1 角平分线 公开课一等奖课件
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角平分线的性质() 公开课一等奖课件
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
B A ND P M F
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CAABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明： 过点F作FG⊥AE于G， G FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， M FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上
《角平分线(1)》精品课件
北
大
下
第一章 三角形的证明
4 角平分线
（第1课时）
学习目标
1.会用尺规作角平分线. 2.能够证明角平分线的性质定理、判定定理. 3.能够运用角平分线的性质定理、判定定理
解决几何问题.
新知探究
思考：要在S区建一个集贸市场.
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？
（2）它到公路，铁路距离相等且离公路、铁路的
∵DE ＝ DF, AD是∠EDF的角平分线，
∴AD垂直平分EF(三线合一）.
随堂练习
1.如图，AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，
PF⊥AC，则PE___=____PF.
2.如图，PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，
则∠BAP__=___∠CAP.
3.如图，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB， PE⊥AC，若AD= 3，则PE=__1__.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中，
OP=OP，PD=PE，
A
C
DP
1
B
2
E
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
O
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等) .
∴点P在∠AOB的角平分线上．
这样，我们又可以得到一个结论：
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上.
DA
1 O2
PC
E B
练一练
判断
1. ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴
BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等.
)
大
下
第一章 三角形的证明
4 角平分线
（第1课时）
学习目标
1.会用尺规作角平分线. 2.能够证明角平分线的性质定理、判定定理. 3.能够运用角平分线的性质定理、判定定理
解决几何问题.
新知探究
思考：要在S区建一个集贸市场.
（1）使它到公路，铁路距离相等，如何设计？
（2）它到公路，铁路距离相等且离公路、铁路的
∵DE ＝ DF, AD是∠EDF的角平分线，
∴AD垂直平分EF(三线合一）.
随堂练习
1.如图，AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，
PF⊥AC，则PE___=____PF.
2.如图，PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，
则∠BAP__=___∠CAP.
3.如图，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB， PE⊥AC，若AD= 3，则PE=__1__.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°. 在Rt△ODP和Rt△OEP中，
OP=OP，PD=PE，
A
C
DP
1
B
2
E
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
O
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等) .
∴点P在∠AOB的角平分线上．
这样，我们又可以得到一个结论：
判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上.
DA
1 O2
PC
E B
练一练
判断
1. ∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴
BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等.
)
角的平分线的性质公开课一等奖课件省赛课获奖课件
三角形的三条角平分线交于一点。 4、角的平分线的辅助线作法：
见角平分线就作两边垂线段。
9月15日 1次 P22 -P23 习题11.3 第3、5题
按照折纸的次序画出一种角的三条折痕，并度量所画PD、PE与否等长？
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距 离相等”这句话．请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足． 由已知事项推出的事项：PD=PE．
性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
互逆性！
1、掌握角的平分线的性质. 2、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”． 3、能应用这两个性质解决某些简朴的实际问题．
重点：角平分线的性质及其应用． 难点：灵活应用两个性质解决问题．
【画一画】哪个是点P到∠AOB两边的垂线段？
P 【 20 探究】折出如图所示的折痕PD、PE．
问题：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可
推出的事项，并用符号语言填写下表：
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上． 鉴定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
如图所示，要在S区建一种集贸市场，使它到公路、铁路距离相等， 离公路与 铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一种性质能够解决这个问题？ 2．比例尺为1：20000是什么意思？
成果展示： 1．应当是用第二个性质． 这个集贸市场应当建在公路与铁路 形成的角的平分线上，并且规定离角的顶点500米处． 2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以 米为单位， 这就涉及一种单位换算问题了．1m=100cm，因此比 例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表达实际距离200m的意 思．作图以下：
见角平分线就作两边垂线段。
9月15日 1次 P22 -P23 习题11.3 第3、5题
按照折纸的次序画出一种角的三条折痕，并度量所画PD、PE与否等长？
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距 离相等”这句话．请填下表：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足． 由已知事项推出的事项：PD=PE．
性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
互逆性！
1、掌握角的平分线的性质. 2、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”． 3、能应用这两个性质解决某些简朴的实际问题．
重点：角平分线的性质及其应用． 难点：灵活应用两个性质解决问题．
【画一画】哪个是点P到∠AOB两边的垂线段？
P 【 20 探究】折出如图所示的折痕PD、PE．
问题：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可
推出的事项，并用符号语言填写下表：
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上． 鉴定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
如图所示，要在S区建一种集贸市场，使它到公路、铁路距离相等， 离公路与 铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为 1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一种性质能够解决这个问题？ 2．比例尺为1：20000是什么意思？
成果展示： 1．应当是用第二个性质． 这个集贸市场应当建在公路与铁路 形成的角的平分线上，并且规定离角的顶点500米处． 2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以 米为单位， 这就涉及一种单位换算问题了．1m=100cm，因此比 例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表达实际距离200m的意 思．作图以下：
1 角平分线(一) 课件 大赛获奖精美课件 公开课一等奖课件
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
青 春 风 采
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692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
角平分线性质课件(公开课)-图文
C 3处
D 4处
l2
l3
N
M
P
B
G
C
巩固
4.如图，△ABC的∠B的外角平分线BD 与∠C的外角平分线CE相交于点P。 求证：点P在∠A的平分线上。
D C
P
A
BG
巩固
5.如图，直线l1、 l2 、 l3 表示三条互相 交叉的公路，现要造一个垃圾中转站，
要求它到这三条公路的距离相等，则可
供选择的地址有( )
A 1处
l1
B 2处
O
A D
C P
EB
巩固
2.如图，要在S区建一个集贸市场，使 它到公路，铁路距离相等，离公路与 铁路的交叉处500米。这个集贸市场应 建于何处(在图上标出它的位置，比例尺 为1：20000)？
公路
S
铁路
范例
例1.已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥
AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD。
求证：AD平分∠BAC。
D C
P
A
BE
探究
如图，已知PD⊥OA于D， PE⊥OB于E ，请问：点P的位置有什么特殊性吗？
猜测： 点P在∠AOB的平分线上
O
你能证明你的猜测吗？
A D
P EB
归纳 角的平分线的判定：
到角的两边的距离相等的点在角的
平分线上。
A D
P
O
EB
OP是∠AOB的平分线。
新授
几何语言描述：
∵ PD⊥OA， PE⊥OB 且PD= PE， ∴ OC平∠AOB
角平分线性质课件(公开课)_图文.ppt
复习
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距 离相等。
角平分线优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
又∵∠BAC=60°, ∴∠BAD=30°. 在Rt△ADE中,∠AED=90°,AD=10,
∴DE=
11
2 AD=2
×10=5(在直角三角形中,假如一个锐角等于30°,那么
它所正确直角边等于斜边二分之一).
第5页
[知识拓展] 用尺规作已知角平分线.
已知:∠AOB,求作∠AOB平分线OC.
1.以顶点O为圆心,适当长为半径画弧,交 OA于M,交OB于N.
第4页
(教材例1)如图所表示,在 △ABC 中,∠ BAC = 60°, 点 D 在 BC 上,AD = 10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F,且 DE = DF,求 DE 长.
解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF, ∴AD平分∠BAC(在一个角内部,到角两边距离相等点在这个角平 分线上).
知识回顾
学习新知
1.角平分线概念:一条射线把一个角 分成两个相等角,这条射线叫做这个角 平分线.
2.点到直线距离定义.
第2页
定理及其证实
已知:如图所表示,OC是∠AOB平分线,点P在OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证PD=PE. 证实:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E, ∴∠PDO=∠PEO=90°. ∵∠1=∠2,OP=OP, ∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD=PE(全等三角形对应边相等). 角平分线性质定理:角平分线上点到这个角两边距离相 等).
2.分别以点M,N为圆心,大于1 MN长为
2
o
半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C.
3.画射线OC,射线OC即为所求.
A M
C B
N
第6页
1.(·湖州中考)如图所表示,在△ABC中,CD是AB边 上高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则 △BCE面积等于 ( ) C
角的平分线的性质全等三角形教学课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
拓展点二
拓展点三
拓展点二 角平分线性质与判定综合应用
例2 如图,在△ABC中,∠ABC平分线与∠ACB外角平分线交于点
P,PD⊥AC于点D,PH⊥BA于点H.求证:AP平分∠HAD.
分析过点P作PF⊥BE于点F,依据角平分线性质可得
PH=PF,PF=PD,有PD=PH,可得答案.
第8页
拓展点一
拓展点二
E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是(
)
A.6 B.5
C.4 D.3
解析: 过点D作DF⊥AC于点F,∵AD是△ABC角平分线,DE⊥AB,
∴DE=DF=2.
1
1
∴
S△ABC= ×4×2+ ×AC×2=7,解得 AC=3.故选 D.
答案:D
2
2
第6页
拓展点一
拓展点二
拓展点三
第7页
拓展点一
例3 如图,AD为∠BAC平分线,DF⊥AC于F,∠B=90°,DE=DC.求
证:BE=CF.
分析先由角平分线性质就能够得出DB=DF,再证实
△BDE≌△FDC就能够得出结论.
第11页
拓展点一
拓展点二
拓展点三
证实∵∠B=90°,
∴BD⊥AB.
∵AD为∠BAC平分线,且DF⊥AC,
= ,
∴
(2)画出平分线必须是射线.
第2页
知识点一
知识点二
知识点三
知识点二 角平分线性质
(1)角平分线上点到角两边距离相等.
(2)证实一个几何命题普通步骤:
①明确命题中已知和求证;
②依据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;
③经过分析,找出由已知推出要证结论路径,写出证实过程.来自第3页知识点一
1 角平分线(一) 课件 大赛获奖精美课件 公开课一等奖课件
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
课堂小结, 畅谈收获：
(一)角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等．
(二)角平分线的判定定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这 个角的平分线上． (三)用尺规作角平分线．
用心想一想
还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样 得到的?
角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， A PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
《角平分线》PPT课件 (公开课)2022年北师大版 (1)
课堂小结, 畅谈收获：
(一)角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等． (二)角平分线的判定定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这 个角的平分线上． (三)用尺规作角平分线．
第一章 整式的乘除
4 整式的乘法（第1课时）
温故育新：
运用幂的运算性质计算下列各题：
(1)(a5)5
(5an1b)③(2a.)
(2x)3(④2x2y)
(x2 yz3)2(x⑤2y)3
收获感悟：
本节课你学到了什么？ 发现了什么？ 有什么收获？
还存在什么没有解决的问题？
课后作业：
1. 习题 2. 拓展探究：
， 若 (am1bn2)(a2n1b)a5b3 求 mn的值 。
完成课本15页：随堂练习
延伸拓展：
一家住房的结构如图
y
2y
示，房子的主人打算把 卧室以外的部分全都铺
卫生间
卧室
上地砖，至少需要多少 x 厨房
4x
平方米的地砖？如果某
种地砖的价格是a元/平 2x
客厅
Байду номын сангаас
方米，那么购买所需地
砖至少需要多少元？ 4y
随堂测评：
1.计算：
3x2 5x①3
(5a2b)②(2a2)
这是一个真命题吗?
用心想一想，马到功成
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、
E为垂足且PD=PE，
A
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
D
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， O
1 2
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE
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9 ． (4 分 ) 如 图 ， 在 △ABC 中 ， ∠ABC ＝ 120° ， ∠C ＝ 26° ， 且 137° ． DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，则∠ADC的度数为________
一、选择题(每小题4分，共8分) 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①DE＝DF；②AD是
四边形OECF是正方形． (1)求证：点O在∠BAC的平分线上； (2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
(1)证明：过点 O 作 OM⊥AB，∵BD 是∠ABC 的一条角平分线，∴OE＝OM，∵四边形 OECF 是正方形，∴OE＝OF，∴OF＝OM，∴AO 是∠BAC 的平分线，即点 O 在∠BAC 的 平分线上 (2)∵在 Rt△ABC 中，AC＝5，BC＝12，∴AB＝ AC2＋BC2＝ 52＋122＝13，
4 1 6．(3 分)若( 2 ＋ )· w＝1，则 w＝( D ) a －4 2－a A．a＋2(a≠－2) C．a－2(a≠2) B．－a＋2(a≠2) D．－a－2(a≠－2)
7．(5 分)在物理电学中，如图所示的电路总电阻 R 与 R1， 1 1 1 R2 的关系： ＝ ＋ ，请你用 R1，R2 表示 R. R R1 R2
∠BOD
17．(10分)已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF.
连AD，证△ABD≌△ACD
【综合运用】 18．(12分)(2015· 株洲)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是
△ABC 的一条角平分线，点 O， E ， F 分别在 BD ， BC ， AC 上，且
A．3 B．4 C．6 D．5
二、填空题(每小题4分，共12分) 12．△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，∠A的平分线AD交 BC 于点D，且CD∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是________ cm. 6 13．如图， AD∥BC ，∠ABC 的角平分线 BP与∠BAD的角平分线 AP 相交于点 P ，作 PE⊥AB 于点 E. 若 PE ＝ 2 ，则两平行线 AD 与 BC 间 的距离为________ ． 4
线 段 EF 的 垂 直 平 分 线 ； ③∠BDE ＝ ∠CDF ； ④BD ＝ CD ，
AD⊥BC.其中正确的个数有( D ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11 ．如图， AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线， DE⊥AB
于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长( A )
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班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要 的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是 综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好 的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常 重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满 阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的 ，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满 自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天 取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
x＋y＝12， x＝2， 设 OE＝CF＝x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z，∴y＋z＝13， 解得y＝10，∴OE＝2 x＋z＝5. z＝3，
整式 看成一个 如果有整式与分式的加减计算，要将________ 分母为“1”的分式，再与其他分式通分后进行加减运算．
分式的加减运算
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附赠 中高考状元学习方法
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前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他 们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实 际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方 面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校 的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
△BDE的周长＝AB＝4(cm)
6 ． (8 分 ) 如图，已知 AB ＝ AC ， PB ＝ PC ， PD⊥AB 于点 D ， PE⊥AC于点E，求证：PE＝PD. 证明：连接AP，在△APC与△APB 中，AC＝AB，AP＝AP，PC＝PB， ∴△APC≌△APB(SSS)，∴∠PAC＝ ∠PAB.∵PE⊥AC，PD⊥AB，∴PE
＝PD
角平分线的判定定理 7．(3分)如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF， 则AD是△ABC的( D )
A．高
B．BC的垂直平分线 C．中线 D．∠BAC的角平分线
8．(3 分) 如图，∠AOB＝70°， QC⊥OA于点C， QD⊥OB 于点 D， 若QC＝QD，则∠AOQ＝________. 35°
A．∠CAD＝30°
C．BD＝2CD
B．AD＝BD
D．CD＝ED
第3题图
第4题图
4 ． (4 分 )(2015· 台 州 ) 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠C ＝ 90° ， AD 是 3 △ABC的角平分线，DC＝3，则点D到AB的距离是________ ．
5．(8 分)如图，在△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝BC，AD 平分∠CAB，交 BC 于 点 D，DE⊥AB 交 AB 于点 E，AB＝4 2 cm，求△BDE 的周长．
R1R2 R＝ R1＋R2
x－4 1 8．(6 分)先化简 2 ÷ (1－ )，再从不等式 2x－3＜7 的正整数解 x －9 x－3 中选一个使原式有意义的数代入求值．
1 1 原式＝ 取 x＝1 时，原式＝ (备注：本题最后答案不唯一) 4 x＋3
9．(8 分)问题探索： n (1)已知一个正分数 (m＞n＞0)， 如果分子、 分母同时增加 1， 分数的值是增大还是减小？ m 请说明你的结论； n (2)若正分数 (m＞n＞0)中分子和分母同时增加 2，3，…，k(整数 k＞0)，情况如何？ m (3)请你用上面的结论解释下面的问题： 建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面 积的比应不小于 10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面 积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
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附赠 中高考状元学习方法
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前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他 们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实 际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方 面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校 的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
n n＋ 1 n n＋1 解： (1) ＜ (m＞n＞0)， 即分数的值增大． 说明： ∵ － m m＋1 m m＋1 n－m n－m n n＋1 ＝ ，且 m＞n＞0，∴ ＜0，∴ ＜ m m＋1 m（m＋1） m（m＋1） n n＋k (2) ＜ (m＞n＞0，k＞0) m m＋k (3)设原来的地板面积和窗户面积分别为 x，y 增加面积为 a，则 y＋a y 由(2)知 ＞ ，所以住宅的采光条件变好了 y＋a x
A．PC＝PD
C．∠DPO＝∠CPO
B．CO＝OD
D．OC＝PC
2．(3 分)(2015· 青岛)如图，在△ABC 中，∠C＝90° ，∠B＝ 30° ，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，DE＝1， 则 BC＝( C ) A. 3 B．2 C．3 D. 3＋2
3．(4分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB 交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的( D )
14．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60.其 4∶5∶6 三条角平分线相交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝________.
三、解答题(共40分) 15．(8分)如图所示，M，N是一个总厂的两个分厂，现要在道路AB，
AC 交叉区域内建一个仓库 P ，使点 P 到两条道路的距离相等，且 PM ＝
1 ．角平分线的性质定理：角平分线上的点到
这个角的两边的距离相等 ． __________________________ 2 ．角平分线的判定定理：在一个角的内部 ，
到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上． ____________________
角平分线的性质定理 1 ． (3 分 ) 如图， OP 平分∠AOB ， PC⊥OA 于点 C ， PD⊥OB 于点D，则下列结论错误的是( D )
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班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要 的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是 综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好 的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常 重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满 阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的 ，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满 自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天 取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
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高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分英语141 分 文综255分
一、选择题(每小题4分，共8分) 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①DE＝DF；②AD是
四边形OECF是正方形． (1)求证：点O在∠BAC的平分线上； (2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
(1)证明：过点 O 作 OM⊥AB，∵BD 是∠ABC 的一条角平分线，∴OE＝OM，∵四边形 OECF 是正方形，∴OE＝OF，∴OF＝OM，∴AO 是∠BAC 的平分线，即点 O 在∠BAC 的 平分线上 (2)∵在 Rt△ABC 中，AC＝5，BC＝12，∴AB＝ AC2＋BC2＝ 52＋122＝13，
4 1 6．(3 分)若( 2 ＋ )· w＝1，则 w＝( D ) a －4 2－a A．a＋2(a≠－2) C．a－2(a≠2) B．－a＋2(a≠2) D．－a－2(a≠－2)
7．(5 分)在物理电学中，如图所示的电路总电阻 R 与 R1， 1 1 1 R2 的关系： ＝ ＋ ，请你用 R1，R2 表示 R. R R1 R2
∠BOD
17．(10分)已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF.
连AD，证△ABD≌△ACD
【综合运用】 18．(12分)(2015· 株洲)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是
△ABC 的一条角平分线，点 O， E ， F 分别在 BD ， BC ， AC 上，且
A．3 B．4 C．6 D．5
二、填空题(每小题4分，共12分) 12．△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，∠A的平分线AD交 BC 于点D，且CD∶DB＝3∶5，则点D到AB的距离是________ cm. 6 13．如图， AD∥BC ，∠ABC 的角平分线 BP与∠BAD的角平分线 AP 相交于点 P ，作 PE⊥AB 于点 E. 若 PE ＝ 2 ，则两平行线 AD 与 BC 间 的距离为________ ． 4
线 段 EF 的 垂 直 平 分 线 ； ③∠BDE ＝ ∠CDF ； ④BD ＝ CD ，
AD⊥BC.其中正确的个数有( D ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11 ．如图， AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线， DE⊥AB
于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长( A )
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班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要 的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是 综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好 的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常 重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满 阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的 ，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满 自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天 取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
x＋y＝12， x＝2， 设 OE＝CF＝x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z，∴y＋z＝13， 解得y＝10，∴OE＝2 x＋z＝5. z＝3，
整式 看成一个 如果有整式与分式的加减计算，要将________ 分母为“1”的分式，再与其他分式通分后进行加减运算．
分式的加减运算
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高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他 们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实 际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方 面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校 的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
△BDE的周长＝AB＝4(cm)
6 ． (8 分 ) 如图，已知 AB ＝ AC ， PB ＝ PC ， PD⊥AB 于点 D ， PE⊥AC于点E，求证：PE＝PD. 证明：连接AP，在△APC与△APB 中，AC＝AB，AP＝AP，PC＝PB， ∴△APC≌△APB(SSS)，∴∠PAC＝ ∠PAB.∵PE⊥AC，PD⊥AB，∴PE
＝PD
角平分线的判定定理 7．(3分)如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF， 则AD是△ABC的( D )
A．高
B．BC的垂直平分线 C．中线 D．∠BAC的角平分线
8．(3 分) 如图，∠AOB＝70°， QC⊥OA于点C， QD⊥OB 于点 D， 若QC＝QD，则∠AOQ＝________. 35°
A．∠CAD＝30°
C．BD＝2CD
B．AD＝BD
D．CD＝ED
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4 ． (4 分 )(2015· 台 州 ) 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠C ＝ 90° ， AD 是 3 △ABC的角平分线，DC＝3，则点D到AB的距离是________ ．
5．(8 分)如图，在△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝BC，AD 平分∠CAB，交 BC 于 点 D，DE⊥AB 交 AB 于点 E，AB＝4 2 cm，求△BDE 的周长．
R1R2 R＝ R1＋R2
x－4 1 8．(6 分)先化简 2 ÷ (1－ )，再从不等式 2x－3＜7 的正整数解 x －9 x－3 中选一个使原式有意义的数代入求值．
1 1 原式＝ 取 x＝1 时，原式＝ (备注：本题最后答案不唯一) 4 x＋3
9．(8 分)问题探索： n (1)已知一个正分数 (m＞n＞0)， 如果分子、 分母同时增加 1， 分数的值是增大还是减小？ m 请说明你的结论； n (2)若正分数 (m＞n＞0)中分子和分母同时增加 2，3，…，k(整数 k＞0)，情况如何？ m (3)请你用上面的结论解释下面的问题： 建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面 积的比应不小于 10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面 积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
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n n＋ 1 n n＋1 解： (1) ＜ (m＞n＞0)， 即分数的值增大． 说明： ∵ － m m＋1 m m＋1 n－m n－m n n＋1 ＝ ，且 m＞n＞0，∴ ＜0，∴ ＜ m m＋1 m（m＋1） m（m＋1） n n＋k (2) ＜ (m＞n＞0，k＞0) m m＋k (3)设原来的地板面积和窗户面积分别为 x，y 增加面积为 a，则 y＋a y 由(2)知 ＞ ，所以住宅的采光条件变好了 y＋a x
A．PC＝PD
C．∠DPO＝∠CPO
B．CO＝OD
D．OC＝PC
2．(3 分)(2015· 青岛)如图，在△ABC 中，∠C＝90° ，∠B＝ 30° ，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，DE＝1， 则 BC＝( C ) A. 3 B．2 C．3 D. 3＋2
3．(4分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB 交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的( D )
14．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60.其 4∶5∶6 三条角平分线相交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝________.
三、解答题(共40分) 15．(8分)如图所示，M，N是一个总厂的两个分厂，现要在道路AB，
AC 交叉区域内建一个仓库 P ，使点 P 到两条道路的距离相等，且 PM ＝
1 ．角平分线的性质定理：角平分线上的点到
这个角的两边的距离相等 ． __________________________ 2 ．角平分线的判定定理：在一个角的内部 ，
到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上． ____________________
角平分线的性质定理 1 ． (3 分 ) 如图， OP 平分∠AOB ， PC⊥OA 于点 C ， PD⊥OB 于点D，则下列结论错误的是( D )
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