2018年高考一轮人教版A数学理科 第1章 第3节 课时分层训练3

课时分层训练(三)
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为π
2；命题q：函数y＝cos x的图
象关于直线x＝π
2对称．则下列判断正确的是()
A．p为真 B.綈p为假
C．p∧q为假 D.p∧q为真
C[p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．]
2．在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为()
【导学号：01772014】A．p∨q B.p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D.(綈p)∨(綈q)
D[“至少有一位队员落地没有站稳”的否定是“两位队员落地都站稳”，故为p∧q，而p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．]
3．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()
A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0
D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0
C [全称命题：∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0的否定是特称命题：∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0.]
4．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；
q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．
则下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧q
B.(綈p )∧(綈q ) C ．(綈p )∧q D.p ∧(綈q )
D [因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；因为当x >1时，x >2不一定成立，反之当x >2时，一定有x >1成立，故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q ，綈p 为假命题，綈q 为真命题，(綈p )∧(綈q )，(綈p )∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，故选
D. ]
5．下列命题中为假命题的是( )
A ．∀x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，x ＞sin x B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2
C ．∀x ∈R,3x ＞0
D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0
B [对于A ，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x ＞sin x ，故A 正确；对于B ，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4≤2＜2知，不存在x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝2，故B 错误；对于C ，易知3x ＞0，故C 正确；对于D ，由lg 1＝0知，D 正确．]
6．(2017·广州调研)命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )
【导学号：01772015】
A ．(0,4]
B.[0,4] C ．(－∞，0]∪[4，＋∞) D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
D [因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，
所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1＜0，
则a ＜0或⎩⎨⎧
a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，
解得a ＜0或a ＞4.] 7．(2017·邯郸市质检)已知命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，则( )
A ．命题p ∨q 是假命题
B ．命题p ∧q 是真命题
C ．命题p ∨(綈q )是假命题
D ．命题p ∧(綈q )是真命题
D [当x ＝3时，x －2＝1＞lg 3＝lg x ，所以命题p 为真命题，当x ＝0时，x 2＝0，所以命题q 是假命题，所以綈q 为真命题，即命题p ∧(綈q )是真命题，其余3个命题为假命题．]
二、填空题
8．命题“∃x 0∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，tan x 0＞sin x 0”的否定是________. 【导学号：01772016】
∀x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，tan x ≤sin x 9．已知命题p ：(a －2)2＋|b －3|≥0(a ，b ∈R )，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，给出下列结论：
①命题“p ∧q ”是真命题；
②命题“p ∧(綈q )”是假命题；
③命题“(綈p )∨q ”是真命题；
④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．
其中正确的是________(填序号)
①②③④ [命题p ，q 均为真命题，则綈p ，綈q 为假命题．从而结论①②③④均正确．]
10．已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若
命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[e,4][由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4，综上知e≤a≤4.]
B组能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()
A．p∧q B.綈p∧q
C．p∧綈q D.綈p∧綈q
B[当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x＜3x，∴p：∀x∈R,2x＜3x是假命题．如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，
∴q：∃x0∈R，x30＝1－x20是真命题．
∴p∧q为假命题，排除A.
∴綈p为真命题，∴(綈p)∧q是真命题，选B.]
2．(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()
【导学号：01772017】A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2
D[由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2”．]
3．(2017·长沙质检)已知下面四个命题：
①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0”；
②“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件；
③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1＜0，则綈p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x
＋1≥0；
④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题．
其中为真命题的是________．(填序号)
①②③ [①正确．
②中，x 2－3x ＋2＞0⇔x ＞2或x ＜1，
所以“x ＜1”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件，②正确． 由于特称命题的否定为全称命题，所以③正确．
若p 且q 为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，所以④的推断不正确．]
4．已知a ＞0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：设函数y ＝⎩⎨⎧ 2x －2a ，x ≥2a ，2a ，x ＜2a ，
函数y ＞1恒成立，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则a 的取值范围是________．
⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 0＜a ≤12或a ≥1 [若p 是真命题，则0＜a ＜1，
若q 是真命题，则y min ＞1，又y min ＝2a ，∴2a ＞1，
∴q 为真命题时，a ＞12.
又∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假．
若p 真q 假，则0＜a ≤12；若p 假q 真，则a ≥1.
故a
的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 0＜a ≤12或a ≥1.]。