桩机操作工雨季施工保护详细措施

数学综合练04.18
一、选择题（每小题5分，共40分） 1．已知A = {x|
1
01
x x -<+}，B = {x ||x – b |＜a }，若“a = 1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件则b 的取值范围可以是（ ） A ．–2≤b ＜0
B ．0＜b ≤2
C ．–3＜b ＜–1
D ．–2＜b ＜2
2．设0＜θ＜1，函数f (x ) = log a (a 2x – 2a x – 2)，则使f (x )＜0的x 的取值范围是（ ） A ．(–∞，0)
B ．(0，+∞)
C ．(–∞，log a 3)
D ．(log a 3，+∞)
3．函数f (x )的定义域为[1，2]，则函数y = f (x 2)的定义域为（ ） A ．[1，4]
B ．[1
C ．[
D ．[
–1]∪[1
4．已知数列{a n }满足a 1 = 1，a n = a 1 + 2a 2 + 3a 3 + … + (n – 1)a n –1 (n ≥2)，则{a n }前4项之
和S 4 = （ ） A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
5．若函数f (x ) =
21cos 2sin sin()42sin()2
x
x a x x π
π++++-
，则a = （ ） A
． B
． C ．±1 D
6．设随机变量ξ∽N (μ，2σ)且P (ξ＜1) = 1
2
，P (ξ＞2) = P ，则P (0＜ξ＜1) = （ ） A ．1
2
P
B ．1P -
C ．12P -
D ．1
2
P -
7．已知函数f (x ) = 2
(0)1
(0)a
b x x x x x x ⎧+>⎪+⎨⎪+≤⎩在x = 0处连续，则a – b = （ ）
A ．–1
B ．0
C ．1
D ．2
8．已知抛物线x 2 = 2py (p ＞0)直线y = kx + m (m ＞0)交抛物线于A 、B 两点，点A 、B 到y
轴的距离的差为2k ，则P 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．与k 和m 的值有关
二、填空题（每小题5分，共35分）
9．函数y = ln (x +
的反函数为 ．
10．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞–2x 的解集为(1，3)，若f (x )的最
大值为正数，则a 的取值范围为 ．
11．化简(tan10°–
)·
cos10sin50︒
︒
= ． 12．已知(1,0)a =，(2,1),|3|则b a b =+= ，若3与Ka b a b -+平行则实数K = ．
13．设P 为长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP 与三条棱AA 1，AB ，
AD 所成的角为α、β、γ，则cos 2α+ cos 2β+ cos 2γ = ．
14．某人有5把钥匙，其中有一把是办公室的抽屉钥匙，但他忘了是哪一把于是他便将5
把钥匙逐把不重复试开，则他恰好第三次打开抽屉的概率是 ．
15．51
(2x x
+的展开式中整理后的常数项为 ．
三、解答题（共计62分）
16．在△ABC 中，已知AB = ABC AC ∠=边上的中线BD = ，求sin A 的值．
17．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，
回答不正确得–100分，且假设这位同学每题回答正确的概率均为0.8各题回答正确与否之间没有影响．
（1）求这位同学回答这三个问题的总得分 的概率分布和数学期望． （2）求这名同学总得分不为负分的概率．
18．如图，正六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1
是边长为1的正方形，DD 1⊥面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥面ABCD ，DD 1 = 2． （1）求证：A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面． （2）求证：面A 1A 1C 1C ⊥面B 1BD 1D ． （3）求二面角A —BB 1—C 的大小．
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
19．已知函数f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠0)是定义在R 上的函数．其图象交x 轴于A 、B 、
C 三点，若点B 的坐标为(2，0)且f (x )在[–1，0]和[4，5]上单调性相同，在[0，2]和[4，5]上单调性相反． （1）求实数C 的值．
（2）在函数f (x )的图象上是否存在一点M (x 0，y 0)使得f (x )在点M 处的切线的斜率为
3b ?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
20．由函数y = f (x )确定数列{a n }、a n = f (n )，函数y = f (x )的反函数y = f –1 (x )确定数列{b n }，
b n = f –1(n )，若对任意n ∈N 都有b n = a n ，则称数列{b n }是数列{a n }的“自反数列”． （1）若函数f (x ) =
1
1
px x ++确定的数列{a n }的自反数列为{b n }，求数列{a n }的通项公式； （2）已知正数列{a n }的前几项的和S n =
1()2n n
n
C C +，试求S n 的表达式； （3）在（1），（2）的条件下，d 1 = 2，当n ≥2时，设d n =
2
1
,n n n D a S -是数列{d n }的前几项之和，且D n ＞log a (1 – 2a )恒成立，求a 的取值范围．
数学综合练答案
一、选择题（每小题5分，共40分） 1．已知A = {x|
1
01
x x -<+}，B = {x ||x – b |＜a }，若“a = 1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件则b 的取值范围可以是（ ） A ．–2≤b ＜0
B ．0＜b ≤2
C ．–3＜b ＜–1
D ．–2＜b ＜2
【解析】略 选D ．
2．设0＜θ＜1，函数f (x ) = log a (a 2x – 2a x – 2)，则使f (x )＜0的x 的取值范围是（ ） A ．(–∞，0)
B ．(0，+∞)
C ．(–∞，log a 3)
D ．(log a 3，+∞)
【解析】略 选C
3．函数f (x )的定义域为[1，2]，则函数y = f (x 2)的定义域为（ ） A ．[1，4]
B ．[1
C ．[
D ．[
–1]∪[1
【解析】略 选D
4．已知数列{a n }满足a 1 = 1，a n = a 1 + 2a 2 + 3a 3 + … + (n – 1)a n –1 (n ≥2)，则{a n }前4项之
和S 4 = （ ） A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
【解析】略 选C 5．若函数f (x ) =
21cos 2sin sin()42sin()2x
x a x x π
π++++-
，则a = （ ） A
． B
． C ．±1 D
【解析】略 选A
6．设随机变量ξ∽N (μ，2σ)且P (ξ＜1) = 1
2
，P (ξ＞2) = P ，则P (0＜ξ＜1) = （ ） A ．1
2
P
B ．1P -
C ．12P -
D ．1
2
P -
【解析】略 选D
7．已知函数f (x ) = 2
(0)1
(0)a
b x x x x x x ⎧+>⎪+⎨⎪+≤⎩在x = 0处连续，则a – b = （ ）
A ．–1
B ．0
C ．1
D ．2
【解析】略 选D
8．已知抛物线x 2 = 2py (p ＞0)直线y = kx + m (m ＞0)交抛物线于A 、B 两点，点A 、B 到y
轴的距离的差为2k ，则P 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．与k 和m 的值有关
【解析】略 选A
二、填空题（每小题5分，共35分）
9．函数y = ln (x +
的反函数为 ．
【答案】y =
2
x x
e e x R --∈．
10．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞–2x 的解集为(1，3)，若f (x )的最
大值为正数，则a 的取值范围为 ．
【答案】(–∞，–2)∪(–2，0)．
11．化简(tan10°– )·
cos10sin50︒
︒
= ． 【答案】–2．
12．已知(1,0)a =，(2,1),|3|则b a b =+= ，若3与Ka b a b -+平行则实数K = ．
13
K =-．
13．设P 为长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP 与三条棱AA 1，AB ，
AD 所成的角为α、β、γ，则cos 2α+ cos 2β+ cos 2γ = ． 【答案】1．
14．某人有5把钥匙，其中有一把是办公室的抽屉钥匙，但他忘了是哪一把于是他便将5
把钥匙逐把不重复试开，则他恰好第三次打开抽屉的概率是 ． 【答案】1
5
15．51
(2x x
+的展开式中整理后的常数项为 ．
． 三、解答题（共计62分）
16．在△ABC 中，已知AB
=
ABC AC ∠=边上的中线
BD = ，求sin A 的值．
【解析】设E 为BC 的中点连接DE ，则DE ∥AB ，∴DE
=
12AB =BE = x ，则在△BDE 中：BD 2 = BE 2 + ED 2 – 2BE ·ED cos ∠BED ，∴x = 1．故BC = 2，而AC 2 = AB 2 + BC 2 – 2AB ·BC cos ∠
ABC AC ⇒，再由cos ∠ABC
= sin ABC ∠=
∴2sin A =sin A
= ． 17．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，
回答不正确得–100分，且假设这位同学每题回答正确的概率均为0.8各题回答正确与否之间没有影响．
（1）求这位同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望． （2）求这名同学总得分不为负分的概率．
【解析】（1）ξ可能的取值：–300、–100、100、300，易知9 (ξ = –300) = 0.23，P (ξ =
–100) = 3×0.22×0.8，P (ξ = 100) = 3×0.2×0.82，P (ξ = 300) = 0.83 ∴分布列为
E ξ = 180
（2）P (ξ≥0) = 0.896．
18．如图，正六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1
是边长为1的正方形，DD 1⊥面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥面ABCD ，DD 1 = 2． （1）求证：A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面． （2）求证：面A 1A 1C 1C ⊥面B 1BD 1D ． （3）求二面角A —BB 1—C 的大小． 【解析】（1）证明：（1）略 （2）略
（3）过点A —BB 1—C 作B 1B 的垂线AM ，垂足为M ，连MC ，易证∠AMC 为二面角的
平面角，利用余弦定理，可求得cos ∠AMC = –1
5
，∴二面角A —BB 1—C 的大小为
1arccos 5
π-．
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
19．已知函数f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠0)是定义在R 上的函数．其图象交x 轴于A 、B 、
C 三点，若点B 的坐标为(2，0)且f (x )在[–1，0]和[4，5]上单调性相同，在[0，2]和[4，5]上单调性相反． （1）求实数C 的值．
（2）在函数f (x )的图象上是否存在一点M (x 0，y 0)使得f (x )在点M 处的切线的斜率为
3b ?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）易知x = 0是f (x )的一个极值点．∴f ′(0) = 0，∴C = 0． （2）由f ′(x ) = 0，可知x 1 = 0，x 2 = 23b a -
∴2≤243b a -≤，即–6≤3b
a
≤- 由f ′(x 0) = 3b 2003230ax bx b ⇒+-=．∴4(9)0b
ab a
∆=+<，
∴不存在点M (x 0，y 0)，使得f (x )在点M 处的切线的斜率为3b ．
20．由函数y = f (x )确定数列{a n }、a n = f (n )，函数y = f (x )的反函数y = f –1 (x )确定数列{b n }，
b n = f –1(n )，若对任意n ∈N 都有b n = a n ，则称数列{b n }是数列{a n }的“自反数列”． （1）若函数f (x ) =
1
1
px x ++确定的数列{a n }的自反数列为{b n }，求数列{a n }的通项公式； （2）已知正数列{a n }的前几项的和S n =
1()2n n
n
C C +，试求S n 的表达式； （3）在（1），（2）的条件下，d 1 = 2，当n ≥2时，设d n =
2
1
,n n n D a S -是数列{d n }的前几项之和，且D n ＞log a (1 – 2a )恒成立，求a 的取值范围． 【解析】（1）a n = 1
1
n n -++； （2）由C 1 =
1111
11
()112C C S C +⇒== 当n ≥2时，C n = S n – S n –
1221n n n S S n S -⇒-=⇒=（3）在(1)、(2)条件下：d 1 = 2，当n ≥2时，d n = 211
2()(1)1n n n n
=---
∴D n = d 1 + d 2 + … + d n = 2 (2 – 1n
)，∴
log (1
2)
201a a
a -<∴<<．。