数分2.1

1. 命题2 xn a yn xn a 0 ( xn a y n ) 变量有极限 a 的充要条件为它可分解为 命题3 命题4
a
无穷小量加绝对值仍为无穷小量。
xn 0 xn 0
加一个无穷小量。
无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量。
xn 0, yn M xn yn 0
{(1)n都为发散数列。 }
例7 设 lim x n lim y n a ，作数列{zn } 如下： n n
{zn } : x1 , y1 , x2 , y2 ,..., xn , yn ,...
证明 lim z n a 。 n 例8 设 {an } 为给定的数列， {bn } 为对 {an } 增加、减少 或改变有限项之后得到的数列，则数列 {bn } 和 {an } 同 时收敛或发散，收敛时有相同的极限。
ae
x2 x1 x N 1
2e
ae
x N 2 x3
a
x
目的：
n
lim xn A e 0, 要找到一个
xn
Ae
A
●
●
●
自然数N使得n N时，有 A e xn A e
Ae
● ●
● ● ● ●
n>N
n
xn
Ae
A
e越来越 ，N越来越大！
小
Ae
n
N
n (1)n1 例1 1 例 1 证明 lim n n 1 N [[1 ]] N,, 当 nN 时, 有 证明 因为e 0, N [ 1] N, 当 nN 时, 有 证明 证明 因为 e 0, N e N 当 nN 时, 有 证明 因为 0, e e
n
如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn}没有极限,
lim 或说数列{xn}是发散的, 习惯上也说 xn 不存在
n
•极限定义的简记形式
n
limxn a e 0, NN, 当nN时, 有|xna|e .
几何解释:
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a e , a e )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
（c11(k)） 其长度组成的数列为
1
1 n 2
0.8
0.6
,
0.4
0.2
0 0 2 4 6 8 10
随着n 无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。
xn

xn n
xn
● ●
n

O
O
n
xn
1
●
目标不惟一！！！！！！！！！！！！
xn (1)n
● ● ● ● ● ● ●
第二章
数列极限
§2.1 数列极限的概念
§2.2 收敛数列的性质
§2.3 数列极限存在的条件
§2.1 数列极限的概念
一、数列的定义 二、数列的极限 三 、应用数列极限的定义证明数列极 限的方法
一、数列的定义
定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,, xn ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数 列的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
(k 0)
N, n N, an a e ,
1 D3 : 对任正整数 m, N , n N , a n a . m
等价定义：任给 e ，若在 U (a;e ) 之外数 列 {an } 中至多有有限个，则称数列 {an } 收敛于极限 。
例6证明 {n2 } 和
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列是整标函数 xn f (n).
二、数列的极限
例1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用 过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也 就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过 程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排 成一列, 如图所示,
n2 a 2 1 a2 1 1 n n n ne
n2 a 2 lim 1 n n
例3. 证明 分析，要使
3n 2 lim 2 3 n n 4
3n 2 12 12 3 2 e （为简化，限定 n n2 4 n 4 n
3
只要 n 12
e
例如
2,4,8,,2 ,;
1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
n
{2 n }
1 { n} 2
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
{(1) }
n1
1 4 n ( 1) n1 2, , , , ,; 2 3 n
注意：1.
n ( 1) n1 { } n
例 2 证明 证明
n2 a 2 lim 1 n n
a n a 1 n( n2 a 2 n) n
2 2
2
| xn 1 |
1 a2 n n 故 e 0
a2 (若 n a 2 则 1) n 1 2 则当n ＞N时，有 N max ,[a ] e
O
1
n 30 10 20
31 11 21
●
32 12 22
13 33 23
●
34 14 24
35 15 25
●
36 16 26
37 17 27
●
38 18 28
39 19 29
●
40 20 30
31 41 21
● ●
n
●
数列极限的通俗定义 当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn 无限接近 于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收 敛a, 记为 lim xn a n 例如
四 收敛的否定:
lim a n a
n
e＞ 0N 0

,
n0 N,有 an0 a e 0 ＞
数列 an 发散
a , e 0 ＞0N , n0＞N,有 an0 a e 0
五、无穷小数列:
• 定义 极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个 极限概念，趋向常数0） 命题 xn 的极限为a <=> xn a 是无穷小量. •
证. e 0, 取 N max12 , 3 当 n >N 时有
e

3n 2 12 12 3 2 e 2 n n 4 n 4
由定义
3n 2 lim 2 3 n n 4
适当予先限定 n＞n。是允许的！但最后取 N 时要保证n＞n。
.
例4.证明
n (1)n1 | 1| 1 e , |xn1| n n n (1)n1 1 所以 lim n n
n
limxn a e 0, NN, 当nN时, 有|xna|e .பைடு நூலகம்
利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式 |xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。 若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N 放大的原则： ①放大后的式子较简单 ②放大后的式子以0为极限
lim n 1 ,, lim n 1 nnn 1 n 1 1 0 lim n , n 2 n (1)n1 lim n (1)n1 1 n n lim 1 n n
数列极限的精确定义 设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正 数e , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式 |xna |<e 总成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收 敛于a, 记为 lim xn a 或 xna (n)
1 lim k 0 （K为正实数） n n
1 1 0 k k n n
证：由于
所以对任意ε＞0，取N= 便有
1 1 k e
,
当 n＞N时,
1 0 e k n
1 lim k 0 n n
例5 设x n 0, 且 lim x n a 0,
n
求证 lim x n a .
n
证 任给e 0, lim xn a, n
N使得当n N时恒有 x n a e 1 ,
从而有 x n a
xn a x n a e1 e xn a a a
故 lim x n a .
n
由上面数列极限的证明可总结出数列
极限证明的步骤：
1 化简
an a
M ，通常放大成 a n a n
2 适当放大 an a 的形式 3
M e ， 求出需要的 解 n
N
3 数列极限的等价定义:
D1 : e 0, N , n N , an a ke ,
D 2 : 对 0 e c,