九年级数学下册 第27章 二次函数综合能力过关训练 华东师大版
九年级数学下册 第27章 二次函数单元综合检测 华东师大版-华东师大版初中九年级下册数学试题
单元综合检测第27章（45分钟 100分）一、选择题(每小题4分,共28分)1.抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是( )A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(1,2)2.设二次函数y=x2+bx+c,当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,那么c的取值X围是( )≥3 ≤c≤≤33.(2013·某某中考)抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的函数关系式为y=(x-1)2-4,则b,c的值为( )A.b=2,c=-6B.b=2,c=0C.b=-6,c=8D.b=-6,c=24.已知:M,N两点关于y轴对称,且点M在双曲线y=上,点N在直线y=x+3上,设点M的坐标为(a,b),则二次函数y=-abx2+(a+b)x( )A.有最大值,最大值为-B.有最大值,最大值为C.有最小值,最小值为D.有最小值,最小值为-5.已知二次函数y= a(x-2)2+c(a>0),当自变量x分别取,3,0时,对应的函数值分别为y1,y2,y3,则y1,y2,y3的大小关系正确的是( )3<y2<y11<y2<y32<y1<y33<y1<y26.如图,某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为节约资源,现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)片备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应分别为( )A.x=10,y=14B.x=14,y=10C.x=12,y=15D.x=15,y=127.如图,一条抛物线与x轴相交于A,B两点,其顶点P在折线C-D-E上移动,若点C,D,E的坐标分别为(-1,4),(3,4),(3,1),点B的横坐标的最小值为1,则点A的横坐标的最大值为( )A.1B.2二、填空题(每小题5分,共25分)8.已知y=(k+2)是二次函数,且当x>0时,y随x的增大而增大,则k=________.9.函数y=x2+mx-4,当x<2时,y随x的增大而减小,则m的取值X围是________.10.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的关系式为y=x2-2x+3,则b的值为________.11.如图,二次函数y1=ax2+bx(a≠0,b≠0)和一次函数y2=kx(k≠0)的图象交于原点和点A,当y1<y2时,对应的x的取值X围为________.12.(2013·某某中考)如图,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;……如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m =________.三、解答题(共47分)13.(10分)已知二次函数y=-x2+x+.(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)根据该函数的图象回答:当x取哪些值时,y=0,y>0,y<0?14.(12分)(2013·某某中考)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限.(1)用a,c表示b.(2)判断点B所在象限,并说明理由.(3)若直线y2=2x+m经过点B,且与该抛物线交于另一点C,b+8,求当x≥1时y1的取值X围.15.(12分)(2013·某某中考)某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件.试营销阶段发现:当销售单价为25元/件时,每天的销售量是250件;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式.(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大?(3)商场的营销部结合上述情况,提出了A,B两种营销方案:方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元;方案B:每天销售量不少于10件,且每件文具的利润至少为25元.请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.16.(13分)(2013·某某中考)如图,抛物线y=x2-2x-8交y轴于点A,交x轴正半轴于点B.(1)求直线AB对应的函数关系式.(2)有与PQ的大小.答案解析1.【解析】选D.∵y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k),∴y=(x-1)2+2的顶点坐标是(1,2).2.【解析】选B.根据题意得当x=1时,y=0,即1+b+c=0,得b=-1-c.当x=3时,y≤0,得9+3b+c≤0,将b=-1-c代入得9+3(-1-c)+c≤0,解得c≥3.3.【解析】选B.把函数y=(x-1)2-4先向左平移2个单位,再向上平移3个单位即可得原函数为y=(x+1)2-1,化为一般式得y=x2+2x,所以b=2,c=0.4.【解析】选B.因为M,N两点关于y轴对称,M的坐标为(a,b),所以N的坐标为(-a,b),又因为点M(a,b)在双曲线y=,所以b=,即ab=.点N(-a,b)在直线y=x+3上,所以b=-a+3,即a+b=3,所以二次函数y=-abx2+(a+b)x为y=-x2+3x,因为-<0,所以二次函数有最大值,最大值为==.5.【解析】,3,0分别代入二次函数y=a(x-2)2+c得y1=(6-4)a+c;y2=a+c;y3=4a+c,经过比较易得出y3>y2>y1.6.【解析】选D.以直角梯形的下底直角边端点为原点,两直角边方向分别为x,y轴建立如图所示的直角坐标系,过点D作DE⊥x轴于点E.∵NH∥DE,∴△H∽△CDE,∴=.∵CH=24-y,CE=24-8=16,DE=OA=20,NH=x,∴=,得x=·(24-y)(8≤y<24),∴矩形面积S=xy=-(y-12)2+180(8≤y<24),∴当y=12时,S有最大值,此时x=15.7.【解析】选B.由图知:当点B的横坐标为1时,抛物线顶点取(-1,4),设该抛物线的关系式为:y=a(x+1)2+4,代入点B坐标,得:0=a(1+1)2+4,a=-1,即:B点横坐标取最小值时,抛物线的关系式为:y=-(x+1)2+4.当A点横坐标取最大值时,抛物线顶点应取(3,1),则此时抛物线的关系式:y=-(x-3)2+1=-x2+6x-8=-(x-2)(x-4),即与x轴的交点为(2,0)或(4,0),∴点A的横坐标的最大值为2.8.【解析】由题意得:k2+k-4=2且k+2>0;解得:k=-3或k=2且k>-2;∴k=2.答案:29.【解析】∵x<2时,y随x的增大而减小,∴-≥2,∴m≤-4.答案:m≤-410.【解析】∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴抛物线顶点坐标为(1,2).依题意,得平移前抛物线顶点坐标为(-2,4).∵平移不改变二次项系数,∴y=(x+2)2+4=x2+4x+8,比较系数,得b=4.答案:411.【解析】由图象可知:x=-3或x=0时,y1=y2,∴由图象可以得出:x<-3或x>0时,y1<y2.答案:x<-3或x>012.【解析】13:y=-(x-36)(x-39),把P(37,m)的坐标代入C13关系式可得m=2. 答案:213.【解析】(1)y=-x2+x+=-(x-1)2+2.所以抛物线的顶点坐标是(1,2),对称轴是直线x=1.(2)由图象可得当x=-1或x=3时,y=0;当-1<x<3时,y>0;当x<-1或x>3时,y<0.14.【解析】(1)b=-a-c.(2)B在第四象限.理由如下:因为方程ax2+bx+c=0的两根为x1=1,x2=,a≠c,所以抛物线与x轴有两个交点.又因为抛物线不经过第三象限,所以a>0,且顶点在第四象限.(3)因为C,b+8在抛物线上,所以b+8=0,b=-8,a+c=8,把B,C两点代入直线关系式易得c-a=4,解得c=6,a=2,画图易知,C在A的右侧,所以当x≥1时,y1≥=-2.15.【解析】(1)w=(x-20)[250-10(x-25)]=-10(x-20)(x-50)=-10x2+700x-10000.(2)∵w=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250,∴当x=35时,w取到最大值2250,即销售单价为35元时,每天销售利润最大,最大利润为2250元.(3)∵w=-10(x-35)2+2250,∴函数图象是以x=35为对称轴且开口向下的抛物线.∴对于方案A,需20<x≤30,此时图象在对称轴左侧,w随x的增大而增大. ∴x=30时,w取到最大值2000.∴当采用方案A时,销售单价为30元可获得最大利润为2000元.对于方案B,则有解得45≤x<49,此时图象位于对称轴右侧,∴w随x的增大而减小,故当x=45时,w取到最大值1250.∴当采用方案B时,销售单价为45元可获得最大利润为1250元.两者比较,还是方案A的最大利润更高.16.【解析】(1)点A坐标(0,-8),点B坐标(4,0),设直线AB的函数关系式为y=kx+b,将A,B点坐标代入得k=2,b=-8, 所以直线AB的关系式为y=2x-8.(2)由题意知M点坐标为(m,2m-8),N点坐标为(m,m2-2m-8),且0<m<3, 所以MN=(2m-8)-(m2-2m-8)=-m2+4m,同理可得PQ=-(m+1)2+4(m+1)=-m2+2m+3,①当PQ>MN时,-m2+2m+3>-m2+4m,解得m<,∴0<m<时,PQ>MN;②当PQ=MN时,-m2+2m+3=-m2+4m,解得m=,∴m=时,PQ=MN;③当PQ<MN时,-m2+2m+3<-m2+4m,解得m>,∴当<m<3时,PQ<MN.。
第26章 二次函数 华东师大版九年级数学下册达标测试卷(含答案)
第26章二次函数达标测试卷一、选择题(每题3分，共24分)1．下列函数中，是二次函数的是()A．y＝5x2B．y＝22－2x C．y＝2x2－3x3＋1 D．y＝1 x22．抛物线y＝3(x－1)2＋8的顶点坐标为()A．(1，8) B．(－1，8) C．(－1，－8) D．(1，－8) 3．某商场第1年销售计算机5 000台，设平均每年的销售量增长率为x，第3年的销售量为y台，则y关于x的函数表达式为()A y＝5 000(1＋2x)B y＝5 000(1＋x)2C y＝5 000(1－2x)D y＝5 000(1－x)2 4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x2保持不动，将x轴向上平移1个单位(y轴不动)，则在新坐标系下抛物线的表达式是()A．y＝2x2＋1 B．y＝2x2－1 C．y＝2(x－1)2D．y＝2(x＋1)2 5．已知点A(2，y1)、B(3，y2)、C(－1，y3)均在抛物线y＝ax2－4ax＋c(a ＞0)上，则y1、y2、y3的大小关系为()A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y1 6．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象为()7．若二次函数y＝－x2＋mx在－2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是()A．－2 5或6 B．2 5或6 C．－92或6 D．－92或－2 5 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝13x2经过平移得到抛物线y＝ax2＋bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为83，则a，b的值分别为()A.13，43 B.13，－23 C.13，－43D．－13，43(第8题) (第13题) (第14题)二、填空题(每题3分，共18分)9．已知点P⎝ ⎛⎭⎪⎫a，12在抛物线y＝2x2上，则a等于________．10．抛物线y＝x2＋6x＋c与x轴有且只有1个公共点，则c＝________．11．某小型无人机着陆后滑行的距离s(米)关于滑行的时间t(秒)的函数表达式是s＝－0.25t2＋10t，那么无人机着陆后滑行__ _秒才能停下来．12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，x与y的部分对应值如下表：则不等式ax2＋bx＋c＞－3的解集为________．13．如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC，分别交抛物线y1＝x2(x≥0)与y2＝14x2(x≥0)于点B、C，则BC的长是________．14．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论：①ac＜0；②a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④b2－4ac＜0.其中正确的是___(填序号)三、解答题(第15，16题每题5分，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22题10分，其余每题12分，共78分)15．一抛物线以(－1，9)为顶点，且经过x轴上一点(－4，0)，求该抛物线的表达式及抛物线与y轴的交点坐标．16．如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过坐标原点，且与x轴交于点A(－2，0)．(1)求此二次函数的表达式；(2)结合图象，直接写出满足y＞0的x的取值范围．(第16题)17．一名男生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间满足关系式y＝－112x2＋23x＋53.(1)求铅球离手时的高度；(2)求铅球推出的最大距离．18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝－2x2＋bx＋c的图象经过点A(－2，4)和点B(1，－2)．(1)求这个二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；(2)平移该二次函数的图象，使其顶点恰好落在原点的位置上，请直接写出平移方法．19．某网店正在热销一款电子产品，其成本为每件10元，销售过程中发现，该商品每天的销量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该款电子产品的销售单价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(第19题)20．如图，已知抛物线y＝ax2＋(a－1)x＋3(a≠0)与x轴交于A、B(1，0)两点，与y轴交于点C.(1)点C的坐标为________；(2)将抛物线y＝ax2＋(a－1)x＋3平移，使平移后的抛物线仍经过点B，与x轴的另一个交点为B′，且点B′的坐标为(3，0)，求平移后的抛物线的表达式．(第20题) 21．现有一面12米长的墙，某农户计划用28米长的篱笆靠墙围成一个如图所示的矩形养鸡场ABCD.(1)若矩形养鸡场的面积为90平方米，求所用的墙长AD；(2)求矩形养鸡场的最大面积．(第21题)22．如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标为A(2 3，0)、C(0，2)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B、C.(1)求该抛物线的表达式；(2)将矩形OABC绕原点O顺时针旋转一个角度α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，当矩形的顶点A的对应点A′落在抛物线的对称轴上时，求此时点A′的坐标．(第22题)23．某班数学兴趣小组对函数y ＝x 2－2|x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下表：其中m ＝__________；(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；(3)(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；(4)进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有__________个交点，对应的方程x 2－2|x |＝0有__________个实数根；②方程x 2－2|x |＝2有__________个实数根；③关于x 的方程x 2－2|x |＝a 有4个实数根时，a 的取值范围是__________．(第23题)答案一、1.A 2.A 3.B 4.B5．A 【点拨】∵y ＝ax 2－4ax ＋c ，且a ＞0， ∴图象开口向上，对称轴是直线x ＝－－4a2a ＝2， ∴x ≥2时，y 随x 的增大而增大，∵C (－1，y 3)关于直线x ＝2的对称点是(5，y 3)，2＜3＜5，∴y 1＜y 2＜y 3. 6．C7．C 【点拨】∵y ＝－x 2＋mx ，∴图象开口向下，对称轴为直线x ＝－m 2×（－1）＝m2.①当m 2≤－2，即m ≤－4时，函数在x ＝－2时取得最大值5，∴－4－2m ＝5，解得m ＝－92；②当m2≥1，即m ≥2时，函数在x ＝1时取得最大值5， ∴－1＋m ＝5，解得m ＝6.③当－2＜m 2＜1，即－4＜m ＜2时，函数在x ＝m 2时取得最大值5，∴－m 24＋m 22＝5，解得m ＝2 5(舍去)或m ＝－2 5(舍去)．综上所述，m 的值为－92或6.8．C 【点拨】如图，设平移后所得新抛物线的对称轴和两抛物线分别相交于点A 和点B ，连结OA 、OB ，(第8题)∴S 阴影＝S △OAB .由题意得a ＝13，∴y ＝ax 2＋bx ＝13x 2＋bx ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3b 22－3b 24，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3b 2，－3b 24，∴点B 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3b 2，3b 24，∴AB ＝3b 22，点O 到AB 的距离为－3b2，∴S △AOB ＝12×3b 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3b 2＝83，解得b ＝－43.二、9.12或－12 10.9 11.2012．0＜x ＜2 13.2 14.①②③三、15.解：设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)2＋9，将(－4，0)代入y ＝a (x ＋1)2＋9， 得0＝9a ＋9，解得a ＝－1， ∴抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)2＋9.令x ＝0，则y ＝8，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0，8)．16．解：(1)把(0，0)和(－2，0)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧c ＝0，－4－2b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝0，∴二次函数的表达式为y ＝－x 2－2x . (2)－2＜x ＜0.17．解：(1)令x ＝0，则y ＝53.∴铅球离手时的高度为53 m.(2)当y ＝0时，－112x 2＋23x ＋53＝0， 解得x 1＝10，x 2＝－2(不合题意，舍去)， ∴铅球推出的最大距离是10 m.18．解：(1)∵二次函数y ＝－2x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－2，4)和点B (1，－2)．∴⎩⎨⎧－2×4－2b ＋c ＝4，－2×1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝4， ∴这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2－4x ＋4. ∵y ＝－2x 2－4x ＋4＝－2(x ＋1)2＋6， ∴顶点坐标为(－1，6)．(2)(答案不唯一)将该二次函数图象先向右平移1个单位，再向下平移6个单位． 19．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将(20，100)，(25，50)代入，得 ⎩⎨⎧20k ＋b ＝100，25k ＋b ＝50，解得⎩⎨⎧k ＝－10，b ＝300， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋300. (2)设该款电子产品的销售利润为w 元，根据题意得w ＝(x －10)(－10x ＋300)＝－10x 2＋400x －3 000＝－10(x －20)2＋1 000， ∵－10＜0，∴x ＝20时，w 最大，为1 000.答：该款电子产品的销售单价为20元时，每天销售利润最大，最大利润是1 000元． 20．解：(1)(0，3)(2)∵抛物线y ＝ax 2＋(a －1)x ＋3与x 轴交于点B (1，0)，∴a ＋a －1＋3＝0，∴a ＝－1，∴y ＝－x 2－2x ＋3.设平移后的抛物线表达式为y ＝－(x ＋h )2＋k ， ∵平移后的抛物线经过点B (1，0)和点B ′(3，0)， ∴⎩⎨⎧－（1＋h ）2＋k ＝0，－（3＋h ）2＋k ＝0，解得⎩⎨⎧h ＝－2，k ＝1， ∴平移后的抛物线表达式为y ＝－(x －2)2＋1.21．解：(1)设所用的墙长AD 为x 米，则AB 的长为28－x2米，由题意可得x ·28－x2＝90，解得x 1＝18(舍去)，x 2＝10.答：所用的墙长AD 为10米． (2)设AB 为a 米，面积为S 平方米， 则S ＝a (28－2a )＝－2(a －7)2＋98， ∵0＜28－2a ≤12，∴8≤a ＜14，∴当a ＝8时，S 取得最大值，此时S ＝96， 答：矩形养鸡场的最大面积是96平方米．22．解：(1)∵A (2 3，0)，C (0，2)，∴易得B (2 3，2)． 把点C 和点B 的坐标代入y ＝－x 2＋bx ＋c ， 得⎩⎨⎧c ＝2，－12＋2 3b ＋c ＝2，解得⎩⎨⎧b ＝2 3，c ＝2， ∴该抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2 3x ＋2. (2)设对称轴与x 轴交于点D ，∴易得OD ＝3， 又∵OA ′＝OA ＝2 3，∴A ′D ＝（2 3）2－（3）2＝3，∴A ′(3，－3)． 23．解：(1)0 (2)如图．(3)①函数y ＝x 2－2|x |的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大． (4)①3；3 ②2 ③－1<a <0(第23题)【点拨】(3)题答案不唯一．24. 解：(1)由题意得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0c ＝3，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝94，c ＝3，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－34x 2＋94x ＋3.(2)设直线BC 对应的函数表达式为y ＝kx ＋d ，则⎩⎨⎧4k ＋d ＝0，d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，d ＝3，∴y ＝－34x ＋3.设D (m ，－34m 2＋94m ＋3)(0＜m ＜4)．过点D 作DM ⊥x 轴交BC 于点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－34m ＋3，DM ∥OC ，∴DM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m 2＋94m ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ＋3＝－34m 2＋3m ，∠DME ＝∠OCB ，又∵∠DEM ＝∠BOC ＝90°，∴△DEM ∽△BOC ， ∴DE OB ＝DMBC .∵OB ＝4，OC ＝3，∴BC ＝5，∴DE ＝45DM ，∴DE ＝－35m 2＋125m ＝－35(m －2)2＋125(0<m <4)．当m ＝2时，DE 取得最大值，最大值是125. (3)存在．∵F 为AB 的中点， ∴OF ＝32，∴tan ∠CFO ＝OCOF ＝2.如图，过点B 作BG ⊥BC ，交CD 的延长线于点G ，过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为H .(第24题)①若∠DCE ＝∠CFO ，则tan ∠DCE ＝GBBC ＝2， ∴BG ＝10.易得△GBH ∽△BCO ，∴GH BO ＝HB OC ＝GBBC ，∴GH ＝8，BH ＝6，∴G (10，8)． 设直线CG 对应的函数表达式为y ＝px ＋n ，11∴⎩⎨⎧n ＝3，10p ＋n ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，n ＝3，∴直线CG 对应的函数表达式为y ＝12x ＋3，令12x ＋3＝－34x 2＋94x ＋3，解得x ＝73或x ＝0(舍去)． ②若∠CDE ＝∠CFO ，同理可得BG ＝52，GH ＝2，BH ＝32，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫112，2.易得直线CG 对应的函数表达式为y ＝－211x ＋3，令－211x ＋3＝－34x 2＋94x ＋3，解得x ＝10733或x ＝0(舍去)．综上所述，点D 的横坐标为73或10733.12。
华师大九年级下《第26章二次函数》检测题含答案
二次函数单元练习题一、选择题1．下列函数中是二次函数的是( B )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1 C.y ＝(x ＋1)2－x 2 D ．y ＝x 3＋2x －32．将抛物线y ＝3x 2向右平移两个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线是( )(A)y ＝3(x ＋2)2＋4 (B) y ＝3(x －2)2＋4 (C) y ＝3(x －2)2－4 (D)y ＝3(x ＋2)2－43．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( B )A ．a ＞0B ．当－1＜x ＜3时，y ＞0C ．c ＜0D ．当x ≥1时，y 随x 的增大而增大4．二次函数y ＝x 2－8x ＋c 的最小值是0，那么c 的值等于( )(A)4 (B)8 (C)－4 (D)165．抛物线y ＝－2x 2＋4x ＋3的顶点坐标是( )(A)(－1，－5) (B)(1，－5) (C)(－1，－4) (D) (－2，－7)6． 若二次函数＝ax 2＋c ，当x 取x 1，x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为( )(A)a ＋c (B)a －c (C)－c (D)c7．如图，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点， 且AE ＝BF ＝CG ＝DH ， 设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是( )(A) (B) (C) (D)8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为D(－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2－4ac ＜0；②a ＋b ＋c ＜0；③c －a ＝2；④方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论的个数为( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝3时，函数的最大值为4，当x ＝0时，y ＝－14，则函数关系式____．10．若二次函数y ＝－x 2＋4x ＋k 的最大值等于3，则k 的值等于____． ．11．函数42-=x y 的图象与y 轴的交点坐标是________． 12．已知抛物线的顶点是(0，1)，对称轴是y 轴，且经过(－3，2)，则此抛物线的函数关系式为_________，当x ＞0时，y 随x 的增大而____．13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴的两个交点的坐标是(5，0)，(－2，0)，则方程ax 2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是_______．14．抛物线y＝(m－4)x2－2mx－m－6的顶点在x轴上，则m＝______．15．若函数y＝a(x－h)2＋k的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y＝－2x2－2x＋3相同，则此函数关系式______．16．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，如图所示，则使y1＞y2成立的x的取值范围是______ __三、解答题17．(8分)已知抛物线y＝a(x－h)2－4经过点(1，－3)，且与抛物线y＝x2的开口方向相同，形状也相同．(1)求a，h的值；(2)求它与x轴的交点，并画出这个二次函数图象的草图；(3)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜0)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．y x mx m.18、已知抛物线22（1）求证此抛物线与x轴有两个不同的交点；y x mx m与x轴交于整数点，求m的值；（2）若m是整数，抛物线22（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B.若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标.19．(8分)如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点D.(1)求这个二次函数的关系式；(2)求四边形ABDC的面积．20．(12分)(2011·聊城)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A(－1,0)、C(0，－3)两点，与x 轴交于另一点B.(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；(2)在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；(3)设点P 为抛物线的对称轴x ＝1上的一动点，求使∠PCB ＝90°的点P 的坐标．参考答案:一、1－5 BCBDB 6－8 DBC ．二、9．y ＝－2(x －3)2＋4； 10．-1 ；11．(0．－4) ； 12．y ＝19x 2＋1 ；增大. 13．向上，x ＝41，(825,41-)；14．略． 15．y ＝－2x 2＋8x 或y ＝－2x 2－8x ； 16．x ＜－2或x ＞8； 三、17．解：(1)a ＝1，h ＝2 (2)它与x 轴的交点坐标为(0，0)，(4，0)，图象略 (3)y 1＞y 218．由已知，得30423c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩，，解得a ＝1，b ＝－2，c ＝－3．所以y ＝x 2－2x －3．(2)开口向上，对称轴x ＝1，顶点(1，－4)．19、解：(1)y ＝－x 2＋2x ＋3 (2)连结OD ，可求得C (0，3)，D (1，4)，则S 四边形ABDC ＝S △AOC＋S △COD ＋S △BOD ＝12×1×3＋12×3×1＋12×3×4＝920、解：(1)根据题意，y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝1，且过A(－1,0)，C(0，－3)，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a ＝1a －b ＋c ＝0，c ＝－3解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴抛物线所对应的函数解析式为y ＝x 2－2x －3.(2)由y ＝x 2－2x －3可得，抛物线与x 轴的另一交点B(3,0)如图①，连结BC ，交对称轴x ＝1于点M.因为点M 在对称轴上，MA ＝MB.所以直线BC 与对称轴x ＝1的交点即为所求的M 点．设直线BC 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由B(3,0)，C(0，－3)，解得y ＝x －3，由x ＝1，解得y ＝－2.故当点M 的坐标为(1，－2)时，点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小．(3)如图②，设此时点P 的坐标为(1，m)，抛物线的对称轴交x 轴于点F(1,0)．连结PC 、PB ，作PD 垂直y 轴于点D ，则D(0，m)．。
华师大数学九年级下26.3.4二次函数综合题(2)课文练习含答案解析
26.3.4二次函数综合2农安县合隆中学徐亚惠一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③2已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．3．若二次函数y=ax2﹣2x+a2﹣4（a为常数）的图象如图，则该图象的对称轴是（）A．直线x=﹣1B．直线x=1C．直线x=﹣D．直线x=4．抛物线y=ax2+bx+c如图，考查下述结论：①b＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④2a+b＜0．正确的有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④5．将抛物线y=x2﹣2平移到抛物线y=x2+2x﹣2的位置，以下描述正确的是（）A．向左平移1单位，向上平移1个单位B．向右平移1单位，向上平移1个单位C．向左平移1单位，向下平移1个单位D．向右平移1单位，向下平移1个单位6．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（，）B．（2，2）C．（，2）D．（2，）7．关于x的二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．﹣1＜m＜0C．0＜m＜1D．m＞18．已知二次函数y=ax2﹣1的图象开口向下，则直线y=ax﹣1经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限二．填空题（共6小题）9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为_________．10如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是_________．11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为_________米．12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2﹣4ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b 中，其值为正的式子的个数为_________个．13．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…0123…y…5212…点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系是_________．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为_________件（用含x的代数式表示）．三．解答题（共7小题）15．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？16．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y （米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x﹣6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式．（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？17．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ△AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且EF=PF，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．20．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）．（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，﹣2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM 是等腰三角形．21．如图，一块直角三角形木板ABC，其中△C=90°，AC=3m，BC=4m，现在要把它们加工成一个面积最大的矩形，甲、乙两位木工师傅的加工方法分别如图1、图2所示，请用学过的知识说明哪位师傅的加工方法符合要求．26.3.4二次函数综合2参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①当x=1时，y=a+b+c=0，故①错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，△y=a﹣b+c＜0，故②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，△对称轴为0＜x=﹣＜1，△2a+b＜0，故③正确；④对称轴为x=﹣＞0，a＜0△a、b异号，即b＞0，由图知抛物线与y轴交于正半轴，△c＞0△abc＜0，故④错误；△正确结论的序号为②③．故选：B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．2．已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＜﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．解答：解：△函数y=的图象经过二、四象限，△k＜0，由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，△k＜﹣1，△抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，对称为x=﹣=，﹣1＜＜0，△对称轴在﹣1与0之间，故选：D．点评：此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题．3．若二次函数y=ax2﹣2x+a2﹣4（a为常数）的图象如图，则该图象的对称轴是（）A．直线x=﹣1B．直线x=1C．直线x=﹣D．直线x=考点：二次函数的性质．分析：根据图象可以知道图象经过点（0，0），因而把这个点代入记得到一个关于a的方程，就可以求出a的值，从而根据对称轴方程求得对称轴即可．解答：解：把原点（0，0）代入抛物线解析式，得a2﹣4=0，解得a=±2，△函数开口向上，a＞0，△a=2，△对称轴为：x=﹣==，故选D．点评：本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．4.抛物线y=ax2+bx+c如图，考查下述结论：①b＜0；②a﹣b+c＞0；③b2＞4ac；④2a+b＜0．正确的有（）A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，c＜0，﹣＞0，b＜0，正确；②由图象知当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，正确；③图象与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac正确；④由图象知，即2a+b=0，本项错误．故选B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：①2个交点，b2﹣4ac＞0；②1个交点，b2﹣4ac=0；③没有交点，b2﹣4ac＜0．（5）当x=1时，可以确定y=a+b+c的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．5．将抛物线y=x2﹣2平移到抛物线y=x2+2x﹣2的位置，以下描述正确的是（）A．向左平移1单位，向上平移1个单位B．向右平移1单位，向上平移1个单位C．向左平移1单位，向下平移1个单位D．向右平移1单位，向下平移1个单位考点：二次函数图象与几何变换．分析：先将抛物线y=x2+4x+1化为y=（x+2）2﹣3的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答．解答：解：△抛物线y=x2+2x﹣2可化为y=（x+1）2﹣3，△把抛物线y=x2﹣2先向左平移1个单位，再向下平移1个单位即可得到抛物线y=（x+1）2﹣3．故选：C．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减．左加右减”的法则是解答此题的关键．6．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（）A．（，）B．（2，2）C．（，2）D．（2，）考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：首先根据点A在抛物线y=ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可；解答：解：△Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，△4=a×（﹣2）2，解得：a=1△解析式为y=x2，△Rt△OAB的顶点A（﹣2，4），△OB=OD=2，△Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，△CD△x轴，△点D和点P的纵坐标均为2，△令y=2，得2=x2，解得：x=±，△点P在第一象限，△点P的坐标为：（，2）故选：C．点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得直线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．7．关于x的二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．﹣1＜m＜0C．0＜m＜1D．m＞1考点：二次函数的性质．分析：由于二次函数的对称轴在y轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于m的不等式，解不等式即可求解．解答：解：△二次函数y=x2+（1﹣m）x﹣m的对称轴在y轴右侧，△x=﹣＞0，△解得：m＞1．故选D．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称轴的公式解决问题．8．已知二次函数y=ax2﹣1的图象开口向下，则直线y=ax﹣1经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限考点：一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系．分析：二次函数图象的开口向下时，二次项系数a＜0；一次函数y=kx+b（k≠0）的一次项系数k＜0、b＜0时，函数图象经过第二、三、四象限．解答：解：△二次函数y=ax2的图象开口向下，△a＜0；又△直线y=ax﹣1与y轴交于负半轴上的﹣1，△y=ax﹣1经过的象限是第二、三、四象限．故选D．点评：本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系．二次函数图象的开口方向决定了二次项系数a的符号．二．填空题（共6小题）9．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为8．考点：抛物线与x轴的交点．分析：由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣2，0），根据二次函数的对称性，求得B点的坐标，再求出AB的长度．解答：解：△对称轴为直线x=2的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，△A、B两点关于直线x=2对称，△点A的坐标为（﹣2，0），△点B的坐标为（6，0），AB=6﹣（﹣2）=8．故答案为：8．点评：此题考查了抛物线与x轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出B点的坐标．10．如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是x1=0，x2=2．考点：抛物线与x轴的交点．专题：计算题．分析：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3求出a，b的值，再代入ax2+bx=0解方程即可．解答：解：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得，代入ax2+bx=0得，﹣x2+2x=0，解得x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．点评：本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出a，b的值．11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．考点：二次函数的应用．专题：函数思想．分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：米．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2﹣4ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b 中，其值为正的式子的个数为3个．考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线开口向上，得到a＞0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b＜0，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出ab＜0，ac＞0，由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2﹣4ac＞0，当x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，由﹣=1得b+2a=0．解答：解：△抛物线的开口向上，△a＞0，△﹣＞0，△b＜0，△抛物线与y轴交于正半轴，△c＞0，△ab＜0，ac＞0，bc＜0△抛物线与x轴有2个交点，△b2﹣4ac＞0△x=1时的函数值小于0，△y=a+b+c＜0又△x=﹣1时的函数值大于0△y=a﹣b+c＞0△对称轴为直线x=1，△﹣=1，即2a+b=0，所以一共有3个式子的值为正．故答案为：3．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x=1，﹣1对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．13．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…0123…y…5212…点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系是y1＞y2．考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题；压轴题．分析：由二次函数图象的对称性知，图表可以体现出二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和开口方向，然后由二次函数的单调性填空．解答：解：根据图表知，当x=1和x=3时，所对应的y值都是2，△抛物线的对称轴是直线x=2，又△当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小，△该二次函数的图象的开口方向是向上；△0＜x1＜1，2＜x2＜3，0＜x1＜1关于对称轴的对称点在3和4之间，当x＞2时，y随x的增大而增大，△y1＞y2，故答案是：y1＞y2点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．14．某种工艺品利润为60元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润w（元）与降价x（元）的函数关系如图．这种工艺品的销售量为（60+x）件（用含x的代数式表示）．考点：二次函数的应用．分析：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，设销售量为a，代入函数的解析式，即可得到a和x的关系．解答：解：由函数的图象可知点（30，2700）和点（60，0）满足解析式w=mx2+n，△，解得：，△w=﹣x2+3600，设销售量为a，则a（60﹣x）=w，即a（60﹣x）=﹣x2+3600，解得：a=（60+x ），故答案为：（60+x）．点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，用的知识点为：因式分解，题目设计比较新颖，同时也考查了学生的逆向思维思考问题．三．解答题（共7小题）15．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？考点：二次函数的应用．专题：销售问题．分析：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x 的取值．（2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w；解答：解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，则，解得：300≤x≤350．△y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．△x=320在300≤x≤350内，△当x=320时，最大值为72000，即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．点评：本题主要考查对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识．16．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y （米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x﹣6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式．（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？考点：二次函数的应用．专题：代数综合题；待定系数法．分析：（1）利用h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，将点（0，2）代入解析式求出即可；（2）利用当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时，（x﹣6）2+2.6=0，分别得出即可；（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答案．解答：解：（1）△h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，△抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），△2=a（0﹣6）2+2.6，解得：a=，故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6，（2）当x=9时，y=（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；当y=0时，（x﹣6）2+2.6=0，解得：x1=6+＞18，x2=6﹣（舍去）故会出界；（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：，解得，此时二次函数解析式为：y=（x﹣6）2+，此时球若不出边界h≥，当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：，解得，此时球要过网h≥，故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．点评：此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．17．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出b，c即可求出二次函数解析式，（2）把二次函数式转化可直接求出顶点坐标，由A对称关系可求出点D的坐标．（3）由待定系数法可求出BC所在的直线解析式，与抛物线组成方程求出点E的坐标，利用△BDE的面积=△CDB 的面积+△CDE的面积求出△BDE的面积．（4）设点P到x轴的距离为h，由S△ADP=S△BCD求出h的值，根据h的正，负值求出点P的横坐标即可求出点P的坐标．解答：解：（1）△二次函数y=x2+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）△，解得△二次函数解析式为：y=x2﹣4x+6，（2）由y=x2﹣4x+6，得y=（x﹣4）2﹣2，△函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），△点A，D是y=x2+bx+c与x轴的两个交点，又△点A（2，0），对称轴为x=4，△点D的坐标为（6，0）．（3）△二次函数的对称轴交x轴于C点．△C点的坐标为（4，0）△B（8，6），设BC所在的直线解析式为y=kx+b，△解得△BC所在的直线解析式为y=x﹣6，△E点是y=x﹣6与y=x2﹣4x+6的交点，△x﹣6=x2﹣4x+6解得x1=3，x2=8（舍去），当x=3时，y=﹣，△E（3，﹣），△△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积=×2×6+×2×=7.5．（4）存在，设点P到x轴的距离为h，△S△BCD=×2×6=6，S△ADP=×4×h=2h△S△ADP=S△BCD△2h=6×，解得h=，当P在x轴上方时，=x2﹣4x+6，解得x1=4+，x2=4﹣，当当P在x轴下方时，﹣=x2﹣4x+6，解得x1=3，x2=5，△P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）．点评：本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是利用待定系数的方法求出函数解析式以及三角形面积的转化．18．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ△AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；平行四边形的性质．专题：综合题．分析：（1）有抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，则可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．由与y轴交于点C（0，﹣3），则代入易得解析式，顶点易知．（2）求△BCM面积与△ABC面积的比，由两三角形不为同高或同底，所以考虑求解求出两三角形面积再作比即可．因为S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC，S△ABC=•AB•OC，则结论易得．（3）由四边形为平行四边形，则对边PQ、AC平行且相等，过Q点作x轴的垂线易得Q到x轴的距离=OC=3，又（1）得抛物线解析式，代入即得Q点横坐标，则Q点可求．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），△抛物线过点（0，3），△﹣3=a（0+1）（0﹣3），△a=1，△抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，△y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，△M（1，﹣4）．（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD△x轴于D，△S△BCM=S梯形OCMD+S△BMD﹣S△BOC=•（3+4）•1+•2﹣4﹣•3•3=+﹣=3S△ABC=•AB•OC=•4•3=6，△S△BCM：S△ABC=3：6=1：2．（3）存在，理由如下：①如图2，当Q在x轴下方时，作QE△x轴于E，△四边形ACQP为平行四边形，△PQ平行且相等AC，△△PEQ△△AOC，△EQ=OC=3，△﹣3=x2﹣2x﹣3，解得x=2或x=0（与C点重合，舍去），△Q（2，﹣3）．②如图3，当Q在x轴上方时，作QF△x轴于F，△四边形ACPQ为平行四边形，△QP平行且相等AC，△△PFQ△△AOC，△FQ=OC=3，△3=x2﹣2x﹣3，解得x=1+或x=1﹣，△Q（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，Q点为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）点评：本题考查了二次函数图象与性质、平行四边形及坐标系中求不规则图形面积等基础考点，难度适中，适合学生练习．19．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且EF=PF，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）E为AB中点，则横坐标、纵坐标分别为3，1，故坐标为（3，1）；由A落在F处，则BF=AB=3，所以横坐标、纵坐标分别为1，2，故坐标为（1，2）．（2）因为FP=EF且图中并无已知位置，所以画圆是找全所有情况的最好办法，发现y轴上存在两点P，使得FP=EF，进一步根据三角形性质可得到坐标，但要考虑题目中对P点的要求对最后结果进行取舍．求抛物线解析式通常采用的方法为待定系数法，注意题中已知F为顶点，故利用顶点式设抛物线解析式求解过程会简单很多．（3）四边形周长最小我们基本没有接触过，但是周长中其中EF固定，那么周长最小就转化为三段折现最短，恰起止两点已经固定，这是我们在学对称轴时常见的画图找最短路径题目，即利用两次对称点性质将问题转化为两个点间路径最短的问题，则N、M两点易找到，进而最短周长易求．解答：解：（1）E（3，1），F（1，2）．（2）如图1，以点C为圆心，BF为半径画弧交y轴于P，P'，连接EF，FP，FP'．△CF△PP'，CP=CP'△F在PP'的垂直平分线上，△FP=FP'．在△FCP和△EBF中，，△△FCP△△EBF，△FP=EF，CP=BF，△FP=FP'=EF，CP=CP'=BF=2，△P（0，4），P'（0，0）（此点不在y的正半轴上，舍去），△F（1，2）为抛物线顶点，△设抛物线解析式y=a（x﹣1）2+2，△代入P（0，4），解得a=2，y=2（x﹣1）2+2=2x2﹣4x+4．（3）如图2，作E点关于x轴的对称的E'，做F点关于y轴的对称的F'，连接E'F'交x轴，y轴分别为M，N，连接EF，EM，FM．△NF=NF'，EM=E'M，△C四边形NMEF=FM+NM+ME+FE=NF'+NM+ME'+EF=E'F'+EF，根据两点间线段最短得，此时C四边形NMEF最小．△E（3，1），F（1，2），△E'（3，﹣1），F（﹣1，2），△BF'=4，BE'=3，△根据勾股定理，E'F'=5，△EF=，△当C四边形NMEF最小时，C四边形NMEF=E'F'+EF=5+．点评：本题考查了三角形性质，待定系数求抛物线解析式及路径最短等基础知识，数据不复杂，难度也适中，是一道非常值得学生巩固练习的题目．20．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A（﹣1，0）和点C（0，﹣5）．（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．。
华东师大版九年级数学下册《26.1二次函数》同步练习(有答案)
26．1 二次函数知识点 1 二次函数的概念1．若y ＝(a －1)x 2－2x ＋6是关于x 的二次函数，则a －1________，所以a 的取值范围是________．2．下列函数：y ＝12x －1，y ＝3x 2，y ＝12x 2－4x ＋1，y ＝2x 2－1，y ＝x (x －2)，y ＝(x －1)2－x 2中，是二次函数的有________个．3．在学习了二次函数的概念后，老师要求同学们各举一个二次函数的例子．小刚：y ＝3x 2－2019是二次函数．小红：y ＝22＋2x 是二次函数．小敏：y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ，b ，c 为常数)是二次函数．小虎：y ＝1－3x ＋15x 2是二次函数． 小华：y ＝x 2－x (x ＋1)是二次函数．小秀：y ＝2x －1＋x 2是二次函数．(1)上面六名同学所举的例子正确吗？若不正确，错在哪里？(2)举一个二次函数的例子应注意哪些问题？4．已知函数y ＝(m －1)xm 2＋1＋3x 是二次函数，求m 的值．知识点 2 确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中a ，b ，c 的值5．二次函数y ＝3x 2＋x －4中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是________．6．把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．(1)y ＝(1－x )(1＋x )；(2)y ＝4x 2－12x (1＋x )；(3)y ＝x 2＋(x －1)2；(4)y＝(x＋1)(2x－3)＋5.知识点3根据实际问题列二次函数关系式7．我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，已知该药品的原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为()A．y＝18(1－x2) B．y＝18(1＋x)2C．y＝18(1－x)2D．y＝18(1＋x2)8．菱形的两条对角线的长度之和为26 cm，则菱形的面积S(cm2)与其中一条对角线的长x(cm)之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围是____________．9．根据下面的条件列出函数关系式，并判断列出的函数关系式是不是二次函数关系式．(1)如果两个数中，其中一个数比另一个数大5，那么这两个数的乘积p是较大的数m 的函数；(2)在一个半径为10 cm的圆上，挖掉4个大小相同的正方形孔，剩余的面积S(cm2)是正方形孔边长x(cm)的函数；(3)有一块长为60 m、宽为40 m的矩形空地，计划在它四周相同的宽度内铺设草坪，中间种郁金香，那么郁金香的种植面积S(m2)是草坪宽度a(m)的函数．10．在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有()①设正方形的边长为x，面积为y，y是x的函数；②x个球队参加比赛，每两个队之间赛一场，则比赛的场次数y是x的函数；③设正方体的棱长为x，表面积为y，y是x的函数；④若一辆汽车以120 km/h的速度匀速行驶，则汽车行驶的里程y(km)是行驶时间x(h)的函数．A．1个B．2个C．3个D．4个11．已知函数y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数)，当a________时，是二次函数；当a________，b________时，是一次函数；当a________，b________，c________时，是正比例函数．12．若函数y＝(m－6)xm2－9m＋20－mx＋5是关于x的二次函数，则m的值是________．13．如图26－1－1，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB长为x m，面积为y m2.(1)写出y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(2)如果要围成面积为45 m2的花圃，那么AB的长度是多少？图26－1－114．教材“问题2”变式某店销售一种小工艺品，该工艺品每件的进价为12元，售价为20元，每周可售出40件．经调查发现，若把每件工艺品的售价提高1元，就会少售出2件．设每件工艺品的售价提高x元，每周销售这种工艺品获得的利润为y元．(1)填空：每件工艺品的售价提高x元后的利润为________元，每周可售出工艺品________件，y关于x的函数关系式为____________________(化为一般形式，并写出自变量的取值范围)；(2)若y＝384，则每件工艺品的售价应定为多少元？15．如图26－1－2所示，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BC＝EF＝8，∠C＝∠F＝90°，且点C，E，B，F在同一条直线上，将△ABC沿CB方向平移，AB与DE相交于点P，设CE＝x，△PBE的面积为S.(1)求S与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；(2)当x＝3时，求△PBE的面积．图26－1－2答案1．≠0 a ≠12．3 [解析] 二次函数的有y ＝3x 2，y ＝12x 2－4x ＋1，y ＝x (x －2)，共3个．故答案为3. 3．解：(1)小刚、小虎所举的例子是正确的，其他人所举的例子都不正确．原因如下：小红举的例子是一次函数，因为式子中不含自变量x 的二次项；小敏所举例子中没有说明二次项系数a ≠0；小华所举例子经过整理得y ＝－x ，实际上是正比例函数；小秀所举例子中含x －1(也就是1x)，不是整式． (2)(答案合理即可)应注意的问题：①等式的右边必须是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0.4．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≠0，m 2＋1＝2，解得m ＝－1， ∴当m ＝－1时，函数y ＝(m －1)xm 2＋1＋3x 是二次函数．5．3，1，－46．解：(1)化为一般形式为y ＝－x 2＋1，二次项系数为－1，一次项系数为0，常数项为1.(2)化为一般形式为y ＝－8x 2－12x ，二次项系数为－8，一次项系数为－12，常数项为0.(3)化为一般形式为y ＝2x 2－2x ＋1，二次项系数为2，一次项系数为－2，常数项为1.(4)化为一般形式为y ＝2x 2－x ＋2，二次项系数为2，一次项系数为－1，常数项为2.7．C [解析] 原价为18元，第一次降价后的价格为18(1－x )元；第二次降价是在第一次降价后的基础上降价的，为18×(1－x )×(1－x )＝18(1－x )2元，则y ＝18(1－x )2.故选C.8．S ＝－12x 2＋13x 0<x <26 [解析] 因为菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半，所以S ＝12x (26－x )＝－12x 2＋13x .因为x >0，26－x >0，所以0<x <26. 9．解：(1)这两个数的乘积p 与较大的数m 之间的函数关系式为p ＝m (m －5)＝m 2－5m ，是二次函数关系式．(2)剩余的面积S (cm 2)与正方形孔边长x (cm)之间的函数关系式为S ＝100π－4x 2，是二次函数关系式．(3)郁金香的种植面积S (m 2)与草坪宽度a (m)之间的函数关系式为S ＝(60－2a )(40－2a )＝4a 2－200a ＋2400，是二次函数关系式．10．C [解析] ①依题意得y ＝x 2，y 是x 的二次函数；②依题意得y ＝12x (x －1)＝12x 2－12x ，y 是x 的二次函数； ③依题意得y ＝6x 2，y 是x 的二次函数；④依题意得y ＝120x ，y 是x 的一次函数．综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．故选C.11．≠0 ＝0 ≠0 ＝0 ≠0 ＝012．3 [解析] 根据题意，得m 2－9m ＋20＝2，且m －6≠0，解得m ＝3.13．解：(1)∵AB ＝x m ，∴BC ＝(24－3x )m ，∴y ＝x (24－3x )＝－3x 2＋24x .∵x >0且10≥24－3x >0，∴143≤x <8. (2)当y ＝45时，即－3x 2＋24x ＝45，∴x ＝3(舍去)或x ＝5，∴当AB 的长度为5 m 时，花圃的面积为45 m 2.14．解：(1)(8＋x ) (40－2x )y ＝－2x 2＋24x ＋320(0≤x ≤20)(2)∵y ＝384，∴384＝－2x 2＋24x ＋320，整理，得x 2－12x ＋32＝0，(x －4)(x －8)＝0，解得x 1＝4，x 2＝8.4＋20＝24(元)，8＋20＝28(元)，故每件工艺品的售价应定为24元或28元．15．解：(1)∵CE ＝x ，BC ＝8，∴EB ＝8－x .∵△ABC 与△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠ABC ＝∠DEF ＝45°，∴△PBE 是等腰直角三角形，∴PB ＝PE ＝22EB ＝22(8－x )， ∴S ＝12PB •PE ＝12×22(8－x )×22(8－x )＝14(8－x )2＝14x 2－4x ＋16， 即S ＝14x 2－4x ＋16(0≤x ＜8)． (2)当x ＝3时，S ＝14×(8－3)2＝254. 即当x ＝3时，△PBE 的面积为254.。
九年级数学下册 第27章 二次函数单元综合测试题 华东师大版
第27章 二次函数一、选择题（每题3分，共24分）1，已知点（a ，8）在二次函数y ＝ax 2的图象上，则a 的值是 （ ）A ，2B ，－2C ，±2 D2，抛物线y ＝x 2＋2x －2的图象的顶点坐标是 （ ） A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3）3，若y =(2-m)23mx -是二次函数，且开口向上，则m 的值为 （ ）A.D.04的图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ）5a ＞0）的顶点在x 轴上方，那么 （ ）A ，b 2－4ac ≥0 B ，b 2－4ac ＞0 C ，b 2－4ac ＜0 D ，b 2－4ac ＝0 6，h 关于t 的函数关系式为h =12gt 2(g 为正常数，t 为时间)，则该函数的图像为（ ）7，已知二次函数y=－12x 2－3x －52，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且－3<x 1<x 2<x 3， 则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是 （ ）th AthB 0ththC8，关于二次函数y =x 2+4x －7的最大(小)值，叙述正确的是 （ ） A.当x =2时，函数有最大值 B.x =2时，函数有最小值C.当x =－1时，函数有最大值D.当x =－2时，函数有最小值 一、 填空题（每题3分，共24分）9，二次函数y =－12x 2+3的开口方向是 . 10，抛物线y =x 2+8x －4与直线x ＝ - 4的交点坐标是 .11，若二次函数y =ax 2的图象过点(－1，2)，则二次函数y =ax 2的解析式是 12，已知抛物线x x y +=2经过点)41,(-a 和),(1y a -，则1y 的值是 .13，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，3)，则该函数解析式是 ．14，若函数y =3x 2与直线y =kx +3的交点为（2，b ），则k ＝ ，b ＝ .15，函数y =9－4x 2，当x =_________时有最 值为________.16，两数和为10，则它们的乘积最大是_______，此时两数分别为________. 二、 解答题（共52分）17，（8分）求下列函数的图像的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标. (1)y =4x 2+24x +35； (2)y =-3x 2+6x +218，（5分）已知抛物线C 1的解析式是5422+-=x x y ，抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，求抛物线C 2的解析式． 19，（7分）(1)在同一坐标系中画出两个函数的图像；（2分）(2)当x 从1开始增大时，预测哪一个函数的值先到达16；（2分）(3)请你编出一个二次项系数是1的二次函数，使得当x =4时，函数值为16。
九年级数学下册 第27章 二次函数综合能力过关训练 华东师大版
第27章 二次函数一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数属于二次函数的是( )A ．y=5x+3B ．y=C ．y=2x 2+x+1D ．y= 2．抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的符号为( )A ．a<0，b>0，c=0B ．a<0，b<0，c>0C ．a<0，b>0，c=0D ．a<0，b>0，c<03．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )A ．(2，-3)B ．(2，1)C ．(2，3)D ．(3，2)4．将抛物线y=4x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为( )A ．y=4(x+2)2+3B ． y=4(x+2)2-3C ． y=4(x-2)2+3D ． y=4(x-2)2-35．已知二次函数y=ax 2-6x+3的顶点坐标在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．二次函数y=ax 2+(2a-1)x+a+的图象与x 轴有两个交点，则a 应为( ) A ． a >B ． a <C ．0< a <D ．以上都不对7．一次函数y=mx+n 的图象如图所示，那么二次函数y=nx 2+mx 的图象大致为( )8．二次函数 y=x 2+mx+n ，若m-n=0，则图象必过点( )A ．(-1，1)B ．(1，-1) C(-1，-1) D(1，1)9．二次函数y=4x 2-mx+5，当x<-2时，y 随x 的增大而减小；当x>-2时， y随x 的增大而增大，那么当x=1时，函数y 的值为( )A ．-7B ．1C ．17D ．2510．抛物线y=-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y>0，则x 取值范围是( )A ．-4<x<1B ．-3<x<1C ．x<-4或x>1D ．x<-3或x>1二 ．填空题(每小题2分，共20分)x y 0y=mx+nx yox y 0y 0y 0x x A B Dx11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P(a，bc)在第_____________象限．12．请写一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点为(0，3)的抛物线解析式________________________．13．函数y=-3x2的图象在对称轴右边，y随x的增大而______________14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|a-b+c|+|2a+b|，Q=|a+b+c|+|2a-b|，则P、Q的大小关系为________________．15．把二次函数y=x2-2x+3化为y=a(x+d)2+k的形式为________________．16．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3，请你写出满足上述一些特点的一个二次函数多项式解析式．17．有一个抛物线的拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标中(如图所示)此抛物线的解析式为．18．若二次函数y=x2-6x+k的最小值为2，则k=_______________．19．若点P(1， a)和Q(-1，b)都在抛物线y=-x2+1上，则线段PQ=_____________．20．将抛物线y=-2(x-1)2向上平移m个单位长度，所得抛物线与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，若x12+x22=16，则m=_____________．三．(本大题共6小题，其中21～23题各9分，24题10分，25题13分，共50分)21．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线对应的关系式及顶点坐标．22．已知二次函数y=-2x2，怎样平移这个函数的图象，才能使它经过(0，1)和(1，6)两点?写出平移后的函数解析式．23．已知二次函数y=-2x2-8x+1中，有两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1=-5，x2=-6，请不求y1与y2的值，直接比较y1与y2的大小．24．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价。
九年级数学下册 第27章二次函数阶段专题复习习题课件 华东师大版
系数的符号
图象特征
a的符号 b的符号 c的符号
开口向上⇔a>0,开口向下⇔a<0
左同右异,顶点在y轴左侧,b与a符号相同;顶点 在y轴右侧,b与a符号相异
c为图象与y轴交点的纵坐标
某些特殊形式的代数式的符号的判断: (1)a+b+c,即x=1时y的值. (2)b2-4ac,根据图象与x轴交点的个数判断.
【例3】(2012·玉林中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示,其对称轴为直线x=1,有如下结论: ①c<1;②2a+b=0;③b2<4ac;④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2, 则x1+x2=2.则正确的结论是( )
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
【思路点拨】由抛物线与y轴的交点在1的上方,得到c的取值范 围;由抛物线的对称轴为x=1,利用对称轴公式得到关于a与b的 关系;由抛物线与x轴的交点有两个,得到根的判别式大于0,整理 可判断③;令抛物线关系式中y=0,得到关于x的一元二次方程, 利用根与系数的关系表示出两根之和,将得到的a与b的关系式 代入可得出两根之和.
4.(2012·牡丹江中考)若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10),则 a-b+c=________. 【解析】y=ax2+bx+c经过点(-1,10),则点的坐标(-1,10)就符 合y=ax2+bx+c,代入得,a-b+c=10. 答案:10
5.(2013·杭州中考)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交 于点A,B(点A,B在原点O两侧),与y轴相交于点C,且点A,C在一次
九年级数学下 第27章 二次函数 第27章综合单元测试华东师大版
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1 / 1 二次函数练习一
一、填空
1、二次函数y=-x 2+6x+3的图象顶点为_________对称轴为_________。
2、二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为_________,对称轴为________。
3、二次函数y=2(x+3)(x-1)的x 轴的交点的个数有_______个，交点坐标为_____________。
4、y=x 2-3x-4与x 轴的交点坐标是__________,与y 轴交点坐标是____________
5、由y=2x 2和y=2x 2+4x-5的顶点坐标和二次项系数可以得出y=2x 2+4x-5的图象可由y=2x 2的图象向__________平移________个单位，再向_______平移______个单位得到。
二、解答：
6、求y=2x 2+x-1与x 轴、y 轴交点的坐标。
7、求y=
31x 2212--x 的顶点坐标。
8、已知二次函数图象顶点坐标（-3，
21）且图象过点（2，211），求二次函数解析式及图象与y 轴的交点坐标。
9、已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。
10、分析若二次函数y=ax 2+bx+c 经过（1，0）且图象关于直线x=
2
1,对称，那么图象还必定经过哪一点？。
华东师大版九年级下册26.1《二次函数》综合练习
华东师大版九年级下册26.1《二次函数》综合练习⑤y= x(1一x)，其中是二次函数的是_________。
(填序号)2. 若二次函数y=ax2+c，当x取x1和x2(x l≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为( )A．a+c B．a－c C．－c D．c3. 根据如图所示的程序计算函数值，若输入的的值为32，则输出的结果为( )A．72B．94C．12D．924. 如图，矩形的长是4 cm，宽是3 cm，如果将其长与宽各增加xcm,那么面积增加y cm2．(1)写出y与x的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?5. 已知二次函数y=ax2+c，当x=2时，y=4；当x=－1时，y=－3，求a，c的值．6. 函数y=(a2－2a－3)x a-1+3ax+l有可能是二次函数吗，为什么?函数y=(a2－2a －3)x a+3ax+1呢?7. 心理学家发现，在一定的范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：min)之间满足函数关系y=－0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30)，y的值越大．表示接受能力越强．(1)若用10 min提出某一概念，学生的接受能力y的值是多少?(2)如果改用8 min或15 min来提出这一概念，那么与用10 min相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答．●体验中考1.（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2 bx。
若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？（）A 第8秒B 第10秒C第12秒D第15秒。
2. (2019年西宁市改编) 现有一块矩形场地，如图所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植： A C x 3A．兰花；B．菊花；C．月季；D．牵牛花．（1）求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式；（2）求出此函数与x轴的交点坐标，并写出自为量的取值范围．参考答案随堂检测：1.A（提示：二次函数的概念的注意点：0,a≠次数是二次，整式）2.C3.D（提示：0a≠）4. S=a2二次5. -2拓展提高：1. ①⑤提示：先将所给函数式右边的代数式通过去括号、合并同类项、降幂排列等变形，再根据二次函数的定义进行判断．2.D3.C4.(1)y=x2+7x (2)二次函数(3)x≥05. 根据题意得443a ca c+=⎧⎨+=-⎩，解得73163ac⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩6. 函数y=(a2一2a一3)x a-1+3ax+1不可能是二次函数，因为当a一1=2时，a=3，此时a2一2a一3=0．由a+1=2得a=1，当a=1时，函数y=(a2—2a一3)x a+1+3ax+1为y=-4x2+3x+1是二次函数．7. (1)y=59．(2)用8 min，y=57．4，与用10 min相比，学生的接受能力减弱了；用15 min，y=59．5，与用10 min相比，学生的接受能力增强了．体验中考：1. B2. 解：（1）B地的长是x，宽是（30-x）；由题意得：y=x（30-x）即y=-x2+30x（2）令y=0，所以-x2+30x=0, x1=0, x2=30所以函数与x轴的交点坐标(0,0),(30,0)自变量的取值范围是：0<x<30。
(华师大版)九年级数学下：26.3.4二次函数综合题(4)(含答案)
26.3.4二次函数综合4农安县合隆中学徐亚惠一．选择题（共12小题）1．下列函数中，不是二次函数的是（）A．y=1﹣x2B．y=2（x﹣1）2+4 C．y=（x﹣1）（x+4）D．y=（x﹣2）2﹣x22．如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E由B沿折线BCD向点D移动，EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，设BM=x，矩形AMEN的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是（）A．①④B．①③C．②④D．①②4．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．B．C．3D．45．如图，点A（a，b）是抛物线上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（）（5题）（6题）（9题）（18题）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（）A．ab=﹣2 B．a b=﹣3 C．a b=﹣4 D．a b=﹣57．对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y=x2﹣mx+m ﹣2（m为实数）的零点的个数是（）A．1 B．2C．0D．不能确定8．用60m的篱笆围成一面靠墙且分隔成两个矩形的养鸡场，则养鸡场的最大面积为（）A．450m2B．300m2C．225m2D．60m29．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0，b2﹣4ac＞0C． a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＜0 D．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞010．已知二次函数y=ax2+c，且当x=1时，﹣4≤y≤﹣1，当x=2时，﹣1≤y≤5，则当x=3时，y的取值范围是（）A．﹣1≤y≤20 B．﹣4≤y≤15 C．﹣7≤y≤26 D．≤y≤11．已知一次函数y=ax+c与y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．12．下列函数，y=3x2，，y=x（x﹣2），y=（x﹣1）2﹣x2中，二次函数的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共8小题）13．已知是二次函数，则a=_________．14．在同一直角坐标系内直线y=x﹣1，双曲线，抛物线y=﹣2x2+12x﹣15这三个图象共有_________个交点．15．如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是_________．16．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a=_________．17．将进货单价为50元的某种商品按零售价每个80元出售，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降1元，其销售量就增加1个，则为了获得最大利润，应降价_________元．18．如图，矩形ABCD的长AB=4cm，宽AD=2cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线的顶点是O，关于OP对称且经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是_________cm2．19．二次函数y=x2+（2+k）x+2k与x轴交于A，B两点，其中点A是个定点，A，B分别在原点的两侧，且OA+OB=6，则直线y=kx+1与x轴的交点坐标为_________．20．若函数y=3x2﹣（9+a）x+6+2a（x是自变量且x为整数），在x=6或x=7时取得最小值，则a的取值范围是_________．三．解答题（共6小题）21．如图，一次函数y=﹣2x+b的图象与二次函数y=﹣x2+3x+c的图象都经过原点，（1）b=_________，c=_________；（2）一般地，当直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行时，k1=k2，b1≠b2，若直线y=kx+m与直线y=﹣2x+b平行，与轴交于点A，且经过直线y=﹣x2+3x+c的顶点P，则直线y=kx+m的表达式为_________；（3）在满足（2）的条件下，求△APO的面积．22．已知一个二次函数的图象经过A（4，﹣3），B（2，1）和C（﹣1，﹣8）三点．（1）求这个二次函数的解析式以及它的图象与x轴的交点M，N（M在N的左边）的坐标．（2）若以线段MN为直径作⊙G，过坐标原点O作⊙G的切线OD，切点为D，求OD的长．（3）求直线OD的解析式．（4）在直线OD上是否存在点P，使得△MNP是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标（只需写出结果，不必写出解答过程）；如果不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P 到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B．（1）求抛物线的表达式；（2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式；（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）．若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y=经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1．（1）求B点坐标；（2）求证：ME是⊙P的切线；（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；②若FQ=t，S△ACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式．25．如图，抛物线C1：y=x2+2x﹣3的顶点为M，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，顶点为N，与x轴相交于E、F两点．（1）抛物线C2的函数关系式是_________；（2）点A、D、N是否在同一条直线上？说明你的理由；（3）点P是C1上的动点，点P′是C2上的动点，若以OD为一边、PP′为其对边的四边形ODP′P（或ODPP′）是平行四边形，试求所有满足条件的点P的坐标；（4）在C1上是否存在点Q，使△AFQ是以AF为斜边且有一个角为30°的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26.3.4二次函数综合4参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列函数中，不是二次函数的是（）A．y=1﹣x2B．y=2（x﹣1）2+4 C．y=（x﹣1）（x+4）D．y=（x﹣2）2﹣x2考点：二次函数的定义．分析：利用二次函数的定义，整理成一般形式就可以解答．解答：解：A、y=1﹣x2=﹣x2+1，是二次函数，正确；B、y=2（x﹣1）2+4=2x2﹣4x+6，是二次函数，正确；C、y=（x﹣1）（x+4）=x2+x﹣2，是二次函数，正确；D、y=（x﹣2）2﹣x2=﹣4x+4，是一次函数，错误．故选D．点评：本题考查二次函数的定义．2．如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E由B沿折线BCD向点D移动，EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，设BM=x，矩形AMEN的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象；二次函数的图象．专题：压轴题；动点型．分析：利用面积列出二次函数和一次函数解析式，利用面积的变化选择答案．解答：解：根据已知可得：点E在未到达C之前，y=x（5﹣x）=5x﹣x2；且x≤3，当x从0变化到2.5时，y逐渐变大，当x=2.5时，y有最大值，当x从2.5变化到3时，y逐渐变小，到达C之后，y=3（5﹣x）=15﹣3x，x＞3，根据二次函数和一次函数的性质．故选：A．点评：利用一次函数和二次函数的性质，结合实际问题于图象解决问题．3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是（）A．①④B．①③C．②④D．①②考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题；推理填空题．分析：根据点B坐标和对称轴求出A的坐标，即可判断①；由图象可知：当x=1时，y＞0，把x=1代入二次函数的解析式，即可判断②；抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，得出a＜0，c＞0，即可判断③；根据抛物线与x轴有两个交点，即可判断④．解答：解：∵点B坐标（﹣1，0），对称轴是直线x=1，∴A的坐标是（3，0），∴OA=3，∴①正确；∵由图象可知：当x=1时，y＞0，∴把x=1代入二次函数的解析式得：y=a+b+c＞0，∴②错误；∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴③错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴④正确；故选A．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力，是一道比较容易出错的题目，但题型比较好．4．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．B．C．3D．4考点：二次函数的最值；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出=，=，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．解答：解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM，∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=OA=2，由勾股定理得：DE=，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，∴=，=，∵AM=PM=（OA﹣OP）=（4﹣2x）=2﹣x，即=，=，解得：BF=x，CM=﹣x，∴BF+CM=．故选A．点评：本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．5．如图，点A（a，b）是抛物线上一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中（点A不与坐标原点O重合），以下结论：①ac为定值；②ac=﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数综合题．专题：计算题；代数几何综合题．分析：过点A、B分别作x轴的垂线，通过构建相似三角形以及函数解析式来判断①②是否正确．△AOB的面积不易直接求出，那么可由梯形的面积减去构建的两个直角三角形的面积得出，根据得出的式子判断这个面积是否为定值．利用待定系数法求出直线AB的解析式，即可判断④是否正确．解答：解：过A、B分别作AC⊥x轴于C、BD⊥x轴于D，则：AC=b，OC=﹣a，OD=c，BD=d；（1）由于OA⊥OB，易知△OAC∽△BOD，有：=，即=∴ac=﹣bd（结论②正确）．（2）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式中，有：b=a2…Ⅰ、d=c2…Ⅱ；Ⅰ×Ⅱ，得：bd=a2c2，即﹣ac=a2c2，ac=﹣4（结论①正确）．（3）S△AOB=S梯形ACDB﹣S△ACO﹣S△BOD=（b+d）（c﹣a）﹣（﹣a）b﹣cd=bc﹣ad=（bc﹣•）=（bc+）由此可看出，△AOB的面积不为定值（结论③错误）．（4）设直线AB的解析式为：y=kx+h，代入A、B的坐标，得：ak+h=b...Ⅲ、ck+h=d (Ⅳ)Ⅲ×c﹣Ⅳ×a，得：h===﹣ac=2；∴直线AB与y轴的交点为（0，2）（结论④正确）．综上，共有三个结论是正确的，它们是①②④，故选C．点评：题目涉及的考点并不复杂，主要有：利用待定系数法确定函数解析式、相似三角形的判定和性质以及图形面积的解法，难就难在式子的变形，可以将已知的条件列出，通过比较式子间的联系来找出答案．6．如图，抛物线m：y=ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（）A．ab=﹣2 B．a b=﹣3 C．a b=﹣4 D．a b=﹣5考点：二次函数综合题．专题：综合题；压轴题．分析：假设a=﹣1，b=1得出抛物线m的解析式，再利用C与C1关于点B中心对称，得出二次函数的顶点坐标，利用矩形性质得出要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，即可求出．解答：解：假设a=﹣1，b=1时，抛物线m的解析式为：y=﹣x2+1．令x=0，得：y=1．∴C（0，1）．令y=0，得：x=±1．∴A（﹣1，0），B（1，0），∵C与C1关于点B中心对称，∴抛物线n的解析式为：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3；令x=0，得：y=b．∴C（0，b）．令y=0，得：ax2+b=0，∴x=±，∴A（﹣，0），B（，0），∴AB=2，BC==．要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，∴2=．∴4×（﹣）=b2﹣，∴ab=﹣3．∴a，b应满足关系式ab=﹣3．故选B．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键．7．对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y=x2﹣mx+m ﹣2（m为实数）的零点的个数是（）A．1 B．2C．0D．不能确定考点：抛物线与x轴的交点．专题：压轴题；新定义．分析：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点，判断二次函数y=x2﹣mx+m﹣2的零点的个数，也就是判断二次函数y=x2﹣mx+m﹣2与x轴交点的个数；根据△与0的关系即可作出判断．解答：解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点△=（﹣m）2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4∵（m﹣2）2一定为非负数∴（m﹣2）2+4＞0∴二次函数y=x2﹣mx+m﹣2（m为实数）的零点的个数是2．故选B．点评：考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数．8．用60m的篱笆围成一面靠墙且分隔成两个矩形的养鸡场，则养鸡场的最大面积为（）A．450m2B．300m2C．225m2D．60m2考点：二次函数的最值．分析：设矩形的宽为xm，表示出长为60﹣3x，根据矩形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．解答：解：设矩形的宽为xm，则长为60﹣3x，养鸡场的面积=（60﹣3x）x=﹣3x2+60x=﹣3（x﹣10）2+300，∵﹣3＜0，∴当养鸡场的宽为10m时，养鸡场的最大面积为300m2．故选B．点评：本题考查了二次函数的最值，要注意分隔成两个矩形有三条宽．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）A．a＜0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0，b2﹣4ac＞0C． a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＜0 D．a＞0，b＜0，c＞0，b2﹣4ac＞0考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：根据抛物线的开口方向判定a的符号，根据对称轴的位置来确定b的符号，根据抛物线与y轴的交点位置来判断c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数可确定根的判别式．解答：解：由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；对称轴在y轴左侧，则x=﹣＜0，即b＜0；抛物线交y轴于正半轴，则c＞0；与x轴有两个不同的交点，则b2﹣4ac＞0；故选A．点评：考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．10．已知二次函数y=ax2+c，且当x=1时，﹣4≤y≤﹣1，当x=2时，﹣1≤y≤5，则当x=3时，y的取值范围是（）A．﹣1≤y≤20 B．﹣4≤y≤15 C．﹣7≤y≤26 D．≤y≤考点：二次函数的性质．分析：由当x=1时，﹣4≤y≤﹣1，当x=2时，﹣1≤y≤5，将y=ax2+c代入得到关于a、c的两个不等式组，再设x=3时y=9a+c=m（a+c）+n（4a+c），求出m、n的值，代入计算即可．解答：解：由x=1时，﹣4≤y≤﹣1得，﹣4≤a+c≤﹣1…①由x=2时，﹣1≤y≤5得，﹣1≤4a+c≤5…②x=3时，y=9a+c=m（a+c）+n（4a+c）得，解得，故≤﹣（a+c）≤，﹣≤（4a+c）≤，∴﹣1≤y≤20．选A点评：本题考查了二次函数性质的运用，熟练解不等式组是解答本题的关键．11．已知一次函数y=ax+c与y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．专题：压轴题．分析：本题可先由一次函数y=ax+c的图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．解答：解：A、D中，由二次函数图象可知a的符号，与由一次函数的图象可知a的符号，两者相矛盾，排除A、D；一次函数y=ax+c与y=ax2+bx+c的图象都过点（0，c），排除B．C正确，故选C．点评：解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断a取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求．12．下列函数，y=3x2，，y=x（x﹣2），y=（x﹣1）2﹣x2中，二次函数的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：二次函数的定义．分析：整理成一般形式后，根据二次函数的定义条件判定即可．解答：解：y=3x2，，y=x（x﹣2）都符合二次函数定义的条件，是二次函数；，y=（x﹣1）2﹣x2整理后，都是一次函数．二次函数有三个．故选B．点评：本题考查二次函数的定义．二．填空题（共8小题）13．已知是二次函数，则a=﹣1．考点：二次函数的定义．分析：由二次函数的定义，列出方程与不等式解答即可．解答：解：根据题意可得a2﹣2a﹣1=2解得a=3或﹣1又∵a﹣3≠0∴a≠3，∴a=﹣1．点评：此题考查二次函数的定义．14．在同一直角坐标系内直线y=x﹣1，双曲线，抛物线y=﹣2x2+12x﹣15这三个图象共有5个交点．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：数形结合．分析：建立网格结构平面直角坐标系，然后作出三个函数的函数图象，根据图象即可得解．解答：解：如图所示，三个图象在第一象限有3个交点，在第三象限，直线与双曲线有一个交点，抛物线与双曲线也一定有一个交点，所以共有5个交点．故答案为：5．点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，本题易错点在于在第一象限，三个函数图象都经过点（2，1），在第三象限抛物线与双曲线必有一交点．15．如果函数y=b的图象与函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是﹣6、﹣．考点：二次函数的性质．专题：计算题；压轴题．分析：按x≥1和x＜1分别去绝对值，得到分段函数，确定两函数图象的交点坐标，顶点坐标，结合分段函数的自变量取值范围求出符合条件的b的值．解答：解：当x≥1时，函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3=x2﹣7x，图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），当x＜1时，函数y=x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3=x2﹣x﹣6，顶点坐标为（，﹣），∴当b=﹣6或b=﹣时，两图象恰有三个交点．故本题答案为：﹣6，﹣．点评：本题考查了分段的两个二次函数的性质，根据绝对值里式子的符号分类，得到两个二次函数是解题的关键．16．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a=2．考点：待定系数法求二次函数解析式．专题：压轴题．分析：根据抛物线顶点的纵坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意要有意义．解答：解：因为抛物线的顶点坐标为（﹣，）所以=2解得：a1=2，a2=﹣1又因为要有意义则a≥0所以a=2．点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比如：中a≥0．17．将进货单价为50元的某种商品按零售价每个80元出售，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降1元，其销售量就增加1个，则为了获得最大利润，应降价5元．考点：二次函数的应用．专题：探究型．分析：设应降价x元，利润为y元，则每天售出的个数为20+x，每个的利润为80﹣50﹣x，由此列出关于x、y的一元二次方程，再求出y最大时x的值即可．解答：解：设应降价x元，利润为y元，则每天售出的个数为20+x，每个的利润为80﹣50﹣x，故y=（80﹣50﹣x）（20+x），即y=﹣x2+10x+600，当x==5元时，y有最大值．故答案为：5．点评：本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于x、y的函数解析式是解答此题的关键．18．如图，矩形ABCD的长AB=4cm，宽AD=2cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线的顶点是O，关于OP对称且经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是cm2．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：观察图形易得图中阴影部分的面积是半圆的面积，其半径为AB的，根据面积公式即可解答．解答：解：观察图形，根据二次函数的对称性可得图中阴影部分的面积是半圆的面积，其半径为AB的，即半径为1，易得其面积为．故答案为：．点评：本题考查不规则图形的面积求法，要根据图形的对称性与相互关系转化为规则的图形的面积，再进行求解．19．二次函数y=x2+（2+k）x+2k与x轴交于A，B两点，其中点A是个定点，A，B分别在原点的两侧，且OA+OB=6，则直线y=kx+1与x轴的交点坐标为（，0）或（﹣，0）．考点：抛物线与x轴的交点．分析：先根据A，B分别在原点的两侧，且OA+OB=6设出A、B两点的坐标，再根据两根之和公式与两根之积公式求得k的值，让直线的y的值为0即可求得直线y=kx+1与x轴的交点坐标．解答：解：∵A，B分别在原点的两侧，A点在左侧，且OA+OB=6，∴设A（a，0），则B（6+a，0），∵函数y=x2+（2+k）x+2k的图象与x轴的交点就是方程x2+（2+k）x+2k=0的根，∴a+6+a=﹣（2+k），a•（6+a）=2k，即2a=﹣k﹣8，6a+a2=2k，解得a=﹣8，或a=﹣2，当a=﹣2时，k=﹣4，∴直线y=kx+1为直线y=﹣4x+1，与x轴交点坐标为（，0），当a=﹣8时，k=8，∴直线y=kx+1为直线y=8x+1，与x轴交点为（﹣，0）（不合题意舍去）故直线y=kx+1与x轴的交点坐标为（，0）．点评：当告诉二次函数与x轴的两个交点时，利用根与系数的关系求得相关未知数的值是解题关键．20．若函数y=3x2﹣（9+a）x+6+2a（x是自变量且x为整数），在x=6或x=7时取得最小值，则a的取值范围是24＜a＜36．考点：二次函数的最值．分析：根据x取整数，在x=6或x=7时取得最小值判断出对称轴的取值范围在5.5到7.5之间，然后列出不等式组求解即可得到a的值．解答：解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∵在x=6或x=7时取得最小值，x是整数，∴，解不等式①得，a＞24，解不等式②得，a＜36，所以，不等式组的解是24＜a＜36，即a的取值范围是24＜a＜36．故答案为：24＜a＜36．点评：本题考查了二次函数的最值问题，根据取得最小值时的x的取值判断出对称轴的取值范围，列出不等式组是解题的关键．三．解答题（共6小题）21．如图，一次函数y=﹣2x+b的图象与二次函数y=﹣x2+3x+c的图象都经过原点，（1）b=0，c=0；（2）一般地，当直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行时，k1=k2，b1≠b2，若直线y=kx+m与直线y=﹣2x+b平行，与轴交于点A，且经过直线y=﹣x2+3x+c的顶点P，则直线y=kx+m的表达式为y=﹣2x+；（3）在满足（2）的条件下，求△APO的面积．考点：二次函数综合题．专题：探究型．分析：（1）把（0，0）分别代入一次函数y=﹣2x+b的图象与二次函数y=﹣x2+3x+c的解析式及可求出b、c的值；（2）先由（1）中b、c的值得出一次函数与二次函数的解析式，再根据直线y=kx+m与直线y=﹣2x+b平行，且经过直线y=﹣x2+3x+c的顶点P即可得出直线的解析式；（3）根据直线y=kx+m的解析式求出A点坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论．解答：解：（1）∵一次函数y=﹣2x+b的图象与二次函数y=﹣x2+3x+c的图象都经过原点，∴b=0，c=0．（2）∵由（1）知b=0，c=0，∴一次函数的解析式为y=﹣2x，二次函数的解析式为y=﹣x2+3x，∴顶点坐标为P（，），∵直线y=kx+m与直线y=﹣2x+b平行，∴k=﹣2，∵经过直线y=﹣x2+3x+c的顶点P，∴=（﹣2）×+m，解得m=，∴y=﹣2x+；（3）∵直线的解析式为y=﹣2x+，∴A（0，），∵P（，），∴S△APO=××=．故答案为：0，0．点评：本题考查的是二次函数综合题，熟知用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式是解答此题的关键．22．已知一个二次函数的图象经过A（4，﹣3），B（2，1）和C（﹣1，﹣8）三点．（1）求这个二次函数的解析式以及它的图象与x轴的交点M，N（M在N的左边）的坐标．（2）若以线段MN为直径作⊙G，过坐标原点O作⊙G的切线OD，切点为D，求OD的长．（3）求直线OD的解析式．（4）在直线OD上是否存在点P，使得△MNP是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标（只需写出结果，不必写出解答过程）；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：计算题；代数几何综合题；压轴题；数形结合；分类讨论．分析：（1）已知函数图象上三个不同点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；再令函数值为0，就能求出点M、N的坐标（注意它们的位置）．（2）在（1）题中，已经求得了M、N的坐标，则线段OM、ON的长可知，直接利用切割线定理即可求出OD的长．（3）利用待定系数法求直线OD的解析式，必须先求出点D的坐标；连接圆心和切点，过点D作x轴的垂线OE （垂足为E），首先由半径长和OD的长求出∠DOG的度数，然后在Rt△ODE中，通过解直角三角形求出DE、OE 的长，则点D的坐标可知，由此得解（需要注意的是：点D可能在x轴上方，也可能在x轴下方，所以直线OE的解析式应该有两个）．（4）在（3）中，已经知道共有两条直线OD，所以要分两种大的情况讨论，它们的解答方法是一致的，以点P在x轴上方为例进行说明：①当点M是直角顶点时，MP所在直线与x轴垂直，即M、P的横坐标相同，直接将点M的横坐标代入直线OD 的解析式中即可得到点P的坐标；②当点P是直角顶点时，由圆周角定理知：（2）题的切点D正好符合点P的条件；③当点N是直角顶点时，方法同①．解答：解：（1）设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线经过A（4，﹣3），B（2，1）和C（﹣1，﹣8）三点，∴解之，得∴抛物线为y=﹣x2+4x﹣3，令y=0，得﹣x2+4x﹣3=0，解得x1=1，x2=3．∴抛物线与x轴的交点坐标为M（1，0），N（3，0）．（2）过原点O作⊙G的切线，切点为D．易知OM=1，ON=3．由切割线定理，得OD2=OM•ON=1×3．∴OD=，即所求的切线OD长为．（3）如右图，连接DG，则∠ODG=90°，DG=1．∵OG=2，∴∠DOG=30°．过D作DE⊥OG，垂足为E，则DE=OD•sin30°=，DE=OD•cos30°=．∴点D的坐标为D（，）或（，﹣）．从而直线OD的解析式为y=±x．（4）Ⅰ、当点P在x轴上方时；①点M是直角顶点，此时MP1⊥x轴，即M、P1的横坐标相同；当x=1时，y=x=；即P1（1，）；②当点P是直角顶点时，由（2）知，P2、D重合，即P2（，）；③当点N是直角顶点，同①可求得P3（3，）．Ⅱ、当点P在x轴下方时，同Ⅰ可知：P4（1，﹣），P5（，﹣），P6（3，﹣）．综上，在直线OD上存在点P，使△MNP是直角三角形．所求P点的坐标为（1，±），或（3，±），或（，±）．点评：此题是几何与代数知识的综合运用，在考查常规知识的同时，结合圆的对称性等渗透了分类讨论思想．解答（3）（4）问时，解题者常拘泥于习惯性思维，只考虑到在x轴上方的切线OD和以P为直角顶点的Rt△MNP这些常见情形，从而导致丢解．作为压轴题，本题（4）问显示出了层次性，由易到难，逐步深入，体现了命题者的匠心．23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点．P 到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B．（1）求抛物线的表达式；（2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式；（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（1）已知点P到坐标轴的距离以及点P所在的象限，先确定点P的坐标；而点A、C关于抛物线对称轴对称，先求出点A的坐标，再由点A、P、C以及待定系数法确定二次函数的解析式．（2）过点D作y轴的垂线，通过构建的相似三角形先求出点D的横坐标，代入抛物线的解析式中能确定点D的坐标；再由待定系数法求直线DF的解析式．（3）由（2）的结论可先求出点F的坐标，先设出点M的坐标，则OF、OM、FM的表达式可求，若以O、F、M、N为顶点的四边形为菱形，那么可分两种情况：①以OF为对角线，那么点M必为线段OF的中垂线与直线DF的交点，此时点M的纵坐标为点F纵坐标的一半，代入直线DF的解析式后可得点M的坐标；②以OF为边，那么由OF=OM或FM=OF列出等式可求出点M的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C∴C（0，﹣3）则OC=3；∵P到x轴的距离为，P到y轴的距离是1，且在第三象限，∴P（﹣1，﹣）；∵C关于直线l的对称点为A∴A（﹣2，﹣3）；将点A（﹣2，﹣3），P（﹣1，﹣）代入抛物线y=ax2+bx﹣3中，有：，解得∴抛物线的表达式为y=x2+x﹣3．（2）过点D做DG⊥y 轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°∵∠DEG=∠BEC∴△DEG∽△BEC∵DE：BE=4：1，∴DG：BC=4：1；已知BC=1，则DG=4，点D的横坐标为4；将x=4代入y=x2+x﹣3中，得y=5，则D（4，5）．。
九年级数学下册 26.1 二次函数练习(含解析)(新版)华东师大版
26.1二次函数同步练习一、选择题1.函数432-+=x x y ( )A ．一次函数B ．二次函数C ．正比例函数D ．反比例函数 答案：B解析：解答：因为函数中二次项的系数03≠，函数形式符合二次函数．故选：B ．分析：根据二次函数的定义形如c bx ax y ++=2，()0≠a 判断函数是否是二次函数．2．在下列y 关于x 的函数中，一定是二次函数的是（ ）A ．2x y =B ．21xy = C ．2kx y = D ．x k y 2= 答案：A解析：解答：A.符合二次函数定义形式，是二次函数；B.是分式方程，故B 错误；C.当k =0时，不是函数，故C 错误；D.当k =0是常函数，故D 错误．故选：A ．分析：根据二次函数的定义形如c bx ax y ++=2，()0≠a 是二次函数．3.对于任意实数m ,下列函数一定是二次函数的是( )A ．()221x m y -=B ．()221x m y +=C ．()221x m y +=D ．()221x m y -=答案：C解析：解答：A.当m =1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误；B.当m =-1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误；C.无论m 取何值，12+m 总大于或等于1，即无论m 取何值，12+m 都不等于0，符合二次函数概念，是二次函数，故正确． 故选：C ．分析：根据二次函数的定义形如c bx axy ++=2，()0≠a 是二次函数． 4. 二次函数532+=x y 的二次项系数是( )A.3B.2C.5D.0答案：A解析：解：二次函数532+=x y的二次项系数是3，一次项系数是0．故选：A ．分析：本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．5．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．22=+xxy B ．0222=+-y x C ．21x y = D ．02=-x y答案：B 解析：解：A.整理为y=22x x x-+不是二次函数，故A 错误； B.0222=+-y x 变形，得1212+=x y ，是二次函数，故B 正确； C.分母中含自变量，不是二次函数，故C 错误；D.y 的指数是2，y 不是x 的二次函数，故此选项错误．故选：B ．分析：整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．6．下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．x y 2=B ．()()312-+=x x yC ．23-=x yD ．xx y 12+= 答案：B解析：解：A.xy 2=是反比例函数，故本选项错误； B.()()6423122--=-+=x x x x y ，是二次函数，故本选项正确；C.23-=x y 是一次函数，故本选项错误；D.xx x x y 112+=+=，不是二次函数，故本选项错误． 故选：B ．分析：根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．7．已知函数()5621--+=m m x m y 是二次函数，则m 等于（ ） A ．7B ．-2或7C ．﹣1D ．以上都不对 答案：A解析：解：∵()5621--+=m m x m y 是二次函数， ∴2562=--m m ，∴m =7或m =﹣1（舍去）．故选A ．分析：根据二次函数的定义列出关于m 的方程，求出m 的值即可．8．下列函数是二次函数的是（ ）A ．12+=x yB ．12+-=x yC ．22+=x yD ．221-=x y 答案：C解析：解：A.12+=x y ，是一次函数，故此选项错误；B.12+-=x y ，也是一次函数，故此选项错误；C.22+=x y 是二次函数，故此选项正确； D.221-=x y ，是一次函数，故此选项错误． 故选：C ．分析：直接根据二次函数的定义判定即可．9．下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．32-=x yB ．()221x x y -+=C ．x x y 722-= D ．22x y -= 答案：C解析：解：A.函数32-=x y 是一次函数，故本选项错误；B.由原方程化简，得12+=x y ，属于一次函数，故本选项错误；C.函数x xy 722-=符合二次函数的定义；故本选项正确； D.22xy -=不是整式；故本选项错误． 故选:C ．分析：二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数．二次函数可以表示为c bx ax y ++=2，()0≠a ．10．下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ）A ．x xy +=21 B ．c bx ax y ++=2 C ．()227+-=x x y D ．()()121-+=x x y 答案：D解析：解答：解：A.x xy +=21中未知数的最高次数不是2，故本选项错误； B.c bx axy ++=2二次项系数a =0时，c bx ax y ++=2不是二次函数，故本选项错误； C.∵()()4914121--=-+=x x x y ，即4914--=x y ，没有二次项，故本选项错误；D.由原方程得，122--=x xy ，符合二次函数的定义，故本选项正确．故选：D ． 分析：根据二次函数的定义解答．11．已知函数①45-=x y ，②x x t 6322-=，③38223+-=x x y ，④1832-=x y ，⑤2132+-=xx y ，其中二次函数的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：解：①45-=x y ，③38223+-=x x y ，⑤2132+-=xx y 不符合二次函数解析式， ②x x t 6322-=，④1832-=x y 符合二次函数解析式，有两个． 故选B ．分析：首先去掉不是整式的函数，再利用二次函数的定义条件判定即可． 12.下列函数关系中，可以看做二次函数c bx ax y ++=2，()0≠a 模型的是（ ）A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B.我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D.圆的周长与圆的半径之间的关系答案：C解析：解：A.距离一定，汽车行驶的速度与行驶的时间的积是常数，即距离，速度与时间成反比例关系；B.设原来的人口是a ，x 年后的人口数是y ，则()x a y %11+=，是正比例函数；C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）是二次函数．D.设半径是r ，则周长r Cπ2=，是一次函数关系．故选C ． 分析：根据实际问题中的数量关系及二次函数的模型，逐一判断．13.若函数()1222--+=m m x m m y 是二次函数,那么m 的值是( )A.2B.-1或3C.3D.1-答案：C解析：解：∵()1222--+=m m x m m y 是二次函数， ∴2122=--m m ，∴m =3或m =-1． 当m =-1时02=+m m ，所以m =3 故选C ．分析：根据二次函数的定义列出关于m 的方程，求出m 的值即可．14.下列函数中,是二次函数的是( ) A.182+=x y B.18+=x y C.x y 8= D.28x y = 答案：A解析：解答：A 符合二次函数定义形式，是二次函数；B 一次函数，故B 错误；C 是反比例函数，故C 错误；D 不符合二次函数定义形式，故D 错误．故选：A ．分析：根据二次函数的定义形如c bx axy ++=2，()0≠a 是二次函数． 15.若()222--=m x m y 是二次函数,则m 等于( ) A ．2B ．-2C ．±2D ．不能确定 答案：B解析：解答：根据二次函数的定义,得222=-m ,解得m =2或m =-2,又2-m ≠0,即m ≠2,故当m =-2时,这个函数是二次函数.故选：B ．分析：根据二次函数的定义可得答案．二、填空题16. 关于x 的函数()()m x m x m y +-++=112,当m =0时,它是________函数;当m =-1时,它是________函数.答案：二次|一次解析：解答：当m =0时,函数关系式可化为x x y-=2,是一个二次函数;当m =-1时,函数关系式可化为12--=x y ,是一次函数．分析：将m =0和m =1分别代入等式中再进行判断． 17．已知()ax x a y ++=21是二次函数，那么a 的取值范围是_________ 答案：a ≠﹣1解析：解答：根据二次函数的定义可得a +1≠0，即a ≠﹣1．分析：根据二次函数的定义条件列出不等式求解即可．18．已知()322-++=x x a y 是关于x 的二次函数，则常数a 应满足的条件是 _________．答案：a ≠﹣2解析：解答：由()322-++=x x a y是关于x 的二次函数，得02≠+a ． 解得a ≠﹣2，故答案为：a ≠﹣2．分析：根据形如c bx axy ++=2，()0≠a 是二次函数，可得答案． 19．已知()k k x k y ++=22是二次函数，则k 的值为_________． 答案：1解析：解答：∵()k k x k y ++=22是二次函数， ∴22=+k k 且k +2≠0，解得k =1，故答案为：1．分析：利用二次函数的定义列方程求解即可．20．已知方程02=++cy bx ax （0≠a ，b 、c 为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为_________，成立的条件是_________，是 _________函数． 答案：x cb xc a y --=2|a ≠0，c ≠0|二次． 解析：解答：整理得函数表达式为x cb xc a y --=2，成立的条件是a ≠0，c ≠0，是二次函数． 故答案为：x cb xc a y --=2；a ≠0，c ≠0；二次． 分析：函数通常情况下是用x 表示y ．注意分母不为0，二次项的系数不为0．三、解答题21.已知函数()35112-+-=+x x m y m y 是二次函数，求m 的值．答案：解答：()35112-+-=+x x m y m 是二次函数，得 21012m m ì-?ïïíï+=ïî解得m =﹣1．解析：本题考查了二次函数的定义，注意二次项的系数不等于零，二次项的次数是2． 分析：根据二次函数是c bx axy ++=2的形式，可得答案． 22. 已知函数()2222+-+=m m x m m y ． (1)当函数是二次函数时,求m 的值．答案：解答：(1)依题意,得2222=+-m m , 解得m =2或m =0;又02≠+m m ,解得m ≠0且m ≠-1;因此m =2.(2)当函数是一次函数时,求m 的值．答案：解答：依题意,得1222=+-m m , 解得m =1;当m =1时,02≠+m m , 因此m =1.解析：本题考查了二次函数和一次函数的定义，注意二次项的系数不等于零，二次项的次数是2，所以令2222=+-m m 且02≠+m m 即可．同理第二问令1222=+-m m 即可求解.分析：根据二次函数是c bx axy ++=2,()0≠a 的形式，可得答案． 23．己知()m x m y m ++=21是关于x 的二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．求：（1）m 的值．答案：解答：（1）∵()m x m y m ++=21是关于x 的二次函数，∴22=m ，解得m =， ∵当x ＞0时，y 随x 的增大而减小， ∴m+1＜0，m =﹣，m =（不符合题意，舍）；（2）求函数的最值．答案：解答：当x =0时，y 最大=m =﹣． 解析：（1）根据()m x m y m ++=21是关于x 的二次函数，可得22=m ，再由当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，可得m +1＜0，从而得出m 的值；（2）根据顶点坐标即可得出函数的最值．分析：本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数的性质．24．已知()()212232m x m x m m y m x +-+-=--是x 的二次函数，求出它的解析式． 答案：解答：根据二次函数的定义可得：2122=--m m ，且02≠-m m ， 解得 m =3或m =﹣1；当m =3时，962+=x y ；当m =﹣1时，1422+-=x x y ；综上所述，该二次函数的解析式为：962+=x y 或1422+-=x x y ．解析：本题考查二次函数的定义．一般地，形如c bx ax y ++=2,()0≠a 的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．c bx ax y ++=2,()0≠a 也叫做二次函数的一般形式．分析：根据二次函数的定义列出不等式求解即可．25．函数()()31--=x kx y ，当k 为何值时，y 是x 的一次函数？当k 为何值时，y 是x 的二次函数？答案：解答：∵()()()313333122++-=+--=--=x k kx x kx kx x kx y ，∴k =0时，y 是x 的一次函数，k ≠0时，y 是x 的二次函数．解析：利用一次函数与二次函数的定义分别分析得出即可．。
九年级下第26章二次函数重难专题五二次函数的综合题作业新版华东师大版
OE 3
3
24
2 OE
大值，此时点 D 的坐标为(32
，15 4
)
题型三 两条线段长度之和或周长的最值问题 3．如图，抛物线 y＝ax2－4x＋c 与 x 轴交于点 A(－1，0)和点 B，与 y 轴交于点 C(0， －5). (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得△ACP 的周长最小？若存在，请 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
∴△DFE∽△OAE，∴DE ＝DF ＝1 (－m2＋3m)＝－1 m2＋m.
OE OAE
＝2 3
，∴－1 3
m 2＋m ＝2 3
，解得 m1＝1，m2＝2，∴点 D
的坐标为(1，4)或(2，3)
②∵DE ＝－1 m2＋m＝－1 (m－3 )2＋3 ，0＜m＜3，∴当 m＝3 时，DE 有最
表达式为 y＝1 (x－4)(x＋1)，即 y＝1 x2－3 x－2
2
22
(2)过点 D 作 DE∥y 轴交 BC 于点 E，设点 D(m，1 m2－3 m－2)，0＜m＜4，则点
2
2
E(m，1 2
m－2)，∴DE＝1 2
m－2－(1 2
m2－3 2
m－2)＝－1 2
m2＋2m，∴S＝1 2
DE ·(x B－x C)
2
2
2
2
－__3_m__2_－__6_m_＋__2_4_；
(3)平行转化法：如图③，过点 P 作直线 AB 的平行线交 y 轴于点 Q，连结 QA，QB， 则直线 PQ 的函数表达式为___y_＝__2_x_－__m_2_－__2_m__＋__9____，则 QC＝__－__m__2－__2_m__＋__8 ，则 S△PAB＝S△QAB＝12 QC·(xB－xA)＝___－__3_m_2_－__6_m__＋__2_4__．
2024九年级数学下册第26章二次函数综合评价新版华东师大版
第26章综合评价(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数中，属于二次函数的是(C)A ．y ＝－2xB ．y ＝x 2＋1x 2C ．y ＝(x ＋3)2－9D ．y ＝1x2 ＋12．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是(A)A ．(3，4)B ．(－3，4)C ．(3，－4)D ．(2，4)3．将抛物线y ＝x 2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式为(B)A ．y ＝(x ＋2)2＋2B ．y ＝(x －2)2－2C ．y ＝(x －2)2＋2D ．y ＝(x ＋2)2－24．关于二次函数y ＝x 2－6x ＋8，下列说法错误的是(B)A ．开口向上B ．对称轴为直线x ＝－3C ．有最小值－1D ．与y 轴交点为(0，8)5．若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12 m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为(D) A ．0 B ．0或2 C ．2或－2 D ．0，2或－26．已知函数y ＝kx 2－kx ＋m 的图象如图所示，且当x ＝a 时，y ＜0，则当x ＝a －1时，函数值( C )A.y ＝m B ．y ＜0 C ．y ＞m D ．0＜y ＜m 第6题图 第8题图 第9题图7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是(C )AB C D 8．如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若∠OBC ＝45°，则下列各式成立的是(B )A ．b －c －1＝0B ．b ＋c ＋1＝0C ．b －c ＋1＝0D ．b ＋c －1＝09．如图，点A ，B 的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y ＝a (x －m )2＋n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)，点C 的横坐标的最小值为－3，则点D 的横坐标的最大值为(D )A ．－3B ．1C ．5D ．810．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b 2＞4ac ；③2c ＜3b ；④a ＋b ＞m (am ＋b )；⑤方程|ax 2＋bx ＋c |＝m 有两个相等的实数根．其中正确的结论有(B )A ．①③⑤B ．②③④C ．①④⑤D ．②④⑤第10题图 第14题图 第15题图二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知二次函数y ＝(m ＋1)xm 2－3的图象开口向下，则m 的值是__－5 __． 12．若二次函数y ＝－x 2＋4x ＋k 的最大值为3，则k 的值为__－1__．13．已知抛物线的顶点坐标是(0，1)，且经过(－3，2)，则此抛物线的表达式为__y ＝19 x 2＋1__．14．如图，已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与一次函数y 2＝kx ＋m (k ≠0)的图象相交于点A (－2，4)，B (8，2)，则当y 1＞y 2时，x 的取值范围是__x ＜－2或x ＞8__．15．如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12 x 2经过平移后得到抛物线y ＝12x 2－2x ，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为__4__．16．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B (m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，与点C 关于对称轴对称，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是__(－2，0)__． eq \o(\s\up7(),\s\do5(第17题图)) 第18题图17．如图，直线y ＝n 与二次函数y ＝12(x －2)2－1的图象交于点B ，C ，二次函数图象的顶点为A ，当△ABC 是等腰直角三角形时，n ＝__1__．18．如图，正方形ABCO 放置在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点B ，C ，点D 在边AB 上，连结OD ，将△OAD 沿着OD 折叠，使点A 落在此抛物线的顶点E 处，若AB ＝2，则a 的值是__2－3 __.三、解答题(共66分)19．(8分)已知抛物线y ＝a (x －h )2－4经过点(1，－3)，且与抛物线y ＝x 2的开口方向相同，形状也相同．(1)求a ，h 的值；(2)求它与x 轴的交点，并画出这个二次函数图象的草图；(3)若点A (m ，y 1)，B (n ，y 2)(m ＜n ＜0)都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小．解：(1)a ＝1，h ＝2或0(2)当抛物线y ＝x 2－4x 时，它与x 轴的交点坐标为(0，0)和(4，0)，图象略；当抛物线y ＝x 2－4时，它与x 轴的交点坐标为(2，0)和(－2，0)，图象略(3)y 1＞y 220．(8分)如图，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，顶点为D .(1)求这个二次函数的表达式；(2)求四边形ABDC 的面积．解：(1)y ＝－x 2＋2x ＋3(2)连结OD .可求得C (0，3)，D (1，4)，则S 四边形ABDC ＝S △AOC ＋S △COD ＋S △BOD ＝12 ×1×3＋12×3×1＋12×3×4＝9 21．(8分)已知抛物线y ＝ax 2＋(3b ＋1)x ＋b －3(a ＞0)，若存在实数m ，使得点P (m ，m )在该抛物线上，我们称点P (m ，m )是这个抛物线上的一个“和谐点”．(1)当a ＝2，b ＝1时，求该抛物线的“和谐点”；(2)若对于任意实数b ，抛物线上恒有两个不同的“和谐点”A ，B ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2，b ＝1时，m ＝2m 2＋4m ＋1－3，解得m ＝12或m ＝－2， ∴点P 的坐标是(12 ，12)或(－2，－2) (2)m ＝am 2＋(3b ＋1)m ＋b －3，Δ＝9b 2－4ab ＋12a .令y ＝9b 2－4ab ＋12a ，对于任意实数b ，均有y ＞0，也就是说抛物线y ＝9b 2－4ab ＋12a 的图象都在b 轴(横轴)上方，∴Δ＝(－4a )2－4×9×12a ＜0，∴0＜a ＜27— 87 — — 88 — — 89 — (这是边文，请据需要手工删加)22．(8分)如图①是某河上一座古代拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m ，拱桥的跨度为 10 m ，桥洞与水面的最大距离是5 m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4 m 的景观灯，若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②)：(1)求该拱桥桥洞上沿所在抛物线的表达式；(2)求两盏景观灯之间的水平距离．解：(1)由题意设拱桥桥洞上沿所在抛物线的表达式为y ＝a(x －5)2＋5，∵抛物线经过(10，1)，∴1＝(10－5)2a ＋5，∴a ＝－425 ，∴y ＝－425 (x －5)2＋5 (2)当y ＝4时，－425(x －5)2＋5＝4，∴x 1＝7.5，x 2＝2.5，∴两盏景观灯之间的水平距离为7.5－2.5＝5(m )23．(10分)在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝4 2 ，∠C ＝45°，在BC 上有一动点P(点P 不与点B ，C 重合)，过P 作PD ∥BA 与AC 相交于点D ，连结AP ，设BP ＝x ，△APD 的面积为y.(1)求y 与x 之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；(2)是否存在点P ，使△APD 的面积最大？若存在，求出BP 的长，并求出△APD 面积的最大值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E.在Rt △AEC 中，AC ＝4 2 ，∠C ＝45°，∴AE ＝AC ·sin 45°＝4 2 ×22 ＝4.设△CDP 中PC 边上的高为h.∵PD ∥BA ，∴△DPC ∽△ABC ，∴h AE ＝PC BC ，即h 4 ＝6－x 6 ，∴h ＝23 (6－x)(0＜x ＜6)，∴y ＝S △APC －S △CDP ＝12 ·4(6－x)－12 (6－x)×23(6－x)＝12－2x －13 (6－x)2＝－13x 2＋2x(0＜x ＜6) (2)存在．y ＝－13 x 2＋2x ＝－13(x －3)2＋3，∴当x ＝3时，y 有最大值3.即当BP ＝3，P 是BC 的中点时，△APD 的面积最大，最大值为324．(12分)某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)如果该超市销售这种商品每天获得3 600元的利润，那么该商品的销售单价为多少？(3)当销售单价定为多少时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，将(30，150)，(80，100)分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧30k ＋b ＝150，80k ＋b ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝180， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－x ＋180(2)设每天获得的利润为w 元，由题意得w ＝(x －30)(－x ＋180)＝－x 2＋210x －5 400(30≤x ≤80).令－x 2＋210x －5 400＝3 600，解得x ＝60或x ＝150(舍)，∴如果该超市销售这种商品每天获得3 600元的利润，那么该商品的销售单价为60元/千克(3)由(2)知w ＝－(x －105)2＋5 625.∵－1＜0，∴当x ≤105时，w 随x 的增大而增大．∵30≤x ≤80，∴当x ＝80时，w 最大，最大值为5 000.∴当销售单价定为80元/千克时，该超市每天的利润最大，最大利润是5 000元25．(12分)如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(6，0)，点C 的坐标为(0，6)，点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连结BD.(1)求抛物线的表达式及点D 的坐标；(2)若点F 是抛物线上的一动点，当∠FBA ＝∠BDE 时，求点F 的坐标；(3)若点M 是抛物线上的一动点，过点M 作MN ∥x 轴，与抛物线交于点N ，点P 在x 轴上，点Q 在坐标平面内，以线段MN 为对角线作正方形MPNQ ，请写出点Q 的坐标．解：(1)y ＝－12x 2＋2x ＋6，D(2，8) (2)如图①，过点F 作FG ⊥x 轴于点G.设F(m ，－12 m 2＋2m ＋6)，则FG ＝|－12m 2＋2m ＋6|.∵B(6，0)，D(2，8)，∴BE ＝4，DE ＝8，BG ＝6－m.∵∠FBA ＝∠BDE ，∠FGB ＝∠BED ＝90°，∴△FBG ∽△BDE ，∴FG BG ＝BE DE ，∴|－12m 2＋2m ＋6|6－m ＝12.当点F 在x 轴上方时，有－12m 2＋2m ＋66－m ＝12 ，解得m ＝－1或m ＝6(舍去)，此时F 点的坐标为(－1，72)；当点F 在x 轴下方时，有－12m 2＋2m ＋66－m ＝－12，解得m ＝－3或m ＝6(舍去)，此时F 点的坐标为(－3，－92 ).综上可知，F 点的坐标为(－1，72 )或(－3，－92)(3)设点M 在点N 的左侧，如图②，设对角线MN ，PQ 交于点O ′.∵点M ，N 关于抛物线的对称轴直线x ＝2对称，且四边形MPNQ 为正方形，∴点P 为直线x ＝2与x 轴的交点，点Q在直线x ＝2上．设Q(2，2n)，则M(2－n ，n).∵点M 在抛物线上，∴－12(n －2)2＋2(2－n)＋6＝n ，解得n ＝－1＋17 或n ＝－1－17 ，∴满足条件的点Q 有两个，分别为(2，－2＋217 )，(2，－2－217 )。
2020-2021学年华东师大版数学九年级下册：第26章二次函数综合测试
第26章综合测试一、选择题（共12小题）1．下面的函数是二次函数的是（ ） A ．31y x =+B ．22y x x =+C ．2x y =D ．2y x=2．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a b c ＞＞B ．c a b ＞＞C ．c b a ＞＞D ．b a c ＞＞3．二次函数21y x mx =++的图象的顶点在坐标轴上，则m 的值是（ ） A ．0B ．2C ．±2D ．0或±24．二次函数2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，且0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如表：x 1- 0 1 3 y1-353下列结论错误的是（ ） A ．0ac ＜B ．当1x ＞时，y 的值随x 的增大而减小C ．3是方程()210ax b x c +-+=的一个根D ．当13x -＜＜时，()210ax b x c +-+＞5．已知二次函数()22y mx x m m =++-的图象经过原点，则m 的值为（ ）A ．0或2B ．0C ．2D ．无法确定6．把抛物线21y x =+向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线（ ）A ．()231y x =+-B ．()233y x =++C ．()231y x =--D ．()233y x =-+7．已知实数a b ，满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为（ ） A ．18-B ．0C ．1D ．988．抛物线与x 轴交点的横坐标为2-和1，且过点()2 8，，它的关系式为（ ） A ．2224y x x -=- B ．2224y x x =-+-C ．22y x x =+-D ．2224y x x =+-9．把二次函数2134y x x --=+用配方法化成()2y a x h k =-+的形式时，应为（ ）A ．()21224y x =--+ B ．()21244y x =--+ C ．()21244y x =-++D ．211322y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭10．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为1x =，给出下列结论：①0abc ＞；②当2x ＞时，0y ＞；③30a c +＞；④30a b +＞.其中正确的结论有（ ）A ．①②B ．①④C ．①③④D ．②③④11．观察下列表格，一元二次方程2 1.10x x --=的最精确的一个近似解是（ ）x1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 1.1x x -- 0.99- 0.86- 0.71- 0.54- 0.35- 0.14- 0.090.340.61A ．0.09B ．1.1C ．1.6D ．1.712．如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++＜的解集是（ ）A ．15x -＜＜B ．5x ＞C ．1 5x x -＜且＞D ． 1 5x x ＜-或＞二、填空题（共8小题） 13．已知()222my m x -=+是二次函数，则m =________.14．二次函数()21y k x =+的图象如图所示，则k 的取值范围为________.15．抛物线()2234y x =-+的顶点坐标是________.16．抛物线()232x x b b y -=+-的顶点在y 轴上，则b 的值为________.17．若()()()1234 1 1 A y B y C y --，，，，，为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则123y y y ，，的大小关系是________.18．将抛物线2y x =先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为________.19．当21x -≤≤时，二次函数()221y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为________.20．一抛物线和抛物线22y x =-的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是()1 3-，，则该抛物线的解析式为________.三．解答题（共8小题）21．已知函数()()2211y m m x m x m =+-++-.（1）若这个函数是一次函数，求m 的值；（2）若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？22．某班“数学兴趣小组”对函数22y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：x… 3-52- 2- 1- 0 1 252 3 …y (3)54m1- 0 1- 0 543 …其中，m =________.（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.（3）观察函数图象，写出两条函数的性质.（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有________个交点，所以对应的方程220x x -=有________个实数根；②方程222x x -=有________个实数根；③关于x 的方程22x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围是________.23．已知，如图，抛物线()230y ax ax c a =++＞与y 轴交于点C ，与x 轴交于A B ，两点，点A 在点B 左侧.点B 的坐标为()1 03OC OB =，，. （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222152y x k x k k =+---（）（k 为常数）.（1）若抛物线经过点()21 k ，，求k 的值；（2）若抛物线经过点()12 k y ，和点()22 y ，，且12y y ＞，求k 的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当12x ≤≤时，新抛物线对应的函数有最小值32-，求k 的值.25．在平面直角坐标系中，设二次函数()()1 1x a x y a =+--，其中0a ≠.（1）若函数1y 的图象经过点()1 2-，，求函数1y 的表达式；（2）若一次函数2y ax b =+的图象与1y 的图象经过x 轴上同一点，探究实数a b ，满足的关系式；（3）已知点()0 P x m ，和()1 Q n ，在函数1y 的图象上，若m n ＜，求0x 的取值范围.26．已知二次函数22y x x =-+.（1）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当0y ＜时，x 的取值范围；（3）若将此图象沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式.27．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：()20a b +≥，且()20a b +-≤.据此，我们可以得到下面的推理：()()2222321212x x x x x ++=+++=++，而()210x +≥()2122x ∴++≥，故223x x ++的最小值是2.试根据以上方法判断代数式23611y y -+是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值.28．已知二次函数()21y x n =-+，当2x =时，2y =.求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象.第26章综合测试答案解析一、1．【答案】B【解析】解：A 、31y x =+，二次项系数为0，故本选项错误； B 、22y x x =+，符合二次函数的定义，故本选项正确；C 、2xy =，二次项系数为0，故本选项错误； D 、2y x=，是反比例函数，故本选项错误. 故选：B. 2．【答案】D【解析】解：由函数图象已知00a c ＞，＜，12ba-=-， 2b a ∴=， b a ∴＞， b a c ∴＞＞，故选：D. 3．【答案】D【解析】解：当图象的顶点在x 轴上时，二次函数21y x mx =++的图象的顶点在x 轴上，∴二次函数的解析式为：()21y x =±，2m ∴=±.当图象的顶点在y 轴上时，0m =， 故选：D. 4．【答案】B【解析】解：抛物线经过点()0 3，和()3 3，，()1 1--，， 39331c a b c a b c =⎧⎪∴++=⎨⎪-+=-⎩，解得133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为233y x x =-++，0ac ∴＜，所以A 选项的结论正确；抛物线的对称轴为直线32x =， ∴抛物线开口向下，∴当32x ＞时，y 的值随x 的增大而减小，所以B 选项的结论错误；抛物线过点()()1 1 3 3-，-，，， 即抛物线与直线y x =相交于点()()1 1 3 3-，-，，， ∴3和1-是方程2ax bx c x ++=的根，所以C 选项的结论正确；当13x -＜＜时，2ax bx c x ++＞， 即()210ax b x c +-+＞，所以D 选项的结论正确.故选：B. 5．【答案】C【解析】解：根据题意得：()20m m -=，0m ∴=或2m =，二次函数的二次项系数不为零，所以2m =. 故选：C. 6．【答案】D【解析】解：将抛物线21y x =+向右平移3个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式为()233y x =-+.故选：D. 7．【答案】B 【解析】解：()22220a b a ab b =--+≥，2221ab a b ∴+=≤，1122ab ∴-≤≤，令()224422222219221248y a ab b a ba b ab a b ab ab ⎛⎫=++++=-++=--+ ⎪⎝-⎭=，当1124ab -≤≤时，y 随ab 的增大而增大，当1142ab ≤≤时，y 随ab 的增大而减小，故当12ab =-时，44a ab b ++的最小值，为211999220248168⎛⎫---+=-⨯+= ⎪⎝⎭，即44a ab b ++的最小值为0，当且仅当a b =时，12ab =-，此时a b == 或 a b ==故选：B.8．【答案】D【解析】解：由题意，设抛物线解析式为()()1 2y a x x =-+，将()2 8，代入，可得 ()()821 22a =-+，解得2a =，∴抛物线的解析式为：()()21 2y x x =-+，化简得，2224y x x =+-.故选：D. 9．【答案】C【解析】解：()()2221113441324444y x x x x x =-+=-++++=-++-. 故选：C. 10．【答案】C【解析】解：二次函数的图象的开口向上，0a ∴＞，二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的负半轴上，0c ∴＜，二次函数图象的对称轴是直线1x =，12ba∴-=， 200a b b ∴+=，＜， 0abc ∴∴＞，①正确；二次函数2y ax bx c =++图象可知，当2x ＞时，y 有小于0的情况，∴②错误；当1x =-时，0y ＞，0a b c ∴-+＞，把2b a =-代入得：30a c +＞，∴③正确；二次函数图象的对称轴是直线1x =，12ba∴-=， 20a b ∴+=， 0a ＞，30a b ∴+＞，故④正确.故选：C. 11．【答案】D 【解析】解：1.7x =时，2 1.1x x --的值0.09最小，∴一元二次方程2 1.10x x --=的最精确的一个近似解是1.7.故选：D. 12．【答案】D【解析】解：由对称性得：抛物线与x 轴的另一个交点为()1 0-，， 由图象可知不等式20ax bx c ++＜的解集是：1x ＜-或5x ＞， 故选：D. 二、13．【答案】2 【解析】解：()222m y m x -=+是二次函数，22022m m ∴≠-+=，，解得：2m =，故答案为：2. 14．【答案】1k -＞【解析】解：如图，抛物线的开口方向向上，则10k +＞， 解得1k -＞. 故答案是：1k -＞.15．【答案】()3 4，【解析】解：抛物线()2234y x =-+的顶点坐标是()3 4，， 故答案为：()3 4，. 16．【答案】2【解析】解：根据题意，把解析式转化为顶点形式为：()2222223322b b y x b x b x b --⎛⎫⎛⎫=--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，顶点坐标为222 322b b b ⎛⎫--⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 顶点在y 轴上，202b -∴=， 2b ∴=.17．【答案】213y y y ＜＜【解析】解：()()()1234 1 1 A y B y C y --，，，，，为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，1161655y ∴--=-=，即15y =-，21458y =--=-，即28y =-，y 3＝1+4﹣5＝0，即y 3＝0，850-＜-＜， 213y y y ∴＜＜.故答案是：213y y y ＜＜.18．【答案】()223y x =+-【解析】解：抛物线2y x =的顶点坐标为()0 0，，把点()0 0，先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为()2 3--，，所以平移后的抛物线解析式为()223y x =+-. 故答案为()223y x =+-.19．【答案】2或【解析】解：二次函数对称轴为直线x m =，①2m ＜-时，2x =-取得最大值，()22214m m ---++=，解得74m =-，不合题意，舍去；②21m -≤≤时，x m =取得最大值，214m +=，解得m =3m =不满足21m -≤≤的范围，m ∴=；③1m ＞时，1x =取得最大值，()22114m m -++=-， 解得2m =.综上所述，2m =或 4.故答案是：2或20．【答案】()2213y x =-++【解析】解：由题意可知：该抛物线的解析式为()22y x h k =--+，又顶点坐标()1 3-，， ()2213y x ∴=-++，故答案为：()2213y x =-++. 三、21．【答案】解：依题意得2010m m m ⎧-=⎨-≠⎩011m m m ==⎧∴⎨≠⎩或0m ∴=；（2）依题意得20m m -≠，0m ∴≠且1m ≠.22．【答案】（1）0 （2）如图所示；（3）由函数图象知：①函数22y x x =-的图象关于y 轴对称；②当1x ＞时，y 随x 的增大而增大； （4）①3 3 ②2③10a -＜＜ 【解析】解：（1）把2x =-代入22y x x =-得0y =，即0m =， 故答案为：0；（4）①由函数图象知：函数图象与x 轴有3个交点，所以对应的方程220x x -=有3个实数根；②如图，22y x x =-的图象与直线2y =有两个交点，222x x ∴-=有2个实数根；③由函数图象知：关于x 的方程22x x a -=有4个实数根，a ∴的取值范围是10a -＜＜，故答案为：3，3，2，10a -＜＜. 23．【答案】解：（1）()1 0B ，，1OB ∴=；3OC BO =， ()0 3C ∴-，；（1分）23y ax ax c =++过()()1 00 3B C -，、，， 330c a a c =-⎧∴⎨++=⎩； 解这个方程组，得343a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为：239344y x x =+-； （2）过点D 作DM y ∥轴分别交线段AC 和x 轴于点M N 、 在239344y x x =+-中，令0y =， 得方程2393044x x +-=解这个方程，得1241x x =-=， ()4 0A ∴-，设直线AC 的解析式为y kx b =+403k b b -+=⎧∴⎨=-⎩，解这个方程组，得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， AC ∴的解析式为：334y x =--，ABCD ABC ADC S S S +=△△四边形()15122DM AN ON =++ 1522DM =+ 设()2223933393 3 333234444444D x x x M x x DM x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=---+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，-，， 当2x =-时，DM 有最大值3 此时四边形ABCD 面积有最大值272.24．【答案】解：（1）把点()21 k ，代入抛物线()222152y x k x k k =-+--，得 ()22212521k k k k --+=-解得23k =（2）把点()12 k y ，代入抛物线()222152y x k x k k =-+--，得 ()()222132125222y k k k k k k k -+=-+=-把点()22 y ，代入抛物线()222152y x k x k k =-+--，得 ()22222212512832y k k k k k =---⨯+=+﹣12y y ＞22313282k k k k -∴++＞ 解得1k ＞（3）抛物线()222152y x k x k k =-+--解析式配方得 ()21112y x k k ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭将抛物线向右平移1个单位长度得到新解析式为()2112y x k k ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭当1k ＜时，12x ≤≤对应的抛物线部分位于对称轴右侧，y 随x 的增大而增大， ()221512112x y k k k k =---∴=-=最小时，， 25232k k -∴=-，解得12213k k ==， 都不合题意，舍去；当12k ≤≤时，112y k --=最小， 13122k ∴--=- 解得1k =；当2k ＞时，12k ≤≤对应的抛物线部分位于对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，()2292221213x y k k k k ---∴=-=+最小时，=， 293322k k ∴+=-- 解得12233k k ==-，（舍去） 综上，1k =或3.25．【答案】解：（1）函数1y 的图象经过点()1 2-，，得 ()()1 2a a +-=-，解得1221a a =-=，，函数1y 的表达式()()2 21y x x =-+-，化简，得22y x x =--；函数1y 的表达式()()1 2y x x =+-，化简，得22y x x =--，综上所述：函数1y 的表达式22y x x =--；（2）当0y =时()() 10x a x a +--=，解得121x a x a =-=+，，1y 的图象与x 轴的交点是()() 0 1 0a a -+，，，， 当2y ax b =+经过() 0a -，时，20a b -+=，即2b a =； 当2y ax b =+经过()1 0a +，时，20a a b ++=，即2b a a =--； （3）当P 在对称轴的左侧（含顶点）时，y 随x 的增大而减小，()1 n ，与()0 n ，关于对称轴对称， 由m n ＜，得0102x ＜≤；当P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，由m n ＜，得0112x ＜＜， 综上所述：m n ＜，所求0x 的取值范围001x ＜＜. 26．【答案】解：（1）函数图象如图所示；（2）当0y ＜时，x 的取值范围：0x ＜或2x ＞；（3）图象沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向下平移1个单位， ∴平移后的二次函数图象的顶点坐标为()2 0-，，∴平移后图象所对应的函数关系式为：()22y x =-+（或244y x x -=--） 27．【答案】解：原式()2318y =-+， ()210y -≥，()23188y ∴-+≥，∴有最小值，最小值为8.28．【答案】解：二次函数()21y x n =-+，当2x =时，2y =， ()2221n ∴=-+，解得1n =， ∴该二次函数的解析式为()211y x =-+.列表得：如图：。
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第27章 二次函数
一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列函数属于二次函数的是( ) A ．y=5x+3 B ．y=
21x
C ．y=2x 2+x+1
D ．
2．抛物线y=ax 2
+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的符号为( )
A ．a<0，b>0，c=0
B ．a<0，b<0，c>0
C ．a<0，b>0，c=0
D ．a<0，b>0，c<0
3．已知关于x 的一元二次方程ax 2
+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax 2
+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )
A ．(2，-3)
B ．(2，1)
C ．(2，3)
D ．(3，2)
4．将抛物线y=4x 2
向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为( )
A ．y=4(x+2)2+3
B ． y=4(x+2)2-3
C ． y=4(x-2)2+3
D ． y=4(x-2)2
-3
5．已知二次函数y=ax 2
-6x+3的顶点坐标在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 6．二次函数y=ax 2
+(2a-1)x+a+
3
2
的图象与x 轴有两个交点，则a 应为( ) A ．a >110 B ． a <110 C ．0< a <1
10
D ．以上都不对
7．一次函数y=mx+n 的图象如图所示，那么二次函数y=nx 2
+mx 的图象大致为( )
8．二次函数 y=x 2
+mx+n ，若m-n=0，则图象必过点( )
A ．(-1，1)
B ．(1，-1) C(-1，-1) D(1，1)
9．二次函数y=4x 2
-mx+5，当x<-2时，y 随x 的增大而减小；当x>-2时， y
随x 的增大而增大，那么当x=1时，函数y 的值为( )
A ．-7
B ．1
C ．17
D ．25
10．抛物线y=-x 2
+bx+c 的部分图象如图所示，
若y>0，则x 取值范围是( )
A ．-4<x<1
B ．-3<x<1
C ．x<-4或x>1
D ．x<-3或x>1
x
x
y
0y=mx+n
x
y
o
x
y
y
y
x
x
A
B D
x
1
3-1x
y o 10
二．填空题(每小题2分，共20分)
11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P(a，bc)在第_____________象限．
12．请写一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点为(0，3)的抛物线解析式________________________．
13．函数y=-3x2的图象在对称轴右边，y随x的增大而______________
14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|a-b+c|+|2a+b|，Q=|a+b+c|+|2a-b|，则P、Q的大小关系为________________．
15．把二次函数y=1
2
x2-2x+3化为y=a(x+d)2+k的形式为________________．
16．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3，请你写出满足上述一些特点的一个二次函数多项式解析式．
17．有一个抛物线的拱桥，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标中(如图所示)此抛物线的解析式为．
18．若二次函数y=x2-6x+k的最小值为2，则k=_______________．
19．若点P(1， a)和Q(-1，b)都在抛物线y=-x2+1上，则线段PQ=_____________．
20．将抛物线y=-2(x-1)2向上平移m个单位长度，所得抛物线与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，若x12+x22=16，则m=_____________．
三．(本大题共6小题，其中21～23题各9分，24题10分，25题13分，共50分)
21．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线对应的关系式及顶点坐标．
22．已知二次函数y=-2x2，怎样平移这个函数的图象，才能使它经过(0，1)和(1，6)两点?写出平移后的函数解析式．
23．已知二次函数y=-2x 2
-8x+1中，有两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，其中x 1=-5，x 2=-6，请不求y 1与y 2的值，直接比较y 1与y 2的大小．
24．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日销量60千克；单价每减低1元，日均多销售出2千克，在销售过程中，每天还要支出500元(天数不足一天时，按整天计算)设销售单价为x 元，日均获利为了y 元．
(1)求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；
(2)将(1)中所求出的二次函数配成y=a(x+2b a )2+2
44ac b a
的形式，写出顶点坐标，在直角坐标系中画出
草图，观察图象，指出单价定为多少时日均获利最多，是多少?
25．某施工队要修建一个横截面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米，现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)． (1)直接写出点M 及抛物线顶点P 坐标； (2)求出这条抛物线的函数解析式；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形 “脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点地面OM 上，为了筹备材料，需求出 “脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少?请你帮助施工队计算一下．
510x y
2
46
0A
D B C 25题图
第27章二次函数测试卷答案
一、1．C 2．C 3．C 4．A 5．C 6．D 7．D 8．A 9．D 10．B
二、11．一； 12．略；13．减小；14．p>Q；15．y=1
2
(x-4)2+1；16．略．17．y=2
1
(2)16
25
x
--+； 18．11；
19．2； 20．14 ．
三．21．y= 1
2
(x-2)2+
7
2
；顶点坐标(2，
7
2
) ；22．y=-
1
2
x2+
15
2
x+1； 23．y=-2x2-8x+1=-2(x+2)2+4．5，
当x<-2时，y随x的增大而增大，所以y1>y2；
24．(1)y=(x-30)〔60+2(70-x)〕-500=-2x2+260x-6500(30≤x≤70)
(2)y=2x2+260x-6500=-2(x-65)2+1950，顶点坐标(65，1950)，即单价为65元时，日均获利最多是1950元。
25．(1)由题意结合图象M(12，0)，p(6，6)
(2)设y=a(x-6)2+6，将(0，0)代入得，a=-1
6
，y=-
1
6
(x-6)2+6，即y=-
1
6
x2+2x．
(3)设点A(m． -1
6
m2+2m) OB=m，AB=CD=-
1
6
m2+2m；
由抛物线对称性知，OB=CM=m，BC=12-2m， AD=12-2m，
L=AB+AD+DC= -1
6
m2+2m+12-2m-
1
6
m2+2m=-
1
3
m2+2m+12=-
1
3
(m-1)2+15．
∴当 m=3时，即OB=3时，三根木杆长度之和为15米。