湖南省永州市2019届高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题Word版含解析

湖南省永州市2019届高三上学期第一次模拟考试
数学（文）试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得：，故选D.
2. 若复数是纯虚数，则一定有（）
A. B. 且 C. 或 D.
【答案】B
【解析】，由纯虚数定义可得且，故选B.
3. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】若，则成立；若，则或，故若，则不成立，故“”是“”的充分不必要条件.
4. 用计算机在间的一个随机数，则事件“”发生的概率为（）
A. 0
B. 1
C.
D.
【答案】C
【解析】根据几何概型概念可得：事件“”发生的概率为，故选C. 5. 执行如图所示的程序框图，输入的值为2，则输出的的值为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】D
【解析】模拟执行程序，可得，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，，不满足条件，退出循环，输出的值为5，故选D. 点睛：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理，属于基础题；模拟执行程序，依次写出每次循环得到的，的值，当时不满足条件，退出循环，输出的值即可. 6. 双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在双曲线中，，由，得，故，故双曲线的渐近线方程为，故选C.
7. 关于直线及平面，下列命题中正确的是（）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】A
8. 设满足约束条件，则的最大值为（）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】D
【解析】画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由得：，显然将直线平移到C处时，的值最大，
由得：，∴，故选D.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
9. 已知，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以
，应选答案D。

10. 函数的部分图像是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由可知，函数最大值为2，故排除D；又因为函数过点，故排
除B；过点，故排除C；故选A.
11. 定义在上的偶函数满足，当时，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵由题意可得函数是以2为周期的周期函数且为偶函数，当时，，∴，，，，
，则成立，故选C.
12. 已知定义在上的可导函数的导函数为，若对于任意实数有，且
，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，故，由
可得，，故函数在上单调递增，又由得，故不等式
的解集为，故选B.
点睛：本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想，属于中档题；根据条件构造函数令，由求导公式和法则求出，根据条件判断出的符号，得到函数的单调性，求出的值，将不等式进行转化后，利用的单调性可求出不等式的解集.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知，，，则__________．
【答案】2
【解析】由，，得：，解得，故答案为.
14. 已知函数，，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】∵，∴，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是，故答案为.
15. 已知三点在半径为5的球的表面上，是边长为的正三角形，则球心到平面的距离为__________．
【答案】3
【解析】设平面截球所得球的小圆半径为，则，故，则球心到平面
的距离为，故答案为3.
16. 若，则__________．
【答案】
【解析】令，故
，故答案为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在中，角所对的边分别为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）已知，的面积为1，求边.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化为角易得，故而可得角的大小；（2）根据三角形的面积公式以及余弦定理建立方程进行求解.
试题解析：(1) ∵，由正弦定理得：
又∵，∴，，∴，
(2) ∵，，，∴得，
由余弦定理得：，得
18. 近年来城市“共享单车”的投放在我国各地迅猛发展，“共享单车”为人们出行提供了很大的便利，但也给城市的管理带来了一些困难，现某城市为了解人们对“共享单车”投放的认可度，对年龄段的人群随机抽取人进行了一次“你是否赞成投放共享单车”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（1）补全频率分布直方图，并求的值；
（2）在第四、五、六组“赞成投放共享单车”的人中，用分层抽样的方法抽取7人参加“共享单车”骑车体验活动，求第四、五、六组应分别抽取的人数；
（3）在（2）中抽取的7人中随机选派2人作为正副队长，求所选派的2人没有第四组人的概率.
【答案】（1）见解析；（2）4人，2人，1人；（3）
【解析】试题分析：（1）由频率表中第五组数据可知，第五组总人数为100，结合频率分布直方图可得及，根据第二组求出；（2）根据分层抽样原理可知，第四、五、六组分别取的人数为4人，2人，1人；（3）利用列举法列出从7人中随机抽取2名领队所有可能的结果有21种，其中恰好没有第四组人的所有可能结果4种，故可得结果.
试题解析：（1）画图（见下图）由频率表中第五组数据可知，第五组总人数为，再结合频率分布直方图
可知，所以，第二组的频率为，所以
（2）因为第四、五、六组“喜欢骑车”的人数共有105人，由分层抽样原理可知，第四、五、
六组分别取的人数为4人，2人，1人.
（3）设第四组4人为：，第五组2人为：，第六组1人为：.则从7人中随机抽取2名领队所有可能的结果为：
，，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，共21种；其中恰好没有第四组人的所有可能结果为：，共3种；所以所抽取的2人中恰好没有第四组人的概率为
.
19. 已知三棱锥，，，为的中点，平面
，，，是中点，与所成的角为，且.
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）由为的中点，得，由线面垂直得，故而可得线面垂直平面，继而可得；（2）设中点为，连接、，由异面直线所
成角的定义可知即为与所成的角为，可求出，，故而可求出三棱锥的体积.
试题解析：（1）证明：, 为的中点，，又平面
平面, 平面
（2）设中点为，连接、，则//，故即为与所成的角为，又且所以，又，即
，所以三棱锥的体积三棱锥
20. 已知动圆与圆相切，且经过点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知点，若为曲线上的两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由与相切于点，且经过点易得
，由椭圆的定义可知点的轨迹方程；（2）易得直线存在斜率，
故可设直线，同时设出，，联立直线与椭圆的方程，韦达定理与相结合可求出斜率，故而可得直线方程.
试题解析：（1）设为所求曲线上任意一点，并且与相切于点
，点到两定点,的距离之和为定值，由椭圆的定义可知点的轨迹方程为
（2）当直线轴时，不成立，所以直线存在斜率，设直线．设，，则
，，得
，①，②又由，得③联立①②③得
，（满足）所以直线的方程为
21. 已知函数，，其中为自然对数的底数.
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）已知，若对任意，有，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）对函数进行求导可得，分为
，，和四种情形，根据导数与0的关系可判断出其单调性；（2）
将题意转化为恒成立，利用导数判断单调性求出最值即可.
试题解析：（1），①当时，，，在上单调递增，②当时，，，在上单调递增，③当时，
时，，在上单调递增，时，，在
上单调递减，④当时，，，在上单调递增，综上所述，当
或时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减
（2），依题意，时，恒成立.已知，则当时，，在上单调递减，而在上单调递
增，，
，得，当时，，与在上均单调递
增，，，，得与矛盾，综上所述，实数的取值范围是
点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增，
得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参
数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与轴的交点为，直线与曲线的交点为，求的值.
【答案】（1）；（2）3
【解析】试题分析：（1）消去参数可得直线普通方程，根据可得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线方程，根据参数的几何意义及韦达定理可得结果. 试题解析：(1) 直线l的普通方程为，∵，∴曲线C的直角坐标方程为
(2) 将直线的参数方程 (t为参数)代入曲线方程，得
，∴，∴|P A||PB|=|t 1t2|=3.
点睛：本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，注意运用极坐标和直角坐标的关系，考查直线的参数方程的运用，注意运用参数的几何意义以及韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于基础题.直线的参数方程中参数的几何意义.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在实数满足，求实数的最大值.
【答案】（1）；（2）3
【解析】试题分析：（1）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（2）
，只需令解不等式即可得结果. 试题解析：（1）
当时，由，得
当时，由，得
当时，由，得
所以不等式的解集为或.
（2）
依题意有，即
解得
故的最大值为3．。