(5题应该的最大值)2008全国卷2(理)全解全析

2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式 A B ，
()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
A B ，R
球的体积公式
()()()P A B P A P B = 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 A p 3
4π3
V R =
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率
其中表示球的半径
n A k R
()(1)(012)k k
n k k n P k C p p k n -=-= ，，，，
一、选择题
1．设集合，（
）
{|32}M m m =∈-<<Z {|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤A ．
B ．
C ．
D ．
{}01，{}101-，，{}012，，{}1012-，，，【答案】B
【解析】，，∴ {}1,0,1,2--=M {}3,2,1,0,1-=N {}1,0,1-=N M 【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别
2．设且，若复数是实数，则（
）
a b ∈R ，0b ≠3
()a bi +A ． B ．
C ．
D ．
2
2
3b a =22
3a b =22
9b a =2
2
9a b =【答案】A
【解析】，因是实数且 i b b a ab a i b ab bi a a bi a )3()3(33)(3
22332233-+-=--+=+
，所以
0b ≠2232303a b b b a =⇒=-【高考考点】复数的基本运算 3．函数的图像关于（ ） 1
()f x x x
=
-A ．轴对称 B ． 直线对称 y x y -=C ． 坐标原点对称 D ． 直线对称
x y =【答案】C 【解析】是奇函数，所以图象关于原点对称 1
()f x x x
=
-【高考考点】函数奇偶性的性质
4．若，则（ ）
1
3
(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，A ．<< B ．<<
C ． <<
D ． <<
a b c c a b b a c b c a 【答案】C
【解析】由，令且取知<< 0ln 111<<-⇒<<-x x e x t ln =2
1
-
=t b a c 5．设变量满足约束条件：，则的最小值（ ）
x y ，222y x x y x ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
，，．≥≤≥y x z 3-=A ． B ．
C ．
D ．
2-4-6-8-【答案】D
【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点是、(2,2)A -22
(,)
33
B 及。

于是在点取得最小值， (2,2)
C --y x z 3-=(2,2)A -即。

8)(min -=A z 6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同
学又有女同学的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
929
1029
1929
2029
【答案】D
【解析】 2920
3
30
1102202
10120=+
=C C C C C P 7．的展开式中的系数是（ ）
64(1(1x A ．
B ．
C ．3
D ．4
4-3
-
【答案】B
【解析】 3241561
41
60
42
62
40
6-=-+=-+C C C C C C 【易错提醒】容易漏掉项或该项的负号
1
41
6C C 8．若动直线与函数和的图像分别交于两点，则
x a =()sin f x x =()cos g x x =M N ，的最大值为（ ）
MN
A ．1
B
C
D ．2
【答案】B
【解析】在同一坐标系中作出及在的图象，由图象知，x x f sin )(1=x x g cos )(1=]2,0[π当，即时，得，，∴
43π=
x 4
3π
=a 221=y 222-=y 221=-=y y MN
（方法二）：。

sin )4
MN x x π
=--≤【高考考点】三角函数的图象，两点间的距离 【备考提示】函数图象问题是一个常考常新的问题
9．设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） 1a >22
22
1(1)
x y a a -=+e
A ．
B ．
C ．
D ．
(25)，(2【答案】B
【解析】，因为是减函数，所以当时 22
2222
)
11(1)1((a a a a a c e ++=++==a 11a >
，所以，即 （讨论的技巧性）。

110<<
a 522<<e 52<<e 21
(1)a
+【高考考点】解析几何与函数的交汇点
10．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则S ABCD -E SB AE SD
，所成的角的余弦值为（ ）
A ．
B C D ．
13
23
【答案】C
【解析】连接AC 、BD 交于O ，连接OE ，因OE ∥SD 。

所以∠AEO 为所求。

设侧棱长与底面边长都等于2，则在⊿AEO 中，OE ＝1，AO ＝，AE=，
23122
=
-
（或在中，）于是。

AEO ∆90AOE =︒3
33
11
32)2(1)3(cos 2
22=
=
⨯⨯-+=
∠AEO 11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三20x y +-=740x y --=角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）
A ．3
B ．2
C ．
D ． 13
-
12
-
【答案】A
【解析】，，设底边为 1,02:11-==-+k y x l 7
1
,047:22==--k y x l kx y l =:3由题意，到所成的角等于到所成的角于是有
3l 1l 2l 3l 3
71
711112211+-=
-+⇒+-=+-k k k k k k k k k k k 再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案是A
【高考考点】两直线成角的概念及公式
【备考提示】本题是由教材的一个例题改编而成。

（人教版P49例7）
12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1 B ．
C ．
D ．2
23【答案】C
【解析】设两圆的圆心分别为、，球心为，公共弦为AB ，其中点为E ，则1O 2O O 21EO OO 为矩形，于是对角线,而，∴
OE O O =213122222=-=-=
AE OA OE 321=O O 【高考考点】空间想象能力。

球的有关概念，两平面垂直的性质
2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ)
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量，若向量与向量共线，则(12)(23)==，，，a b λ+a b (47)=--，
c
． =λ【答案】 2
【解析】则向量与向量共线
(2,23)λλλ+++a b =λ+a b (47)=--，c
27
4
322=⇒--=++⇔
λλλ14．设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
ax
y e =(01)，210x y ++=a =【答案】 2
【解析】，∴切线的斜率，所以由得 ax
ae y ='a y k x ===0
'
1)2
1
(-=-⋅a 2=a 15．已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设
F 2
4C y x =：F C A B ，，则与的比值等于
．
FA FB >FA FB
【答案】
3+【解析】设 由，
1122(,),(,)A x y B x y ⇒=+-⇒⎩⎨
⎧=-=01641
22
x x x
y x y 2231+=x ，（）； 2232-=x 21x x >∴ 由抛物线的定义知。

2232
22
22242241121+=-+=-+=++=
x x FB
FA 【高考考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线定义的应用
16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地，
写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）
【答案】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行
四边形．
注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在中，，． ABC △5cos 13B =-
4
cos 5
C =（Ⅰ）求的值；
sin A （Ⅱ）设的面积，求的长． ABC △33
2
ABC S =△BC 【解析】
（Ⅰ）由，得， 5cos 13B =-
12sin 13
B =
由，得． 4cos 5C =
3sin 5
C =所以． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分 33
sin sin()sin cos cos sin 65
A B C B C B C =+=+=（Ⅱ）由 得， 33
2ABC S =
△133sin 22
AB AC A ⨯⨯⨯=由（Ⅰ）知，
33
sin 65
A =故， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分
65AB AC ⨯=又 ， sin 20
sin 13
AB B AC AB C ⨯=
=故 ，． 2206513AB =132
AB =所以． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分 sin 11
sin 2
AB A BC C ⨯=
=
18．（本小题满分12分）
购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一a 年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．
4
1010.999
-（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；
p （Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 【解析】 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的p 人数为，则．
ξ4
~(10)B p ξ，（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当，A A 0ξ=
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 ，
()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4
101(1)p =--又，故． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分
4
10()10.999
P A =-0.001p =（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和． 10000a 支出 ，
1000050000ξ+盈利 ，
10000(1000050000)a ηξ=-+盈利的期望为 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
100001000050000E a E ηξ=--
由知，，
43~(1010)B ξ-，3
1000010E ξ-=⨯．
4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯（元）．
0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥15a ⇔≥故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 19．（本小题满分12分） 如图，正四棱柱中，，点在上且．
1111ABCD A B C D -124AA AB ==E 1CC EC E C 31=
（Ⅰ）证明：平面； 1A C ⊥BED （Ⅱ）求二面角的大小． 1A DE B --【解析】 解法一：
依题设知，．
2AB =1CE =（Ⅰ）连结交于点，则．
AC BD F BD AC ⊥由三垂线定理知，． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 1BD A C ⊥在平面内，连结交于点， 1A CA EF 1A C G
由于
， 1AA AC
FC CE
==故，，
1Rt Rt A AC FCE △∽△1AA C CFE ∠=∠与互余．
CFE ∠1FCA ∠于是．
1A C EF ⊥与平面内两条相交直线都垂直，
1A C BED BD EF ，所以平面． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 1A C ⊥BED （Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，
GH DE ⊥H 1A H 1A H DE ⊥故是二面角的平面角． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分
1A HG ∠1A DE B --
EF ==
，
CE CF CG EF ⨯=
=
EG ==， 13EG EF
=13EF FD GH DE ⨯=
⨯=
又，． 1
A C =
=11A G A C CG =-=
．
11tan A G
A HG HG
∠=
=所以二面角的大小为． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 1A DE B --arctan 解法二：
以为坐标原点，射线为轴的正半轴， D DA x 建立如图所示直角坐标系．
D xyz -依题设，．
1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，，
(021)(220)DE DB == ，，，，，． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 11(224)(204)A C DA =--= ，，，，，（Ⅰ）因为，，
10A C DB = 10A C DE =
故，． 1A C BD ⊥1A C DE ⊥又，
DB DE D = 所以平面． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 1A C ⊥DBE （Ⅱ）设向量是平面的法向量，则
()x y z =，，n 1DA E ，．
DE ⊥ n 1DA ⊥ n 故，．
20y z +=240x z +=令，则，，． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
1y =2z =-4x =(412)=-，，n 等于二面角的平面角，
1A C ，n 1A DE B --．
111cos A C A C A C
==
，n n n
所以二面角的大小为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 1A DE B -- 20．（本小题满分12分）
设数列的前项和为．已知，，．
{}n a n n S 1a a =13n
n n a S +=+*
n ∈N （Ⅰ）设，求数列的通项公式；
3n
n n b S =-{}n b （Ⅱ）若，，求的取值范围．
1n n a a +≥*
n ∈N a 【解析】
（Ⅰ）依题意，，即， 113n
n n n n S S a S ++-==+123n
n n S S +=+由此得． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分
1
13
2(3)n n n n S S ++-=-因此，所求通项公式为
，．① ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分
13(3)2n n n n b S a -=-=-*n ∈N （Ⅱ）由①知，，
1
3(3)2n
n n S a -=+-*
n ∈N 于是，当时，
2n ≥，
1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯1223(3)2n n a --=⨯+-，
12
143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-2
2
321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
当时，
2n ≥．
2
1312302n n n a a a -+⎛⎫
⇔+- ⎪
⎝⎭
≥≥9a ⇔-≥又．
2113a a a =+>综上，所求的的取值范围是． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 a [)9-+∞， 21．（本小题满分12分）
设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB 相交(20)(01)A B ，，，)0(>=k kx y 于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（Ⅰ）若，求的值；
6ED DF =
k （Ⅱ）求四边形面积的最大值． AEBF 【解析】
（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，
2
214
x y +=直线的方程分别为，． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 AB EF ，22x y +=(0)y kx k =>如图，设，其中， 001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，12x x <且满足方程， 12x x ，2
2
(14)4k x +=故．．．．．．．．．．．．．．．①
21x x =-=
由知，得；
6ED DF = 01206()x x x x -=
-021215(6)77x x x x =+==由在上知，得． D AB 0022x kx +=02
12x k
=+所以
，
212k =
+化简得，
2
242560k k -+=解得或． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 23k =
3
8
k =（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为
E F
，AB
1h
． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9
分
2
h
又，所以四边形的面积为
AB ==AEBF ，
12
1()2S AB h h =+1
2=
=
=≤当，即当时，上式取等号．所以的最大值为
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 21k =1
2
k =
S 解法二：由题设，，．
1BO =2AO =设，，由①得，， 11y kx =
22y kx =20x >210y y =->故四边形的面积为
AEBF
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分
BEF AEF S S S =+△△222x y =+
=
=≤=当时，上式取等号．所以的最大值为． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 222x y =S
22．（本小题满分12分）
设函数． sin ()2cos x f x x
=+（Ⅰ）求的单调区间；
()f x （Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
0x ≥()f x ax ≤a 【解析】
（Ⅰ）． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 22
(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++当（）时，，即； 2π2π2π2π33k x k -
<<+k ∈Z 1cos 2
x >-()0f x '>当（）时，，即． 2π4π2π2π33k x k +<<+k ∈Z 1cos 2x <-()0f x '<因此在每一个区间（）是增函数， ()f x 2π2π2π2π33k k ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
，k ∈Z 在每一个区间（）是减函数． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 ()f x 2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭，k ∈Z （Ⅱ）令，则
()()g x ax f x =-． 22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+2232cos (2cos )a x x =-+++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭
故当时，． 13
a ≥()0g x '≥又，所以当时，，即． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 (0)0g =0x ≥()(0)0g x g =≥()f x ax ≤当时，令，则． 103
a <<()sin 3h x x ax =-()cos 3h x x a '=-故当时，．
因此在上单调增加． [)0arccos3x a ∈，()0h x '>()h x [)0arccos3a ，
故当时，，即． (0arccos3)x a ∈，()(0)0h x h >=sin 3x ax >于是，当时，． (0arccos3)x a ∈，sin sin ()2cos 3x x f x ax x =
>>+当时，有． 0a ≤π1π0222f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭
≥ 因此，的取值范围是． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分a 13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，。