鱼台县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

鱼台县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）
A ．{2,1,1}--
B ．{1,1,2}-
C ．{1,1}-
D ．{2,1}--
【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
2． 在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）
A ．
B ． C. D
3． 已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n 秒内的位移为a n ，则
数列{a n }是（ ） A ．公差为a 的等差数列 B ．公差为﹣a 的等差数列
C ．公比为a 的等比数列
D ．公比为的等比数列
4． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若﹣
+1=0，则角B 的度数是（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．150°
D ．60°或120°
5． 已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（a ＞0，
ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式是（ ）
A ．f （x ）=sin （3x+）
B ．f （x ）=sin （2x+）
C ．f （x ）=sin （x+）
D ．f （x ）=sin （2x+）
6． 已知等比数列{a n }的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a 3•a 7（ ）
A ．5
B ．18
C ．24
D ．36
7． 高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标（甲、乙两人互不影响），现各射击一次，目标被击中的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这
6个实根的和为（ ）
A.18
B.12
C.9
D.0
【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力.
9． 已知
22(0)()|log |(0)
x x f x x x ⎧≤=⎨
>⎩，则方程[()]2f f x =的根的个数是（ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
10．已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（ ） A
．（x ≠0） B
．（x ≠0） C
．（x ≠0）
D
．（x ≠0）
11．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )。

A3 B4 C5 D6
12
f x [14]f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象如图所示．
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
13．已知f （x+1）=f （x ﹣1），f （x ）=f （2﹣x ），方程f （x ）=0在[0，1]内只有一个根x=，则f （x ）=0在区间[0，2016]内根的个数 ．
14．曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为 ．
15．函数f （x ）=log a （x ﹣1）+2（a ＞0且a ≠1）过定点A ，则点A 的坐标为 ．
16．如图所示是y=f （x ）的导函数的图象，有下列四个命题： ①f （x ）在（﹣3，1）上是增函数； ②x=﹣1是f （x ）的极小值点；
③f （x ）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数； ④x=2是f （x ）的极小值点．
其中真命题为 （填写所有真命题的序号）．
17．函数f （x ）=2a x+1﹣3（a ＞0，且a ≠1）的图象经过的定点坐标是 ． 18．不等式()2
110ax a x +++≥恒成立，则实数的值是__________.
三、解答题
19．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AA 1=AD=4，点E 为AB 中点． （1）求证：BD 1∥平面A 1DE ； （2）求证：A 1D ⊥平面ABD 1．
20．设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．
（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；
（2）若对于任意x1，x2∈，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．
21．设数列的前项和为，且满足，数列满足，且
（1）求数列和的通项公式
（2）设，数列的前项和为,求证:
（3）设数列满足（），若数列是递增数列，求实数的取值范围。

22．本小题满分12分某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.
Ⅰ若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y单位:元关于当天需求量n单位:件,n∈N的函数解析式；
,整理得下表:
,求这50天的日利润单位:元的平均数；
②若该店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间[400,550]内的概率.
23．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且bsinA=acosB．
（1）求B；
（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．
24．已知函数f（x）=和直线l：y=m（x﹣1）．
（1）当曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l垂直时，求原点O到直线l的距离；
（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求m的取值范围；
（3）求证：ln＜（n∈N+）
鱼台县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】当{2,1,1,2,4}x ∈--时，2log ||1{1,1,0}y x =-∈-，所以A B ={1,1}-，故选C ．
2． 【答案】B 【解析】
考点：正弦定理的应用. 3． 【答案】A
【解析】解：∵
，
∴a n =S （n ）﹣s （n ﹣1）=
=
∴a n ﹣a n ﹣1=
=a
∴数列{a n }是以a 为公差的等差数列 故选A
【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的定义的应用，属于数列知识的简单应用
4． 【答案】A
【解析】解：根据正弦定理有： =，
代入已知等式得：﹣+1=0，
即
﹣1=
，
整理得：2sinAcosB ﹣cosBsinC=sinBcosC ， 即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C ）， 又∵A+B+C=180°，
∴sin（B+C）=sinA，
可得2sinAcosB=sinA，
∵sinA≠0，
∴2cosB=1，即cosB=，
则B=60°．
故选：A．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
5．【答案】D
【解析】解：由图象知函数的最大值为1，即A=1，
函数的周期T=4（﹣）=4×=，
解得ω=2，即f（x）=2sin（2x+φ），
由五点对应法知2×+φ=，
解得φ=，
故f（x）=sin（2x+），
故选：D
6．【答案】D
【解析】解：二项式（x+）4展开式的通项公式为T r+1=•x4﹣2r，
令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a5，
∴a3a7=a52=36，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
7．【答案】
D
【解析】【解答】解：由题意可得，甲射中的概率为，乙射中的概率为，
故两人都击不中的概率为（1﹣）（1﹣）=，
故目标被击中的概率为1﹣=，
故选：D ．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，
属于基础题．
8． 【答案】A.
【解析】(3)(3)()(6)f x f x f x f x +=-⇔=-，∴()f x 的图象关于直线3x =对称， ∴6个实根的和为3618⋅=，故选A. 9． 【答案】C
【解析】由[()]2f f x =，设f （A ）=2,则f （x ）=A,则2log 2x =，则A=4或A=1
4
，作出f （x ）的图像，由数型结合，当A=1
4
时3个根，A=4时有两个交点，所以[()]2f f x =的根的个数是5个。

10．【答案】B
【解析】解：∵△ABC 的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，
∵12＞8
∴点A 到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A 的轨迹是椭圆， ∵a=6，c=4
∴b 2
=20，
∴椭圆的方程是
故选B ．
【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．
11．【答案】B 【解析】由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素，故选B
12．【答案】C
【解析】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f （x ）的图象如图所示：
因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，
所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．
二、填空题
13．【答案】2016．
【解析】解：∵f（x）=f（2﹣x），
∴f（x）的图象关于直线x=1对称，即f（1﹣x）=f（1+x）．
∵f（x+1）=f（x﹣1），∴f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
∵方程f（x）=0在[0，1]内只有一个根x=，
∴由对称性得，f（）=f（）=0，
∴函数f（x）在一个周期[0，2]上有2个零点，
即函数f（x）在每两个整数之间都有一个零点，
∴f（x）=0在区间[0，2016]内根的个数为2016，
故答案为：2016．
14．【答案】．
【解析】解：∵曲线y=x2和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，）
∴曲线y=x 2
和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为S=（）dx+dx=（x
﹣x 3
）+（x 3﹣x ）=．
故答案为：．
15．【答案】 （2，2） ．
【解析】解：∵log a 1=0， ∴当x ﹣1=1，即x=2时，y=2， 则函数y=log a （x ﹣1）+2的图象恒过定点 （2，2）．
故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a 1=0，属于基础题．
16．【答案】 ①
【解析】解：由图象得：f （x ）在（1，3）上递减，在（﹣3，1），（3，+∞）递增， ∴①f （x ）在（﹣3，1）上是增函数，正确， x=3是f （x ）的极小值点，②④不正确；
③f （x ）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数，不正确，
故答案为：①．
17．【答案】 （﹣1，﹣1） ．
【解析】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f （﹣1）=2﹣3=﹣1， 即函数f （x ）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1）， 故答案为：（﹣1，﹣1）．
18．【答案】1a = 【解析】
试题分析：因为不等式()2
110ax a x +++≥恒成立，所以当0a =时，不等式可化为10x +≥，不符合题意；
当0a ≠时，应满足20(1)40a a a >⎧⎨∆=+-≤⎩，即2
(1)0
a a >⎧⎨-≤⎩，解得1a =.1 考点：不等式的恒成立问题.
三、解答题
19．【答案】
【解析】证明：（1）连结A1D，AD1，A1D∩AD1=O，连结OE，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，ADD1A1是矩形，
∴O是AD1的中点，∴OE∥BD1，
∵OE∥BD1，OE⊂平面ABD1，BD1⊄平面ABD1，
∴BD1∥平面A1DE．
（2）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点，
∴ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，
∴A1D⊥AB，
又AB∩AD1=A，∴A1D⊥平面ABD1．
20．【答案】
【解析】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在单调递减，在单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x1，x2∈，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是
即
设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．
当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈时，g（t）≤0．
当m∈时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．
当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．
综上，m的取值范围是
21．【答案】
【解析】
解：∵S n＝2－a n，即a n＋S n＝2，∴a n＋1＋S n＋1＝2.
两式相减：a n＋1－a n＋S n＋1－S n＝0.
即a n＋1－a n＋a n＋1＝0，故有2a n＋1＝a n，∵a n≠0，
，
∵b n＋1＝b n＋a n（n＝1,2,3，…），
得b2－b1＝1，，，，．
将这n－1个等式相加，得
又∵b1＝1，．
（2）证明：.
而
①－②得
＝8－（n ＝1,2,3，…）．
∴T n ＜8.
（3）由（1）知
由数列是递增数列，∴对
恒成立，
即
恒成立，
即
恒成立， 当为奇数时，即恒成立，∴， 当为偶数时，即恒成立，∴
，
综上实数的取值范围为
22．【答案】
【解析】：Ⅰ当日需求量10n ≥时,利润为5010(10)3030200y n n =⨯+-⨯=+； 当需求量10n <时，利润50(10)1060100y n n n =⨯--⨯=-.
所以利润y 与日需求量n 的函数关系式为：30200,10,60100,10,n n n N
y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩
Ⅱ50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元.
①
3809
4401150015530105605
477.2
50
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ② 若利润在区间[400,550]内的概率为11151018
5025
P ++==
23．【答案】
【解析】（本小题满分12分） 解：（1）∵bsinA=，
由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB ，即得tanB=
，
∴B=
…
（2）△ABC 的面积．
由已知及余弦定理，得
．
又a 2+c 2
≥2ac ，
故ac ≤4，当且仅当a=c 时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为…
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：由f（x）=，得，
∴，于是m=﹣2，直线l的方程为2x+y﹣2=0．
原点O到直线l的距离为；
（Ⅱ）解：对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，即，也就是，设，即∀x∈[1，+∞），g（x）≤0成立．
．
①若m≤0，∃x使g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，这与题设g（x）≤0矛盾；
②若m＞0，方程﹣mx2+x﹣m=0的判别式△=1﹣4m2，
当△≤0，即m时，g′（x）≤0，
∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．
当0＜m＜时，方程﹣mx2+x﹣m=0的两根为x1，x2（x1＜x2），
，，
当x∈（x1，x2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）＞g（1）=0与题设矛盾．
综上所述，m；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x＞1，m=时，成立．
不妨令，
∴ln，
（k∈N*）．
∴．
．
…
．
累加可得：，（n∈N*）．
即ln＜（n∈N*）．
【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了利用导数证明函数表达式，对于（Ⅲ）的证明，引入不等式
是关键，要求考生具有较强的逻辑思维能力和灵活变形能力，是
压轴题．。