安徽省芜湖市高二上学期12月月考数学试题(解析版)

一、单选题
1．已知向量，，，若，则的值为（ ） ()212a =,,r ()2,,2b x =- ()4,2,3c =- ()b a c ⊥+
x A ． B ．2 C ． D ．6
2-6-【答案】A
【分析】根据题中条件，求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结
a c +
果.
【详解】因为
，，， ()212a =,,r ()22b x =-,,r ()4,2,3c =-
所以，
()6,1,5a c +=-
又，所以，解得. ()b a c ⊥+
12100x --+=2x =-故选：A.
2．直线与直线平行，则的值为（ ） 240x ay ++=(1)20a x y -++=a A ． B ．
C ．
D ．或
0a =1a =-2a =1a =-2a =【答案】B
【分析】两直线平行或重合，，解方程并验证是否重合即可. 12210A B A B -=【详解】直线与直线平行或重合时， 240x ay ++=(1)20a x y -++=得，解得或， ()2110a a ⨯--=1a =-2a =当时，两直线重合，不成立， 2a =所以. 1a =-故选：B.
3．如图，三棱锥中，M ，N 分别是，的中点，G 为线段上一点，且
O ABC -OA BC MN ，记，，，则（ ）
2MG GN =OA a = OB b = OC c = OG =
A ．
B ．
C ．
D ．
111663a b c ++ 111333a b c ++
111366a b c ++
111633
a b c ++
【答案】C
【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算求解作答.
【详解】因为M ，N 分别是，的中点，则，
OA BC 11111,()22222
OM OA a ON OB OC b c ===+=+
又G 为线段上一点，且，即，于是， MN 2MG GN =2MG GN =
2()OG OM ON OG -=- 所以.
2121111()3332322111366c OG OM ON a b c a b =+=⋅++=++
故选：C
4．已知两直线与，则与间的距离为（ ） 1:220l x y --=2:3690l x y -+-=1l 2l A
B
C
D
【答案】B
【分析】先判断直线与平行，再由距离公式求解.
1l 2l 【详解】可化为，则直线与平行. 2:3690l x y -+-
=2:230l
x y -+=
1l 2l 故与1l 2l ==故选：B
5．四棱锥中，，则这个四棱锥的高为（ ）
P ABCD -(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-
=-=-
A
B ．
C ．
D 15
25
【答案】A
【分析】求出平面的法向量，计算法向量与的夹角得出与平面的夹角，从
ABCD n n AP
AP ABCD 而可求出到平面的距离．
P ABCD 【详解】解：设平面的法向量为，，，则，
ABCD (n x =
y )z n AB n AD ⎧⊥⎨⊥⎩
，令可得，，即，2，， ∴23020
x y z x y -+=⎧⎨-+
=⎩1x =2y =0z =(1n = 0)， cos ,||||n AP n AP n AP ∴<>==
A 设与平面所成角为，则，
AP ABCD
αsin α于是到平面的距离为，即四棱锥
P ABCD ||sin AP α
P ABCD -故选：．
A 【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．
6．设圆，圆，则圆，的位置（ ）
221:244C x y x y +-+=22
2:68240C x y x y ++++=1C 2C A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离
【答案】D
【分析】根据两圆的一般方程化为标准方程得出其圆心与半径，根据两圆圆心距离与两半径和与差的比较即可得出答案.
【详解】圆，化为，圆心为，半径为；
22
1:244C x y x y +-+=()()2
2
129x y -++=()1,2-13r =圆，化为，圆心为，半径为；
22
2:68240C x y x y ++++=()()2
2
341x y +++=()3,4--21r =
，
=
， 124r r +=< 圆与外离，
∴1C 2C 故选：D.
7．如图，在直三棱柱中，，点在棱上，
111ABC A B C -1,2,3AB BC BA BC BB AE AC ⊥====
F 1CC 点在棱上.若，则（ ）
D 11A B BF D
E ⊥C
F =
A ．
B ．
C ．1
D ．
1
223
32
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可得.
【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标B 1,,BA BC BB ,,x y z 系，则.
()420,0,0,,,033B E ⎛⎫
⎪⎝⎭
设，.
()()()(),0,202,0,2,02D m m F n n ≤≤≤≤()420,2,,,,233BF n ED m ⎛⎫
==-- ⎪⎝
⎭ 因为，
BF DE ⊥所以，解得，即.
4203BF ED n ⋅=-+= 23
n =2
3CF =
故选：
B
8．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点
()22
:22440C x y x my m m R ++---=∈C 的距离的最大值为（ ） A
B ． C
D
611【答案】D
【分析】根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出结果. 【详解】解：由题意得：
由得
2222440x y x my m ++---=()()2
2
2145x y m m
m ++-=++圆心为
，半径为，
∴()1,C m -1r =
当且仅当时，半径最小，则面积也最小；
2m =-圆心为，半径为， ∴(
)1,2C -
-1r =圆心到坐标原点的距离为，
∴
d r =
=>即原点在圆外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为. C 1d r +=+故选：D.
9．已知空间中三点，，，则下列结论正确的是（ ） ()0,1,0A ()1,2,0B ()1,3,1C -A ．与是共线向量
B ．的单位向量是
AB
AC
AB
(
)1,1,0C ．与D ．平面的一个法向量是
AB BC ABC ()1,1,3-【答案】D
【分析】对于A ，判断是否存在，使得即可得解；
λ∈R AB AC λ=
对于B ，利用单位向量的求法即可得解； AB
AB
对于C ，利用向量的数量积求角即可得解；
对于D ，由法向量的定义得到不定方程组，赋值即可得解.
【详解】对于A ，因为，，，所以， ()0,1,0A ()1,2,0B ()1,3,1C -()()1,1,0,1,2,1A AB C
==-假设存在，使得，则，无解，故与不是共线
λ∈R AB AC λ= ()()()1,1,01,2,1,2,λλλλ=-=-AB
AC 向量，故A 错误；
对于B ，因为，所以
，故B 错误；
()1,1,0AB =
AB
⎫=⎪⎪⎭
对于C ，因为与，
()1,1,0AB = ()2,1,1BC u u u r
=
-所以
C 错误； cos ,AB BC u u u r u u u r =-对于
D ，不妨设是平面的一个法向量，
(),,n x y z =
ABC 则，即，令，则，故，故D 正确.
=0
=0n AB n BC ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ +=02++=0x y x y z ⎧⎨-⎩=1x 1,3y z =-=()1,1,3n =-故选：D.
二、多选题
10．已知圆的方程为，过点的直线交该圆于A ，B 两点，则弦长的可能取值2260x y x +-=(1,2)AB 为（ ） A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【答案】ABC
【分析】当时，弦长最短；当为直径时，弦长最长，由此得出弦长的可AB CD ⊥AB AB AB AB 能取值.
【详解】圆的方程可化为，设其圆心为，，
226
0x y x +-
=22(3)9x y -+=(3,0),3D r =(1,2)C
||
CD =当弦长最短时，，.
AB AB CD ⊥||2AB ==当弦长最长时，为直径，此时. AB AB ||6AB =即.
26AB ≤≤
故选：ABC
11．已知直线，圆，则（ ）
():210l mx m y m --+-=()2
2:11C x y -+=A ．存在一个实数m ，使直线l 经过圆心C
B ．无论m 为何值，直线l 与圆
C 一定有两个公共点 C ．圆心C 到直线l
D ．当时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为 1m =()2
211x y +-=【答案】BCD
【分析】代入圆心坐标求m 值判断A ，确定直线所过定点可判断B ，由定点到圆心距离可判断C ，求出圆心的对称点坐标可判断D
【详解】解：圆心C 的坐标为，代入直线l 的方程，得，无解，所以不论m 为何()10，
10m m +-=值，圆心C 都不在直线l 上，A 错误；
直线l 的方程可整理为，由，得，即直线l 过定点
()1210m x y y +--+=10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩12
12x y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
，所以点M 在圆C 内部，所以直线l 与圆C 一定
11,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭1=<有两个公共点，B 正确；
设直线与圆相交于两点，弦中点为，则，为到直线的距离，显然
l ,A B AB
N CN AB ⊥CN C AB ，重合时取等号，故圆心C 到直线l C 正确；
CN CM ≤,N M 当时，直线l 的方程为，点C 关于直线l 的对称点为，因此所求的圆方程为1m =0x y -=()10，
()0,1，D 正确；
()2
211x y +-=故选：BCD ．
12．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则1111ABCD A B C D -M N 11C D 1C C 下列结论正确的是（ ）
A ．直线与是异面直线 BN 1AD
B ．直线与所成的角为
MN 1AD 45︒C ．直线与平面
AM 11BCC B
D ．点到平面 N ABM 【答案】ACD
【分析】根据正方体的性质即知A 的正误，再结合线线角、线面角的定义找到对应的平面角，即可知B 、C 的正误，由面与面在同一平面，即可求到平面的距离，即知D 的ABM 11ABC D N ABM 正误.
【详解】由正方体的性质知：直线与是异面直线，A 正确；
BN 1AD 由，而与的夹角，故与所成角为，B 错误； 1//MN CD 1CD 1AD 1CD A ∠MN 1AD 60︒若为的中点，由，则直线与平面所成角为，而
E AB 1//AM EC AM 11BCC B 1EC
B ∠，
C 正确； 11tan EB EC B BC ∠=
=由面与面在同一平面，又为棱的中点，则到平面的距离为，ABM 11
ABC D N 1C C N
ABM 14BC =
D 正确.
故选：ACD
三、填空题
13．过点做圆的切线l ，则l 的方程为________． (2,4)P 22:2210C x y x y +--+=【答案】或
2x =4340x y -+=【分析】由题可得圆C ：，圆C 切线到圆心距离为圆半径，后分斜率不存在及()()2
2
111x y -+-=斜率存在两种情况可求得切线方程.
【详解】由题可得圆C ：.
()()2
2
111x y -+-=当切线l 斜率不存在时，由l 到圆心距离为1且过，则满足题意； ()1,1(2,4)P 2x =
当切线l 斜率存在时，设，因l 到圆心距离为1，故():24l y k x =-+4
13
k ⇒=
此时l 方程为：.综上，切线l 的方程为或()4
2443403
y x x y =-+⇔-+=2x =.
4340x y -+=故答案为：或.
2x =4340x y -+=14．经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率()0,1P l l ()2,3A ()1,2B -l 的取值范围是______． 【答案】或
1k ≤-1k ≥【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.
【详解】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P 逆时针旋转l AB l PA 到直线即可，
PB
直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或， l k ,PA PB ,PA PB k k PB k k ≤PA k k ≥而，因此或， 3121
1,12010
PA PB k k --=
===----1k ≤-1k ≥所以直线的斜率的取值范围是或. l 1k ≤-1k ≥故答案为：或
1k ≤-1k ≥
15．已知实数x ，y 满足______． 3130x y --=
【分析】根据给定条件，结合式子的几何意义，利用点到直线的距离公式计算作答.
【详解】方程的距离， 3130x y --=(1,0)
到直线的距离(1,0)3130x y --=d =
=
16．在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且ABCD ABEF 33BE AB ==它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对
N BF 2FN BN =M 角线上移动，当取最小值时，活动弹子到直线的距离为___________.
AC ME MN ⋅
M BF
【分析】根据给定条件建立以直线BA ，BE ，BC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，利用空间向量即可计算作答.
【详解】因为正方形，则，而平面平面，平面平面
ABCD AB BC ⊥ABCD ⊥ABEF ABCD ⋂，
ABEF AB =于是得平面，又为矩形，即，以射线BA ，BE ，BC 分别为x ，y ，z 轴的AB ⊥ABEF ABEF BE AB ⊥非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则，因点在上，且，则，
(0,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,3,0),(1,3,0)B A C E F N BF 2FN BN =2
(,2,0)3
N 又在线段上移动，则有，于是得点，
M AC (,0,)([0,1])CM tCA t t t ==-∈
(,0,1)M t t -，
2
(,3,1),(,2,1)3
ME t t MN t t =--=-- ，因此，当时，取最小值，
22228255()6(1)272()3339ME MN t t t t t t ⋅=-++-=-+=-+ 2
3t =ME MN ⋅ 此时，点，
21
(,0,)33
M
则，，而，则有，
21(,0,)33BM = ||BM == (1,3,0)BF = 23BM BF ⋅= ||BF =
因此，点M 到直线BF 的距离 d ===
所以活动弹子到直线M BF
四、解答题
17．已知直线l ：， 120kx y k -++=k ∈R （1）直线过定点P ，求点P 坐标；
（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设三角形的面积为OAB 4，求出直线l 方程．
【答案】（1）（2）
()2,1P -240x y -+=【分析】（1）将变形为，列方程可得直线所过的定点； 120kx y k -++=()()210k x y ++-=（2）求出点，点的坐标，代入三角形的面积，解方程可得. A B OAB 1
42
S OA OB =
⋅⋅=k 【详解】解：（1）由，可得， 120kx y k -++=()()210k x y ++-=∴直线：必过直线，的交点， l 120kx y k -++=20x +=10y -=()2,1-∴；
()2,1P -（2）∵直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点， l x A y B ∴，
0k >令，得；令，得， 0y =12,0k A k +⎛⎫
- ⎪⎝⎭
0x =()0,12B k +
三角形的面积为， OAB ()111212422k S OA OB k k +=
⋅⋅=⨯⨯+=解得， 12
k =∴直线方程为：.
l 240x y -+=
【点睛】本题考查了直线过定点问题，三角形的面积问题，属于中档题.
18．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长都为2，且．设
1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，，
CD a =u u u r r CB b =u u r r 1CC c =u u u r r
(1)试用、、表示，并求出； a b c 1AC 1
A C (2)求．
1AC BD ⋅
【答案】(1)，
1AC a b c =--- 1A C = (2)0.
【分析】（1）由向量相加的平行四边形法则及图形可得关于、、表达式，后由向量数量1
AC a b c 积运算律可得；
1A C （2）由（1）及图形，可得，后由向量数量积运算律可得答案. 1
AC BD ⋅ ))（（a b c a b =-++⋅- 【详解】（1）由，，，
CD a =u u u r r CB b =u u r r 1CC c =u u u r r 由向量相加的平行四边形法则及图形可得， 111
CA CC CA CC CB CD a b c =+=++=++ 因此，；
11A C CA a b c =-=---
又由已知条件得，，．.
2a b c ===r r r ,60a c <>= ,60b c <>= ,60a b <>= 则
()22222211222CA CA a b c a b c a b b c a c ==++=+++⋅+⋅+⋅ ．
222222222cos 60222cos 60222cos 6024=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=
所以
1A C = （2）由图可得，则 CD CB a b -=-
1))AC BD a b c a b ⋅=-++⋅- （（ 2211442222022
b a b
c a c =-+⋅-⋅=-+⨯⨯-⨯⨯= 19．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上.
(1)求圆C 的方程；
(2)已知直线l 经过（2,0）点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程.
【答案】（1）(x －1)2＋(y ＋2)2＝2；（2）x ＝2或3x-4y-6＝0.
【解析】（1）由条件可知圆心的坐标为，再根据条件转化为关于的方程，根据圆的圆心(),2a a -a 和半径写出圆的标准方程；
（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，利用弦长公式可知圆心到直线的距离是1，求直线方程.
【详解】(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )，
化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.
所以C 点坐标为(1，－2)，
半径r ＝|AC |故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.
(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2， 满足条件.
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x —2），即 kx-y-2k =0
，解得k ＝， 134
则直线l 的方程为y ＝（x -2）. 34
综上所述，直线l 的方程为x ＝2或3x-4y-6＝0.
【点睛】本题考查求圆的标准方程和直线与圆相交求直线方程，意在考查待定系数法求曲线方程，
属于基础题型.
20．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．
1111ABCD A B C D -E BC F
CD
(1)求证：平面；
1//D F 11A EC (2)求直线与平面所成角的正弦值．
1AC 11A EC 【答案】(1)证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系利用向量法即可证明线面平行.
利用法向量和直线方向向量之间的关系即可求得正弦值.
【详解】（1）证明：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的A AB AD
1AA x y z 空间直角坐标系，
则，，，，，，， ()0,0,0A ()10,0,2A ()2,0,0B ()2,2,0C ()0,2,0D ()12,2,2C ()10,2,2D 因为为棱的中点，为棱的中点，所以，，
E BC
F CD ()2,1,0E ()1,2,0F 所以，，，
()11,0,2D F =- ()112,2,0A C = ()12,1,2A E =- 设平面的一个法向量为，则 11A EC ()111,,m x y z = 11111
111·220·220m A C x y m A E x y z ⎧=+=⎪⎨=+-=⎪⎩ 令，则，因为，所以，
12x =()2,2,1m =- 1220D F m ⋅=-= 1D F m ⊥
因为平面，所以平面．
1D F ⊄11A EC 1D F ∥11A EC （2）由（1）得，，设直线与平面所成的角为，
()12,2,2AC = 1AC 11A EC θ则．
111
sin cos ,m AC m AC m AC θ⋅==== 21．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，PA ⊥平面ABCD ，AD ＝5，BC ＝2AB ＝4，M 为PC 的中点．
(1)求证：平面PAC ⊥平面PCD ；
(2)若AM ⊥PC ，求二面角的余弦值．
P AB M --【答案】(1)证明见解析；
.
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明，再结合线面垂直的性质、判定，面面垂直的CD AC ⊥判定推理作答.
（2）以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值作答.
【详解】（1）在直角梯形中，，，则，而ABCD //AD BC AB AD ⊥90ABC ∠= ，
524AD BC AB ===,
于是
，
AC
=
=CD ===有，则，因为平面，平面，
22225AD CD AD +==CD AC ⊥PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD 即有，而平面，因此平面，又平面， PA CD ⊥,,AC PA A AC PA =⊂ PAC CD ⊥PAC CD ⊂PCD 所以平面平面.
PAC ⊥PCD （2）M
为PC 的中点，，则
AM PC ⊥PA AC ==以A 为原点，射线分别为轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，如图，
,,AB AD AP ,,x y z
则，，
(2,0,0),(2,4,0),(0,0,(1,(0,5,0)B C P M
D (1,(2,0,0)AM AB == 设平面的法向量，则，令，得， AMB (,,)n x y z =
2020
n AM x y n AB x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 2z
=(0,2)n = 显然平面的一个法向量为，则
PAB (0,5,0)AD = cos ,||||n AD n AD n AD ⋅〈〉===
而二面角的平面角为锐角，
P AB M --所以二面角P AB M --22．已知点，，曲线C 任意一点
P
()0,0A ()2,0B (1)求曲线C 的方程；
(2)设直线与圆C 交于A 、B 两点，是否存在实数m ，使得以AB 为直径的圆过原点，若0x y m -+=存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
(1)
22440x x y +-+=(2)存在；
1m =±
【分析】(1)设，代入即可得到曲线C 的方程.
(),P x y 2PB PA =(2)由以AB 为直径的圆过原点可以得到，利用韦达定理法即可求解.
0OA OB ⋅= 【详解】
（1）设，因为
， (),P x
y PB ==即，整理可得
()2222222x y x y -+=+22440x x y +-+=所以曲线C 的方程为.
22440x x y +-+=（2）设
1122(,),(,)A x y B x y 联立整理得 220440
x y m x y x -+=⎧⎨++-=⎩2222(2)40x m x m +++-=
得 ①
22Δ4(2)840m m =+-->（）26m -<<根据韦达定理得： 2121242,2m x x m x x -+=--=由以AB 为直径的圆过原点，得到
0OA OB ⋅= 所以
12121212()()OA OB x x y y x x x m x m ⋅=+=+++
212122()x x m x x m =+++
2224(2)240m m m m m m =--++=--=
解得 满足①式
1m =
所以存在实数，使得以AB 为直径的圆过原点.
1m =【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为；
()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； x y ∆（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； 12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。