高中数学优质教案1：3.4(1)基本不等式

3.4基本不等式√ab≤a+b
（Ⅰ）
2
【教学目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【重点难点】
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程；难点：基本不等式等号成立条件。

【教学过程】
1.课题导入
基本不等式√ab≤a+b
的几何背景：
2
如下图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如下图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为√a2+b2。

这样，4个直角三角形的面积
的和是2ab，正方形的面积为a2+b2。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2+b2≥2ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2+b2= 2ab.
2．得到结论：一般的，如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）. 3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：∵a2+b2−2ab=(a−b)2
当a≠b时，(a−b)2>0，当a=b时，(a−b)2=0.
(a−b)2≥0
∴
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式√ab≤a+b
2
特别的，如果a>0，b>0,我们用分别代替a、b，可得a+b≥2√ab，
(a>0，b>0)
通常我们把上式写作：√ab≤a+b
2
2）从不等式的性质推导基本不等式√ab≤a+b
2
≥√ab(1)
证明：要证a+b
2
只要证a+b≥(2)
要证（2），只要证a+b−________≥0（3）
要证（3），只要证(_________−________)2≥0（4）
显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.
3）理解基本不等式√ab≤a+b
的几何意义
2
探究：课本第98页的“探究”
在下图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB
的几何解释吗？
的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式√ab≤a+b
2
易证Rt∆ACD ∽Rt∆DCB，那么CD2=CA⋅CB，即CD=√ab.
这个圆的半径为a+b
2，显然，它大于或等于CD，即a+b
2
≥√ab，其中当且仅当点C与圆心重
合，即a=b时，等号成立.
因此：基本不等式√ab≤a+b
2
几何意义是“半径不小于半弦”
评述：1.如果把a+b
2
看作是正数a、b的等差中项，√ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中，我们称a+b
2
为a、b的算术平均数，称√ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
典型例题
例1（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y) m.
则由x+y
2
≥√xy，可得x+y≥2√100=20，当且仅当x=y ，即x=y=10时等号成立.
∴2(x+y)≥40
∴这个矩形的长、宽都为10 m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40 m.
（2）解法一：
设矩形菜园的宽为x m，则长为(36−2x)m，其中0<x<1
2
，其面积S＝
x(36－2x)＝x m·2x(36－2x)≤1
2(2x+36−2x
2
)
2
=362
8
,当且仅当2x=36－2x，
即x=9 时菜园面积最大，即菜园长9m，宽为9m时菜园面积最大为81m2. 解法二：
设矩形菜园的长为x m，宽为y m,则2(x+y)=36,即 x+y=18, 矩形菜园的面积为xy m2.
由√xy≤x+y
2=18
2
=9可得xy≤81，可得xy≤81.
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2
归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤M2
4
，等号当且仅当a＝b 时成立.
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R+，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2√P，等号当且仅当a＝b 时成立.
动手试试
练1. x>0时，当x取什么值时，x+1
x
值最小？最小值是多少？
练2. 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的各最小，最小值是多少？
4.课时小结
1.本节课，我们学习了重要不等式a2+b2≥2ab；两正数a，b的算术平均数（a+b
2
），几
何平均数（√ab）及它们的关系（a+b
2
≥√ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤
a2+b2
2，ab≤(a+b
2
)
2
.
2.在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等号. 知识拓展
两个正数x，y.
1．如果和x+y.为定值S时，则当x=y.时，积xy有最大值1
4
S2.
2. 如果积xy为定值P时，则当x=y时，和x+y有最小2√P值
5.评价设计
课本第100页习题[A]组的第1题
【板书设计】。