面.答案:②④4.已知在三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列四个结论:①MN≥(AC+BD);②MN≤(AC+BD);③MN=(AC+BD);④MN<(AC+BD).其中正确的是.【解析】设BC中点为P,连接MP,PN.在△MPN中,MN<MP+PN,所以MN<(AC+BD),故④正确.答案:④5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系.(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是;(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是.【解析】(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1 BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.答案:(1)平行(2)异面6.如图,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点.求证:四边形B1EDF是平行四边形.【证明】设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1,因为E是AA1的中点,所以EQ A1D1.又在矩形A1B1C1D1中,A1D1 B1C1,所以EQ B1C1,所以四边形EQC1B1为平行四边形,所以B1E C1Q.又因为Q,F是矩形DD1C1C两边的中点,所以QD C1F,所以四边形DQC1F为平行四边形,所以C1Q DF,又因为B1E C1Q,所以B1E DF,所以四边形B1EDF为平行四边形.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若∠AOB=∠A1O1B1且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是( )A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B11B1不平行1B1不一定平行【解析】选D.如图①②所示,OB与O1B1不一定平行.2.以下选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是( )【解析】选C.本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断,仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择.A,B中,PQ∥RS,D中,PQ和RS共面.3.如图所示的正方体的平面展开图,在这个正方体中:①MN∥ED;②CN与BE是异面直线;③DM⊥BN.以上四个结论中正确的序号是( )A.①②B.②③C.③D.①②③【解析】选C.如图所示,把正方体的平面展开图还原到原来的正方体,显然MN与ED为异面直线,故①不成立,而CN∥BE,故②不成立,又四个选项中仅有选项C不含①②,故选C.4.已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是( )A.若a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,则a⊥βD.若α∩β=b,a⊂α,则a,b一定相交【解析】选A.A中,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确;B中,直线a与b没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误;C中,直线a与平面β没有公共点,所以a∥β,故C错误;D中,直线a与平面β有可能平行,故D错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.a,b,c是空间中的三条直线,下列说法中正确的是( )A.若a∥b,b∥c,则a∥cB.若a与b相交,b与c相交,则a与c也相交C.若a,b分别在两个相交平面内,则这两条直线可能平行、相交或异面D.若a与c相交,b与c异面,则a与b异面【解析】选AC.由平行线的传递性知A正确;若a与b相交,b与c相交,则a与c可能平行、相交或异面,B错误;易知C正确;若a与c相交,b与c异面,则a与b可能相交、平行或异面,故D错误.6.(多选题)如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的是( ) A.M,N,P,Q四点共面B.∠QME=∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四边形MNPQ为梯形.【解析】选ABC.由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B说法正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C说法正确;由三角形的中位线定理,知MQ BD,NP BD,所以MQ NP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确.【补偿训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论正确的是( )1是相交直线1是异面直线1是异面直线【解析】1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故A,B错误,直线BN与MB1是异面直线,直线AM与DD1是异面直线,故C,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线,(1)∠DBC的两边与∠的两边分别平行且方向相同;(2)∠DBC的两边与∠的两边分别平行且方向相反.【解析】(1)B1D1∥BD,B1C1∥BC并且方向相同,所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同.(2)B1D1∥BD,D1A1∥BC并且方向相反,所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反.答案:(1)D1B1C1(2)B1D1A1【补偿训练】已知角α和角β的两边分别平行且一组边的方向相同,另一组边的方向相反,若α=45°,则β=.【解析】由等角定理可知β=135°.答案:135°8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M∈AB1,N∈BC1,且AM=BN,有以下结论:①AA1⊥MN;②A1C1∥MN;③MN与A1C1是异面直线.其中正确结论的序号是.【解析】考虑极端:M为A,N为B,排除②;M为B1,N为C1,排除③.故填①.答案:①四、解答题(每小题10分,共20分)1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:∠NMP=∠BA1D.【证明】如图,连接CB1,CD1,因为CD A1B1,所以四边形A1B1CD是平行四边形,所以A1D∥B1C.因为M,N分别是CC1,B1C1的中点,所以MN∥B1C,所以MN∥A1 A1D1,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1.因为M,P分别是CC1,C1D1的中点,所以MP∥CD1,所以MP∥A1B,所以∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反,所以∠NMP=∠BA1D.10.如图,ABCD-A′B′C′D′为长方体,底面是边长为a的正方形,高为2a,M,N分别是CD和AD 的中点.(1)判断四边形MNA′C′的形状.(2)求四边形MNA′C′的面积.【解析】(1)连接AC.因为M,N分别是CD和AD的中点,所以MNA′B′C′D′′A′′C′ AC,所以MN A′C′,所以四边形MNA′C′△A′AN和△C′CM中,因为∠A′AN=∠C′CM=90°,A′A=C′C=2a,AN=CM=a,所以△A′AN≌△C′CM.所以A′N=C′M.所以四边形MNA′C′是等腰梯形.(2)由A′C′=a,MN=a,A′N=C′M=a,得梯形高h=a,所以四边形MNA′C′的面积S=a2.1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是棱AB,BC,A1B1,BB1,C1D1,CC1的中点,则下列结论正确的是( )A.直线GH和MN平行,GH和EF相交B.直线GH和MN平行,MN和EF相交C.直线GH和MN相交,MN和EF异面D.直线GH和EF异面,MN和EF异面【解析】选B.易知GH∥MN,又因为E,F,M,N分别为所在棱的中点,所以FN EM,所以EF与MN相交.2.如图所示,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且有AE∶EB=AH∶HD=m,CF∶FB=CG∶GD=n.(1)证明:E,F,G,H四点共面;(2)m,n满足什么条件时EFGH是平行四边形;(3)在(2)的条件下,若AC⊥BD,试证明EG=FH.【解析】(1)因为AE∶EB=AH∶HD,所以EH∥BD,又CF∶FB=CG∶GD,所以FG∥BD,所以EH∥FG,所以E,F,G,H四点共面. (2)当且仅当EH FG时,四边形EFGH为平行四边形. 因为==,所以EH=BD,同理FG=BD,由EH=FG得m=n.故当m=n时,四边形EFGH为平行四边形.(3)当m=n时,AE∶EB=CF∶FB,所以EF∥AC,又因为AC⊥BD,所以∠FEH是AC与BD所成的角,所以∠FEH=90°,从而EFGH为矩形,所以EG=FH.。
2020-2021学年数学第四册教案：第11章11.3.1 平行直线与异面直线含解析
2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第11章11.3.1平行直线与异面直线含解析11.3 空间中的平行关系11。
3.1平行直线与异面直线学习目标核心素养1.掌握空间中两条直线平行的判定与性质．（重点）2．理解并掌握等角定理，并会应用．（难点）3．理解异面直线的定义，会画两条异面直线．（一般)4．了解空间四边形的定义．(一般)1.借助两直线平行的判定与性质,提升逻辑推理的核心素养．2．通过等角定理的学习，培养直观想象的核心素养。
前面我们已经从长方体中总结出了空间中直线与直线的位置关系:相交、平行、异面．在这里我们将继续学习判断空间中两直线位置关系的方法，熟悉空间平行关系的判定及性质．思考：平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这是初中所学的两个结论，如果去掉“同一平面内”这个条件,在空间中这两个结论还成立吗？1．平行直线(1）平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．（2）平行线的传递性文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质称为空间平行线的传递性．符号表述：错误!⇒b∥c。
2．等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同，那么这两个角相等．思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行,这两个角具有什么关系?[提示]相等或互补．3．异面直线的判定与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面．4．空间四边形1．思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”）（1）若a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．()（2）若a与b异面,b与c异面,则a与c异面．(）(3）若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．（）[答案］(1)×（2)×（3)√2．已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(）A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对B[因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.］3．如果两条平行直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有平行直线（)A．12对B．18对C．24对D．36对B［由基本事实易知共有18对．］4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．相交［直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF ⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．］空间两直线位置关系的判断【例1111线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；（2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4）直线AB与直线B1C的位置关系是________．（1)平行（2)异面（3）相交(4）异面［（1）在正方体AC1中，因为A1D1BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C．（2）因为B∈平面BCC1B1,B1C⊂平面BCC1B1，B∉B1C，又A1∉平面BCC1B1，由异面直线的判定可知A1B与B1C异面．（3）因为D1D∩D1C＝D1，所以直线D1D与直线D1C相交．(4）由异面直线的判定可知AB与B1C异面．]判定两条直线是异面直线的方法（1)证明两条直线既不平行又不相交．（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A ∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线（如图）．错误!1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．相交或异面D[画出图形,得到结论．（1）(2)如图(1），分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知,应选D．］直线与直线平行的证明【例2BC和AD 的中点,将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置,G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．[证明］因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，所以EF∥AB且EF＝错误!（AB＋CD)，又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB．因为G，H分别为AD′，BC′的中点，所以GH∥AB且GH＝错误!(AB＋C′D′）＝错误!(AB＋CD)，所以GH EF，所以四边形EFGH为平行四边形．证明两条直线平行的三种方法(1）一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点．(2)二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线、梯形、平行四边形等关于平行的性质．（3）三是利用平行线的传递性：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．错误!2．已知正方体ABCD-A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．［证明]如图，连接AC，因为M，N为CD，AD的中点，所以MN错误!AC，由正方体性质可知，AC A′C′，所以MN错误!A′C′，所以四边形MNA′C′是梯形．等角定理及其应用【例3】在如图所示的正方体ABCD。
11.3-1交错级数
交错级数第十一章无穷级数第3节任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数一、莱布尼茨定理定义:正、负项相间的级数称为交错级数.n n n n n n u u ∑∑∞=∞=---111)1()1(或定理1 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ)),3,2,1(1 =≥+n u u n n ;(ⅱ)0lim =∞→n n u , 则级数收敛,且其和1u s ≤,其余项 n r 的绝对值 1+≤n n u r .)0(>n u 其中证明nn n n u u u u u u s 212223212)()(------=-- 又)()()(21243212n n n u u u u u u s -++-+-=- 1u ≤,01≥--n n u u .lim 12u s s n n ≤=∴∞→,0lim 12=+∞→n n u ,2是单调增加的数列n s ,2是有界的数列n s)(lim lim 12212+∞→+∞→+=∴n n n n n u s s ,s =.,1u s s ≤∴且级数收敛于和),(21 +-±=++n n n u u r 余项,21 +-=++n n n u u r 满足收敛的两个条件,.1+≤∴n n u r交错级数二、交错级数敛散性的判定解），， 21(1111==+>=+n u n n u n n 0lim =∞→n n u 又故级数收敛..41312111的敛散性判别交错级数例 +-+-例2 判别级数∑∞=--21)1(n n n n 的收敛性. 解2)1(2)1()1(-+-='-x x x x x )2(0≥<x ,1单调递减故函数-x x ,1+>∴n n u u 1lim lim -=∞→∞→n n u n n n 又.0=原级数收敛.注意1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非必要条件；思考：莱布尼茨判别法的条件其中之一不成立，结果如何？2.判定的方法n n u u <+1；0)11<-+n n u u ；）121<+n n u u .3）相应函数的单调性收敛收敛 +-++-+--n n 1)1(4131211)11 +-++-+--!1)1(!41!31!211)21n n 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:+-++-+--n n n 10)1(104103102101)31432收敛分析：上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11∑∞=n n;!1)21∑∞=n n .10)31∑∞=n n n 发散收敛收敛 !)1(1 +n !1n 11 +=n =+n n u u 1 101 1++n n n n 10 n n 1101 +⋅=谢谢THANK YOU。
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其实数学家们早就遇到了这样的问题，人类对数学命题进行证明的研究已有两千多年的历史了.公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得写出了举世闻名的巨著《原本》，在这本书里，他挑选了一些基本定义和基本事实作为证实其他命题的出发点，推导出了400条定理.
(二)、探索活动：
1.本教材选用下列真命题作为基本事实：
∠1＝∠2，求证:a∥b.
五、小结与思考
(一)小结本节课你有什么收获？
(二)思考：1、求证:平行于第三条直线的两直线平行
要求:画出图形,写出已知,求证,不要求证明.
2、已知：如图，∠1=∠2，CE平分∠ACD.
求证：AB∥CD.
六、中考链接
已知：如图，AB=CD，BC=AD，AE平分平分∠BAC，交BC于点E，CF平分∠DCA，交AD于点F，求证：AE∥FC。
重点
从“同位角相等，两直线平行”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理，并能简单应用这些结论.
难点
证明的基本步骤和书写格式，发展初步的演绎推理能力.
学习过程
旁注与纠错
一、课前预习与导学得分
1、证明的必要性质：通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确，还需要加以证实。
2、证明的定义：用推理的方法证实真命题的过程叫做证明。
已经证明的定理也可以作为以后推理的依据.
思考：如何证明“同位角相等”呢？
证明与图形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关的命题的步骤：
(1)根据命题，画出图形；
(2)根据命题，结合图形,写出已知、求证.已知部分是已知事项(即命题的条件),求证部分是论证的事项(即命题的结论)；
(3)写出证明过程.
三、例题讲解
例1、证明:内错角相等,两直线平行.
七、布置作业
课本P139习题11.3第1、2 (在课本上填写)、5题
课外作业《数学补充题》P84～85 11.3证明(1)
画图、写出已知条件，求证。
讨论、交流：怎样写出推理的过程？
画图、写出已知条件，求证。
讨论、交流
写出证明的过程。
说出推理的思路。
写出推理的过程。
规范说理的过程。
口答。
教学后记：
定理:内错角相等,两直线平行.
尝试:证明:“同旁内角互补,两直线平行”.
(1)根据命题，画出图形；
(2)根据所画图形,写出已知、求证；
(3)说说你的证明思路.
例2、如何证明“对顶角相等”
(1)仿照问题1提问
师生共同合作完成推理：
四、课堂练习：
1、课本P136页练习题
2、已知:如图,直线a与直线b被直线c所截,
3、命题证明的步骤：(1)根据命题，画出图形；(2)根据条件，结合图形，写出已知、求证，已知部分是已知事项(即命题的条件)，求证部分是论证的事项(即命题的结论)；(3)写出证明的过程。
4、已知：如图，∠BAD=∠DCB,∠1=∠3.
求证：AD∥BC.
5、证明：同角的余角相等.
二、新课
(一)、情境创设：
同位角相等，两直线平行.
两直线平行，同位角相等.
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
三边对应相等的两个三角形全等.
此外，等式的有关性质和不等式的有关性质也都看作基本事实.
2.探索“同角的补角相等”
(三)、交流与思考
用推理的方法证实真命题的过程叫做证明.经过证明的真命题称为定理.
姓名学号班级教者
课题
11.3证明(1)----[教案]
课型
新授
时间
第十一章第4课时
教学目标
1.了解证明的基本步骤和书写格式.
2.能从“同位角相等，两直线平行”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理，并能简单应用这些结论.
3.感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.