(常考题)人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》检测(答案解析)(2)

一、选择题
1．已知复数1z ，2z 满足()1117i z i +=-+，21z =，则21z z -的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）
A ．2
B 1
C 1
D ．3 3．若复数z 满足12z i i •=+，则z 的共轭复数的虚部为（ ）
A ．i
B ．i -
C ．1-
D ．1
4．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z
=( ) A ．i
B ．i -
C ．2i
D ．2i -
5．已知z 是纯虚数，2
1z i
＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2i
B ．i
C ．－i
D ．－2i
6．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（ ） A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
7．已知i 为虚数单位，复数32i
2i
z +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75
-
C ．3z =
D ．z 在复平面内对应的点在第一象限
8．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ） A ．4
B ．2
C ．0
D ．2-
9．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i +
B ．2i -
C ．2i -+
D ．2i --
10．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
11．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的
值是（ ） A ．
52
B ．1
C ．1-
D ．52
-
12．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）
A ．23i +
B ．23i -
C ．32i +
D ．32i -
二、填空题
13．棣莫弗公式()cos sin cos sin n
x i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫
弗（1667~1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6
cos sin 77i ππ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭在复平面内所对
应的点位于第______象限.
14．如果复数
212bi
i
-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__ 15．下列命题（i 为虚数单位）中：①已知,a b ∈R 且a b =，则()()a b a b i -++为纯虚
数；②当z 是非零实数时，1
2z z
+
≥恒成立；③复数3(1)z i =-的实部和虚部都是－2；④如果|2||2|a i i +<-+，则实数a 的取值范围是11a -<<；⑤复数1z i =-，则
131
22
z i z +=+；其中正确的命题的序号是__________. 16．已知复数2i -（i 为虚数单位）是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，则
b c +=_____.
17．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数12z i --的最大值为______. 18．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________. 19．复数3(2) i (,)z x y x y =++-∈R ，且||2z =，则点(,)x y 的轨迹是_____________．
20．在实数集R 中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：
()1112221
21212z a bi z a b i a a b b R z z =+=+∈，，，，，＞当且仅当“12a a ＞”或“12a a =”且“12b b ＞”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题: ①若12z z ＞,则12z z ＞； ②若1223z z z z ＞，＞，则13z z ＞；
③若12z z ＞,则对于任意12z C z z z z ∈++，＞； ④对于复数0z ＞,若12z z ＞,则12zz zz ＞. 其中所有真命题的序号为______________.
三、解答题
21．已知复数1z 、2z
满足1||1z =
、2||1z =，且12||4z z -=，求
1
2
z z 与12||z z +的值.
22．复数(
)()2
12
510,1225,z a a
i z
a a i =++-=-+-，其中a R ∈ .
（1）若2a =-，求1z 的模； （2）若12z z +是实数，求实数a 的值.
23．在复平面内，A B C ，，分别对应复数1231i 5i 33i z z z =+=+=+，，，以AB,AC 为邻边作一个平行四边形ABCD ，求D 点对应的复数4z 及AD 的长. 24．已知复数()
2
122315,52z i z i
i =-=-+．求：
（1）21z z +；
（2）12·
z z ； （3）12
z z ．
25．已知方程2320(,)x px q p q R -+=∈的两个根分别为,αβ. （1）若2i α=-，求,p q 的值； （2）若3p =，且||1αβ-=，求q 的值.
26．已知复数z 满足|z|
2z 的虚部为2，z 所对应的点在第一象限， (1)求z ;
(2)若z ,z 2,z-z 2在复平面上对应的点分别为A ,B ,C ,求cos ∠ABC ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D 解析：D 【分析】
先求得1z ，设出2z ，然后根据几何意义求得21z z -的最大值. 【详解】
由()()()()11711768341112i i i i
z i i i i -+--++=
===+++-，令2z x yi =+，x ，y R ∈，由 222||11z x y =⇒+=，()()
2134z z x y i -=-+-=
2z 对应点在单位圆上，所以21z z -表示的是单位圆上的点和点()3,4的距离，
()3,4
到圆心()0,05=，单位圆的半径为1，
所以21max 516z z -=+=. 故选：D 【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的最值的计算.
2．B
解析：B 【分析】
复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2
221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示
(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．
【详解】
解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2
221x y -+=，
又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．
则由几何意义得x ma |1|11z i -+==，
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出． 【详解】
12iz i =+，()12i iz i i ∴-⋅=-+，2z i =-+
则z 的共轭复数2z i =+的虚部为1． 故选D ． 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．A
解析：A 【解析】
因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010
m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，
则
11i z i
==-. 5．D
解析：D 【分析】
根据复数的运算，化简得到21
[(2)(2)]12
z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】
设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)， 则＝＝
＝ [(2－b )＋(2＋b )i]．
∵
∈R ，
∴2＋b ＝0，解得b ＝－2， ∴z ＝－2i. 故选D. 【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
6．C
解析：C 【分析】
用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者
2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形
结合，即可得答案. 【详解】
用向量,OA OB 表示12,z z ，
因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==， 又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，
则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，
因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，
如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10. 故选：C 【点睛】
解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
7．D
解析：D 【分析】
利用复数的除法运算，化简32i
2i
z +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可. 【详解】
()()()()32i 2i 32i 47i 2i 2i 2i 55z +++===+--+，
z ∴的共扼复数为47i 55
-，z 的虚部为7
5，
22
4765555z ⎛⎫⎛⎫=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D. 【点睛】
本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
8．C
解析：C 【分析】
根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，求出p ,q 即可求解. 【详解】
因为复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程2
0x px q ++=（p ，q 为实数）的一个
根，
所以1z i =+也是方程的一个根， 故z z p z z q +=-⎧⎨
⋅=⎩，即2
2p q =-⎧⎨=⎩
，
所以0p q +=， 故选：C 【点睛】
本题主要考查了实系数一元二次方程的根，根与系数的关系，属于中档题.
9．A
解析：A 【分析】
根据复数的运算法则得()()()()31242112
i i i Z i
i i +--===-+--，即可求得其共轭复数.
【详解】
由题：()13Z i i +=+，所以()()()()
31242112i i i Z i
i i +--===-+--，
所以Z 的共轭复数为2i +. 故选：A 【点睛】
此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.
10．C
解析：C 【分析】
运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断. 【详解】
对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;
对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C 【点睛】
本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.
11．A
解析：A
【分析】
根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：z =，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值. 【详解】
因为20z z m ++=，所以12
z -±=
，
又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52
m =. 故选A. 【点睛】
实系数一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的
2
40b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：2
b x -±=
而不能写成了
x =
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据复数的运算法则计算即可． 【详解】
()15i z i -+＝，
()()()()
51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=- 故选B. 【点睛】
本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题
二、填空题
13．二【分析】先根据棣莫弗公式得再根据三角函数确定符号根据复数集合意义得答案【详解】由得∵∴∴复数在复平面内所对应的点位于第二象限故答案为：二【点睛】本题考查复数的几何意义三角函数符号的判断是中档题
解析：二 【分析】
先根据棣莫弗公式得6
66cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝
⎭，再根据三角函数确定符号，根据复数集合意义得答案. 【详解】 由()cos sin cos sin n
x i x nx i nx +=+，得6
66cos sin cos sin
7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝
⎭， ∵
62
7π
ππ<
<，∴6cos 07π<，6sin 07
π
>， ∴复数6
cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭在复平面内所对应的点位于第二象限.
故答案为：二. 【点睛】
本题考查复数的几何意义，三角函数符号的判断，是中档题.
14．【分析】先化简再解方程即得解【详解】由题得因为复数的实部和虚部互为相反数所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算考查复数实部虚部的概念意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
解析：2
3
-
【分析】
先化简
222(4)125bi b b i i ---+=+，再解方程224+055b b
---=即得解. 【详解】
由题得2(2)(12)22(4)12(12)(12)5
bi bi i b b i
i i i -----+==++-， 因为复数
212bi
i -+的实部和虚部互为相反数， 所以2242
+0,553
b b b ---=∴=-. 故答案为：2
3
-
【点睛】
本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．②③④【分析】①当时不是纯虚数；②根据基本不等式的性质知恒成立；③化简复数得的实部和虚部都是；④根据模长公式得关于的不等式求解即可；⑤根据复数代数运算法则化简计算即可【详解】对于①且若时则不是纯虚数
解析：②③④ 【分析】 ①当0a
b 时，()()0a b a b i -++=不是纯虚数；
②根据基本不等式的性质知1
||2z z
+恒成立； ③化简复数z ，得z 的实部和虚部都是2-； ④根据模长公式得关于a 的不等式，求解即可； ⑤根据复数代数运算法则，化简计算即可． 【详解】
对于①，a ，b R ∈且a b =，若0a
b 时，则()()a b a b i -++不是纯虚数，①错误；
对于②，当z 是非零实数时，根据基本不等式的性质知1
||2z z
+
恒成立，②正确； 对于③，复数3
(1)22z i i =-=--，z ∴的实部和虚部都是2-，③正确；
对于④，如果|2||2|a i i +<-+，则2441a +<+，
解得11a -<<，所以实数a 的取值范围是11a -<<，④正确；
对于⑤，复数1z i =-，则
1131(1)122
z i i z i +=+-=--，∴⑤错误． 综上，正确的命题的序号是②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】
本题考查复数的概念与应用问题，考查逻辑推理能力，是综合题．
16．1【分析】的共轭复数是实系数一元二次方程的一个根利用一元二次方程的根与系数的关系求【详解】解:因为是实系数一元二次方程的一个根所以是实系数一元二次方程的一个根所以因此故答案为：1【点睛】本题考查了一
解析：1 【分析】
2i -的共轭复数2i +是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，利用一元二次方程的根与系数的关系求b 、c .
【详解】
解:因为2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根， 所以2i +是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根， 所以[(2)(2)]4b i i =--++=-，(2)(2)5c i i =-⋅+=， 因此451b c +=-+=. 故答案为：1. 【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题.
17．【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解
即可【详解】解：设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆如图：表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为故 解析：221+ 【分析】 设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由12z i --的几何意义求解即可．
【详解】
解：设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=,
得2220a b a ++=，即()2
211a b ++=．
复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，如图：
2212(1)(2)z i a b --=-+-z 在复平面内对应点到点(1,2)P 的距离 所以12z i --最大值为22||1(11)(02)1212PA +=--+-=．
故答案为：221．
【点睛】
本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 18．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题
解析：－1
【分析】
利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．
【详解】
()()2
12122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 19．以为圆心2为半径的圆【分析】根据复数模的定义确定复数对应点满足条件化简即得轨迹【详解】解：∵∴即点的轨迹是以为圆心2为半径的圆故答案
为：以为圆心2为半径的圆【点睛】本题考查复数模的定义以及圆的方程含 解析：以(3,2)-为圆心，2为半径的圆
【分析】
根据复数模的定义确定复数对应点满足条件，化简即得轨迹.
【详解】
解：∵||2z =，∴22(3)(2)4x y ++-=，
即点(,)x y 的轨迹是以(3,2)-为圆心，2为半径的圆．
故答案为：以(3,2)-为圆心，2为半径的圆
【点睛】
本题考查复数模的定义以及圆的方程含义，考查基本分析求解能力，属基础题. 20．②③【分析】根据新定义序的关系对四个命题逐一分析由此判断出真命题的序号【详解】对于①由于所以或且当满足但所以①错误对于②根据序的关系的定义可知复数的序有传递性所以②正确对于③设由所以或且可得或且即成
解析：②③
【分析】
根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号.
【详解】
对于①，由于12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”. 当121,2a a =-=-，满足12a a >但12z z <，所以①错误.
对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确.
对于③，设z c di =+，由12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”，可得“12a c a c +>+”或“12a c a c +=+且12b d b d +>+”，即12z z z z +>+成立，所以③正确.
对于④，当123,2,2z i z i z i ===时，126,4zz zz =-=-，12zz zz <，故④错误. 故答案为：②③
【点睛】
本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.
三、解答题
21
．1243
z z +=±，12||4z z +=. 【分析】
设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，从模长入手，可以得到
2221212||||z z z z +
=-，进而得到以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形.
【详解】
设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ， 由于222(71)(71)4++-=，
故222
1212||||z z z z +=-，
故以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，
则1212||||4z z z z +=-=，()()21271714771
7171z z ++==±=±--+. 【点睛】 本题的易错点在127171
z z +=-，原因是12,z z 可以交换位置，所以这个取正负值均可. 22．（1）35（2）5a =-或3a =.
【解析】
（1）2a =-，则136z i =+，
则221364535z =+=
=， ∴1z 的模为35.
（2）()
()2125101225z z a a i a a i +=++-+-+- ()()
()261025a a a i ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ ()()26215a a a i =-++-
因为12z z +是实数，所以22150a a +-=，解得5a =-或3a =
故5a =-或3a =.
23．z 4＝7＋3i ，210AD =【分析】
由复数的几何意义得到AC 对应复数z 3－z 1，AB 对应复数z 2－z 1，AD 对应复数z 4－z 1，AD AB AC ＝＋，z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，再由复数的加法运算和模长的公式得到结果.
【详解】
如图所示：
AC 对应复数z 3－z 1，AB 对应复数z 2－z 1，AD 对应复数z 4－z 1.由复数加减运算的几何意义，
得AD AB AC ＝＋，∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1).
∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.
∴AD 的长为41AD z z ＝-＝()()73i 1
i 62i 210＋－＋＝＋＝ 【点睛】
在复平面上，点,()Z a b 和复数z a bi =+(),a b ∈R 一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了．
24．（1）3；（2）79i --；（3）
1131010i +． 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简求得2z ，（1）求出2z ，由复数代数形式的加法运算求21z z +;
（2）由复数代数形式的乘法运算求12·
z z ； （3）由复数代数形式的除法运算求12
z z . 【详解】
221551555(3)(34)(2)34(34)(34)
i i i i z i i i i ----===+++- 515135
i i -==-． （1） 12(23)(13)3z z i i +=-++=．
（2） ()()12·
231329979z z i i i i =--=--=--． （3） 1223(23)(13)13(13)(13)
z i i i z i i i --+==--+ 293113101010
i i ++=
=+． 【点睛】
本题主要考查复数的代数形式的加法、乘法、除法运算法则，复数的共轭复数，属于中档题.
25．（1）6,15p q ==；（2）94q =或154
q =. 【分析】
（1）由实系数一元二次方程两虚数根互为共轭虚数,结合根与系数关系即可求出,p q 的值; （2）对方程是否为实数根进行分类讨论,然后再利用韦达定理和模长公式即可得出结果.
【详解】
（1）方程2320(,)x px q p q R -+=∈的两个根分别为,αβ, 2i α=-，则2i β=+,由根与系数关系可得,
24,63p p αβ+=
=∴=,5,153
q q αβ==∴= 6,15p q ∴==； （2）3612,2,3
q q αβαβ∆=-+==
当0,3,,q αβ∆≥≤为实数根,
1αβ-==
=,解得94q =;
当0,3,,q αβ∆<>
1αβ-==,解得154q =. 94q ∴=或154
q = 【点睛】
本题考查实系数一元二次方程根的分类讨论,根的特征,以及根与系数的关系,考查计算能力，属于中档题.
26．(1) z=1+i .
(2) 【解析】
分析：（1）设z=x+yi(x,y ∈R)，根据题意得到x,y 的方程组，即得z.(2)先求z ,z 2,z-z 2在复平面上对应的点，再利用向量的夹角公式求cos ∠ABC.
详解：(1)设z=x+yi(x,y ∈R).
∵|z|=
∴x 2+y 2=2. ①
又z 2=(x+yi)2=x 2-y 2+2xyi,
∴2xy=2,∴xy=1. ②
由①②可1,-1,1-1.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩
解得或 ∴z=1+i 或z=-1-i.
又x>0,y>0,
∴z=1+i.
(2)z 2=(1+i)2=2i,
z-z 2=1+i-2i=1-i.
如图所示,
∴A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
()()BA 1,1,BC 1,3,∴=-=-
∴cos ∠ABC BA?BC 255|BA||BC|21025
====⨯ 点睛：（1）本题主要考查复数的求法和复数的几何意义，考查向量的夹角，意在考查学生对这些知识的掌握水平. (2) 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则1212
2
2221122cos x y x y θ=+⋅+.。