2020-2021学年江西省吉安市吉水第二中学高二数学理测试题含解析

2020-2021学年江西省吉安市吉水第二中学高二数学理
测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是（）
A．{x|x＜﹣1} B．{x|x＞3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}
参考答案：
C
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】将不等式左边的多项式分解因式，即可得到原不等式的解集．
【解答】解：不等式x2﹣2x﹣3＜0，
因式分解得：（x﹣3）（x+1）＜0，
解得：﹣1＜x＜3，
则原不等式的解集为（﹣1，3）．
故选：C
2. 已知，其中是实数，是虚数单位，则＝( )
A．1＋2i B．1－2i C．2－i D．2＋i
参考答案：
D
略
3. 抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）
A．4 B．C．D．8
参考答案：
C
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，
经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），
AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），
∴△AKF的面积是4
故选C．
4. 设，则下列不等式成立的是（）
A B
C D
参考答案：
B
略
5. 直线的倾斜角是（）
A. B． C． D．
参考答案：
C
略
6. 抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点距离为5，则抛物线方程
为
（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
7. 设等比数列的前项和为，那么，在数列中
A 任一项均不为零
B 必有一项为零
C 至多一项为零
D 任一项不为零或有无穷多项为零
参考答案：
D
略
8. 下列命题：其中正确命题的个数是（）
（1）“若a≤b，则am2≤bm2”的逆命题；
（2）“全等三角形面积相等”的否命题；
（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”的逆否命题；
（4）“命题“p∨q为假”是命题“p∧q为假”的充分不必要条件”
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】（1）原命题的逆命题为：“若am2≤bm2，则a≤b”，当m=0时不正确；（2）原命题的否命题为：“不全等三角形面积不相等”，即可判断出正误；
（3）由于原命题正确，因此其逆否命题也正确；
（4）“命题“p∨q为假”?命题“p∧q为假”，反之可能不成立，例如p与q中有一个为真，则p∨q为真，即可判断出正误．
【解答】解：（1）“若a≤b，则am2≤bm2”的逆命题为：“若am2≤bm2，则a≤b”，当m=0时不正确；
（2）“全等三角形面积相等”的否命题为：“不全等三角形面积不相等”，不正确；
（3）“若a＞1，则关于x的不等式ax2≥0的解集为R”正确，因此其逆否命题也正确；（4）“命题“p∨q为假”?命题“p∧q为假”，反之可能不成立，例如p与q中有一个为真，则p∨q为真．∴“命题“p∨q为假”是命题“p∧q为假”的充分不必要条件”，正确．
综上可知：正确的命题只有（3）（4）．
故选：B．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9. 甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有( )
A. B. C. D. ]
参考答案：
B
略
10. 设动直线与函数的图象分别交于点，则的最小值为（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知a、b是不同直线，、、是不同平面，给出下列命题：
①若∥，a，则a∥②若a、b与所成角相等，则a∥b
③若⊥、⊥，则∥④若a⊥, a⊥，则∥
其中正确的命题的序号是________________
参考答案：
①④
略
12. 已知函数f (x)＝x(8－2x)(5－2x)在区间［0，3］上的最大值是______．
参考答案：
18
【分析】
求出导函数，明确函数的单调性，从而得到函数的最值.
【详解】由题意可得，
∴，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴函数f (x)＝x(8－2x)(5－2x)在区间［0，3］上的最大值是，
故答案为：18
【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查运算能力，属于基础题.
13. 已知双曲线C与双曲线有共同的渐近线，且C经过点，则双曲线C的实轴长为．
参考答案：
3
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；规律型；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线C与双曲线有共同的渐近线，设出方程，把点
，代入求出λ再化简即可．
【解答】解：由题意双曲线C与双曲线有共同的渐近线，设所求的双曲线的方程为（λ≠0），
因为且C经过点，所以1﹣=λ，即λ=，
代入方程化简得，，双曲线C的实轴长为：3．
故答案为：3．
【点评】本题考查双曲线特有的性质：渐近线，熟练掌握双曲线有共同渐近线的方程特点是解题的关键．
14. 直线y = x +1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是
参考答案：
(—, )
15. 已知则 .
参考答案：
略
16. 平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是．
参考答案：
k＜﹣1或k＞1
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围．
【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，
过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），
代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，
∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，
∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，
∴k＜﹣1或k＞1．
故答案为：k＜﹣1或k＞1．
17. 若二次函数的图象经过坐标原点，且，则
的取值范围是.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）已知圆C：，P点坐标为(2，－1)，过点P 作圆C的切线，切点为A，B.
(1)求直线PA、PB的方程； (2)求直线AB的方程．
参考答案：
(1)设过P点的圆的切线方程为y＋1＝k(x－2)．即kx－y－2k－1＝0.
∴|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝8，以P为圆心，|AP|为半径的圆P的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝8，AB为圆C与圆P的公共弦由x2＋y2－2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y－3＝0相减得2x －6y＋6＝0，x－3y＋3＝0.∴直线AB的方程为x－3y＋3＝0.
19. 已知在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，，若向量m=（1，sinA），n=（2，sinB）且m// n．
（Ⅰ）求b，c；
（Ⅱ）求角A的大小及的面积．
参考答案：
20. （本小题共10分）设集合，
．
（1）若，求a的值；
（2）若，求a的值．
参考答案：
由题知：．
（1），．
①当时，，解得；
②当或时，，解得，此时，，满足；
③当时，
综上所述，实数a的取值范围是或．
（2），，故．即，
解得．
略
21. 如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N 的左侧），且|MN|=3．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ： =1相交于两点A、B，连接
AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．
参考答案：
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），由|MN|=3可得，从而求圆C 的方程；
（Ⅱ）求出点M（1，0），N（4，0），讨论当AB⊥x轴时与AB与x轴不垂直时∠ANM是否相等∠BNM，从而证明．
【解答】解：（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），则圆心坐标为（r，2）．
∵|MN|=3，
∴，解得．
∴圆C的方程为．
（Ⅱ）证明：把y=0代入方程，解得x=1，或x=4，即点M（1，0），N（4，0）．
（1）当AB⊥x轴时，由椭圆对称性可知∠ANM=∠BNM．
（2）当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=k（x﹣1）．
联立方程，消去y得，（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣8=0．
设直线AB交椭圆Γ于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则，
．
∵y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），
∴=
．
∵
，
∴k AN+k BN=0，∠ANM=∠BNM．
综上所述，∠ANM=∠BNM．
22. 已知函数f（x）=|2x+1|-|x-1|．
（1）解不等式f（x）＜2；
（2）若不等式|m-1|≥f（x）+|x-1|+|2x-3|有解，求实数m的取值范围．
参考答案：
（1）（-4，）；（2）（-∞，-3]∪[5，+∞）
【分析】
（1）根据绝对值不等式的解法，分类讨论，即可求解；
（2）利用绝对值的三角不等式，求得的最小值，得出，即可求解。

【详解】（1）由题意，可得，
∴或或，解得：或或无解，综上，不等式的解集是（，）．
（2），当时等号成立，
因为不等式有解，
∴，
∴，∴或，即或，
∴实数的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，合理用绝对值的三角不等式求最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。