求解三角函数最值问题的方法示例

2020年第11期
中学数学教学参考(下旬）
、想方法
求解三角函数最值问题的方法示例
孙红（江苏省灌云高级中学)
摘要：与三角函数有关的最值问题，是高考的常考题型。

针对不同的三角函数问题，主要从/(:r)= A sin(c〇:r+f))的有界性、配方法、均值不等式、导数四种方面进行求解。

关键词：三角函数；均值不等式；配方法；导数
文章编号：1002-2171(2020)11-0050-02
求三角函数值域问题时，对于不同的题型，所用的方法各不相同。

但就高考命题来看，其中既有基础题，又有提高题，涉及的求解方向主要有四种：基础题主要利用函数/(d s A s i r^cu jr+p)的图像和性质，以及二次函数的性质来求解，提高题可借助均值不等式及导数求解。

1常考方法梳理V/a ia2,-,a…(a,，a2，…，a…>0)，当且仅当a! =a2 =…=1时取等号”是求函数最值问题的重要工具。

对于较复杂的三角函数最值问题，若符合以上类型的条件，即可转化为均值不等式求解。

1.4利用导数法解题
导数是解决较复杂函数问题的有力工具，常用于三角函数与其他函数的综合问题中。

1.1利用/(x)=A Sin U x+d的性质解题
对于可化为/(d s a s i n x+6cos>r+c，其中a，6关0型函数的最值问题，利用辅助角公式可将其化为
y=/(：1：)="/|22+62sin(_r+^；)+c，其中 tan■的形式求解。

当:c6R时，函数/Cr)的最大为%/?1:歹+ c，最小值为_当x有条件限制时，根据
：c+p的范围进行求解。

另外，需要注意的是，对于某些函数求最值问题，若满足条件，可通过三角换元将其转化为三角函数最值问题进行求解。

1.2利用二次函数配方法解题
对于型如/(•^)=<2sin2j：+6sin;c+c(或/(jt)= asin2x+6cos jc+c)，其中的最值问题，可将其转化为二次函数:y=a£2+6j f+c(a^0)，在 Z=sin
[一 1，1]时函数的最值问题，进而利用配方法或二次函数的图像与性质求解。

1.3利用均值不等式解题2典型例题分析
例1(2018年高考数学北京卷文科第16题）已知 /(工）=81：12；1：+^/^8111 xcos x〇
(I) 求函数/(I)的最小正周期；
(II) 若函数/(工）在区间[_晋，所]上的最大值为I，求/«的最小值。

解：（I)略。

(D )化简得/(x)
sin(2:r_晋)++。

由
1一 cos2x!V^sin2x _
2 2~=
，可得 2:r_f G 5丌
若函数在区间上[/(1)]…>»，则y=Sin在区间一吾，W上取得最大值1。

“二元均值不等式f>V^U，6>〇)，当且仅 当a=6时，取等号”以及“多元形式？】+上^十故—晋，■。

因此讲的最小值是|。

反思：此类题是高考中的重点考查内容，在等价变换过程中要准确利用同角三角关系、
二倍角公式及
&[、想方法2020年第11期
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需要注意的是，当Z A<0时，函数有关
性质的变化。

例 2 已知函数/(;r)=acos(|—;c)—cos 2;r，
其中a>0。

(I)比较/(f)与/(f)的大小；
(n)求函数/⑴在区间[—晋，晋]上的最小值。

解:（I )因为 /(晋）=|一j，/(晋）=<2+1’所
以 /(f)—+f t—l b音+|»
因为〇〉0,所以音+音〉0,所以/(晋)>/(|)。

(I I )因为 /(工）=<2sin j r_cos2工=asin«r—(1 —
2sin2x) =2sin2x+<2sin x—1，故可设 £=sin x，：r G
—晋，号]，所以，6[—1，1]，所以 j=2i2+ai_l，其
对称轴为《=_f。

当Z=_"J<—1，即a>4时，在f=—l时函数
取得最小值1—a;当即〇<a<4时，
在t=—|时函数取得最小值一1。

反思：当一&6[ —1，1]时，贝1j在一&处达到一
个最值，另一最值在一1和1之中距一&较远的一点
取到；当一&$[—1，1]时，函数在区间[―1，1]上单
调，其最值分别在两端点处取到。

例3 已知函数/(:c)=2sin工+s in 2x，则函数
/O)的最小值为________。

®：/(x)=2s i n x+s i n 2x=2s i n x+2s i n x c x>s x=
2s i n:c(l+cos:c)=4s i n:r•co s2 營=8s i n營•cos3 營，
考虑到/Cr)为奇函数，可以求/Cr)的最大值。

将/Cr)
平方，得 /(了）=64sin2
音• C O s6
X ~2
(cos2f)(cos2f)(cos2音)<f•
3sin2令+cos2|+c o s2 (22音+cos2
X
飞、
)^f x(D4=
v4t
¥，当且仅当3sin2f ==COS2 -f-，即tarr=了时，/(x)取最大值，所以[/u)；L…=—
反思：多元均值不等式属于选考内容，平时的解 题训练中涉及较少，且构造技巧强，所以学生不易联 想到。

因此,在复习备考时，学生需要在这个方面加 强训练。

例 4 已知函数/(j c)=:r s i n:c+acos:c+:r，a G R。

(I )当a=2时，求/U)在区间[0，晋]上的最大 值和最小值；
(I I )当a>2时,若方程/U)=3在区间[0，晋
上有唯一解，求a的取值范围。

解：（I )当<2=2 时，/(:r)==:rsin:c+2cos:r+jc,所以 /'(:c)=—s in x+x c o s:c+l。

当:r6(〇，|)时，1 —5111>2：〉0，*1：0：〇5：*：〉0，所以//(：1：)〉0，所以/(：?：)在区间[〇,晋]上单调递增。

因此，/Cc)在区间L〇，f]上的最大值为/(f)= 7T，最小值为/(0)=2。

(I I )当a〉2 时，(l—a)sin•r+xcos x+1。

设 /!(_r)=(l—a)sin j:+ j:cos :r+l，则
(2 —a)cos x—_r s i n j c。

因为 a>2，x G〇，~|•，所以/A d C O,所以在区间[0，晋]上单调递减。

因为 /K0) =1>0，A(|)=1—a+l= 2 —a<0,所以存在唯一的a：。

e [〇,f]，使a u。

）=〇,即/'(•1。

）=0。

所以/(X)在区间[0，：T。

]上单调递增，在区间上单调递减。

因为/(〇) =^，八|)=兀，又因为方程/(：<：)—3 =0在区间[0,晋]上有唯一解，所以2«3。

反思：利用导数求与三角函数有关的最值问题 时，若求导后导函数的零点不易求出，可利用二次求导 法或设而不求法处理。

另外，求解时要注意三角函数的 有界性。

总之，在三角函数内容的备考中，我们还要重视 三角函数与其他知识的交汇，如三角函数与向量、平面几何、解析几何等知识的综合。