2021-2022学年江西省南昌市第十中学高二下学期第二次月考数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年江西省南昌市第十中学高二下学期第二次月
考数学（理）试题
一、单选题 1．已知下列问题:
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组; ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动; ③从a ，b ，c ，d 四个字母中取出2个字母;
④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数. 其中是排列问题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【答案】B
【分析】根据排列的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】①中，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关，所以是排列问题； ②中，因为两名同学参加的活动与顺序无关，不是排列问题； ③中，因为取出的两个字母与顺序无关，不是排列问题； ④中，因为取出的两个数字还需要按顺序排列，是排列问题. 故选：B.
2．在空间直角坐标系中，()
2
24,,4a x x =--，()1,4,1b =--，若a ∥b ，则x 的值为（ ）
A ．3
B ．6
C ．5
D ．4
【答案】D
【分析】依题意可得λa b ，即可得到方程组，解得即可；
【详解】解：依题意λa b ，即()()2
124,,41,4,x x λ=----，所以22444x x λ
λλ-=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩
，解得
4
4x λ=-⎧⎨=⎩
故选：D
3．安排五名同学在周一到周五值日，每人一天，则其中甲、乙两名同学不排在相邻两天的排法共有（ ）种． A ．36 B ．72
C ．144
D ．288
【答案】B
【分析】利用“插空法”即可得结果.
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将除甲乙之外的三人全排列，有3
3
6A =种情况， ②三人排好后有4个空位可选，在其中任选2个，安排甲乙，有2
4
12A =种情况， 则甲乙两名同学不排在相邻两天的排法有61272⨯=种； 故选：B ．
4．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（ ）
A ．11
22a b c -+
B ．11
22
a b c ++
C ．11
22
a b c --+
D ．11
22
-++a b c
【答案】D
【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可. 【详解】由题意得，
()()
111111111112122211
2
BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+.
故选：D
5．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线
1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ） A 3B 15C 10D 3【答案】C
【分析】作出辅助线，找到异面直线1AB 与1BC 所成角，进而利用余弦定理及勾股定理求出各边长，最后利用余弦定理求出余弦值.
【详解】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线1AB 与1BC 所成角为11B AD ∠
222211*********
2cos 601221232
B D B
C C
D B C C D =+-⨯=+-⨯⨯⨯
=， 由勾股定理得：12AD =，15AB =，
∴22222211111111(5)(2)(3)10
cos 25252AB AD B D B AD AB AD +-+-∠===⨯⨯⨯⨯．
故选：C ．
6．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（ ）
A ．1
4
B ．12
C ．34
D ．1
【答案】C
【分析】利用空间向量的基本定理可计算得出1111
333OG OA OB OC =++，由已知条件可
得出13
4
OG OG =，进而可求得x 、y 、z 的值，由此可求得结果．
【详解】如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点， 1G 为ABC 的重心，可得12
3
AG AD =
， 而()()
111
222
OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+，
()
112212
3333
OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD =+=+
=+-=+ ()()
1211
3323
OA OB OC OA OB OC =+⋅+=++，
所以，13
31111
114
43334
44OG OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫==
++=++ ⎪⎝⎭， 所以，14x y z ===，因此，34
x y z ++=． 故选：C
7．有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（ ） A ．120种 B ．32种 C ．24种 D ．16种
【答案】D
【分析】红色在中间，先考虑红色左边的情况，再考虑右边，进而求出答案. 【详解】红色左边放一盆白色，一盆黄色，右边放一盆白色，一盆黄色， 先选左边，白色二选一，黄色二选一，再进行排列，故有112
222C C A 种选法， 再考虑后边，剩余的白色和黄色进行排列即可，有2
2A 种选法，
综上：一共有摆放方法112222C C A 2
2A =16种.
故选：D
8．如图，在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1160BAD BAA DAA ︒∠=∠=∠=，则1AC 的长为（ ）
A ．3
B 3
C ．6
D 6
【答案】D
【分析】根据向量数量积的应用，由111AC AB BC CC AB AD AA =++=++以及模的计算公式即可求出．
【详解】因为111AC AB BC CC AB AD AA =++=++，所以
()
22
222
11111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅
111211cos 60211cos 60211cos 606=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．
故1AC 故选：D ．
【点睛】本题主要考查利用向量的数量积计算线段的长度，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
9．西部某县委将7位大学生志愿者（4男3女）分成两组,分配到两所小学支教,若要求女生不能单独成组,且每组最多5人,则不同的分配方案共有（ ） A ．36种 B ．68种 C ．104种 D ．110种
【答案】C
【详解】试题分析：分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有32
72(1)68C A -⋅=种;第二
类有222
732()36C C A -⋅=种，所以共有N=68+36=104种不同的方案.
【解析】排列组合的综合应用．
10．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,5,4,,,AD AA AB E F G ===分别是棱111,,C D BC CC 的中点，M 是平面ABCD 内一动点，若直线1D M 与平面EFG 平行， 则11MB MD ⋅的最小值为（ ）
A ．
75
4
B ．25
C ．
D 【答案】A
【分析】首先补全截面EFG 为截面FGEHIL ，然后证明平面1D AC //平面FGEHIL ，从而得到M 的轨迹是直线AC ；根据向量的运算把所求11MB MD ⋅转化为
()
221111
24
MO D B -，从而得出当M 位于点O 时，11MB MD ⋅取最小值. 【详解】连接AC ，BD 交于点O ，连接11A C ，11B D 交于点1O ，补全截面EFG 为截面FGEHIL ，其中,,H I L 分别为111,,A D A A AB 的中点，115B D =，
所以11//,//,LF AC EG CD AC CD C ⋂=，
所以平面1D AC //平面FGEHIL ，所以M 的轨迹是直线AC ， ()(
)()(
)
2
22
2
1111111
1111
244MB MD MB MD MB MD MO D B ⎡
⎤⎡⎤⋅=
+--=-⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
()()
222111111
222544
MO D B MO =
-=-, 当M 位于点O 时，12MO 的值最小，且最小为10，
所以11MB MD ⋅175
(10025)44
≥-=
.
故选：A. 二、填空题
11．已知点127A --（，，），3109B （，，），C 为线段AB 的中点，则向量CB 的坐标为______． 【答案】(1,6,8)
【分析】依题意，点127A --（，，），3109B （，，），C 为线段AB 的中点，所以C 点坐标为241（，，），所以向量CB 的坐标为(1,6,8).
【详解】解：依题意，点127A --（，，），3109B （，，），C 为线段AB 的中点，所以C 点坐标
为1321079,,222+-+-+⎛⎫
⎪⎝⎭
，即241C （，，）， 所以向量CB 的坐标为3210491168BC =---=（，，）（，，）． 故填：168（，，）．
【点睛】本题考查了空间向量的中点坐标公式，空间向量的坐标．属于基础题． 12．已知一组数据确定的回归直线方程为 1.51ˆy
x =-+，且4y =，发现两组数据()1,7,2.9-，()2.3,5,1-误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线的斜率为1-，
当3x =-时，ˆy
=____________. 【答案】5
【详解】分析：由题意求出样本中心点，然后求出新数据的样本中心，利用回归直线的斜率估计值为1-，求出新的回归方程，然后再计算3x =-时ˆy
的值． 详解：∵一组数据确定的回归直线方程为 1.51ˆy
x =-+，且4y =， ∴ 1.514y x =-+=， 解得2x =-，
∴原数据的样本中心点为(-2,4)．
由题意得去掉数据()()1,7,2.9, 2.3,5,1--后新数据的样本中心为(-2,4)，重新求得的回归直线的斜率估计值为1-，
∴可设新的回归直线方程设为ˆy
x a =-+，
将点(-2,4)代入上式后得42a =+， 解得2a =，
∴新的回归直线的方程为ˆ2y
x =-+， 将3x =-代入回归直线方程求得ˆ25y
x =-+=． 点睛：线性回归方程过样本中心点(),?
x y 是重要的结论，利用此结论可求回归直线中的参数，也可求原样本数据中的参数．另外，根据线性回归方程可进行估计和预测． 13．某2017年夏令营组织5名营业员参观北京大学、清华大学等五所大学，要求每人任选一所大学参观，则有且只有两个人选择北京大学的不同方案共有__________个.（用数字作答） 【答案】640
【解析】先安排其中两人有10种方案，再安排剩余3人，分成3种情况
【详解】解：有且只有两个人选择北京大学有2
510C =种方案
剩余3人参观的方案有以下三种： 作为一组参观有4种方案，
3人分成两组，一组1人，另一组2人，参观4个学校有23
3436C A ⋅=，
3人分成3组，每组1人，参观4个学校有3
4
24A =， 所以共有()10436+24=640⨯+
【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意优先满足受到限制的元素． 14．若函数()e x f x kx =-有零点，则k 的取值范围为________． 【答案】0k <或e k
【分析】当0x =时，可得(0)f =-1，故0x =不是函数的零点，当0x ≠时，()f x 有零点，即e x
k x =有解，故k 的取值范围为函数()(0)x e g x x x
=≠的值域，求导，判断单调性
并求出极小值，即可得k 的取值范围．
【详解】当0x =时，可得(0)f =-1，故0x =不是函数的零点，当0x ≠时，由函数()e x
f x kx =-有零点可得x
kx e =有解即e x
k x =，故k 的取值范围为函数()(0)
x e g x x x
=≠的值域，∵22
(1)
x x x e x e e x y x x
'⋅--==，令0y '<可得1x <，故函数()g x 在(,0),-∞(0,1)上单调递减，(1,)+∞上单调递增，且当0x <时，函数值()0g x <，当0x >时，(1)g 为函数的最小值且(1)g e =，故()g x e ，综上可得()g x 的取值范围为()0g x <或()g x e ，故k 的取值范围为：0k <或e k .
【点睛】本题考查利用导数求解函数极值（最值）问题，解决此类问题的方法是将函数问题转化为方程问题，再利用数形结合的思想来解决，属中档题． 三、解答题
15．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>
，2:x l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）
(1)求曲线C 的普通方程，l 的直角坐标方程
(2)设l 与C 交于M ，N 两点，点(2,0)P -，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求实数a 的值．
【答案】(1)C 的普通方程为22(0)y ax a =>，l 的直角坐标方程为20x y -+=； (2)5
【分析】（1）先同乘以ρ，再利用cos ,sin x y ρθρθ==将曲线C 化为普通方程，消去参数，求出l 的直角坐标方程；（2
）写出直线的参数方程，与抛物线方程联立后，求出
12+=t t ，128t t a =，根据等比中项得到方程，求出5a =. 【详解】(1)2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，两边同乘以ρ得： 22:sin 2cos (0)C a a ρθρθ=>，将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得： 22(0)y ax a =>，
2x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
两式相减，消去参数得：20x y -+= (2)直线l 的参数方程：π2cos 4πsin 4x t y t ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，即2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，与22(0)y ax a =>
联立得：
280t a -+=，
则12+=t t ，128t t a =， 因为||,||,||PM MN PN 成等比数列， 所以2
MN PM PN =⋅，即2
1212t t t t -=， 因为0a >
，故()
2
328a a -=， 解得：5a =
16．某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如表：
（1）求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程； （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
（3）若第6名推销员的工作年限是11年，试估计他的年推销金额. 参考公式：线性回归方程y bx a =+中，a y bx =-，其中,x y 为样本平均数，
12
21
n
i i
i n
i
i x y
nx y b x
nx
==-=
-∑∑）
【答案】（1）0.50.4y x =+；（2）正相关；（3）5.9万元.
【分析】（1）首先求出x ，y 的平均数，利用最小二乘法做出b 的值，再利用样本中心点满足线性回归方程和前面做出的横标和纵标的平均值，求出a 的值，写出线性回归方程．
（2）根据0.50b =>，即可得出结论；
（3）第6名推销员的工作年限为11年，即当11x =时，把自变量的值代入线性回归方程，得到y 的预报值，即估计出第6名推销员的年推销金额为5.9万元． 【详解】（1）由题意知：6x =， 3.4y = 于是：2
11256 3.4
0.520056b -⨯⨯=
=-⨯， 3.40.560.4a =-⨯=，
故：所求回归方程为0.50.4y x =+；
（2）由于变量y 的值随着x 的值增加而增加(0.50)b =>，故变量x 与y 之间是正相关 （3）将11x =带入回归方程可以估计他的年推销金额为0.5110.4 5.9y =⨯+=万元． 【点睛】本题考查回归分析的初步应用，考查利用最小二乘法求线性回归方程，是一个综合题目． 17．按要求答题
（1）计算：45
88
85
89
42 A A A A +- （2）解不等式：345112 x x x C C C -< 【答案】（1）4
5
；（2）{5,6,7,8,9,10,11}．
【详解】试题分析：
（1）由排列数公式(1)
(1)m
n A n n n m =--+化简后计算；（2）由组合数公式
(1)
(1)
!
m
n n n n m C m --+=
化简后解分式不等式，注意分式中出现的数都是正整数．
试题解析： (1)原式=
=
=
=
（2）原不等式可化为-<，
化简得x 2-11x-12<0，∴-1<x<12．又∵n ∈N 且n≥5，
∴x=5，6，7，8，9，10，11．∴原不等式的解集是{5，6，7，8，9，10，11} 18．如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠BAD ＝3
π
，AB ＝1，CD ＝3，M 为PC 上一点，且MC ＝2PM .
（1）证明：BM //平面P AD ；
（2）若AD ＝2，PD ＝3，求点D 到平面PBC 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（235
. 【解析】（1）过点M 作ME //CD ，交PD 于点E ，连接AE ，先证明四边形ABME 为平行四边形，可得 BM //AE ，再根据线面平行的判定定理可得BM //平面P AD ； （2）设点D 到平面PBC 的距离为h ，则三V 三棱锥D －PBC ＝13·S △PBC ·h 5
，求出三棱锥P －BDC 的体积为V 三棱锥P －BDC 33
利用V 三棱锥D －PBC ＝V 三棱锥P －BDC 求解即可.
【详解】（1）过点M 作ME //CD ，交PD 于点E ，连接AE . 因为AB //CD ，故AB //EM .
又因为MC ＝2PM ，CD ＝3，且△PEM ∽△PDC ，
故13EM PM DC PC ==，解得EM ＝1. 由已知AB ＝1，得EM =AB ，故四边形ABME 为平行四边形，因此BM //AE ， 又AE ⊂平面P AD ，BM ⊄平面P AD ，
所以BM //平面P AD . （2）连接BD ，由已知AD ＝2，AB ＝1，∠BAD ＝
3
π， 可得DB 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·
AB ·cos ∠BAD ＝3， 即DB ＝3.
因为DB 2＋AB 2＝AD 2，故△ABD 为直角三角形，且∠ABD ＝
2π. 因为AB ∥CD ，故∠BDC ＝∠ABD ＝2
π. 因为DC ＝3，故BC 2223DC DB +=由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥DB ，PD ⊥DC ，
故PB 2223PD DB +=PC 2232PD DC +=
则BC ＝PB ，故△PBC 为等腰三角形，
其面积为S △PBC ＝12·PC ·2
21122BC PC ⎛⎫-= ⎪⎝⎭×2× 9122-315. 设点D 到平面PBC 的距离为h ，则三V 三棱锥D －PBC ＝13·S △PBC ·h 15 而直角三角形BDC 的面积为S △BDC ＝12·DC ·DB ＝12×3×333 三棱锥P －BDC 的体积为V 三棱锥P －BDC ＝13·S △BCD ·PD ＝13×33333因为V 三棱锥D －PBC ＝V 三棱锥P －BDC 1533h 35. 所以点D 到平面PBC 35. 【点睛】本题主要考查线面平行的判断定理，考查锥体的体积公式，同时考查了利用“等积变换”法求点到平面的距离，属于中档题.
19．如图，在三棱柱中，11π2,3
AB AA CA CB BAA ====∠=．
(1)证明：1AB A C ⊥；
(2)若11cos 4CAA ，求二面角1A A C B --的余弦值． 【答案】(1)证明过程见解析；
(2)15
【分析】（1）作出辅助线，证明出线线垂直，进而推导出线面垂直，证明出1AB A C ⊥；
（2）先由余弦定理求出16AC AB ，CD ，1
A D 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值.
【详解】(1)取AB 中点D ，连接CD ，1A D ，
因为AC BC =，所以CD AB ⊥，
因为11π2,3
AB AA BAA ==∠=， 所以三角形1AA B 是等边三角形，
由三线合一得：1AB A D ⊥，
因为1CD A D D =，
所以AB ⊥平面1A CD ，
因为1
AC ⊂平面1A CD ， 所以1AB A C ⊥
(2)在三角形1A AC 中，由余弦定理得： 22111112cos 4422264
A C AC A A AC A A CAA =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯
= 因为13CD A D ==，所以22211CD A D A C +=， 所以1CD A D ⊥，
所以AB ，CD ，1A D 两两垂直，
以D 为坐标原点，DA ，1DA ，DC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则()()(()11,0,0,3,0,3,1,0,0A A C B -， 设平面1AA C 的法向量为()1111,,x n y z =， 则11111113030n AA x n AC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11y =，则113,1x z =， 所以()
13,1,1n =， 设1A CB 的法向量为()2222,,n x y z =，
则212222233030
n AC y z n CB x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令21y =，则221,3z x ==-
所以()
23,1,1n =-， 故
(123,1,11cos ,5
3n n ⋅==-+， 而二面角1A A C B --为锐角，设为θ，
则121cos cos ,5
n n θ=-=. 20．已知函数f （x ）＝ax ﹣（a +2）ln x 2x
-+2，其中a ∈R ． （1）当a ＝4时，求函数f （x ）的极值；
（2）试讨论函数f （x ）在（1，e ）上的零点个数． 【答案】（1）极大值6ln2，极小值4；（2）分类讨论，详见解析． 【分析】（1）把a ＝4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；
（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．
【详解】（1）当a ＝4时，f （x ）＝4x ﹣6ln x 2x -+2，()()22221162'4x x f x x x x
--=-+=（），x ＞0，
易得f （x ）在（0，12），（1，+∞）上单调递增，在（112
，）上单调递减， 故当x 12
=时，函数取得极大值f （12）＝6ln2，当x ＝1时，函数取得极小值f （1）＝4， （2）()()22
2122'ax x a f x a x x x --+=-+=（）， 当a ≤0时，f （x ）在（1，e ）上单调递减，f （x ）＜f （1）＝a ≤0，此时函数在（1，e ）上没有零点；
当a ≥2时，f （x ）在（1，e ）上单调递增，f （x ）＞f （1）＝a ≥2，此时函数在（1，e ）上没有零点；
当02a e ≤＜即2e a ≥时，f （x ）在（1，e ）上单调递减，由题意可得，1020f a f e ae a e =⎧⎪⎨=--⎪⎩
（）＞（）＜， 解可得，0()
21a e e -＜＜， 当22a e ＜＜即21e a ＜＜时，f （x ）在（1，2a ）上单调递减，在（2e a
，）上单调递增， 由于f （1）＝a ＞0，f （e ）＝a （e ﹣1）()2224120e e e e e
---=-＞＞，
令g （a ）＝f （2a ）＝2﹣（a +2）ln 2a
-a +2＝（a +2）ln a ﹣（1+ln2）a +4﹣2ln2， 令h （a ）2'2g a lna ln a
==+-（），则22'a h a a -=（）＜0， 所以h （a ）在（22e
，）上递减，h （a ）＞h （2）＝1＞0，即g ′（a ）＞0， 所以g （a ）在（22e ，）上递增，g （a ）＞g （2e ）＝240e
-＞， 即f （2a
）＞0， 所以f （x ）在（1，e ）上没有零点，
综上，当0＜a ()21e e -＜
时，f （x ）在（1，e ）上有唯一零点， 当a ≤0或a ()
21e e ≥-时，f （x ）在（1，e ）上没有零点． 【点睛】本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题．。