苏州苏州中学园区校必修一第二单元《函数》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．若函数()218f x x ax =-++在[]1,3-上具有单调性，则实数a 的可能取值是（ ）
A ．4-
B ．5
C ．14
D ．23
2．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则(1)f -与
2(22)f a a ++的大小关系是（ ）
A ． 2(1)(22)f f a a ->++
B ．2(1)(22)f f a a -<++
C ．2(1)(22)f f a a -≥++
D ． 2(1)(22)f f a a -≤++
3．定义,min(,),a a b
a b b a b
≤⎧=⎨
>⎩，例如：min(1,2)2--=-，min(2,2)2=，若2()f x x =，2()46g x x x =--+，则()min((),())F x f x g x =的最大值为（ ）
A ．1
B ．8
C ．9
D ．10
4．函数sin y x x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．函数()2
1x
f x x =
-的图象大致是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知函数()()1,1
2,1
x
mx x f x n x +<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，在R 上单调递增，则mn 的最大值为（ ） A ．2
B ．1
C ．
9
4
D ．
14
7．已知函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有()21
213
x
f f x ⎡
⎤
+=⎢⎥+⎣⎦成立，则()2020f 的值是（ ） A ．2020
2
1- B ．2020
2
1+
C ．2020202021
21
+-
D ．202020202121
-+
8．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ） A ．5-
B ．7-
C ．5
D ．7
9．已知函数()y f x =的定义域为[]0,4，则函数0(2)1
y x x =--的定义域是（ ） A ．[1,5]
B ．((1,2)
(2,5) C ．(1,2)(2,3]⋃
D ．[1,2)(2,3]⋃
10．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2-x ），且对任意的x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0．则（ ） A ．()()()211f f f <-< B ．()()()121f f f <<- C ．()()()112f f f <-< D ．()()()211f f f <<-
11．函数2log x
y x x
=
的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34
a >-
B ．53
a <-
C ．5334
a -
<<- D ．53
34
a -
≤≤- 二、填空题
13．已知()13
=f x x ，则不等式(21)f x -() 230f x ++>的解集为_________. 14．已知函数()2
f x x =，()1
g x a x =-，a 为常数，若对于任意1x ，[]20,2x ∈，且
12x x <，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-则实数a 的取值范围为________.
15．已知函数2
1
23
y kx kx =
++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________． 16．已知集合{1,A B ==2，3}，f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种.
17．设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式
()0xf x <的解集是___________.
18．已知定义在R 上的函数()f x 满足：①(1)0f =；②对任意x ∈R 的都有
()()f x f x -=-；③对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠时，都有
()()1212
0f x f x x x ->-.记
2()3()
()1
f x f x
g x x --=
-，则不等式()0g x ≤的解集______.
19．若233
()1
x x f x x -+=-，()2g x x =+，求函数()()y f g x =的值域________.
20．已知函数()f x 是R 上的奇函数，()()2g x af x bx =++，若(2)16g =，则
(2)g -=______．
三、解答题
21．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-.
（1）求函数()f x 的解析式，并作出函数的大致的简图；(作图要求：①列表描点；②先
用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑)； （2）根据图象写出函数单调区间；
（3）若不等式()21f x m -≥在[1,3]x ∈-上有解，求m 的取值范围. 22．已知二次函数()2
f x ax bx c =++.
（1）若集合(){}
{}|1
2A x f x x ===，，且()02f =. ①求函数()f x 的解析式； ②画出函数()y f x =的图象，并讨论函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个
数；
（2）若a =1，c =0，求函数()f x 在区间[
]
22-，
上的最小值. 23．已知函数()21
ax b
f x x +=+（其中a >0）为奇函数． （1）求实数b 的值；
（2）证明：()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，
上是减函数； （3）若存在实数m ，n （0<m <n ），使得m ≤()f x ≤n 的解集为[]
m n ，，求a 的取值范围．
24．已知函数11
f x x x x ⎛⎫+
=+ ⎪ ⎪⎭
（1）求函数()f x 的解析式、定义域；
（2）函数()()g x f x ax =-，[]
2,4x ∈，求函数()g x 的最小值. 25．已知函数1
()1
f x x =
-，()1g x x x =+-.
（1）判断当()1,x ∈+∞时函数()f x 的单调性，并用定义证明； （2）用分段函数的形式表示()g x 函数，并画出函数()g x 的图像.
26．已知一次函数()y f x =满足()12f x x a -=+， . 在所给的三个条件中，任选一个补充到题目中，并解答. ①()5f a =，②142a f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，③()()41226f f -=. （1）求函数()y f x =的解析式；
（2）若()()()g x x f x f x x λ=⋅++在[]0,2上的最大值为2，求实数λ的值.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
令函数()2
18g x x ax =-++，则只需使当[]1,3x ∈-时，()0g x ≥且单调，然后针对
()32
10a g ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩或()1
230a
g ⎧≤-⎪⎨⎪≥⎩两种情况讨论求解. 【详解】
由题意可设()2
18g x x ax =-++，则当[]1,3x ∈-时，()2
18g x x ax =-++单调，且
()0g x ≥恒成立，因为()218g x x ax =-++的对称轴方程为2
a x =
， 则()3210a g ⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩或()1
230a
g ⎧≤-⎪⎨⎪≥⎩，解得617a ≤≤或32a --≤≤，即[][]6,173,2a ∈--，
则只有14满足题意． 故选：C ． 【点睛】
本题考查根据复合函数的单调性求参数的取值范围，解答时注意不仅要使原函数在所给区
间上单调，且必须使原函数在所给区间上有意义.
2．C
解析：C 【分析】
由()f x 是偶函数，可知(1)(1)f f -=，故只需比较(1)f 与2
(22)f a a ++的大小即可，而22
22(1)11a a a ++=++≥，再结合函数()f x 的单调性，即可得(1)f 与
2(22)f a a ++大小关系.
【详解】
因为()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -=，
又22
22(1)11a a a ++=++≥，()f x 在[0,)+∞上是减函数，
所以2(22)(1)f a a f ++≤，即2
(22)(1)f a a f ++≤-. 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性比较大小，关键是借助函数的奇偶性，将要比较的函数值对应的自变量转化到同单调区间上，并且比较它们的大小，再利用单调性作出判断．
3．C
解析：C 【分析】
根据定义确定()F x 的解析式及单调性后可得最大值． 【详解】
由2246x x x <--+得2230x x +-<，31x -<<，
所以()22,31
46,31x x F x x x x x ⎧-<<=⎨--+≤-≥⎩
或，
所以()F x 在(,3)-∞-和(0,1)上都是增函数，在(3,0)-和(1,)+∞上都是减函数，
(3)9F -=，(1)1F =，
所以max ()9F x =． 故选：C ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查求函数的最大值．解题关键是根据新函数定义确定新函数的解析式，单调性．结合单调性易得最值．
4．A
解析：A 【分析】
先判断函数奇偶性，排除CD ，再结合函数在()0,π的正负选出正确答案 【详解】
设()sin y f x x x ==，求得()sin f x x x -=，故函数为偶函数，排除CD ，由三角函数图像特征可知在()0,π时sin 0x >，故在()0,π时()0f x >，故A 正确 故选：A 【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．C
解析：C 【分析】
由1x >时，()0f x <，排除B 、D ；由函数()f x 在区间(0,1)上的单调性，排除A ，即可求解. 【详解】
由题意，函数()2
1x
f x x =
-有意义，满足210x -≠，解得1x ≠±， 又由当1x >时，()0f x <，排除B ，D ； 当01x <<时，()2
1x
f x x =-， 设1
20
1x x ，则21122121222
22121(1)()
()()11(1)(1)
x x x x x x f x f x x x x x +--=
-=----， 因为22
21122110,10,10,0x x x x x x ->->+>->，所以21()()0f x f x ->，
即12()()f x f x <，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，所以A 不符合，C 符合. 故选：C. 【点睛】
知式选图问题的解答方法：
从函数的定义域，判定函数图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置； 从函数的单调性（有时借助导数），判断函数的图象的变换趋势； 从函数的奇偶性，判断图象的对称性； 从函数的周期性，判断函数的循环往复；
从函数的特殊点（与坐标轴的交点，经过的定点，极值点等），排除不和要求的图象.
6．D
解析：D 【分析】
现根据分段函数单调增，列出不等式组，得出011m n m n >⎧⎪
<⎨⎪+≤⎩
，再根据基本不等式即可求解.
【详解】
由题意可知，函数在R 上单调递增，则02112m n m n
>⎧⎪->⎨⎪+≤-⎩
，解得011m n m n >⎧⎪
<⎨⎪+≤⎩，则由基本不等式
可得22
11224m n mn +⎛⎫⎛⎫≤≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当m=n=12时取等号.
故选：D 【点睛】
本题主要考查分段函数的单调性，和基本不等式，属于中档题，解题是应注意分段函数单调递增：左边增，右边增，分界点处左边小于等于右边.
7．D
解析：D 【分析】
采用换元法可构造方程()21
213
t
f t t =-=+，进而求得()f x 解析式，代入2020x =即可得到结果. 【详解】
由()f x 是R 上的单调函数，可设()221x f x t +=+，则()1
3
f t =恒成立， 由()221x f x t +
=+得：()221x f x t =-+，()21
213
t
f t t ∴=-=+，解得：1t =， ()22112121x x x f x -∴=-=
++，()2020202021
202021
f -∴=+. 故选：D . 【点睛】
本题考查函数值的求解问题，解题关键是能够采用换元的方式，利用抽象函数关系式求解得到函数的解析式.
8．A
解析：A 【解析】
()()53531,1f x ax bx f x ax bx =++∴-=--+，
()()()()2,552f x f x f f +-=∴+-=，()5275f -=-=-，故选A. 9．C
解析：C 【分析】
由函数定义域的定义，结合函数0(2)
y x =-有意义，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】
由题意，函数()y f x =的定义域为[]0,4，即[]
0,4x ∈，
则函数0(2)y x =-满足014
1020
x x x ≤+≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩
，解得13x <≤且2x ≠，
所以函数0(2)y x =+-的定义域是(1,2)(2,3]⋃. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记函数的定义域的定义，根据题设条件和函数的解析式有意义，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
10．B
解析：B 【分析】
由已知得函数f （x ）图象关于x=1对称且在（-∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而可判断出大小关系. 【详解】
解：∵当x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）时有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0， ∴f （x ）在（-∞，1]上单调递减， ∵f （x ）=f （2-x ），
∴函数f （x ）的图象关于x=1对称，则f （x ）在∈（1，+∞）上单调递增， ∴f （-1）=f （3）>f （2）＞f （1） 即f （-1）＞f （2）＞f （1） 故选B ． 【点睛】
本题考查函数的对称性及单调性的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用．
11．D
解析：D 【解析】
()222log ,0log log ,0
x x x y x x x x >⎧=
=⎨--<⎩，所以当0x >时，函数
22log log x y x x x ==为增函数，当0x <时，函数()22log log x
y x x x
=
=--也为增函数，故选D. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +
-
→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
12．C
解析：C 【详解】
分析：函数()3
2
21f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之
间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．
a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得4
3
a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
由△＞0，解得a 43＜
（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 1=，
x 2=
．
当403
a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，
∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．
解得：53-＜a 34
-
＜． 综上可得：53
-＜a 34
-＜． 故选：C ．
点睛：极值转化为最值的性质：
若()[]
f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；
若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；
二、填空题
13．【分析】先利用幂函数性质和奇函数定义判断是R 上单调递增的奇函数再结合奇偶性和单调性解不等式即可【详解】由幂函数性质知时在是增函数故函数在是增函数又定义域是R 而故是R 上的奇函数根据奇函数对称性知在R 上
解析：1,2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
【分析】
先利用幂函数性质和奇函数定义判断()f x 是R 上单调递增的奇函数，再结合奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】
由幂函数性质知，01α<<时y x α
=在[)0,+∞是增函数，故函数()1
3 =f x x 在[)
0,+∞是增函数，又()f x 定义域是R ，而()()()1
1
33 =f x x x f x =-=---，故()f x 是R 上的奇函数，根据奇函数对称性知，()f x 在R 上单调递增.故不等式
(21)f x -() 230f x ++>即(21)f x -()() 2323f x f x >-+=--，故
2123x x ->--，即12x >-，故解集为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
.
故答案为：1,2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】 思路点睛：
利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：
（1）()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式
()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等
式即可；
（2）()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，利用偶函数性质将不等式
()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不
等式即可.
14．02【分析】构造函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）利用F （x ）的单调性求出a 【详解】解：对于任意x1x2∈02且x1＜x2都有f （x1）﹣f （x2）＜g （x1）﹣g （x2）即f （x1）﹣g （x1）＜f
解析：[0，2] 【分析】
构造函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），利用F （x ）的单调性求出a 【详解】
解：对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），即f （x 1）﹣g （x 1）＜f （x 2）﹣g （x 2），
令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣a |x ﹣1|，即F （x 1）＜F （x 2），只需F （x ）在[0，2]单调递增即可，
当x ＝1时，F （x ）＝0，图象恒过（1，0）点， 当x ＞1时，F （x ）＝x 2﹣ax +a ， 当x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a ，
要使F （x ）在[0，2]递增，
则当1＜x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣ax +a 的对称轴x ＝12
a
≤，即a ≤2， 当0≤x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a 的对称轴x ＝02
a
-≤，即a ≥0， 故a ∈[0，2]， 故答案为：[0，2] 【点睛】
考查恒成立问题，函数的单调性问题，利用了构造函数法，属于中档题．
15．【解析】解：当k=0时满足条件当时综上：点睛：定义域为分母在上都不为0注意分母不一定为二次所以先考虑二次项系数为零
解析：0k ≤<3. 【解析】 解： 当k=0时，1
3
y =
，满足条件 当k 0≠时，24120k k -< 综上：0k 3≤<．
点睛：定义域为R ，分母在R 上都不为0，注意分母不一定为二次，所以先考虑二次项系数为零．
16．7【分析】根据函数的定义来研究由于函数是一对一或者多对一的对应且在B 中的元素可能没有原像故可以按函数对应的方式分类讨论可分为一对一二对一三对一三类进行讨论得答案【详解】由函数的定义知此函数可以分为三
解析：7 【分析】
根据函数的定义来研究，由于函数是一对一或者多对一的对应，且在B 中的元素可能没有原像，故可以按函数对应的方式分类讨论.可分为一对一，二对一，三对一三类进行讨论得答案． 【详解】
由函数的定义知，此函数可以分为三类来进行研究：
若函数的是三对一的对应，则值域为{}1、{}2、{}3三种情况； 若函数是二对一的对应，{}1,2、{}2,3、{}1,3三种情况； 若函数是一对一的对应，则值域为{1,2，3}共一种情况． 综上知，函数的值域的不同情况有7种． 故答案为7． 【点睛】
本题考查函数的概念，函数的定义，考查数学的基本思想方法，是中档题．
17．【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f （x ）在-50上的图象这样根据f （x ）在上的图象便可得出xf （x ）<0的解集【详解】奇函数图象关于原点对称作出在的图象如下：由得或由图可知或的解集为【点睛 解析：[)
(]5,22,5--
【分析】
由奇函数的图象关于原点对称便可得出f （x ）在[-5，0]上的图象，这样根据f （x ）在
[]5,5-上的图象便可得出xf （x ）<0的解集．
【详解】
奇函数图象关于原点对称，作出()f x 在[]5,5-的图象如下：
由()0xf x <得()00x f x <⎧⎨>⎩或()0
0x f x >⎧⎨<⎩
，
由图可知52x -≤<-或25x <≤，
()0xf x ∴<的解集为[)
(]5,22,5--.
【点睛】
本题考查函数奇偶性、函数图象的综合，解题关键是根据函数奇偶性作出函数图象，利用数形结合思想求解，属于中等题.
18．【分析】根据题意分析可得函数为奇函数且结合单调性的定义可得在上为增函数结合（1）以及函数奇偶性的性质分析可得与的的取值范围转化为或或可得的取值范围即可得答案【详解】根据题意满足对任意的都有即函数为奇 解析：[]1,0-
【分析】
根据题意，分析可得函数()f x 为奇函数且(0)0f =，结合单调性的定义可得()f x 在
(0,)+∞上为增函数，结合f （1）0=以及函数奇偶性的性质分析可得()0f x >与
()0f x <的x 的取值范围，转化为()010f x x <⎧⎨->⎩或()010f x x >⎧⎨-<⎩或()0
10f x x =⎧⎨-≠⎩
，可得x 的取值
范围，即可得答案． 【详解】
根据题意，()f x 满足对任意x ∈R 的都有()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数，则有
(0)0f =；
又由对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠时，总有
1212
()()
0f x f x x x ->-，即函数()f x 在
(0,)+∞上为增函数，
若f （1）0=，则在区间(0,1)上，()0f x <，在区间(1,)+∞上，()0f x >， 又由()f x 为奇函数，则在区间(,1)-∞-上，()0f x <，在区间(1,0)-上，()0f x >， 则()0g x 即2()3()5()
()011f x f x f x g x x x --=
=--，即()010f x x <⎧⎨->⎩或()010f x x >⎧⎨-<⎩或()010
f x x =⎧⎨-≠⎩，
解可得：10x -，即不等式()0g x 的解集为[1-，0]； 故答案为：[]1,0-． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．
19．【分析】将代入得到的解析式然后利用换元法求出值域【详解】要使函数成立则即将函数代入得：令则所以又或故函数的值域为故答案为：【点睛】求解复合函数的值域的一般方法如下：（1）若函数的形式比较简单可先将的 解析：(]
[),31,-∞-+∞
【分析】
将()2g x x =+代入，得到()()y f g x =的解析式，然后利用换元法求出值域． 【详解】
要使函数()()y f g x =成立，则21x +≠，即1x ≠-，将函数()2g x x =+代入
233
()1
x x f x x -+=
-得： ()()
()()2
223231
11
x x x x y f g x x x +-++++==
=
++，令1x t ，则1x t =-，所以22(1)11
1t t t t y t t t t
-+-+===-+，又111t t -+≥或113t t -+≤-，
故函数()()f g x 的值域为(][),31,-∞-+∞.
故答案为：(][),31,-∞-+∞.
【点睛】
求解复合函数()()
f g x 的值域的一般方法如下：
（1）若函数()g x 的形式比较简单，可先将()()
f g x 的解析式表示出来，然后设法求出其值域，解答时注意定义域；
（2）采用换元法，令()g x t =，计算()g x 的值域即t 的取值范围，然后计算()f t 的值域．
20．【分析】分析的奇偶性根据的结果求解出的值【详解】令因为为上的奇函
数且也为上的奇函数所以为上的奇函数所以所以且所以故答案为：【点睛】结论点睛：已知（1）当为奇数时且此时为奇函数；（2）当为偶数时为偶函数 解析：12-
【分析】
分析()()2h x g x =-的奇偶性，根据()()22h h +-的结果求解出()2g -的值. 【详解】
令()()()2h x g x af x bx =-=+，因为()f x 为R 上的奇函数，且y bx =也为R 上的奇函数，
所以()()2h x g x =-为R 上的奇函数，所以()()220h h +-=， 所以()()22220g g -+--=，且()216g =，所以()212g -=-， 故答案为：12-. 【点睛】
结论点睛：已知()(),0n
f x x a n Z n =+∈≠，
（1）当n 为奇数时，且0a =，此时()f x 为奇函数； （2）当n 为偶数时，()f x 为偶函数.
三、解答题
21．（1）222,0
()2,0
x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，简图答案见解析；（2）单调增区间为(,1)-∞-和
(1,)+∞，单调减区间为[]1,1-；（3）1m .
【分析】
（1）设0x <，则0x ->，利用()f x f x =--（
）即可求出0x <时，()f x 的解析式，进而可得函数()f x 的解析式，按步骤列表描点连线即可作出函数图象； （2）根据图象上升和下降趋势即可得单调区间；
（3）将原问题转化为max 21m f x ≤-（），利用单调性求出()f x 在区间[1,3]-上的最大值
即可求解. 【详解】
（1）设0x <，则0x ->，
因为f x （）是奇函数
所以()()()2
222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦
（） 所以222,0
2,0
x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩（
） ， 列表如下：
x…3-2-1-0123…
y…3-0101-03…
（2）由图知：函数f x
（）的单调增区间为(,1)
-∞-和(1,)
+∞，单调减区间为[]
1,1
-
（3）不等式21
f x m
-≥
（）在1
[]3
x∈-，上有解，
等价于在21
m f x
≤-
（）在1
[]3
x∈-，有解.可得
max
21
m f x
≤-
（），
由（2）可知f x
（）在[11
-，）上单调递减，在[1]3，上单调递增，
因为()()()
2
11211
f-=---⨯-=，()2
33233
f=-⨯=
所以()max3
f x=，
所以2312
m≤-=，所以1
m
【点睛】
方法点睛：求不等式有解问题常用分离参数法
若不等式()
,0
f xλ≥()
x D
∈（λ是实参数）有解，将()
,0
f xλ≥转化为()
g x
λ≥或()()
g x x D
λ≤∈有解，进而转化为()
min
g x
λ≥或()()
max
g x x D
λ≤∈，求()
g x的最值即可.
22．（1）①2
()22
f x x x
=-+，②见解析；（2）
2
min
42,4
(),44
4
42,4
b b
b
f x b
b b
-≥
⎧
⎪
⎪
=--<<
⎨
⎪
+≤-
⎪⎩
.
【分析】
（1）①先求得2
c=；{1
A=，2}说明()0
f x x
-=两根为1，2．利用韦达定理求a，b，从而可得解析式；②写成分段函数形式，再利用二次函数图象与性质求解．
（2）根据对称轴位置，分三种情况讨论，分别利用二次函数的性质求解即可．
【详解】 （1）①
(0)2f =，2c ∴=
{1A =，2}，2(1)20ax b x ∴+-+=有两根为1，2．
由韦达定理得，2
12112a
b a ⎧=⨯⎪⎪
⎨-⎪=+⎪⎩，∴12a b =⎧⎨=-⎩
2()22f x x x ∴=-+
②函数()2222,0
22,0x x x y f x x x x ⎧-+≥==⎨-+<⎩
，
函数()y f
x =的图象如图，
同一坐标系内画出函数y a =的图象， 由图可知，
当1a <时，函数y a =和函数()y f
x =的图象的公共点个数为0；
当1a =或2a >时，函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数为2； 当12a <<时，函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数为4； 当2a =时，函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数为3；
（2）a =1，c =0，函数2
()f x x bx =+，
当2,42
b
b -
≤-≥时，()min ()242f x f b =-=-； 当22,442b b -<-<-<<时，2min ()24b b f x f ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭；
当2,42
b
b -
≥≤-时，()min ()242f x f b ==+；
综上，2min
42,4(),44442,4
b b b
f x b b b -≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩ 【点睛】
方法点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.
23．（1）0；（2）证明见解析；（3）（1，2）． 【分析】
（1）依题意可得()00f =，即可求出参数b 的值，
（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（3）依题意结合（2）中函数的单调性，即可得到方程组，即可求出参数的取值范围； 【详解】
解：（1）由题意可知函数()2
1
ax b
f x x +=
+的定义域为R ，且为奇函数，所以()00f b ==，
经检验满足题意，所以b =0； （2）证明：由（1）知b =0，所以
()211ax a
f x x x x
=
=
++，则任取12x x <，则
12110x x -
>，因为12x x <，所以当()01x ∈，时，210x x ->，12
110x x -<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，则()f x 在()01，上是增函数；当()1x ∈+∞，时，210x x ->，()()1
f x +∞，，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，[]
m n ，上是减函数，
综上：()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，
上是减函数； （3）由（2）知()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，
上是减函数，又存在实数m ，n （0<m <n ），使得m ≤()f x ≤n 的解集为()22
1112am
m m an m n a f n ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=≤⎪⎩
，则221112a m a n a n ⎧=+⎪
⎪
=+⎨⎪
≤⎪⎩，化简得
221112a m a n a n
⎧=+⎪
⎪
=+⎨⎪
≤⎪⎩，因为0<m <n ，所以1<a <2，所以a 的取值范围为（1，2）．
【点睛】
函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
24．（1）22f x
x ，[)2,x ∈+∞；（2）()2min
22,4
2,484144,8
a a a
g x a a a -≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. 【分析】
（1）利用换元法，求函数的解析式，并利用基本不等式求函数的定义域；（2）由（1）可知()2
2g x x ax =--，[]
2,4x ∈，讨论对称轴和定义域的关系，求函数的最小值.
【详解】
解：（1）由题0x >
，令t =，则2t ≥ ∴()2
2f t t =-
∴22f x
x ，[)2,x ∈+∞
（2）()2
2g x x ax =--，[]
2,4x ∈ 当4a ≤时，()()min 222g x g a ==-
当48a <<时，2
min
224a a g ⎛⎫
=-
- ⎪⎝⎭ 当8a ≥时，()()min 4144g x g a ==-
综上所述：()2min
22,42,484144,8
a a a
g x a a a -≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩ 【点睛】
易错点点睛：本题第一问考查已知()y f g x ⎡⎤=⎣⎦，求()y f x =的解析式，容易忽略函数
的定义域，即求函数()g x 的值域；本题第二问求函数的最值，不能直接就是顶点纵坐标，需讨论定义域和对称轴的关系，分情况求函数的最小值.
25．（1）函数()f x 在()1,+∞为单调递减，证明见解析；（2）21,0
()1,0
x x g x x -≥⎧=⎨-<⎩，图
象答案见解析. 【分析】
（1）利用函数单调性定义：任意()12121,()f x x f x x <><成立，即可判定()f x 在
()1,+∞是单调递减；
（2）讨论0,0x x ><，去掉x 的绝对值即可得到函数()g x 的解析式. 【详解】
解：（1）函数()f x 在()1,+∞为单调递减. 证明如下：任取121x x <<， 则()()()()
211
2121211
1111x x f x f x x x x x --=
-=----， ∵121x x <<，110x ，210x ，210x x ->.
()()120f x f x ->即()()12f x f x >，
所以()f x 在()1,+∞上单调递减. （2）
()1g x x x =+-
所以当0x <时，()111g x x x x x =+-=--=-； 所以当0x ≥时，()1121g x x x x x x =+-=+-=-；
21,0
()1,0x x g x x -≥⎧∴=⎨-<⎩
.
函数()y g x =图形如下：
【点睛】
确定函数单调性的四种方法：
（1）定义法：利用定义判断；
（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；
（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；
（4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.
26．（1）()23f x x =+（2）2λ=-
【分析】
利用待定系数法求出()22f x x a =++，
（1）根据所选条件，都能求出1a =，可得()23f x x =+；
（2）根据对称轴与区间中点值的大小分两种情况讨论求出最大值，结合已知最大值可求得λ的值.
【详解】
设()f x kx b =+(0)k ≠，则(1)2k x b x a -+=+，即2kx k b x a -+=+，
所以2k =，2b a ，所以()22f x x a =++，
若选①，
（1）由()5f a =得225a a ++=，得1a =，所以()23f x x =+.
（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++， 区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-
， 当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max
()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；
当()212
λ+->，即4λ<-时，max ()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得23
λ=（舍），
综上所述：2λ=-.
若选②， （1）由142a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得14222a a =⨯++，解得1a =，所以()23f x x =+； （2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，
区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-
， 当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max
()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；
当()212λ+->，即4λ<-时，max ()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得2
3
λ=（舍），
综上所述：2λ=-.
若选③，
（1）由()()41226f f -=得4(22)2(42)6a a ++-++=，解得1a =，所以()23f x x =+；
（2）()(23)(23)g x x x x x λ=++++=22(42)3x x λλ+++，
区间[]0,2的中点值为1，对称轴为()22x λ+=-
， 当()212λ+-≤，即4λ≥-时，max
()(2)8843716f x f λλλ==+++=+，所以7162λ+=，解得2λ=-；
当()212λ+->，即4λ<-时，max ()(0)3f x f λ==，所以32λ=，解得2
3
λ=（舍），
综上所述：2λ=-.
【点睛】
关键点点睛：第二问，讨论对称轴与区间中点值的大小求最大值是解题关键.。