平面直角坐标系中的等腰三角形问题

平⾯直⾓坐标系中的等腰三⾓形问题
平⾯直⾓坐标系中的等腰三⾓形问题
⼀、解答题（本⼤题共5⼩题，共40.0分）
1.如图,在平⾯直⾓坐标系中,AB∥OC,A(0,12),B(a,c),C(b,0),并且a,b满⾜b=
√a?21+√21?a+16.动点P从点A出发,在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发,在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,点P,Q分别从点A,O同时出发,当点P运动到点B时,点Q随之停⽌运动.设运动时间为t(秒)．
(1)求B,C两点的坐标；
（2）当t为何值时,△PQC是以PQ为腰的等腰三⾓形？并求出P,Q两点的坐标．
2.如图(1),像∠G=∠HMN=∠Q=∠α这样,由△GHM和△MNQ组合成的封闭图形,我们
称之为K型GHMNQ.在平⾯直⾓坐标系中,A(0,6),B(6,0),点C,D,E分别在线段
AB,AO,BO上运动,且ADCEB为K型.
(1)如图(2),若点D运动到点O时,过点O作OF⊥CO,交CE的延长线为F,连接BF,
①求证：△ACO≌△BFO；
②若AC=2√2,求OC的长；
(2)如图(3),若C是AB中点,当△DCE为等腰三⾓形时,请直接写出AD的长．
3.如图,平⾯直⾓坐标系中,点A的坐标为(4,0),以OA为⼀边,在第四象限作等边△OAB,
点C是y轴上⼀动点,连接AC,以AC为⼀边,在直线AC的下⽅作等边△ACD．
(1)随着点C的运动,∠ABD的⼤⼩是否会发⽣变化？请说明理由．
(2)是否存在点C,使得△ABD是等腰三⾓形？如果有可能,若存在,求此时C点坐标；
若不存在,请说明理由．
4.长⽅形OABC在平⾯直⾓坐标系内位置如图所⽰,点A,C分别在y轴,x轴上,点D(4,3)
在AB上,点E在OC上,沿DE折叠,使点B与点O重合,点C与点C1重合．
(1)求点C1坐标；
(2)若点P在坐标轴上,且ΔAPC1⾯积是9,请直接写出点P坐标．
5.如图,在平⾯直⾓坐标系中,已知A(7,0),B(0,?7),点C为x轴负半轴上⼀点,AD⊥
AB,∠1=∠2．
(1)求∠BCD+∠BAD的度数；
(2)如图①,若点C的坐标为(?3,0),求点D的坐标；
(3)如图②,在(2)的条件下,过点D作DE⊥y轴于点E,DF⊥x轴于点F,点M为线段
DF上⼀点,若第⼀象限内存在点N(n,2n?3),使△EMN为等腰直⾓三⾓形,请求出所有符合条件的N点坐标．6.直⾓坐标系中,A(6,0),B(0,8),连结AB,点C为AB的中点,点P为y轴正半轴上的⼀个
动点,连结PC,如图,如图,作CQ⊥CP,且CQ=CP．
(1)OC=________；点C的坐标为________；
(2)当点Q恰好落在线段OC上时,求OP的长；
(3)当△OAQ为等腰三⾓形时,求所有满⾜条件的点Q的坐标．
7.如图①,我们在“格点”直⾓坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度,显然是
转化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．
下⾯：以求DE为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：D(?7,5),E(4,?3).所以DF=|5?(?3)|=8,EF=|4?(?7)|= 11,所以由勾股定理可得：DE=√82+112=√185．下⾯请你参与：
(1)在图①中：AC=______,BC=______,AB=______．
(2)在图②中：设A(x1,y1),B(x2,y2),试⽤x1,x2,y1,y2表⽰
AC=______,BC=______,AB=______．
(3)(2)中得出的结论被称为“平⾯直⾓坐标系中两点间距离公式”,请⽤此公式解决如下题⽬：
已知：A(2,1),B(4,3),C为坐标轴上的点,且使得△ABC是以AB为底边的等腰三⾓形.请求出C点的坐标．
8.如图①,平⾯直⾓坐标系中,ABCD为长⽅形,其中点A、C坐标分别为(?4,2)、(1,?4),
且AD∥x轴,交y轴于M点,AB交x轴于N．
(1)求B、D两点坐标和长⽅形ABCD的⾯积；
(2)如图②,⼀动点P从A出发(不与A点重合),以1
个单位/秒的速度沿AB向B点运
2
动,在P点运动过程中,连接MP、OP,请直接写出∠AMP、∠MPO、∠PON之间的数量关系；
(3)是否存在某⼀时刻t,使三⾓形AMP的⾯积等于长⽅形⾯积的1
若存在,求t的值
3
并求此时点P的坐标；若不存在请说明理由．
9.等腰Rt△ACB,,AC=BC,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．
(1)如图1,求证：∠BCO=∠CAO；
(2)如图2,若OA=5,OC=2,求B点的坐标；
(3)如图3,点C(0,3),Q、A两点均在x轴上,且S△CQA=24.分别以AC、CQ为腰在第⼀、第⼆象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM,连接MN交y轴于P点,则OP=______．。