山东省菏泽市第六中学2019-2020学年高三数学理期末试题含解析

山东省菏泽市第六中学2019-2020学年高三数学理期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知等比数列{}的前项和为,且，则数列的公比的值为（）A．2 B．3 C．2或-3 D．2或3
参考答案：
C
略
2. 直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（）
A．B．C．2D．
参考答案：
D
【考点】直线和圆的方程的应用．
【专题】计算题．
【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD，然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D，根据勾股定理求出弦长的一半BD，乘以2即可求出弦长AB．【解答】解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点，
根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为．
圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=，
则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD=
故选D．
【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题，以及理解直线和圆相交所截取的弦的一半、圆的半径、弦心距构成直角三角形．灵活运用垂径定理解决数学问题．3. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，结合柱体表面积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，
其底面面积为：×（1+2）×2=3，
底面周长为：2+2+1+=5+，
高为：2，
故四棱柱的表面积S=2×3+（5+）×2=，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
4. 设（是虚数单位），则
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
5. 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是( )
A．B．
C．D．
参考答案：
C
6. 下列有关命题的说法正确的是 ( )
A．命题“若则”的逆否命题为真命题.
B．函数的定义域为.
C．命题“使得”的否定是：“均有” .
D．“”是“直线与垂直”的必要不充分条件.
参考答案：
A
略
7. 如图，单位正方体的对角面上存在一动点P，过点P作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于M，N两点，则△BMN的面积最大值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
设2a=5b=m，且
．B
参考答案：
A
略
9. 已知一个样本为x，1，y，5，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2
参考答案：
C
【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
【分析】求出x+y=2，求出xy的最小值，根据方差的定义求出其最小值即可．
【解答】解：样本x，1，y，5的平均数为2，
故x+y=2，故xy≤1，
故S2= [（x﹣2）2+（y﹣2）2+10]= +（x2+y2）≥+?2xy≥+×2=3，
故方差的最小值是3，
故选：C．
【点评】本题考查了求数据的方差和平均数问题，考查不等式的性质，是一道基础题．
10. 设函数，其中表示不超过的最大整数,如，
，，若直线与函数的图象恰有两个不同的交点,则的取值范围是（☆ ）
A. B. C.
D.
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，分别过A，B作
y轴的平行线与函数图象交于C，D两点，若轴，则四边形ABCD的面
积为_____.
参考答案：
分析：设出A、B的坐标，求出OA、OB的斜率相等利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系．再根据BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标，从而解出B、C、D的坐标，最后利用梯形的面
积公式求解即可．
详解：设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1＞1，x2＞1．
则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2．
因为A、B在过点O的直线上，所以
点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）．
由于BC平行于x轴知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2，∴x2=x13．
代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1．
由于x1＞1知log8x1≠0，∴x13=3x1．考虑x1＞1解得x1=．
于是点A的坐标为（，log8）即A（，log23）
∴B（3，log23），C（，log23），D（3，log23）．
∴梯形ABCD的面积为S=（AC+BD）×BC=（log23+log23）×2=log23．
故答案为：log23
点睛：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力．
12. 若表示两数中的最大值，若，则的最小值
为▲，若关于对称，则▲．
参考答案：
；．
13. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角
是．
参考答案：
120°
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】将已知等式平方得到的模的关系及，然后利用向量的数量积公式求出的夹角．
【解答】解：
∵==
∴，
∴（+）?（﹣）=﹣2||2，
设的夹角为θ
cosθ=
∵θ∈[0°，180°]
∴θ=120°
故答案为120°
【点评】求两个向量的夹角，一般利用向量的数量积公式来求出夹角的余弦，进一步求出夹角，但一定注意向量夹角的范围为[0°，180°]
14. 6名同学，选3人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则这6名同学中女生人数为
参考答案：
2
15. 已知函数是奇函数，且的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象
对应的函数为.若，则__________ .
参考答案：
【分析】
先计算代入，通过变换得到，通过计算，最后得到答案.
【详解】函数是奇函数
的最小正周期为
将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，周期，伸缩变换，函数求值，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
16. 在平面四边形中，点分别是边的中点，且，
．若，则的值为_____________.
参考答案：
13.5
略
17. （6分）（2015?嘉兴一模）若实数x，y满足不等式组，目标函数
z=x+2y，若a=1，则z的最大值为，若z存在最大值，则a的取值范围为．
参考答案：
6，[，+∞）。

【考点】：简单线性规划．
【专题】：不等式的解法及应用．
【分析】：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．若z存在最大值，利用数形结合确定满足条件的不等式关系即可．
解：（1）若a=1，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+2y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由，解得，即A（2，2），
代入目标函数z=x+2y得z=2×2+2=6．
（2）由ax+y≤4，得y≤﹣ax+4，
则直线y=﹣ax+4过定点（0，4），
若﹣a≥0，即a≤0时，目标函数z=x+2y无最大值，此时不满足条件．
若﹣a＜0，即a＞0时，
要使z存在最大值，
则直线y=﹣ax+4的斜率﹣a，
满足﹣a，
即a≥，
故此时a的取值范围为[，+∞）
故答案为：6，[，+∞）
【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知数列，，.
（1）当为何值时，数列是公差不为零的等差数列，并求其通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和.
参考答案：
19. (本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
,已知过点的直线的参数方程为:直线与曲线分别交于
(1)写出曲线和直线的普通方程;
(2)若成等比数列,求的值.
参考答案：
(1)
(2)
20. （本小题满分12分）在数列中，前n项和为，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列前n项和为，求的取值范围．
参考答案：
21. 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．
参考答案：
【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题．
【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在[70，80）上的频率．
（Ⅱ）分别求出[60，70）分数段的人数，[70，80）分数段的人数．再利用古典概型求解．
【解答】解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率
1﹣（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，
故成绩落在[70，80）上的频率是0.3，频率分布直方图如下图．
（Ⅱ）由题意，[60，70）分数段的人数为0.15×60=9人，[70，80）分数段的人数为0.3×60=18人；
∵分层抽样在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴[60，70）分数段抽取2人，分别记为m，n；，[70，80）分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d；
设从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）为事件A，
则基本事件空间包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），…（c，d）共15种，
则基本事件A包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d0共9种，
∴P（A）=
【点评】本题主要考查频率分布直方图、用样本估计总体、等可能事件的概率，属于基础题．
22.
已知函数定义域为，若对于任意的，，都有
，且>0时，有>0.
⑴证明: 为奇函数;
⑵证明: 在上为单调递增函数;
⑶设=1,若<,对所有恒成立,求实数的取值范围.参考答案：
（1）令，
令，，为奇函数
(2）
在上为单调递增函
数;
(3）在上为单调递增函数，，使对所有
恒成立,只要>1,即>0
令。