高中数学 2.4.2 抛物线的几何特性课后知能检测 新人教B版选修21

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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.4.2 抛物线
的几何特性课后知能检测 新人教B 版选修2-1
一、选择题
1.顶点在原点,焦点是F (0,5)的抛物线方程是( ) A .y 2
=20x B .x 2
=20y C .y 2
=120
x
D .x 2
=120
y
【解析】 由题意p
2=5,∴p =10,且焦点在y 轴的正半轴上,顶点为原点,故抛物线
的方程x 2
=20y .
【答案】 B
2.(2013·佛山高二检测)P 为抛物线y 2
=2px 的焦点弦AB 的中点,A ,B ,P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA 1|,|BB 1|,|PP 1|,则有( )
A .|PP 1|=|AA 1|+|B
B 1| B .|PP 1|=1
2|AB |
C .|PP 1|>1
2|AB |
D .|PP 1|<1
2
|AB |
【解析】 如图所示,根据题意,PP ′恰巧是梯形AA ′B ′B 的中位线,故|PP 1|=1
2
|AB |.
【答案】 B
3.抛物线y =ax 2
+1与直线y =x 相切,则a 等于( ) A.1
8 B.1
4 C.1
2
D .1
【解析】 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y =ax 2
+1,
y =x ,
消y 得ax 2
-x +1=0.
∵直线y =x 与抛物线y =ax 2
+1相切, ∴方程ax 2
-x +1=0有两相等实根. ∴判别式Δ=(-1)2
-4a =0,∴a =14.
【答案】 B
4.(2013·莆田高二检测)已知抛物线y 2
=2px (p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A .x =1
B .x =-1
C .x =2
D .x =-2
【解析】 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入抛物线方程得:⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
1=2px 1 ①y 2
2=2px 2 ②
,①-②

(y 1+y 2)(y 1-y 2)=2p (x 1-x 2). 又∵y 1+y 2=4,∴
y 1-y 2x 1-x 2=2p 4=p
2
=k =1,∴p =2. ∴所求抛物线的准线方程为x =-1. 【答案】 B
5.已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |=12,P 为C 的准线上的一点,则△ABP 的面积为( )
A .18
B .24
C .36
D .48
【解析】 不妨设抛物线方程为y 2
=2px (p >0),依题意,l ⊥x 轴,且焦点F (p
2,0),
∵当x =p
2
时,|y |=p ,
∴|AB |=2p =12,∴p =6,
又点P 到直线AB 的距离为p 2+p
2=p =6,
故S △ABP =12|AB |·p =1
2×12×6=36.
【答案】 C 二、填空题
6.抛物线y 2
=x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________.
【解析】 设抛物线上点的坐标为(x ,±x ),此点到准线的距离为:x +1
4,到顶点的
距离为x 2

x
2
,由题意有x +14
=x 2

x
2
,∴x =18,∴此点坐标为(18,±2
4
).
【答案】 (18,±2
4
)
7.(2013·天津高考)已知抛物线y 2
=8x 的准线过双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的一个
焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为________.
【解析】 由题意可知抛物线的准线方程为x =-2, ∴双曲线的半焦距c =2.又双曲线的离心率为2, ∴a =1,b =3,∴双曲线的方程为x 2
-y 2
3=1.
【答案】 x 2
-y 2
3
=1
8.线段AB 是抛物线y 2
=x 的一条焦点弦,且|AB |=4,则线段AB 的中点C 到直线x +
12=0的距离为________.
【解析】 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由于|AB |=x 1+x 2+p =4, ∴x 1+x 2=4-12=7
2

∴中点C (x 0,y 0)到直线x +12=0的距离为x 0+12=x 1+x 22+12=74+12=9
4.
【答案】 9
4
三、解答题
9.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与y 轴的交点,A 为抛物线上一点,且|AM |=17,|AF |=3,求此抛物线的标准方程.
【解】 设所求抛物线的标准方程为x 2
=2py (p >0), 设A (x 0,y 0),由题知M (0,-p
2).
∵|AF |=3,∴y 0+p
2=3,
∵|AM |=17, ∴x 2
0+(y 0+p
2
)2
=17,
∴x 2
0=8,代入方程x 2
0=2py 0得,
8=2p (3-p
2
),解得p =2或p =4.
∴所求抛物线的标准方程为x 2
=4y 或x 2
=8y .
10.已知点A (0,-2),B (0,4),动点P (x ,y )满足PA →·PB →=y 2
-8. (1)求动点P 的轨迹方程;
(2)设(1)中所求轨迹与直线y =x +2交于C ,D 两点,求证:OC ⊥OD (O 为坐标原点). 【解】 (1)由题意可得 PA →
·PB →
=(-x ,-2-y )·(-x,4-y )=y 2-8.
化简得x 2
=2y .
(2)证明 将y =x +2代入x 2
=2y 中,得x 2
=2(x +2),整理得x 2
-2x -4=0,可知Δ
=4+16=20>0.设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),则x 1+x 2=2,x 1x 2=-4.因为y 1=x 1+2,y 2=x 2+2,所以y 1y 2=(x 1+2)(x 2+2)=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=4.因为OC →·OD →
=x 1x 2+y 1y 2=0,所以
OC ⊥OD .
11.已知直线l 经过抛物线y 2
=6x 的焦点F ,且与抛物线相交于A ,B 两点. (1)若直线l 的倾斜角为60°,求|AB |的值; (2)若|AB |=9,求线段AB 的中点M 到准线的距离.
【解】 (1)因为直线l 的倾斜角为60°,所以其斜率k =tan 60°= 3.又F (3
2,0),
所以直线l 的方程为y =3(x -3
2
).
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
=6x ,y =3x -3
2,
消去y 得x 2
-5x +94=0.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=5,
而|AB |=|AF |+|BF |=x 1+p 2+x 2+p
2=x 1+x 2+p ,
所以|AB |=5+3=8.
(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由抛物线定义知
|AB |=|AF |+|BF |=x 1+x 2+p =x 1+x 2+3,所以x 1+x 2=6,于是线段AB 的中点M 的横坐标是3.
又准线方程是x =-32,所以M 到准线的距离为3+32=9
2.。

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