第三章泊松(Poisson)过程.
泊松过程
dPk 1 ( t ) 已得 Pk 1 ( t ) Pk ( t ) dt
t d [ e Pk 1 ( t )] t 两边同乘 e 得， e t Pk ( t ) dt
k d [ e t Pk 1 ( t )] [ ( t s )] 即 e s dt k!
对t s, n m：
4. P{N t n | N s m} e ( t s ) [ (t s )]n m ( n m)!
n s m 5. P{N s m | N t n} ( ) (1 s ) n m t m t
例 : 顾客依泊松过程到达某商店,速率为 4人/小时。已知商店上午9:00开门. (1)求到9:30时仅到一位顾客,而到11:30时 已到5位顾客的概率? (2)求第2位顾客在10点前到达的概率? (3)求第一位顾客在9:30前到达且第二位 顾客在10:00前到达的概率?
第三章：泊松过程
1.生成函数与泊松分布
分布律为：
或母函数
浙大数学随机过程
1
生成函数唯一地决定各阶矩 （可能为 ） （可能为 ）
例如：
定理：如果X 和Y 都是取值非负整数值的随机变量， 那么当X 与Y 独立时，对0 s 1都有： X Y ( s ) X ( s )Y ( s ). 这里 X Y ， X ，Y 分别是X Y ，X ，Y 的生成函数.
泊松过程也可用另一形式定义： 称 N (t ), t 0是参数为的泊松过程,若满足： 1. N (0) 0 2. 独立增量 3. 对任意的t s 0, N (t ) N (s) ~ t s
证 : P{N (t h ) N (t ) 1} he h(1 h o( h )) h o( h )
第三章泊松过程
定理 设是{N (t), t≥0}一个强度为l的泊松过程，则对任 意固定的t, N(t)服从泊松分布，即
P(N (t) = k ) = (lt)k e-l t
k!
k = 0,1, 2,L
二、泊松过程的数字特征与特征函数
1. 泊松过程的均值函数
mN (t) = E[N(t)]= lt
2. 泊松过程的方差函数
DN (t) = D[N(t)]= lt
3. 泊松过程的均方值函数
y
2 N
(t)
=
E[N
2
(t)]
=
DN
(t)
+
mN2
(t)
=
lt
+
(lt)2
4. 泊松过程的自相关函数
E(N (t1)N (t2 ))
令t2 ³ t1E{[N (t1)- N (0)][N (t2 )- N (t1)+ N (t1)]} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]+ [N(t1)- N(0)]N(t1)} 展开 E{[N(t1)- N (0)][N (t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N (0)]N (t1)} 增量独立E{[N(t1)- N(0)][N(t2 )- N(t1)]}+ E{[N(t1)- N(0)]N(t1)} 增量独立E[N (t1)- N (0)]E[N (t2 )- N (t1)]+ E{[N (t1)- N (0)]N (t1)}
mN (t) = 4t = DN (t)
RN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 ) + 16t1t2 , t1,t2 Î T
CN (t1,t2 ) = 4 min(t1,t2 )
第三章 泊松过程
第一节、泊松过程的基本概念
证明： （1） 0 N (0) N1 (0) N2 (0) 可得 N1 (0) N2 (0) 0 （2）由N(t)的独立增量性可得，N1 (t ), N2 (t ) 也为独立增量过程； （3）记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N1 (t , t s ) k1 ]
泊松过程（Poisson process）最早由法国人Poisson于 1837年引入。
主 要 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
泊松过程的基本概念 相邻时间的时间间隔 剩余寿命与年龄 非时齐泊松过程 复合泊松过程 更新过程
第一节、泊松过程的基本概念
一、定义 一随机过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）是一计数过程，且N(0)=0; （零初值性) （2）任取 0 t1 t2 tn , （独立增量过程） N (t1 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立； （3）s, t 0, n 0, P[ N (s t ) N (s) n] P[ N (t ) n] （增量平稳性） （4）对任意 t 0 和充分小的 t 0 ，有 P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ) P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t ) 称N (t ), t 0 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 0 称 为强度常数。
即 N (s t ) N ( s) 是参数为 t 的泊松分布。
证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的等价定义： 一计数过程N (t ), t 0 ，若满足条件： （1）N(0)=0; （2）N(t)是独立增量过程； （3）对 s, t 0, N (s t ) N (s) P(t ) ，即
泊松过程poisson
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
第3讲第三章泊松过程
P Tn t T1 s1,,Tn1 sn1 P Nt s1 sn1 Ns1 sn1 1T1 s1,,Tn1 sn1
PN t s1 sn1 N s1 sn1 1
1 PN t s1 sn1 N s1 sn1 0
(2) N(t)是独立增量过程；
(3) 对一切0≤s,t, N(t+s) －N(s) ～P(λt),即
P[N (t s) N (s)] k et [t]k , k 0,1, 2,
k! 称{N( t ),t≥0)是参数为λ的齐次泊松过程.
注1 从增量分布知：齐次泊松过程也是平稳增量过程.
注2 N(t) ～P(λt).
et (t)k1 dt
t0
(k 1)!
例3.3 设N1(t)和N2( t )分别是强度为λ1和λ2的相互独立的
泊松过程, Wk1为过程N1(t)的第k个事件的到达时间，
W12 为过程N2(t)的第1个事件的到达时间，求 P Wk1 W12
解： fwk1
x
e1x 1
1 x k1
(k 1)!
所以3.2→定义3.3
再证 由定义3.3 → 定义3.2
即：需证明 N(t s) N(s) ~ t 由于是平稳增量故只需证 N(t) ~ t
记：Pn t PN(t) n
下面我们依次求Po(t), P1(t),…， Pk(t) ,…
首先，由定义3.3中的条件（3）：
P1 h h oh
P0
0
1,由条件1
N
0
0
解得p0 (t) et , t 0
当n≥1时， n
pn (t h) pk (h)pnk (t) k 0 p0 (h) pn (t) p1(h) pn1(t) oh
第3章 泊松过程
第一节 泊松过程的定义
一、计数过程
N(t)表示到时刻t为止以发生的“事件”的总数，称{N(t)， t≥0}为计数过程。 N(t)满足 1， N(t) ≥0
2， N(t)为整数
3，若s < t , 则 N(s) ≤N(t) 4，当s < t 时，N(t)－ N(s) 为区间(si 1
n
则
X i Ti Ti 1
称Tn为事件A第n 次出现的等待时间(到达时间).
定理1 设{Xn, n≥1}是参数为λ的泊松过程 {N(t), t≥0}的时间间隔序列， 则{Xn, n≥1}相互 独立同服从指数分布， 且E{X}=1/λ. 证 (1) 因 {X1>t}={(0, t)内事件A不出现} P{X1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
P0 t h P0 t o h P0 t h h dP0 t P0 t 令h 0, 得 dt P 0 1, 条件1N 0 0 0
解得
p0 ( t ) e
t
,
t 0.
Fn t P X n t 1 e t , t 0.
注 (1)上述定理的结果应该在预料之中,因为泊
松过程有平稳增量,过程在任何时刻都“重新开 始”,这恰好就是“无记忆性”的体现,正好与指 数 分布的“无记忆性”是对应的.
(2)泊松过程的另一个等价定义：
独立，且服从同一参数 的指数分布，则记数过
两边同乘以eλt 后移项整理得
d [e t Pn ( t )] t e pn 1 ( t ) dt
当n=1, 则
( 2)
d [e t P1 ( t )] e t P0 t e t e t dt P 0 0 1
第三章 Poisson过程
由Posisson过程定义，N (t + s) − N ( s) 分布不依赖于s，Poisson过 Posisson过程定义 过程定义， 分布不依赖于s Poisson过 程是平稳过程。 程是平稳过程。 E[ N (t )] = λt , λ 为单位时间内发生事件的平均次数，称为 为单位时间内发生事件的平均次数， Poisson过程的强度或速率 Poisson过程的强度或速率。 过程的强度或速率。
金融随机方法
3
何林： 何林：helinmail@
Poisson过程 Poisson过程
Poisson过程 Poisson过程
Poisson过程是以法国数学家泊松的名字命名的。 Poisson过程是以法国数学家泊松的名字命名的。 过程是以法国数学家泊松的名字命名的 泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。 泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。 一个泊松过程是在每个有界的时间区间，赋予一个随机的事件数， 一个泊松过程是在每个有界的时间区间，赋予一个随机的事件数， 使得在一个时间区间内的事件数，和另一个互斥（不重叠） 使得在一个时间区间内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间 区间的事件数，这两个随机变量是独立的。 区间的事件数，这两个随机变量是独立的。 在每一个时间区间内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。 在每一个时间区间内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。 泊松过程是Lévy过程 过程（ process）中最有名的过程之一。 泊松过程是Lévy过程（Lévy process）中最有名的过程之一。时 间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子 过程的例子。 间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。
(4 ×12) n −4×12 P{N (12) − N (0) = n} = e , n! E[ N (12) − N (0)] = 4 × 12 = 48.
第4讲 第三章泊松过程(2)
n! n, f (t1 , t2 , , tn N (t ) n) t 0,
0 t1 tn t 其他.
证明：
0 t1 t2 t n1 t n t
P Wi ti -ti，ti , i 1, , n | N (t ) n
k 1
t
Dk e ( t Wk ) N ( t ) n]
N (t ) n] （Dk 与N(t), Wk相互独立） N (t ) n]
n
e
k 1
n
EDk E[e
n
Wk
e
t
ED1 E[e
k 1
n
Wk
E ( D1 )e t E[ eWk N (t ) n]
解： 每次损伤初始为Dk，经时间t 后衰减为
Dke－αt，t≥0 (α>0);
Wk 为第k 次受震动的时刻，则在t 时刻的总损伤： N (t ) D( t ) D e t Wk
k 1
k
需求E[D( t )].
由全期望公式来计算期望.
E[ D t N (t ) n] E[
ti 0 i 1,, n
n! n t
注 若在(0, t]时间内A出现n 次,则这n 次到达时间 W1,W2,…,Wn与 n个相互独立的[ 0, t]上的均匀分布 随机变量U1,U2, …,Un的顺序统计量U(1),U(2), …,U(n)
有相同分布.
性质3 设{N( t ), t≥0)是参数为λ的泊松过程,
P Wk s，s s | N (t ) n
P Wk s，s s ，N (t ) n
P N (t ) n P N ( s ) k 1, N ( s s ) N ( s ) 1, N (t ) N ( s s ) n k P N (t ) n
随机过程第三章泊松过程
随机过程第三章泊松过程泊松过程是随机过程中的一类重要过程，在许多领域都有广泛应用，如排队论、可靠性分析、金融工程等。
泊松过程的概念由法国数学家泊松提出，它具有无记忆性、独立增量和平稳增量等重要特征。
在本文中，我们将介绍泊松过程的定义、性质以及一些实际应用。
泊松过程的定义：设N(t)是在区间[0,t]内发生的事件个数，若满足以下三个条件，则称N(t)是具有独立增量和平稳增量的泊松过程：1.N(0)=0，表示在时间0之前没有事件发生；2.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布只与时间间隔t-s有关，与s时刻之前的事件个数无关，这表明泊松过程具有无记忆性；3.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布是一个参数为λ(t-s)的泊松分布，其中λ是过程的强度参数。
泊松过程具有很多重要的性质。
首先，泊松过程的均值和方差等于其强度参数λ。
其次，泊松过程的增量独立，即在非重叠区间上的增量相互独立。
此外，泊松过程的时间间隔也是独立同分布的指数分布。
泊松过程具有广泛的应用。
在排队论中，泊松过程可用于描述到达队列的顾客数量。
在可靠性分析领域，泊松过程可用于描述设备的故障次数。
在金融工程中，泊松过程可用于模拟股票价格的变动和交易的发生。
在实际应用中，对于给定的泊松过程，我们通常感兴趣的是估计其强度参数λ。
常用的估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计通过最大化观测到的事件发生次数和估计的事件发生率之间的似然函数，来估计λ的值。
矩估计则是通过将观测到的事件个数的平均值等于λ的估计值，来确定λ的值。
此外，在泊松过程的应用中，我们还可能遇到泊松过程的两个重要扩展：非齐次泊松过程和二维泊松过程。
非齐次泊松过程是指强度参数λ是时间的一个函数，而不是常数。
二维泊松过程是指同时考虑两个独立的泊松过程，其事件发生次数可能影响到对方的发生次数。
综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有无记忆性、独立增量和平稳增量等特征。
泊松过程
9 December 2015
随机过程
§3.1 泊松过程概念
一维分布
定理 设{N(t), t∈T=[0,+∞)}是一强度为λ的泊松过程，
则对任意固定的t >0, N(t)服从泊松分布π(λt )，即
P(N(t)
k)
(t)k k!
et
,
k 0,1,2,
证明：略。
注 该定理指明了泊松过程的一维分布，即在每个固定
P(N(t) 2) o(t), （ 0是常数）
普通性
则称{N(t), t∈T=[0,+∞)}是强度为λ的泊松过程。
9 December 2015
随机过程
《随机过程》
1
2015/12/9
§3.1 泊松过程概念
例1 设N(t)为[0 , t)时段内某电话交换台收到的呼叫次 数，t∈[0 , +∞)，N(t)的状态空间为{0 , 1 , 2 ,···}， 且具有如下性质：
(4)在足够小的时间间隔△t内， P(t时间间隔内无呼叫) P(N(t) 0) 1 t o(t) P(t时间间隔内有一次呼叫) P(N(t) 1) t o(t) P(t时间间隔内收到2次以上呼叫) P(N(t) 2) o(t)
则计数过程{N(t), t∈[0,+∞)}是强度为λ的泊松过程。
－N(t1)服从参数为λ(t2－t1)的泊松分布, 即 增量平稳性
或齐次性
P(N(t1,
t2
)
k)Βιβλιοθήκη [(t2 t1 k!)]k
e(t2t1
)
,
k 0,1,2,（ 0）
则称{N(t), t∈T=[0,+∞)}是强度为λ的泊松过程。
试利用定理说明上述两个泊松过程定义的等价性。
第三章 泊松过程要点
其中 N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 表示独立到达泊松系统的 k1 k2 个质点中恰好到达系统A有 k1 个，则有
P[ N1 (t ) k1 | N (t ) k1 k2 ] C kk1k p k1 (1 p ) k2
1 2
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
二、泊松过程的几个例子
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
第一节、泊松过程的基本概念
二、泊松过程的数字特征 1、均值函数
mN (t ) E[ N (t )] t
表示单位时间内平均发生的事件数。
E[ N (t )] E[ N (t )] 表示[0,t)时段内平均发生的事件数， t
第一节、泊松过程的基本概念
从定义可得知， N (t ), t 0 为一时齐泊松过程，N(t)表示[0,t] 时段内事件发生的次数。 （1）条件（1） 表明在初始时刻无事件发生，即 P[ N (0) 0] 1 （2）条件（2）表明任意多个不相重叠的时间间隔内发生的 事件数相互独立 （3）条件（3）表明[s, s t ] 时间内发生的时间数的分布只与 时间间隔t有关，与时间起点无关 （4）条件（4）表明在足够小的时间 t 内事件发生一次的 概率与时间 t 成正比，而在足够小的时间内事件发生次数 不少于2的概率是关于t 的高阶无穷小。即在足够短的时间 内，事件发生两次以上为小概率事件。
第一节、泊松过程的基本概念
三、泊松过程的叠加与分解
1、泊松过程的叠加
定理：设 N1 (t ), t 0 与N2 (t ), t 0 为相互独立且强度分别 为 1 , 2 的泊松过程，对于任意给定的 t T ,
第3章 泊松过程
一．假定某天文台观察到的流星流是一个泊松过程, 据以往资料统计为每小时平均观察到 3 颗流星.试求:( 1 ) 在上午 8 点到 12 点期间, 该天文台没有观察到流星的概率 .( 2 ) 下午( 12 点以后)该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数 .二．设电话总机在]X是具有强度,0(t内接到电话呼叫数)(tλ的泊松过程，求（每分钟）2=（1）两分钟内接到2次呼叫的概率；（2）“第二分钟内收到第2次呼叫”的概率。
12维纳过程如果它满足给定实随机过程,}0),({≥t t W ;)2(是平稳的独立增量过程;0)),(,0()()( ,0 )3(2>−−≥>σσ且～增量对任意的s t N s W t W s t .0)0()1(=W 则称此过程为维纳过程.33. 维纳过程的特征).,min(),(),(2t s t s R t s B W W σ==;0),,0()( 2>σσ且～t N t W ).,min()]()()(()([(2a t a s a W s W a W s W E −−=−−σ,,0+∞<<≤∀t s a （１）（２）)]()())(()([(a W t W a W s W E −−,t s <令))]()()()())(()([(a W s W s W t W a W s W E −+−−=))]()())(()([(s W t W a W s W E −−=))]()())(()([(a W s W a W s W E −−+).(2a s −=σ4五.平稳过程定义2.12,,,,,21T t t t N n n ∈∈L ))(,),(),((21n t X t X t X n L 变量维随机))(,),(),((21h t X h t X h t X n +++L 和具有相同的分布函数, 则称随机过程}),({T t t X ∈具有平稳性, 并同时称此过程为严平稳随机过程,(或狭义平稳过程).与常数若对为随机过程设τ∀∈,}),({T t t X ,,,,21时当T t t t n ∈+++τττL 严平稳过程的任意有限维概率分布不随时间的推移而改变.5,}),({是严平稳过程若T t t X ∈,时间无关则它的一维概率分布与它的二维概率分布, 21的时间间隔有关只与 t .与时间起点无关6{}.,),(,,,);()]()([),(,,)2( );()]([)(,)1( ,),( 简称为平稳过程平稳过程广义或弱为宽则称的取值无关而与的大小有关即其相关函数仅与对关的常数无与对如果是二阶矩过程设X t s s t s t R t X s X E t s R T t s t const m t X E t m T t T t t X X X X X X −−==∈∀===∈∀∈=.}),({,为平稳序列则称平稳过程为离散集若T t t X T ∈13.2定义7试讨论它的平稳性相位周期过程为随机称定义变量上均匀分布的随机是服从区间的连续函数是一个周期为设随机相位周期过程例.)(),,(),()(.],0[,)()( t X t t s t X T T t s +∞−∞∈Φ+=Φ解φφφΦΦd )()()]([)]([)(∫∞∞−+=+==p t s t s E t X E t m X u u s T u u s T t s T T T t t T ∫∫∫==+=+00d )(1d )(1d )(1φφ,)(无关的常数是一个与t t m X8[])()(),(ττ+=+t X t X E t t R X [])()(Φ++Φ+=τt s t s E φφφτd p t s t s )()()(Φ∞∞∫++Φ+=φφτφ∫+++=T t s t s T 0d )()(1u u s u s T T t t∫++=d )()(1τu u s u s T T ∫+=0d )()(1τ,有关其值仅与τ.是一平稳过程因而随机相位周期过程9tc c 且对任意的给出由不同的电流符号信号是在电报信号传输中随机电报信号例,,,)( −⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−2121~)(c c t X {}的平稳性试讨论过程为为是强度内的变号次数在设的时间是随机的电流变换符号任意的持续时间而电流的发送又有一个0),(,)(],0[)(,,≥t t X Poisson t N t t X λ:解0,0)(2121)]([()(≥=−+==t c c t X E t m X10:解)]()([),(ττ+=+t X t X E t t R X {}{}2222)()()()()(c t X t X P c c t X t X P c −=+−+=+=ττ{}{}为奇数为偶数)()()(22ττN P c N P c −+=0,0)(2121)]([()(≥=−+==t c c t X E t m X τλτλτλτλ−∞=+−∞=∑∑+−=e k c e k c k k k k 0122022)!12()()!2()(,),(无关与t t t R X τ+{}是平稳过程随机电报信号0),(≥∴t t X ,e !)(e 220-2τλτλτλ−∞==−=∑c k c k k ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−2121~)(c c t X11,),(无关与t t t R X τ+{}是平稳过程随机电报信号0),(≥∴t t X 关于平稳过程更详细的讨论在第六章τλτλτλτλ−∞=+−∞=∑∑+−=ek c e k c k k k k 0122022)!12()()!2()(,e !)(e 220-2τλτλτλ−∞==−=∑c k c k k ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−2121~)(c c t X第三章泊松过程§3.1 泊松过程的的定义和例子1.问题的提出下列事件随时间的推移迟早会重复出现.(1) 自电子管阴极发射的电子到达阳极;(2) 机器零件发生故障;(3) 要求服务的顾客到达服务站.12132. 问题的分析与求解将电子、顾客等看作时间轴上的质点,电子到达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现.因此研究的对象可以认为是随时间推移,陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的质点流..,],0(0,)(出现的质点数时间轴上内表示在时间间隔 用t t t N ≥.,}0),({称为 续的随机过程、时间连是一个状态取非负整数 ≥t t N 计数过程计数过程的一个典型样本函数1415定义 3.1 称随机过程{}0),(≥t t N 为计数过程；若)(t N 表示到时刻t 为止已发生的A 事件"的总数，且)(t N 满足下列条件：（1）()0≥t N（2）()t N 取正整数（3）若则,t s <)()(t N s N ≤；（4）当t s <时，)()(s N t N −等于区间],(t s 中""A 事件发生的次数。
第三章 泊松过程 2
C
n 0
m m n
( t ) t p q e (m n)!
m n m n
( qt ) n ( pt ) m t [ e ] n! m! n 0 e qt ( pt ) m t ( pt ) m pt e e . m! m!
P{N (2) N (1) 5} e 101
n 0
(10 1) , n!
P{N (3) N (2) 0} e
16
10
(10)0 e 10 . 0!
（事故的发生次数和保险公司接到的索赔数）
N(t)表示(0,t]时间内发生事故的次数。 Poisson过程就是{N(t)，t 0 }很好的一种 近似。考虑保险公司每次赔付都是1，每 月平均4次接到索赔要求，一年中他要付 出的平均金额为多少？ n
se
s
e tet
(t s )
s t
在 N(t)＝ 1的条间上是均匀分布的.
36
•定理3 在已知 N(t)＝ n (n 2)的条件下, 事件发生的n 个时刻T1 , T2 , … , Tn 的联合 分布密度为
n! f ( t 1, t 2 , , t n ) n , 0 t 1 t 2 t n . t
34
9
• 泊松过程中事件发生时刻的条件分布
假设到时刻 t 为止, 泊松过程{N(t), t 0} 中的事件A 已经发生了n 次, 现在考察这 n 次事件发生的时刻Ｔ1 ,Ｔ2 , … ,Ｔn 的 联合分布. 事实上，当N(t)=1时，若s < t ，
35
PT1 s, N (t ) 1 PT1 s | N (t ) 1 PN (t ) 1 PN ( s ) 1, N (t ) N ( s ) 0 PN (t ) 1 PN ( s ) 1PN (t ) N ( s ) 0 PN (t ) 1
第三章 泊松(Poisson)过程
从而非齐次泊松过程不再具有平稳增量性.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
例1 某路公交车从早晨5时到晚上9时有车,乘客 流量如下:5时平均乘客为200人/小时;5时至8时 乘客平均到达率线性增加,8时到达率为1400人/ 小时;8时至18时保持平均到达率不变;18时到21 时到达率线性下降,到21时为200人/小时,假定 乘客数在不重叠的区间内是相互独立的,求 (1)7时至9时来站乘车人数的数学期望； (2)12时至14时有2000人乘车的概率. 解 设t=0为早晨5时,t=16为晚上9时,则均值函数 0 t 3 200 400t , ( t ) 1400, 3 t 13 1400 400( t 13),13 t 16
2、齐次泊松过程的概念
考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件： (1)自电子管阴极发射的电子到达阳极; (2)意外事故或意外差错的发生; (3)要求服务的顾客到达服务站. 电子到达阳极、顾客到达服务站等事件会随 时间推移随机发生在时间轴上的不同时刻.
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用N (t ), t 0表示在时间间隔 (0, t ]内发生的某种
由于Wn Ti , 利用矩母函数容易证明
i 1
n
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
t ( t )n 1 ,t 0 e fWn ( t ) ( n 1)! 0 , t 0
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二、泊松过程的推广
2600
(2) 12时至14时有2000人来站乘车的概率为
2000 (2800) 2800 P{ N (9) N (7) 2000} e 2000!
第4讲第三章泊松过程
k 1
n
et EDk E[eWk N (t) n]（Dk 与N(t), Wk相互独立） k 1
n
et ED1 E[eWk N (t) n]
k 1
n
E(D1)et E[ eWk N (t) n]
k 1 n
E(D1)et E[
eUk ]
(根据定理3.4 )
k 1
E(D1)et E[ n eUk ] nE(D1)et E(eU1 ) k 1
注： 复合poisson过程 X(t)是包含泊松过程的一 个复合模型，通常不是泊松过程。
N (t)
定理3.6 设 X (t) 是Y复n ,t合 0泊松过程 n1
其中{N( t ),t≥0}是强度为λ的泊松过程,Yn,n=1, 2, …相互独立且同分布，则
1） {X( t ),t≥0 }是独立平稳、增量过程
P{N(s)=k | N(t)=n}, 0<k<n,0<s<t
证明：
P{N(s)=k | N(t)=n}
PN (s) k, N (t) n
P{N (t) n}
PN (s) k, N (t) N (s) n k
P{N (t) n}
PN (s) k PN (t) N (s) n k
当过程的到达率随时间而变化, 此假设就不合理 了.
若过程的增量平稳条件不满足，到达率随时间改变， 设到达率为时间函数λ( t ),则引入非齐次泊松过程概念：
定义：如果计数过程满足下列条件 1）N(0)=0； 2）{N( t ),t≥0 }是一个独立增量过程；
3) P{N(t t) N(t) 1} (t)t o(t);
N (t)
iu Yk E e k 1
3.泊松过程
P{ N ( s ) 1} P{ N ( t ) N ( s ) 0} P{ N ( t ) 1}
se s e ( t s ) s , t te t
0 ,s 0, FW | N ( t )1 ( s ) s / t , 0 s t , 1 ,st.
3.2.1 等待时间及其分布
设质点依次重复出现的时刻
t1 , t 2 , , t n , 是强度为 的泊松流 , { N (t ), t 0} 为相应 Poisson过程 . 记 W0 0 , Wn t n , n 1 , 2 , W1 W2
t1
Wk 1 t2
Wk tk 1 tk
再对 h 求导 , 即得 fW | N ( t ) ( s | n) .
k
P{ s Wk s h N (t ) n}
P{ s Wk s h , N ( t ) n} P{ N ( t ) n}
P{ s Wk s h , N (t ) N ( s h) n k } n!(t )n e t P{s Wk s h } P{ N (t ) N ( s h) n k } n!(t )n e t
o
则Wn 是随机变量 , 表示第n 个质点出现的等待时间.
因为 {Wn t } { N ( t ) n} , 所以
FW ( t ) P{Wn t } 1 P{Wn t }
n
(t )k 1 P { N ( t ) n} P { N ( t ) n} e t , t 0, k! k n
P1 ( t 0 , t ) ( t t 0 )e ( t t ) , t t 0 .
4第三章泊松过程
例如： 到达体育场的公共汽车数是一泊松过程,而每辆公共 汽车内所载的乘客数是一个随机变量。若各辆车内 的乘客数Yn服从相同分布,且又彼此统计独立,各辆车 的乘客数和车辆数N(t)又是统计独立的,则到达体育 馆的总人数X(t)是一个复合泊松过程.
X (t )
N (t ) n 1
Y ,
n
t0
等待时间Wn的分布
等待时间Wn是指第n次事件A出现的时刻(或第 n次事件A的等待时间)
Wn
T
i 1
n
i
因此Wn是n个相互独立的指数分布随机变量之和。
定理3.3： 设{Wn,n≥1}是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的 一个等待时间序列，则Wn服从参数为n与 λ 的Г 分布（也称爱尔兰分布），其概率 密度为
解：
W1(2)
y y
W1(2)
合
y
非齐次泊松过程
定义3.4： 允许速率或强度是t的函数 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数 λ (t)的非齐次泊松过程，若它满足下列条件：
1. X(0)=0；
2. X(t)是独立增量过程；
3. P{ X (t h) X (t ) 1} (t )h o(h)
X (t ) Yi
i 1
N (t )
1 P{Y 1} P{Y 4} 6 1 P{Y 2} P{Y 3} 3
则:
E[Y ]
15 6
E[Y ]2
43 215 2 D[ X (5)] tE[Y ] 10 6 3
1 e t , t 0 FTn (t ) P{Tn t} t0 0,
其概率密度为
证明
e t , f Tn (t ) 0,
Poisson过程
第三章 Poisson 过程教学目的：（1）了解计数过程的概念； （2）掌握泊松过程两种定义的等价性；（3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布；（4）了解泊松过程的三种推广。
教学重点：（1）泊松过程两种定义的等价性；（2）泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布；（3）泊松过程的三种推广。
教学难点：（1）泊松过程两种定义的等价性的证明； （2）泊松过程来到时刻的条件分布； （3）泊松过程的推广。
3.1 Poisson 过程教学目的：掌握Poisson 过程的定义及等价定义；会进行Poisson 过程相关的概率的计算。
教学重点：Poisson 过程的定义与其等价定义等价性的证明；Poisson 过程相关的概率的计算。
教学难点：Poisson 过程的定义与其等价定义等价性的证明。
Poisson 过程是一类重要的计数过程，先给出计数过程的定义定义3.1：{(),0}N t t ≥随机过程称为计数过程，如果()0N t t 表示从到时刻 某一A 特定事件发生的次数，它具备以下两个特点： (1)()N t 取值为整数；(2)()()()-()(,]s t N s N t N t N s s t <≤时，且表示时间A 内事件发生的次数。
计数过程有着广泛的应用，如：某商店一段时间内购物的顾客数；某段时 间内电话转换台呼叫的次数；加油站一段时间内等候加油的人数等。
如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称该计数过程有独立增量。
即当123,t t t <<2132()-()()-()X t X t X t X t 有与是独立的。
若在任一时间区间中的事件个数的分布只依赖于,时间区间的长度则计数 过程有平稳增量。
即对一切12120(,]t t s t s t s <>++及，在中事件个数 21()()N t s N t s +-+12(,]t t 与区间中事件的个数21()()N t N t -有相同的分布。
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4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
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令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
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(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
特征: 增量 X(t)-X(s) 的分布函数只依赖于 区间的长度t-s, 而与它的位置无关.
当增量具有平稳性时, 称相应的独立增量过程 是齐次的或时齐的.
第四章 泊松过程
基础部张守成
一、齐次泊松过程
1、独立增量过程
给定二阶矩过程 {X (t), t 0}, 定义随机变量 X (t) X (s), 0 s t 为随机过程 在(s, t] 上的 增 量 . 如果对任意选定的正整数 n 和任意选定的 0 t0 t1 t2 tn , n 个增量
用N (t), t 0表示在时间间隔 (0, t]内发生的某种
事件的数目，则{N(t), t 0}称为计数过程. 一个计数过程一定满足： (1) N(t)取非负整数值； (2) 如果s<t,则N(s)≤N(t); (3) N(t)在[0, ∞)上右连续且逐段取常数; (4) 对于0 s t , N (s, t) N (t) N (s) 等于在
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定理：
N (t)
设 X (t) Y是k ,复t 合0泊松过程，则 k 1
(1) {X(t), t0}是独立增量过程；
(2) X(t)的特征函数 gX (t) (u) exp t[gY (u) 1]
是事件的到达率,gY(u)是随机变量Y1的特征函数；
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2、齐次泊松过程的概念
考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件： (1)自电子管阴极发射的电子到达阳极; (2)意外事故或意外差错的发生; (3)要求服务的顾客到达服务站.
电子到达阳极、顾客到达服务站等事件会随 时间推移随机发生在时间轴上的不同时刻.
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4
2 (t)dt
3
4
2 (200 400t)dt 3 1400dt
2600
(2) 12时至14时有2000人来站乘车的概率为
P{N(9) N(7) 2000} e2800 (2800)2000 2000!
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2、复合泊松过程
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
fWn
(t)
e
t
( t )n1
,t (n 1)!
0
0 , t 0
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二、泊松过程的推广
1、非齐次泊松过程
若 是时间t的函数 (t), t 0, 则称泊松过
{N (t), t 0}是强度函数为(t)的非齐次泊松过程.
将 2, t代入5
E[ X (t )] tE(Yn ), D[ X (t)] tE(Yn2 )
可得五周内移民到该地人口数的的期望
E[X (t)] 25, D[X (t)] 69
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课堂练习
设进入到某超市的人数是一个速率为 100
CN (s,t) mins,t, s,t 0.
相关函数:
RN (s,t) E[N(s)N(t)] 2st mins,t, s,t 0.
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例1：设{N(t), t 0}服从强度为 2的泊松过程，求
(1) P{N (5) 4}; (2) P{N (5) 4, N (7.5) 6, N (12) 9}; (3) P{N (12) 9 N (5) 4}; (4) E[N (5)], D[N (5)],Cov[N (5), N (12)].
注：
称
m(t
)
t
0
( s )ds
为累积强度函数或均值函数，
则有
N(t) N(s) ~ (m(t) m(s))
从而非齐次泊松过程不再具有平稳增量性.
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例1 某路公交车从早晨5时到晚上9时有车,乘客
流量如下:5时平均乘客为200人/小时;5时至8时
200 400t,
0 t 3
(t) 1400,
3 t 13
1400 400(t 13),13 t 16
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(1) 7时至9时为t(2,4],则由非齐次泊松过程的 性质可得7时至9时乘车人数的数学期望为
E[N(4) N(2)] m(4) m(2)
故 FT2 T1 (t s) P{T2 t T1 s} 1 P{T2 t T1 s} 1 et .
表明T2服从均值为1/的指数分布，且与T1独立.
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重复上面的推导，可得下面的结论：
结论: 设{N(t), t0}是强度为的泊松过程，则
(3)若E(Y12 ) ， 则
E[ X (t )] tE[Y1] D[ X (t )] tE[Y12 ]
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例2 设移民到某地的户数是一个速率为 2
（每周）的泊松过程{N(t), t 0}, 若每户人口
数为独立同分布的随机变量Yn：PYn 1 0.1，
时间间隔 (s, t]中发生的事件数 .
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计数过程的一个典型样本函数
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定义 计数过程 {N(t), t 0}称作强度(或速率)为 的齐次泊松过程 , 如果它满足以下条件：
(1) N (0) 0； (2) 是独立增量过程; (3) 对任意 0 s t, N(t) N(s) ~ ((t s)).
解： (1) P N 5 4 104 e10 4! (2) PN 5 4, N(7.5) 6, N(12) 9
=PN 5 4, N(7.5) N(5) 2, N(12) N(7.5) 3
104 e10 4! 52 e5 2! 93 e9 3!
PYn 2 0.4，PYn 3 0.4， PYn 4 0.1.
设X (t)表示[0,t)时间内移民到该地的人口数，
求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.
N (t )
解：X (t) Yn 是复合泊松过程,由Yn的分布律可得 n1
E(Yn ) 2.5, E(Yn2 ) 6.9
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再求已知T1的条件下，T2的条件分布函数
由于 P{T2>t|T1=s} =P{在(s, s+t]内没有事件发生|T1=s} =P{N(s+t)-N(s)=0 | N(s) -N(0) =1} = P{N(s+t) -N(s)=0 } (独立增量过程)
et .
X (t1 ) X (t0 ), X (t2 ) X (t1 ), , X (tn ) X (tn1 )
相互独立, 则称 {X (t), t 0} 为 独立增量过程. 特征: 在互不相交的区间上,状态的增量是相
互独立的，有 CX (s,t) DX (min( s,t)).
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(3) P{N(12) 9 N(5) 4} P{N(12) N(5) 5 N(5) 4}
P{N(12) N(5) 5} 145 e14 5!
(4) E[N(5)]=10, D[N(5)]=10, Cov[N(5), N(12)] 10.
注：
(1) 条件(1)表明计数从0时刻开始. (2) 条件(2)通常需要根据实际过程验证. (3) 条件(3)同时表明过程具有平稳增量.
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3. 齐次泊松过程的数字特征
由于 N(s, t) N(t) N(s) ~ ((t s))，