新教材2020人教B版数学必修第三册课时分层作业8 正弦函数的性质与图像

课时分层作业(八) 正弦函数的性质与图像
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.三角函数y ＝sin x
2是( ) A ．周期为4π的奇函数 B ．周期为π
2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数
A [三角函数y ＝sin x 2是奇函数，它的周期为2π
12
＝4π，故选A ．]
2.下列图像中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图像的是(
)
A B C D
D [由y ＝sin x 在[0,2π]上的图像作关于x 轴的对称图形，应为D 项．] 3.函数y ＝4sin(2x ＋π)的图像关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称
D ．直线x ＝π
2 对称
B [y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图像关于原点对称．]
4．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1
D ．±1
A [易知y ＝sin x 在R 上为奇函数， ∴f (0)＝0，∴a ＝0.]
5．不等式sin x ＞0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0，π] B ．(0，π) C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π2，3π2
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，3π2
B [由y ＝sin x 在[0,2π]的图像可得．]
6．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝2交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
B [作出y ＝1＋sin x 在[0,2π]上的图像，可知只有一个交点．
]
二、填空题
7．函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝－1
2的交点有________个． 两 [作y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像及直线y ＝－1
2(图略)，知两函数图像有两个交点．]
8．函数y ＝2sin x －1的定义域为________．
⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z [由题意知，自变量x 应满足2sin x －1≥0， 即sin x ≥1
2.由y ＝sin x 在[0,2π]的图像， 可知π6≤x ≤5
6π，又有y ＝sin x 的周期性， 可得y ＝
2sin x －1的定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z .]
9．设函数f (x )＝sin π
3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝________. 0 [∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2π
π3＝6.
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)
＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)
＝335⎝ ⎛⎭
⎪⎫
sin π3＋sin 2π3＋sin π＋sin 4π3＋sin 5π3＋sin 2π
＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＋f (335×6＋4)＋f (335×6＋5) ＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5) ＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 5
3π＝0.] 三、解答题
10．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．
[解] f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
3sin x ，x ∈[0，π]，
－sin x ，x ∈(π，2π].
图像如图所示，
若使f (x )的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1,3)．
[等级过关练]
1.函数y ＝cos x ·|tan x |0≤x ＜32π且x ≠π
2的图像是( )
A B
C D
C [当0≤x <π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ；当π
2<x ≤π时，y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ；
当π<x <3π
2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，故其图像为C ．] 2.方程sin x ＝x
10的根的个数是( ) A ．7 B ．8 C ．9
D ．10
A [在同一坐标系内画出y ＝x
10和y ＝sin x 的图像如图所示：
根据图像可知方程有7个根．]
3.函数f (x )＝⎩⎨⎧
sin x ，x ≥0，x ＋2，x ＜0，
则不等式f (x )＞1
2的解集是________．
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5π
6＋2k π，k ∈N
[在同一平面直角坐标系中画
出函数f (x )和y ＝12图像(图略)，由图易得：－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5
6π＋2k π，k ∈N .]
4．函数f (x )＝sin x ＋
1
16－x 2
的定义域为________． (－4，－π]∪ [0，π] [⎩⎪⎨⎪⎧
sin x ≥0
16－x 2
＞0
⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧
2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z
－4＜x ＜4
⇒－4＜x ≤－π或0≤x ≤π.] 5．若函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2≤x ≤52π的图像和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，
求这个封闭图形的面积．
[解] 数形结合，如图所示 ，y ＝2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2，5π2的图像与直线y ＝2围
成的封闭平面图形的面积相当于x ＝π
2，x ＝5π
2，y ＝0，y ＝2围成的矩形面积，即S ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π2－π2×2＝4π.。