高三数学二轮复习课时强化训练 文(二)(含解析)

【师说系列】2014届高三数学二轮复习课时强化训练 文(二)（含解
析）
一、选择题
1．(2013·山西诊断)若f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
f x －4，x ＞0，2x ＋1
3，x≤0，则f(2 012)＝( ) A.43 B.53 C ．2 D.8
3
解析：依题意，f(2 012)＝f(4×502＋4)＝f(0)＝20＋13＝43，选A.
答案：A
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos 2x ，x ∈R
B ．y ＝log2|x|，x ∈R 且x≠0
C ．y ＝
ex －e －x
2
x ∈R D ．y ＝x3＋1，x ∈R
解析：观察可知，只有A ，B 为偶函数，又y ＝cos2x 在⎝⎛⎭⎫1，π2上是减函数，在⎝⎛⎭⎫π
2，2上是增函数，所以选B.
答案：B
3．(2013·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝2
3，则f(－a)＝( )
A.23 B ．－2
3 C.43 D ．－43
解析：根据题意，f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1＝1＋x x2＋1，而h(x)＝x x2＋1是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－
a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－23＝4
3，故选C.
答案：C
4．(2013·江西联考)已知函数f(x)＝x2－ln|x|
x
，则函数y ＝f(x)的大致图象为( )
A. B. C. D.
解析：依题意，①当x ＞0时，f′(x)＝2x －1－lnx x2＝2x3＋lnx －1
x2
，记g(x)＝2x3＋lnx －1，则
函数g(x)在(0，＋∞)上是增函数，注意到g(e －2)＝2e －6－3＜0，g(1)＝1＞0，函数g(x)在(e －2,1)上必存在唯一零点x0，e －2＜x0＜1，g(x0)＝0，当x ∈(0，x0)时，f′(x)＜0；当x ∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(0，x0)上是减函数，在(x0，＋∞)上是增函数；②当x ＜0时，f(x)＝x2－
ln
－x
x
，f(－1)＝1＞0，结合各选项知，选A. 答案：A 5．(2013·武汉联考)某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面大致能反映出小明这一天(0时～24时)体温的变化情况的图是( )
A. B. C. D.
解析：由题意，清晨体温在上升，吃药后到12时体温下降至基本正常，下午又上升，然后又下降，只有C 选项符合． 答案：C 6．(2013·长春调研)设f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数，当n ∈N*时，f(n)∈N*，且f[f(n)]＝2n ＋1，则( )
A ．f(1)＝3，f(2)＝4
B ．f(1)＝2，f(2)＝3
C ．f(2)＝4，f(4)＝5
D ．f(2)＝3，f(3)＝4
解析：由f[f(n)]＝2n ＋1，得f[f(1)]＝3，f[f(2)]＝5.∵当n ∈N*时，f(n)∈N*，若f(1)＝3，则由f[f(1)]＝3得，f(3)＝3，与f(x)在(0，＋∞)上单调递增矛盾，故选项A 错；若f(2)＝4，则f(4)＝5,4＜f(3)＜5，与f(3)∈N*矛盾，故选项C 错；若f(2)＝3，则由f[f(2)]＝5得f(3)＝5，故选项D 错；选项B 正确． 答案：B 二、填空题 7．(2013·广州调研)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋4，g(1)＝2，则f(－1)的值是__________． 解析：∵g(x)＝f(x)＋4，∴f(x)＝g(x)－4，又f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－g(1)＋4＝2.
答案：2
8．(2013·惠州调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
x2＋12a －2，x≤1，
ax －a ，x ＞1，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则实数a 的取值范围为__________．
解析：由题意，得12＋1
2a －2≤0，则a≤2，又f(x)＝ax －a(x ＞1)是增函数，故a ＞1，所以a
的取值范围为1＜a≤2. 答案：1＜a≤2 9．(2013·辽宁联考)设函数f(x)的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x ＋k ∈D ，且f(x ＋k)＞f(x)恒成立，则称函数f(x)为D 上的“k 型增函数”．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝|x －a|－2a ，若f(x)为R 上的“2 013型增函数”，则实数a 的取值范围是__________．
解析：由题意得，当x ＞0时，f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －3a x≥a
－x －a x ＜a .
①当a≥0时，函数f(x)的图象如图(1)所示，考虑极大值f(－a)＝2a ，令x －3a ＝2a ，得x ＝5a ，所以只需满足5a －(－a)＝6a ＜2 013，即0≤a ＜671
2；②当a ＜0时，函数f(x)的图象如图(2)
所示，且f(x)为增函数，因为x ＋2 013＞x ，所以满足f(x ＋2 013)＞f(x)．综上可知，a ＜671
2
.
图(1)
图(2)
答案：⎝
⎛⎭⎫－∞，6712 三、解答题
10．(2013·泰兴月考)已知函数f(x)＝log4(4x ＋1)＋kx(x ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；
(2)若方程f(x)－m ＝0有解，求m 的取值范围．
解析：(1)由函数f(x)＝log4(4x ＋1)＋kx(x ∈R)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)， ∴log4(4x ＋1)＋kx ＝log4(4－x ＋1)－kx ， 即log44x ＋1
4－x ＋1＝－2kx.
∴log44x ＝－2kx ，
∴x ＝－2kx 对x ∈R 恒成立， ∴k ＝－1
2
.
(2)由m ＝f(x)＝log4(4x ＋1)－1
2x ，
得m ＝log44x ＋12x ＝log4⎝⎛⎭⎫2x ＋1
2x . ∵2x ＋12x ≥2，∴m≥1
2
.
故要使方程f(x)－m ＝0有解，m 的取值范围为m≥12.
11．(2013·怀仁质检)已知函数f(x)＝1a －1
x
(a>0，x>0)．
(1)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f(x)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤1
2，2，求a 的值． 解析：(1)设x1>x2>0，则x1－x2>0，x1x2>0，
∵f(x1)－f(x2)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x1－⎝⎛⎭⎫1a －1x2＝1x2－1x1＝x1－x2
x1x2>0， ∴f(x1)>f(x2)，
因此，函数f(x)是在(0，＋∞)上的单调增函数． (2)由(1)可得f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 又f(x)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦
⎤1
2，2，∴⎩
⎨⎧
f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝1
2
，f 2＝1a －1
2
＝2，
解得a ＝2
5
.
12．(2013·济南调研)已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b
2x ＋1＋a 是奇函数．
(1)求a ，b 的值；
(2)若对任意的t ∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k 的取值范围． 解析：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1，∴f(x)＝1－2x
a ＋2x ＋1.
又由f(1)＝－f(－1)知1－2
a ＋4＝－1－1
2a ＋1⇒a ＝2.
(2)方法一：由(1)知f(x)＝
1－2x
2＋2x ＋1
，
易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
又因为f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k －2t2)，
因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k －2t2.即对一切t ∈R 有：3t2－2t －k>0， 从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－1
3.
方法二：由(1)知f(x)＝
1－2x
2＋2x ＋1
.又由题设条件得：
2
2
222221
21
1212<0
22
22
t t
t k
t t t k ---+-+--+
++， 即：(221
2
t k －＋＋2)(1－222
t t
－)＋(221
2
t t －＋＋2)(1－222
t k
－)<0，
整理得2
322t t k
－－>1，因底数2>1，故：3t2－2t －k>0，
上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－13.。