高考数学压轴专题攀枝花备战高考《数列》易错题汇编附答案

新高考数学《数列》练习题
一、选择题
1．定义“穿杨二元函数”如：
(,)248n C a n a a a a =++++L 1444244
43个
.例如：()3,436122445C =+++=.若a Z +∃∈，满足(),C a n n =，则整数n 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．0或1
D ．不存在满足条件的
n
【答案】B 【解析】 【分析】
由(,)248n C a n a a a a =++++L 144424443个，得()()12,2112
n
n C a n a a -=⨯=--,然后根据(),C a n n =结合条件分析得出答案.
【详解】
由(,)248n C a n a a a a =++++L 144424443个，得()()12,2112
n
n C a n a a -=⨯=-- 由(),C a n n =，可得()
21n
a n -=.
当0n =时，对任意a Z +∈都满足条件. 当0n ≠时, 21
n
n
a =
-,由a Z +∈，当1n =时，1a =满足条件. 当2n ≥且n Z ∈时，设()21x
f x x =--，则()2ln 21x
f x '=-在2x ≥上单调递增. 所以()()24ln 210f x f ''>=->，所以()f x 在2x ≥上单调递增. 所以()()24120f x f >=-->，即当2n ≥且n Z ∈时，恒有21n n ->.
则()0,121
n
n
a =∈-这与a Z +∈不符合.所以此时不满足条件. 综上：满足条件的n 值为0或1.
故选：B 【点睛】
本题考查新定义，根据定义解决问题，关键是理解定义，属于中档题.
2．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =( ) A ．
34
B ．
23
C ．
12
D ．
13
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等比数列前n 项和的性质求解可得所求结果． 【详解】
∵数列{}n a 为等比数列，且其前n 项和记为n S ， ∴51051510,,S S S S S --成等比数列． ∵105:1:2S S =，即1051 2
S S =，
∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为10551
2
S S S -=-， ∴()151010551
1 24
S S S S S -=--=， ∴15510513 44
S S S S =+=， ∴1553:4
S S =． 故选A ． 【点睛】
在等比数列{}n a 中，其前n 项和记为n S ，若公比1q ≠，则233,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列，即等比数列中依次取k 项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．
3．若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足
2131
n n A n B n -=+，则3711
59
a a a
b b +++的值为（ ）
A ．
3944
B ．
58
C ．
1516
D ．
1322
【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差中项的性质将371159
a a a
b b +++化简为7
732a b ,再利用数列求和公式求解即可. 【详解】
11337117131135971313()
3333213115213()2222313116
2a a a a a a A b b b b b B +++⨯-==⨯=⨯=⨯=++⨯+, 故选:C. 【点睛】
本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
4．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为
n S ，则下列结论正确的是（ ）
A ．201920202S a =+
B ．201920212S a =+
C ．201920201S a =-
D ．201920211S a =-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为
1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，
所以201920211S a =-，选D. 【点睛】
本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.
5．已知数列{}n a 中，12a =，2
11n n n a a a +=-+，记12111n n
A a a a =
++⋯+，12111
n n
B a a a =
⋅⋅⋯⋅，则（ ） A ．201920191A B +> B ．201920191A B +< C ．2019201912A B -> D ．201920191
2
A B -< 【答案】C 【解析】 【分析】
根据数列{}{},n n A B 的单调性即可判断n n A B -；通过猜想归纳证明，即可求得n n A B +. 【详解】
注意到12a =，23a =，37a =，不难发现{}n a 是递增数列． （1）2
1210n n n n a a a a +-=-+≥，所以1n n a a +≥．
（2）因为12a =，故2n a ≥，所以1n n a a +>，即{}n a 是增函数． 于是，{}n A 递增，{}n B 递减，
所以20192121156A A a a >=
+=，20192121116
B A a a <=⋅=， 所以2019201912
A B ->
. 事实上，111,A B +=221,A B +=331A B +=， 不难猜想：1n n A B +=． 证明如下：
（1）2
111211111111
111
11
n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++-=-+⇒
=
-⇒++⋅⋅⋅+=----． （2）2
11n n n a a a +=-+等价于2
111
1
n n n
a a a +=
--， 所以
111
1
n n n a a a +-=-， 故12111111
n n a a a a +⋅⋅⋯⋅=-， 于是12121111111n n a a a a a a ⎛⎫
⋅⋅⋯⋅+++⋯+= ⎪⎝⎭
， 即有1n n A B +=． 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的单调性，以及用递推公式求数列的性质，属综合中档题.
6．已知数列{}n a 中，732,1a a ==，又数列11n a ⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
是等差数列，则11a 等于（ ） A ．0 B ．
12
C ．
23
D ．1-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据条件得等差数列11n a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
公差以及通项公式，代入解得11a . 【详解】
设等差数列11n a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭公差为d ，则
731111144,112324d d d a a =-∴=-=++， 从而31115
(3)11242424
n n n a a =+-⋅=+++
1111111521
1242432
a a =+=∴=+，选B. 【点睛】
本题考查等差数列通项公式，考查基本求解能力，属基本题.
7．已知等比数列{a n }，a n ＞0，a 1=256，S 3=448，T n 为数列{a n }的前n 项乘积，则当T n 取得最大值时，n =（ ） A ．8 B ．9
C ．8或9
D ．8.5
【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0，可得q ＞0．根据a 1＝256，S 3＝448，可得256（1+q +q 2）＝448，解得q ．可得a n ，T n ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】
设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＞0，∴q ＞0． ∵a 1＝256，S 3＝448， ∴256（1+q +q 2）＝448， 解得q 1
2
=
． ∴a n ＝2561
1()
2
n -⨯=29﹣n ．
T n ＝28
•27
•……•2
9﹣n
＝2
8+7+…+9﹣n
()217
289[)89242
2
22
n n n ⎛⎤--- ⎥+-⎝
⎦==．
∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值时， 故选C ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．如果等差数列128,,,a a a L 的各项都大于零，公差0d ≠，则正确的关系为（ ） A ．1845a a a a > B ．1845a a a a < C ．1845a a a a +>+ D ．1845a a a a =
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据等差中项的性质，可排除C ，再利用作差比较，即可得到答案. 【详解】
根据等差数列的性质，可得1845a a a a +=+，所以C 不正确；
又由2
18451111(7)(3)(4)120a a a a a a d a d a d d -=+-++=-<，所以1845a a a a <.
故选B . 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及作差比较法的应用，着重考查了推理与运算能力.
9．数列{}n a 的通项公式为(
)n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n
a 为递增数列”的（ ）
条件． A ．必要而不充分 B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则3
2c <
，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()2
2
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2c <¿
{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
10．设函数()m
f x x ax =+的导数为()21f x x '=+，则数列()()2N n f n *⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项
和是（ ） A ．
1
n
n + B ．
21
n
n + C ．
21
n
n - D ．
()
21n n
+ 【答案】B 【解析】 【分析】
函数()m f x x ax =+的导函数()21f x x '=+，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可
求出m ，a ，利用裂项相消法求出()()
2N n f n *
⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项和即可．
【详解】
Q 1()21m f x mx a x -'=+=+，
1a \=，2m =，()(1)f x x x ∴=+，
11
2()()(1)221
f n n n n n ==-++， ∴111111122[()()()]2(1)1223111
n n S n n n n =-+-++-=-=+++L ，
故选：B ． 【点睛】
本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用．
11．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81 B ．120
C ．121
D ．192
【答案】B 【解析】 【分析】
根据35
2
a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】
Q
35
2
27a q a ==, ∴ 3q =
∴ 4414(1)3(13)
120113
a q S q --===--.故选：B
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于中档题.
12．已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．2
12
4
n -- B ．1
12
2
n -- C ．21n - D ．122n +-
【答案】B 【解析】
【分析】
由等比数列的性质，可得到35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，求得1,a q ，再结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】
由题意，等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=， 根据等比数列的性质，可得3516a a ⋅=，3510a a +=，
所以35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，解得352,8a a ==或358,2a a ==， 又因为等比数列{}n a 为单调递增数列，所以352,8a a ==， 设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(1)q q >
可得214128
a q a q ⎧=⎨=⎩，解得11,22a q ==，
所以数列{}n a 的前n 项和11(12)
122122
n
n n S --==-
-. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.
13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 为（ ） A ．3∶4 B ．4∶3 C ．1∶2 D ．2∶1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012
S x =，153
4
S x =
，从而得到155:S S 的值． 【详解】
解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得101
2S x =， 1051122S S x x x ∴-=
-=-，151014S S x ∴-=，15113
244
S x x x ∴=+=， 故155
334:4
x
S S x ==， 故选：A ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，成公比为k q 的等比数列，属于中档题.
14．在数列{}n a 中，()111,1n
n n a a a n +==++-，则2018a 的值为（ ）
A ．2017⨯1008
B ．2017⨯1009
C ．2018⨯1008
D ．2018⨯1009
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件()n
n 1n a a n 1+-=+-,利用累加法并结合等差数列的前n 项和公式即可得到答案. 【详解】
()n
n 1n a a n 1+-=+-,
()()20182017201720162016201520152014a a 20171,a a 20161,a a 20151,a a 20141,
-=+--=+-=+--=+
⋅⋅⋅32a a 21-=+,()21a a 11,-=+-
将以上式子相加得20181a a 20172016-=++⋅⋅⋅+2， 即2018a 20172016=++⋅⋅⋅+2+1=2017(12017)
201710092
+=⨯，
故选：B. 【点睛】
本题考查数列递推关系式的应用和累加法求和，考查等差数列前n 项和公式的应用.
15．已知{}n a 是单调递增的等比数列，满足352616,17a a a a ⋅=+=，则数列{}n a 的前n 项和n S = A ．122
n
+ B ．122n
- C ．112
2
n -+
D ．1
12
2
n -- 【答案】D 【解析】 【分析】
由等比数列的性质和韦达定理可得26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根，解方程可得q
和a 1，代入求和公式计算可得． 【详解】
∵352616,17a a a a ⋅=+=，
∴由等比数列的性质可得26261617a a a a ⋅=+=， ，
26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根
解方程可得26261
16161a a a a ====，，或， ， ∵等比数列{a n }单调递增，
∴26116a a ==，，∴11
22
q a ，＝= ，
∴
()
11
12122122
n
n n S ---
-＝＝ 故选D ． 【点睛】
本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和一元二次方程的解法，属中档题．
16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．3 B ．9
C ．18
D ．27
【答案】D 【解析】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵23109a a a ++=
∴13129a d +=，即143a d += ∴53a = ∴1999()
272
a a S ⨯+== 故选D.
17．在数列{}n a 中，111
2,1n n
a a a +=-=-，则2016a 的值为
A ．-2
B ．
13 C ．
12 D ．
32
【答案】B 【解析】
由111n n
a a +=-，得
21111
11111n n n n
a a a a ++=-=-=
--. 所以
32
11
1111n n n n
a a a a ++=-
=-
=-.
即数列{}n a 以3为周期的周期数列. 所以2016311113a a a ==
=-. 故选B.
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项，本题是通过迭代得到了数列的周期性．
18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ）
A ．32
B ．32-
C ．23
D ．23
- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列公式直接计算得到答案.
【详解】
依题意，()()183********
a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故63233
a a d -=
=-，故选：D ． 【点睛】 本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.
19．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）
A ．23岁
B ．32岁
C ．35岁
D ．38岁
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，得到数列{}n a 是等差数列，由9207S =，求得数列的首项1a ，即可得到答案．
【详解】
设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，
由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-，
又由9207S =，即91989(3)2072
S a ⨯=+
⨯-=，解得135a =， 即这位公公的长儿的年龄为35岁．
故选C ．
【点睛】 本题主要考查了等差数列前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
20．设函数()221
x f x =+，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（ ）
A ．9
B ．11
C ．92
D ．112
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算出()()f x f x +-的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值.
【详解】 ()221
x f x =+Q ，()()()
22222212121221x
x x x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()
2122222211221x x x x x +⋅=+==+++， 设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++，
则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-L L ，
两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得()()2f x f x +-=是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．。