高中数学选修2-1：巩固练习_《常用逻辑用语》全章复习与巩固_基础
北师大版高中数学选修2-1本章练测：第1章常用逻辑用语(含答案详解)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第一章常用逻辑用语（北京师大版选修2-1）一、选择题（本题共12小题，每小题5分,共60分）1. 下列说法中,不正确的是( )A.“若则”与“若则”是互逆命题B.“若﹁则﹁”与“若则”是互否命题C.“若﹁则﹁”与“若则”是互否命题D.“若﹁则﹁”与“若则”是互为逆否命题2.以下说法错误的是( )A.如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B.如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C.原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D.一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题3.命题“设a，b，c∈R,若a>b,则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( ) A．0个B．1个C．2个D．3个4.（2012·山东济宁一模）已知p:|x+1|≤4;q:＜5x －6,则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.设：：,若﹁是﹁的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.6.命题：将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像；命题：函数的最小正周期是，则复合命题“或”“且”“非”中真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.37.已知命题：“”,命题：，,若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（）A.或B.或C.D.8.给出下列命题：①若“或”是假命题，则“﹁且﹁”是真命题；②；③若关于的实系数一元二次不等式的解集为，则必有且；④，其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.49.关于的函数有以下命题：①,；②；③，都不是偶函数；④,使f是奇函数．其中假命题的序号是（）A.①③B.①④C.②④D.②③10.下面有关命题的说法正确的是( )A.命题“若－3x+2=0，则x=1”的逆命题为“若x≠1，则－3x+2≠0”B.命题“若－3x+2=0，则x=1”的否命题为“若x≠1，则－3x+2≠0”C.命题“x∈R,≤0”的否定为“x∈R,＞0”D.命题“x∈R,≤0”的否定为“x∈R,＞0”11.有限集合中元素的个数记作，设A,B都是有限集合，给出下列命题：①的充要条件是=；②的必要条件是；③的充分条件是；④的充要条件是.其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.312.已知命题使；命题,都有给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“﹁”是假命题；③命题“﹁”是真命题；④命题“﹁﹁”是假命题，其中正确的是（）A.②④B.②③C.③④D.①②③二、填空题（本题共4小题，每小题4分,共16分）13.若为定义在D上的函数，则“存在D,使得”是“函数为非奇非偶函数”的________条件.14.已知与整数的差为的数；整数的，则是的________条件.15.已知命题p:命题q:若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数的取值范围是____________.16.下列四个结论中，正确的有(填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“＞－”是“一元二次不等式a ＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.三、解答题（本题共6小题，共74分）17.（本小题满分12分）设命题为“若，则关于的方程有实数根”,试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．18.（本小题满分12分）已知命题：任意，，如果命题﹁是真命题，求实数的取值范围．19.（本小题满分12分）已知P＝{x|－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1+m}.（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围.20.（本小题满分12分）设p：实数x满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足－－－＞（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.21.（本小题满分12分）设P,Q,R,S四人分别获得一到四等奖，已知：（1）若P得一等奖，则Q得四等奖；（2）若Q得三等奖，则P得四等奖；（3）P所得奖的等级高于R；（4）若S未得一等奖，则P得二等奖；（5）若Q得二等奖，则R不是四等奖；（6）若Q得一等奖，则R得二等奖.问P,Q,R,S分别获得几等奖？22.（本小题满分14分）设命题p:函数是R上的减函数，命题q:函数在上的值域为．若“”为假命题，“”为真命题，求的取值范围．第一章常用逻辑用语（北京师大版选修2-1）答题纸得分：________ 一、选择题二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：18.解：19.解：20.解：21.解：22.解：第一章常用逻辑用语（北京师大版选修2-1）答案一、选择题1.B 解析：“若﹁则﹁”与“若则”是互为逆否的命题，B不正确，故选B.2.B解析：两个命题互为逆否命题，它们之间有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.故B错误.3.B解析：原命题正确，所以其逆否命题正确.逆命题不正确，因为当c＝0时，a=b.从而原命题的否命题也不正确.4. B解析：由|x+1|≤4－4≤x+1≤4，得－5≤x≤3，即p对应的集合为[－5,3];由＜5x－6－5x+6＜0，解一元二次不等式可得2＜x＜3，即q对应的集合为(2,3).因为(2,3)[－5,3]，所以p是q成立的必要不充分条件.5.A解析：由已知得若成立，则,若成立，则.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以，＜，或＜，所以.6.C 解析：将函数y=的图像向右平移个单位长度得到函数y==的图像，所以命题P是假命题，“非P”是真命题，“P且Q”是假命题.函数,最小正周期为，命题Q为真命题，所以“P或Q”为真命题.故真命题有2个，选C.7.A解析：若p成立，对有.因为所以即若q成立，则方程的判别式解得或因为命题“”是真命题，所以p真q真，故的取值范围为或8.B解析：“p或q”是假命题，则它的否定是真命题，即“﹁p且﹁q”是真命题，①是真命题；若，则，若,则，所以②是真命题；数形结合可得，若一元二次不等式的解集是，则必有且，所以③是假命题；当时，必有但当，y=5时，满足但，所以④是假命题.共有2个真命题.9. A解析：对于命题①，若==成立，必须是整数，所以命题①是假命题；对于函数f，当时，函数为偶函数，所以命题③是假命题；同理可得，命题②④是真命题.所以选A.10.D解析：A错误，逆命题为“若x=1，则－3x+2=0”；B错误，否命题为“若－3x+2≠0，则x≠1”；C错误，否定为“x∈R,＞0”.11.C 解析：，集合和集合没有公共元素，①正确；，集合中的元素都是集合中的元素，②正确；③错误；，则集合中的元素与集合中元素完全相同，元素个数相等，但两个集合的元素个数相等，并不意味着它们的元素相同，④错误.所以选C.12.B解析：因为，所以命题p是假命题，﹁是真命题；由函数y=的图像可得，命题q是真命题，﹁是假命题.所以命题“”是假命题, 命题“﹁”是假命题，命题“﹁”是真命题，命题“﹁﹁”是真命题.所以②③正确.二、填空题13.充分不必要解析：存在D,使得 –则函数为非奇非偶函数；若函数为非奇非偶函数，可能定义域不关于原点对称，所以“存在D,使得”是“函数为非奇非偶函数”的充分不必要条件.14.充分不必要解析：，可分别用集合表示，集合表示奇数的 ,集合表示整数的，因为Ü，所以是的充分不必要条件.15.解析：两个命题可分别表示为或，或，要使命题是命题的充分不必要条件，则，，，或，，，解得.16.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件.x≠1≠1，反例：x＝－1＝1，∴“x≠1”是“≠1”的不充分条件.x≠0x＋|x|＞0，反例：x＝－2x＋|x|＝0.但x＋|x|＞0x＞0x≠0，∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.三、解答题17.解：否命题为“若，则关于的方程没有实数根”；逆命题为“若关于的方程有实数根，则”；逆否命题为“若关于的方程没有实数根，则”.由方程根的判别式，得，此时方程有实数根．因为使，所以方程有实数根，所以原命题为真，从而逆否命题为真.但方程有实数根，必须，不能推出，故逆命题为假,从而否命题为假.18.解：因为命题﹁是真命题，所以是假命题.又当是真命题，即恒成立时，应有，，解得，所以当是假命题时，.所以实数的取值范围是.19.解：（1）由－8x－20≤0可解得－2≤x≤10，∴P={x|－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S，∴－－∴∴这样的m不存在.（2）由题意知，x∈P是x∈S的必要不充分条件，则S P.于是有－－＜或＞∴或∴m≤3.∴当m≤3时，x∈P是x∈S的必要不充分条件.20.解：解：由－4ax+3＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由－－－＞得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若p是q的充分不必要条件，即q，且p.设A={x|p},B={x|q},则A B.又A={x|p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.21.解：由（3）知，得一等奖的只有P,Q,S之一（即R不可能是一等奖）.若P得一等奖，则S未得一等奖，与（4）矛盾；若Q得一等奖，由（6）知，R得二等奖，P只能得三等奖或四等奖，与（3）矛盾.所以只有S得一等奖.若P是二等奖，由（2）知，Q不得三等奖，只能是四等奖，所以R是三等奖；若P是三等奖，则R是四等奖，Q得二等奖，与（5）矛盾.所以S，P，R，Q分别获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖.22.解：由得.因为在上的值域为,所以.又因为“”为假命题，“”为真命题，所以,一真一假．若真假，则；若假真，则.综上可得，的取值范围是或.。
选修2-1 常用逻辑用语(全章复习专用)
精心整理基础典型题归类与解析C．π是有理数D．x2－5x＝0的根是自然数解析：选D.x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．二、题型二：复合命题的结构例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)6是12和18的公约数；(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)已知x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.解析：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．因为当a＝0时，方程变为2x－1＝0，此时只有一个实根x＝.(3)已知x、y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．变式练习：指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；(3)相等的两个角的正切值相等．解析：(1)条件p：整数a是偶数，结论q：a能被2整除，真命题．(2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即“若一个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”．条件p：一个四边形的对角线相等且互相平分，结论q：该四边形是矩形，真命题．．例求使pq是假例ABCD．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．故选D.例6．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案： B例7．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是( )A．若x≤y，则x2≤y2B．若x>y，则x2<y2C．若x2≤y2，则x≤y D．若x<y，则x2<y2解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．例8．．给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；y，则非x例∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．六、题型六：判断条件关系及求参数范围例10．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当x＝2kπ＋时，tan x＝1，而tan x＝1得x＝kπ＋，所以“x＝2kπ＋”是“tan x＝1”成立的充分不必要条件．故选A.例11、设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：由题意得：故D是A的必要不充分条件例12．已知条件p：－1≤x≤10，q：x2－4x＋4－m2≤0(m>0)不变，若非p是非q的必要而不充分条件，如何求实数m的取值范围？解：p：－1≤x≤10.q：x2－4x＋4－m2≤0⇔[x－(2－m)][x－(2＋m)]≤0(m>0)⇔2－m≤x≤2＋m(m>0)．因为非p是非q的必要而不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，即{x|－1≤x≤10}{x|2－m≤x≤2＋m}，故有或，解得m≥8.所以实数m的范围为{m|m≥8}．变式练习1：已知条件：p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.p：x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；q：5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，由小集合⇒大集合，∴q⇒p，但p q．故选A.变式练习2已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．解析：q是p的必要不充分条件，则p⇒q但qp.∵p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.∴a＋1≥1且a≤，即0≤a≤.∴满足条件的a的取值范围为.七、充要条件的论证例13求证：0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．证明：充分性：∵0<a<，∴Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0可变成1>0.显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．必要性：∵ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，∴a＝0或解得0≤a<.例ABCD例变式练习2：(2010年高考安徽卷)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．解：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3变式练习3．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：方程x2－x＋1＝0有实根；(2)p：函数y＝tan x是周期函数；(3)p：∅⊆A；(4)p：不等式x2＋3x＋5<0的解集是∅.解析：题号判断p的真假非p的形式判断非p的真假(1)假方程x2－x＋1＝0无实数根真(2)真函数y＝tan x不是周期函数假(3)真∅A 假(4)真不等式x2＋3x＋5<0的解集不是∅假十、全称命题与特称命题相关小综合题例16．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0.(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2.(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)∃x0∈R，使x＋1<0.解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0(a>0且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，x＋1>0.∴命题(4)是假命题．例17．若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是( ) A．a≤－3或a>2 B．a≥2C．a>－2 D．－2<a<2解析：依题意：ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，所以有：⇔⇔a≥2.所以选B变式练习1：已知命题p：∃x0∈R，tan x0＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p且q”是________命题．(填“真”或“假”)解析：当x0＝时，tan x0＝，∴命题p为真命题；x2－x＋1＝2＋>0恒成立，∴命题q为真命题，∴“p且q”为真命题．所以填：真变式练习2：已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题，其中正确的是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：当x＝时，tan x＝1，∴命题p为真命题．由x2－3x＋2<0得1<x<2，∴命题q为真命题．∴p∧q为真，p∧¬q为假，¬p∨q为真，¬p∨¬q为假．所以选D十一、综合训练典型题例18．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0.又a>0，所以a<x<3a，当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，实数x的取值范围是1<x<3.由解得即2<x≤3.所以q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.若p∧q为真，则⇔2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3)．(2)非p是非q的充分不必要条件，即非p⇒非p且非q非q.设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，则A B.所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.所以实数a的取值范围是(1,2]．例19．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．(1)(2)即(2)∴m∵f∴mq：关于x＝[∴－(a2－a)≤－2，即a2－a－2≥0，解得a≤－1或a≥2.即p：a≤－1或a≥2由不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R得，即解得0≤a＜4∴q：0≤a＜4.∵p∧q假，p∨q真．∴p与q一真一假．∴p真q假或p假q真，即或∴a≤－1或a≥4或0≤a＜2.所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-1习题：第一章常用逻辑用语 1.1.2-1.1.3 含解析
1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课时过关·能力提升基础巩固1命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的逆否命题是()A.如果x<a2+b2,那么x<2abB.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C.如果x<2ab,那么x<a2+b2D.如果x≥a2+b2,那么x<2ab2命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是()A.若一个数是负数,则它的平方不是正数B.若一个数的平方是正数,则它是负数C.若一个数不是负数,则它的平方不是正数D.若一个数的平方不是正数,则它不是负数3命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数.4命题“若A∩B=A,则A⊆B”的逆否命题是()A.若A∪B≠A,则A⊇BB.若A∩B≠A,则A⊆BC.若A⊈B,则A∩B≠AD.若A⊇B,则A∩B≠A”的否命题是()5已知a,b∈R,命题“若a+b=1,则a2+b2≥12A.若a 2+b 2<12,则a+b ≠1B.若a+b=1,则a 2+b 2<12C.若a+b ≠1,则a 2+b 2<12D.若a 2+b 2≥12,则a+b=16命题“若A ∪B=B ,则A ⊆B ”的逆命题是 .A ⊆B ,则A ∪B=B7“若sin α=12,则α=π6”的逆否命题是 ,逆否命题是 命题.(填“真”或“假”)α≠π6,则sin α≠12 假8已知p 3+q 3=2,求证:p+q ≤2.,我们考虑是否能够比较容易地证明命题的逆否命题:如果p+q>2,那么p 3+q 3≠2.p+q>2,则q>2-p ,根据幂函数y=x 3的单调性,得q 3>(2-p )3,即q 3>8-12p+6p 2-p 3,p 3+q 3>8-12p+6p 2=6[(p -1)2+13]≥2,故p 3+q 3>2.因此p 3+q 3≠2.这与题设p 3+q 3=2矛盾,从而假设不成立.故p+q ≤2成立.9写出命题“若a ,b 都是奇数,则a+b 是偶数”的逆命题、否命题及逆否命题,并判断它们的真假.:若a+b 是偶数,则a ,b 都是奇数,是假命题.否命题:若a ,b 不都是奇数,则a+b 不是偶数,是假命题.逆否命题:若a+b 不是偶数,则a ,b 不都是奇数,是真命题. 能力提升1命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,是真命题的是( )A.上述四个命题B.原命题与逆命题C.原命题与逆否命题D.逆命题与否命题.2命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是()A.若α≠π4,则tan α≠1B.若α=π4,则tan α≠1C.若tan α≠1,则α≠π4D.若tan α≠1,则α=π4“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠π4”.3互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性.我们用“↔”表示同真或同假,把它叫做“连连看”.下面让我们领略“连连看”的风采:已知命题p的否命题是r,命题r的逆命题为s,命题p的逆命题是t,则下列同真同假的“连连看”中,正确的一组是()A.p↔r,s↔tB.p↔t,s↔rC.p↔s,r↔tD.p↔r,s↔rp的否命题是r,命题r的逆命题为s,所以命题p与s互为逆否命题,故有p↔s;又由于命题p的否命题是r,命题p的逆命题是t,故命题r,t也是互为逆否命题,即r↔t.4有下列四个命题:①命题“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②命题“面积相等的三角形全等”的否命题;③命题“若m≤1,则x2-2x+m=0有实根”的逆否命题;④命题“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.其中是真命题的是.(填上你认为正确的所有命题的序号)中原命题的逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,真命题;②中原命题的逆命题为“若两个三角形全等,则它们的面积相等”.由逆命题与否命题互为逆否命题,可知否命题为真命题;③中原命题的Δ=4-4m,由于m≤1,则方程有实根,为真命题.故其逆否命题为真命题;④中因为原命题为假命题,所以其逆否命题也为假命题.5在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是 .(填序号)中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1做模型来观察:上底面A 1B 1C 1D 1的顶点中任何三点都不共线,但A 1,B 1,C 1,D 1四点共面,所以①中的逆命题不是真命题.②中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,异面直线没有公共点.所以②中的逆命题是真命题.6写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题:(1)若x 2+y 2=0,则x ,y 全为0;(2)若(x-3)(x-7)=0,则x=3或x=7.都”的否定词是“不都”,“全”的否定词是“不全”,另外,原命题中的“或”,在否命题中要改为“且”.要认真体会它们的区别.逆命题:若x ,y 全为0,则x 2+y 2=0;否命题:若x 2+y 2≠0,则x ,y 不全为0;逆否命题:若x ,y 不全为0,则x 2+y 2≠0.(2)逆命题:若x=3或x=7,则(x-3)(x-7)=0;否命题:若(x-3)(x-7)≠0,则x ≠3,且x ≠7;逆否命题:若x ≠3,且x ≠7,则(x-3)(x-7)≠0.★7三个方程x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0,x 2+2ax-2a=0中,至少有一个方程有实根,求实数a 的取值范围.:(1)三个方程都无实根(2)只有一个方程有实根(3)只有两个方程有实根(4)三个方程都有实根}至少有一个方程有实根,若按分类讨论,则需分三种情况,且(2)(3)又分多种情况,显然运算量太大,若注意到(2)(3)(4)可合并为至少有一个方程有实根,利用“补集”的思想,问题即可等价转化.,则{Δ1=(4a )2+4(4a -3)<0,Δ2=(a -1)2-4a 2<0,Δ3=(2a )2+8a <0,即{-32<a <12,a >13或a <-1,-2<a <0.解得-32<a<-1.故三个方程中至少有一个方程有实根,则a 的取值范围是a ≥-1或a ≤-32.。
北师大版高中数学选修2-1精练：第一章 常用逻辑用语 1.4 Word版含答案
§4逻辑联结词“且”“或”“非”课后训练案巩固提升A组1、若p是真命题，q是假命题，则( )A、p且q是真命题B、p或q是假命题C、 p是真命题D、 q是真命题正确答案:D2、由下列各组命题构成的新命题“p或q”和“p且q”都为真命题的是( )A、p:4+4=9，q:7>4B、p:a∈{a，b，c}，q:{a}⫋{a，b，c}C、p:15是质数，q:8是12的约数D、p:2是偶数，q:2不是质数详细解析:只有命题p和q都正确时“p且q”才正确，据此原则可判断仅B项符合、正确答案:B3、已知p与q是两个命题，给出下列命题:( 1 )只有当命题p与q同时为真时，命题“p或q”才能为真;( 2 )只有当命题p与q同时为假时，命题“p或q”才能为假;( 3 )只有当命题p与q同时为真时，命题“p且q”才能为真;( 4 )只有当命题p与q同时为假时，命题“p且q”才能为假、其中正确的命题是( )A、( 1 )和( 3 )B、( 2 )和( 3 )C、( 2 )和( 4 )D、( 3 )和( 4 )详细解析:因为当命题p与q同时为真时，命题“p或q”“p且q”都为真，而当命题p与q一真一假时，命题“p或q”为真，“p且q”为假，所以( 1 )错，( 3 )对;而当命题p与q只要有一个为假时，“p且q”就为假，所以( 4 )错;当命题p与q同时为假时，“p或q”才为假，所以( 2 )对，故选B、正确答案:B4、已知全集S=R，A⊆S，B⊆S，若p:∈( A∪B )，则“非p”是( )A、∉AB、∈∁S BC、∉( A∩B )D、∈[( ∁S A )∩( ∁S B )]详细解析:对一个命题的否定，只对命题的结论进行否定、正确答案:D5、导学号90074012已知命题p:存在x∈R，使tan x=1，命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}、有下列结论:①命题“p且q”是真命题;②命题“p且非q”是假命题;③命题“非p或q”是真命题;④命题“非p或非q”是假命题、其中正确的是( )A、②③B、①②④C、①③④D、①②③④详细解析:命题p:存在x∈R，使tan x=1正确、命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}也正确，∴①命题“p且q”是真命题;②命题“p且非q”是假命题;③命题“非p或q”是真命题;④命题“非p或非q”是假命题，故应选D、正确答案:D6、用适当的逻辑联结词填空( 填“且”或“或” ):( 1 )若a2+b2=0，则a=0b=0;( 2 )若ab=0，则a=0b=0;( 3 )平行四边形的一组对边平行相等、详细解析:( 1 )若a2+b2=0，则a=0且b=0，故填“且”、( 2 )若ab=0，则a=0或b=0，故填“或”、( 3 )平行四边形的一组对边平行且相等，故填“且”、正确答案:( 1 )且( 2 )或( 3 )且7、如果命题“非p或非q”是假命题，对于下列结论:①命题“p且q”是真命题;②命题“p且q”是假命题;③命题“p或q”是真命题;④命题“p或q”是假命题、其中正确的是、( 填序号)详细解析:由“非p或非q”是假命题知，“非p”与“非q”都是假命题，所以p，q都是真命题，从而判断①③正确，②④错误、正确答案:①③8、命题p:1是集合{x|x2<a}中的元素;命题q:2是集合{x|x2<a}中的元素、若“p且q”是真命题，则a的取值范围为、详细解析:由p为真命题，可得a>1，由q为真命题，可得a>4、当“p且q”为真命题时，p，q都为真命题，即解得{a|a>4}、正确答案:{a|a>4}9、写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断其真假、( 1 )p:1是质数，q:1是方程x2+2x-3=0的根;( 2 )p:平行四边形的对角线相等，q:平行四边形的对角线互相垂直;( 3 )p:N⊆Z，q:0∈N、解( 1 )因为p假q真，所以p或q:1是质数或是方程x2+2x-3=0的根，为真;p且q:1是质数且是方程x2+2x-3=0的根，为假;非p:1不是质数，为真、( 2 )因为p假q假，所以p或q:平行四边形的对角线相等或互相垂直，为假;p且q:平行四边形的对角线相等且互相垂直，为假;非p:平行四边形的对角线不一定相等，为真、( 3 )因为p真q真，所以p或q:N⊆Z或0∈N为真;p且q:N⊆Z且0∈N，为真;非p:N⊈Z，为假、B组1、若命题“p或q”与“p且q”中一真一假，则可能是( )A、p真q假B、p真q真C、非p真q假D、p假非q真详细解析:由题意知“p且q”为假，“p或q”为真，则p，q中一真一假、正确答案:A2、命题“原函数与反函数的图像关于直线y=x对称”的否定是( )A、原函数与反函数的图像关于直线y=-x对称B、原函数不与反函数的图像关于直线y=x对称C、存在一个原函数与反函数的图像不关于直线y=x对称D、存在原函数与反函数的图像关于直线y=x对称详细解析:命题“原函数与反函数的图像关于直线y=x对称”的本质含义是“所有原函数与反函数的图像关于直线y=x对称”、故其否定应为“存在一个原函数与反函数的图像不关于直线y=x 对称”、正确答案:C3、已知命题p:“x>2是x2>4的充要条件”，命题q:“若，则a>b”，则( )A、“p或q”为真B、“p且q”为真C、p真q假D、p，q均为假详细解析:由已知可知命题p为假，命题q为真，因此选A、正确答案:A4、设命题p:函数y=cos 2x的最小正周期为;命题q:函数f( x )=sin的图像的一条对称轴是x=-，则下列判断正确的是( )A、p为真B、非q为假C、p且q为真D、p或q为假详细解析:因为函数y=cos 2x的最小正周期为π，故命题p是假命题;因为f=-1，故命题q 是真命题，则非q为假，p且q为假，p或q为真，故选B、正确答案:B5、已知p:点P在直线y=2x-3上，q:点P在直线y=-3x+2上，则使命题p且q为真命题的一个点P( x，y )是、详细解析:因为p且q为真命题，所以p，q均为真命题，即点P为直线y=2x-3与y=-3x+2的交点，故有解得故点P的坐标为( 1，-1 )、正确答案:( 1，-1 )6、若“x∈[2，5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是、详细解析:由题意得，p:x∈[2，5]，q:x∈{x|x<1或x>4}，因为p或q为假，所以p假q假，故有解得1≤x<2、正确答案:[1，2 )7、已知函数①f( x )=|x+2|;②f( x )=( x-2 )2;③f( x )=cos( x-2 )、现有命题p:f( x+2 )是偶函数;命题q:f( x )在( -∞，2 )内是减函数，在( 2，+∞ )内是增函数、则能使p且q为真命题的所有函数的序号是、详细解析:若p且q为真命题，则p，q均为真命题、对于①，f( x+2 )=|x+4|不是偶函数，故p 为假命题、对于②，f( x+2 )=x2是偶函数，则p为真命题;f( x )=( x-2 )2在( -∞，2 )内是减函数，在( 2，+∞ )内是增函数，则q为真命题，故p且q为真命题、对于③，f( x )=cos( x-2 )显然在( 2，+∞ )内不是增函数，故q为假命题、故填②、正确答案:②8、已知命题p:“存在a>0，使函数f( x )=ax2-4x在( -∞，2]上单调递减”，命题q:“存在a∈R，使任意x∈R，16x2-16( a-1 )x+1≠0”、若命题“p且q”为真命题，求实数a的取值范围、解若p为真，则函数f( x )图像的对称轴x=-在区间( -∞，2]的右侧，即≥2，∴0<a≤1、若q为真，则方程16x2-16( a-1 )x+1=0无实数根，∴Δ=[16( a-1 )]2-4×16<0，∴<a<、∵命题“p且q”为真命题，∴<a≤1、故实数a的取值范围为、9、导学号90074013已知命题p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1，1]恒成立;命题q:不等式ax2+2x-1>0有解、若p且q是假命题，非p也是假命题、求实数a的取值范围、解∵p且q是假命题，非p是假命题，∴命题p是真命题，命题q是假命题、∵x1，x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，∴∴|x1-x2|=、∴当m∈[-1，1]时，|x1-x2|max=3、由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1，1]恒成立，可得a2-5a-3≥3、∴a≥6或a≤-1，∴当命题p为真命题时，a≥6或a≤-1、命题q:不等式ax2+2x-1>0有解，①当a>0时，显然有解;②当a=0时，2x-1>0有解;③当a<0时，∵ax2+2x-1>0，∴Δ=4+4a>0，∴-1<a<0、从而命题q:不等式ax2+2x-1>0有解时，a>-1、又命题q是假命题，∴a≤-1、综上所述得⇒a≤-1、∴所求a的取值范围为( -∞，-1]、。
高中数学选修2-1 第一章《 常用逻辑用语》单元测试题(含答案)
高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜02．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．43．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列命题中的假命题是( )A．存在x∈R，lg x＝0 B．存在x∈R，tan x＝1C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞05．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤bC．存在一个菱形不是平行四边形D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋7＜0成立18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：存在一个实数x，使得3x＜0；(3)p：若a n＝－2n＋1，则∃n∈N，使S n＜0；(4)p：有些偶数是质数．19．(本小题满分12分)设命题p：c2＜c和命题q：对∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．20．(本小题满分12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．21．(本小题满分12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.22．(本小题满分12分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》参考答案时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜0解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D是命题，且是个特称命题．答案：A2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：原命题是真命题，逆否命题为真命题，逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”是假命题，则否命题为假命题．答案：B3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a＝1的关系．若l1∥l2，则2a －2＝0，∴a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要条件．答案：C。
高中数学选修2-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.1知识点总结含同步练习及答案
2.若则命题的四种形式 描述： 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论． 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命 题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题 为“若 q ，则 p ”． 否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”． 逆否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命 题（inverse and negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么 它的逆否命题为“若 ¬q ，则 ¬p ”． 四种命题的相互关系 四种命题的真假关系 ① 互为逆否的两个命题，它们有相同的真假性； ② 互逆或互否的两个命题，它们的真假性没有关系． 例题： 把下列命题改写成“若 p ，则 q ” 的形式，并判断命题的真假． （1）当 ac > bc 时， a > b ； （2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，当 y = 3 时，x = 2； （3）当 m > （4）菱形的对角线互相垂直． 解：（1）若 ac > bc，则 a > b，假命题； （2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，若 y = 3，则 x = 2 ，真命题； （3）若 m > （4）若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，真命题．
北师大版高中数学选修2-1精练：第一章 常用逻辑用语 1.2 Word版含答案
§2充分条件与必要条件课后训练案巩固提升A组1、“x<0”是“ln( x+1 )<0”的( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件详细解析:由ln( x+1 )<0得-1<x<0，故选B、正确答案:B2、设集合U={( x，y )|x∈R，y∈R}，A={( x，y )|2x-y+m>0}，B={( x，y )|x+y-n≤0}，那么点P( 2，3 )∈[A∩( ∁U B )]的充要条件是( )A、m>-1，n<5B、m<-1，n<5C、m>-1，n>5D、m<-1，n>5详细解析:∁U B={( x，y )|x+y-n>0}，∵点P( 2，3 )∈[A∩( ∁U B )]，∴( 2，3 )∈A，且( 2，3 )∈∁U B，即2×2-3+m>0，且2+3-n>0，∴m>-1，n<5、正确答案:A3、已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0( a≠0 )，下列结论中正确的是( )①Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充分条件;②Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的必要条件;③Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件、A、③B、①②C、①②③D、②③详细解析:Δ=b2-4ac≥0是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0( a≠0 )有实根的充要条件、∵当Δ=b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0( a≠0 )有两相异实根;Δ=b2-4ac=0时，方程有两相等实根，故上述结论均正确、正确答案:C4、下面命题中是真命题的是( )A、x>2，且y>3是x+y>5的充要条件B、A∩B≠⌀是A⫋B的充分条件C、b2-4ac<0是一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R的充要条件D、一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形详细解析:对于选项A，x>2，且y>3⇒x+y>5，但x+y>5未必能推出x>2，且y>3，如x=0，且y=6满足x+y>5，但不满足x>2，故A为假命题、对于选项B，A∩B≠⌀未必能推出A⫋B，如A={1，2}，B={2，3}，故B为假命题、对于选项C，例如一元二次不等式-2x2+x-1>0的解集为⌀，但满足b2-4ac<0，故C为假命题、正确答案:D5、设数列{a n}是公比为q的等比数列，则“0<q<1”是“{a n}为递减数列”的( )A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件详细解析:数列{a n}是公比为q的等比数列，则a n=·q n、若0<q<1，当a1<0时，{a n}为递增数列、若{a n}为递减数列，当a1<0时，q>1( 仅对q>0的情况讨论)、故选D、正确答案:D6、已知p:A⫋B⊆S，q:( ∁S B )⫋( ∁S A )，则p是q的条件、详细解析:利用集合的图示法，如图，A⫋B⊆S⇒( ∁S B )⫋( ∁S A )，( ∁S B )⫋( ∁S A )⇒A⫋B⊆S、∴p是q的充分条件，也是必要条件，即p是q的充要条件、正确答案:充要7、下列各小题中，p是q的充要条件的是、( 填写正确命题的序号)①p:m<-2或m>6;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点;②p:=-1;q:y=f( x )是奇函数;③p:cos α=cos β;q:tan α=tan β;④p:A∩B=A;q:∁U B⊆∁U A、详细解析:若y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，则m2-4( m+3 )>0，解得m<-2或m>6、反之也成立，故①正确;对于②，函数f( x )=sin x是奇函数，它不全满足=-1，故②不满足;对于③，当α=β=时，cos α=cos β成立，但tan α=tan β不成立;对于④，∵A∩B=A，∴A⊆B，∁U B⊆∁U A，反之也成立，故④正确、正确答案:①④8、是否存在实数p，使“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?如果存在，求出p的取值范围、解由x2-x-2>0，得x>2或x<-1、由4x+p<0，得x<-、要想使当x<-时，x>2或x<-1成立，必须有-≤-1，即p≥4，所以当p≥4时，-≤-1⇒x<-1⇒x2-x-2>0，所以当p≥4时，“4x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件、9、导学号90074004求关于x的方程x2-mx+3m-2=0的两根均大于1的充要条件、解设方程的两根分别为x1，x2，则原方程有两个大于1的根的充要条件是即又∵x1+x2=m，x1x2=3m-2，∴故所求的充要条件为m≥6+2、B组1、设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=⌀”的( )A、充分不必要的条件B、必要不充分的条件C、充要条件D、既不充分也不必要的条件详细解析:如图可知，存在集合C，使A⊆C，B⊆∁U C，则有A∩B=⌀、若A∩B=⌀，显然存在集合C、满足A⊆C，B⊆∁U C、故选C、正确答案:C2、已知a，b是实数，则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab>0”的( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件详细解析:因为|a+b|=|a|+|b|，等价于a2+2ab+b2=a2+2|ab|+b2，等价于|ab|=ab，等价于ab≥0、而由ab≥0不能推出ab>0;由ab>0能推出ab≥0、即由|a+b|=|a|+|b|不能推出ab>0;由ab>0能推出|a+b|=|a|+|b|、故选B、正确答案:B3、函数f( x )=x2+mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是( )A、m=-2B、m=2C、m=-1D、m=1详细解析:当m=-2时，f( x )=x2-2x+1，其图像关于直线x=1对称，反之也成立，所以函数f( x )=x2+mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是m=-2、正确答案:A4、设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，s是r的充要条件，则s是p的( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件详细解析:由题可知，p⇒q⇒r⇔s，则p⇒s，s p，故s是p的必要不充分条件、正确答案:B5、方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是( )A、0<a≤1B、a<1C、a≤1D、0<a≤1或a<0详细解析:( 1 )当a=0时，原方程变形为一元一次方程，其根为x=-，符合要求;( 2 )当a≠0时，原方程为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4-4a≥0，从而a≤1、又设方程ax2+2x+1=0的根为x1，x2，则由根与系数的关系知x1+x2=-，x1·x2=、①方程ax2+2x+1=0有一个负根的充要条件是⇒a<0、②方程ax2+2x+1=0有两个负根的充要条件是⇒0<a≤1、综上所述，ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1、正确答案:C6、给出下列命题:①“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件;②“lg a=lg b”是“a=b”的必要不充分条件;③若x，y∈R，则“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件;④“sin α>sin β”是“α>β”的充分不必要条件、其中真命题是( 填序号)、详细解析:①因为a>b推不出a2>b2，a2>b2推不出a>b，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件;②lg a=lg b可推出a=b，但a=b推不出lg a=lg b，如a=b=-2，所以“lg a=lg b”是“a=b”的充分不必要条件;易知③正确;④当α=，β=π时，sin α==sin β，但α<β，所以sin α>sin β推不出α>β，反之α>β也推不出sin α>sin β，所以“sin α>sin β”是“α>β”的既不充分也不必要条件、正确答案:③7、导学号90074005设α，β，γ为平面，m，n，l为直线，则对于下列条件:①α⊥β，α∩β=l，m⊥l;②α∩γ=m，α⊥β，γ⊥β;③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α;④n⊥α，n⊥β，m⊥α、其中为m⊥β的充分条件的是、( 将正确的序号都填上)详细解析:①α⊥β，α∩β=l，m⊥l m⊥β;②α∩γ=m，α⊥β，γ⊥β⇒m⊥β;③α⊥γ，β⊥γ⇒α与β可能相交也可能平行，故α⊥γ，β⊥γ，m⊥αm⊥β;④由n⊥α，n⊥β得α∥β，又m⊥α，所以m⊥β、正确答案:②④8、已知集合A=，B={x|x+m2≥1};命题p:x∈A，命题q:x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围、解化简集合A，由y=x2-x+1，配方，得y=、∵x∈，∴y min=，y max=2、∴y∈、∴A=、化简集合B，由x+m2≥1，得x≥1-m2，∴B={x|x≥1-m2}、∵命题p是命题q的充分条件，∴A⊆B、∴1-m2≤，解得m≥或m≤-、∴实数m的取值范围是、9、两个数列{a n}和{b n}，满足b n=( n∈N+ )、证明:{b n}为等差数列的充要条件是{a n}为等差数列、证明必要性:由已知得a1+2a2+3a3+…+na n=n( n+1 )b n，①于是有a1+2a2+3a3+…+( n-1 )a n-1=n( n-1 )·b n-1( n≥2 )、②①-②整理得a n=( n+1 )b n-( n-1 )b n-1( n≥2 )、设{b n}的公差为d，由已知得a1=b1，所以a n=( n+1 )[a1+( n-1 )d]-( n-1 )[a1+( n-2 )d]=[( n+1 )a1+( n+1 )( n-1 )d-( n-1 )a1-( n-1 )( n-2 )d]= a1+( n-1 )·，故数列{a n}是首项为a1，公差为的等差数列、充分性:由已知得n( n+1 )b n=a1+2a2+3a3+…+na n、( * )设等差数列{a n}的公差为d，则a1+2a2+3a3+…+na n=a1+2( a1+d )+3( a1+2d )+…+n[a1+( n-1 )d]=a1( 1+2+3+…+n )+d( 22-2+32-3+…+n2-n )=a1·+d=a1·+d·、再结合( * )式得b n=a1+( n-1 )d、故数列{b n}是以a1为首项，以d为公差的等差数列、综上，{b n}为等差数列的充要条件是{a n}为等差数列、。
高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试题(含答案解析)
一、选择题1．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝2．下列说法不正确的是（ ） A ．命题“若a b >，则ac bc >”是真命题 B ．命题“若220a b +=，则,a b 全为0”是真命题C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a ≠，则0ab ≠”D ．命题“若0a =，则0ab =”的逆否命题是“若0ab ≠，则0a ≠” 3．下列说法正确的个数是( )①“若4a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于2“的逆命题是真命题 ②命题“设,a b ∈R ，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个真命题 ③“0x R ∃∈，2000x x -<”的否定是“x R ∀∈，20x x ->” ④1a b +>是a b >的一个必要不充分条件 A ．0B ．1C ．2D ．34．下列说法中错误的是（ ）A ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -≤”.B ．在ABC 中，sin sin cos cos A B A B A B <⇔<⇔>.C ．已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变.D ．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立.5．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()1122log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题及其真假分别为（ ）A ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真B ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真C ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假D ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假6．已知0a b >>，给出下列命题：①1=，则1a b -<； ②若331a b -=，则1a b -<； ③若1a b e e -=，则1a b -<； ④若ln ln 1a b -=，则1a b -<. 其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．下列有关命题的说法错误的是（ ） A ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为假命题B ．命题“如果()()150x x +-=2=”的否命题是真命题C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题8．已知p ：2+2＝5；q ：3＞2，则下列判断错误的是（ ） A ．“p ∨q ”为真，“￢q ”为假 B ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为真 C ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为假 D ．“p ∨q ”为真，“￢p ”为真9．下列判断错误的是（ ）A ．()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件B ．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->RC ．命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x >，则1x >或1x <-”D ．若0m >，则方程20x x m +-=有实数根的逆命题是假命题 10．若函数()sin f x x x =，则对a ，,22b ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()()f a f b >成立的一个充要条件是（ ） A ．a b >B ．a b <C ．a b >D ．22a b >11．记不等式()()22124x y -+-≤表示的平面区域为D .命题p ：()x y D ∀∈,，28x y +≤；命题q ：(),x y D ∃∈，21x y +≤-.下面给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝.这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④12．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．若12,[3,4]x x ∀∈∃∈R ，使2211221225x x x x x ax +++-成立，则实数a 的取值范围是______． 14．下列说法中：①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x ≤，有21x ≤”；②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”是“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”的必要不充分条件；③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()()()1212f x f x f x x +=； ④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，则函数()2xf x =满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．所有正确说法的序号______．（把满足条件的序号全部写在横线上）15．若命题“x ∃∈R ，220x x a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 16．“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x +≥”的________条件.17．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5,0,1,2,3,4k n k n Z k =+∈=.给出如下四个结论：①[]20111∈， ②[]33-∈，③[][][][][]01234Z =⋃⋃⋃⋃，④整数,a b 属于同一类的充要条件是[]0a b -∈. 其中正确的个数是___________ 18．给出下列命题：①命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”； ②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③x R ∃∈命题“，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x -->”； ④命题“若x y =，则 sin sin x y =”的逆否命题为真命题 其中所有正确命题的序号是________. 19．下列说法：（1）设a ，b 是正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b”的充要条件； （2）对于实数a ，b ，c ，如果ac ＞bc ，则a ＞b ； （3）“m=12”是直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直的充分不必要条件；（4）等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1＞0且q ＞1”是对任意n ∈N +，都有a n+1＞a n 的充分不必要条件；其中正确的命题有______ 20．给出下列四个命题中：①命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”为假命题．②命题“若x 2-4x +3=0，则x =3”的逆否命题为：“若x ≠3，则x 2-4x +3≠0”． ③“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件④关于x 的不等式|x +1|+|x -3|≥m 的解集为R ，则m ≤4． 其中所有正确命题的序号是______．三、解答题21．设命题p :实数x 满足()(3)0x a x a --<，其中0a >，命题:q 实数x 满足428x ≤≤．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．22．已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围； （2）若()p q ∧⌝为真命题，求实数m 的取值范围.23．已知p ：2430x x -+<，q ：()()210x m x m m R -++<∈．（1）求不等式2430x x -+<的解集；（2）若q 是p 的必要不充分条件，求m 的取值范围．24．定义：如果存在实数x ，y 使c xa yb =+，那么就说向量c 可由向量a b ，线性表出．给出命题：p ：空间三个非零向量a b c ，，中存在一个向量可由另两个向量线性表出．q ：空间三个非零向量a b c ，，共面．判断p 是q 的什么条件，并证明你的结论． 25．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}210B x x ax a =-+-=，{}220C x x mx =-+=.（1）若命题p ：“x B ∀∈，都有x A ∈”为真命题，求实数a 的取值集合； （2）若C ≠∅，且“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，求实数m 的取值集合. 26．已知命题p ：任意2,230x R x mx m ∈-->成立；命题q ：存在2,410x R x mx ∈++<成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题,p q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分别判断两个命题p ， q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】对于命题p ，取1x =时，10<不成立，故命题p 为假命题， 对于命题 q ，1x =-时，23(1)(1)->-成立，故命题 q 为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ⌝∧为真命题，p q ∧⌝为假命题，p q ⌝∧⌝为假命题，故选：B 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键.2．A解析：A 【分析】根据不等式性质，真命题，否命题，逆否命题性质逐一判断各个选项即可． 【详解】A 选项，若a b >，当0c ≤时，ac bc >不成立，所以命题为假命题，所以A 不正确B 选项，若220a b +=，则,a b 全为0正确，所以命题为真命题，正确C 选项，否命题否定结论和条件，本选项满足否命题形式，正确D 选项，命题“若0a =，则0ab =”的逆否命题是“若0ab ≠，则0a ≠”满足逆否命题的形式. 所以答案选A 【点睛】本题考查了不等式的性质，真命题的判断，否命题和逆否命题的知识.属于基础题目.3．C解析：C 【解析】对于①，原命题的逆命题为：若,? a b 中至少有一个不小于2，则4a b +≥，而4,?4a b ==-满足,? a b 中至少有一个不小于2，但此时0a b +=，故①是假命题；对于②，此命题的逆否命题为“设,?a b R ∈，若3a =且3b =，则6a b +=”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，故②是真命题；对于③“20000x R x x ∃∈-<，”的否定是“20x R x x ∀∈-≥，”，故③是假命题；对于④，由a b >可推得1a b >-，故④是真命题，故选C ．点睛：本题考查了简易逻辑的判定方法、特称命题的否定等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；四种命题的关系中，互为逆否命题的两个命题真假性相同，当判断原命题的真假比较复杂时，可转化为其逆否命题的真假，充分条件、必要条件的判定相当于判定原命题、逆命题的真假.4．C解析：C 【分析】选项A 根据命题的否定判断，选项B 根据正弦定理及两角和的余弦公式判定即可，选项C 可根据均值及方差的性质判断，选项D 根据互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】A 中根据命题的否定可知，命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -≤”正确；B 中A B <可知a b <，根据正弦定理可得sin sin A B <,同理可知由sin sin A B <可得a b <，可得A B <，即sin sin A B A B <⇔<,因为cos y x =在(0,)x π∈上单调递减，且(0,),(0,)A B ππ∈∈，所以cos cos A B A B <⇔>，故正确；C 中设原数据中方差为2s ，则加入一个新数据3后平均值为63337⨯+=，方差为2226(33)677s s ⨯+-=，故不正确；D 中，事件“至多一个红球”与“都是红球”不能同时发生，而且在一次试验中有且只有一个事件发生， 故互斥且对立正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了命题的否定，三角形中的充要条件，平均值与方差，互斥与对立事件，属于中档题.5．D解析：D 【分析】先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】命题p 的逆否命题为“若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”；由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假， 故选：D. 【点睛】本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6．B解析：B 【分析】①1=1，然后两边平方，再通过作差法即可得解； ②若331a b -=，则331a b -=，然后利用立方差公式可知23(1)(1)a a a b -++=，再结合0a b >>以及不等式的性质即可判断；③若1abe e -=，则111a b a bb b b e e e e e e-+===+，再利用0b >，得出1b e >，从而求得a be -的范围，进而判断；④取特殊值，a e =，1b =即可判断． 【详解】解：①1=，1，所以1a b =++所以11a b -=+，即①错误； 若331a b -=， 则331a b -=，即23(1)(1)a a a b -++=， 因为0a b >>， 所以22a b >， 所以221a a b ++>，所以1a b -<，即1a b -<，所以②正确； 若1a b e e -=， 则111a b a bb b b e e ee e e-+===+， 因为0b >，所以12a b e e -<<<， 所以1a b -<，即③正确；④取a e =，1b =，满足1lna lnb -=， 但1a b ->，所以④错误； 所以真命题有②③， 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及根据不等式的性质证明不等式、指对运算法则、立方差公式等，考查学生的分析能力和运算能力．7．C解析：C 【分析】写出逆命题和否命题，判断正误，根据或和且的命题真假判断命题真假得到答案. 【详解】逆命题为：若a b <，则22am bm <，当0m =是不成立，故为假命题，A 正确；否命题为：如果()()150x x +-≠2≠，为真命题，B 正确； 若p q ∧为假命题，则p 、q 不同时为真，C 错误；若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，D 正确； 故选：C . 【点睛】本题考查了逆命题和否命题，或和且命题的判断，意在考查学生的推断能力.8．C解析：C【分析】先判定命题p 为假命题，命题q 为真命题，再结合复合命题的真假判定，即可求解. 【详解】由题意，命题:225p +=为假命题，命题:32q >为真命题，所以命题p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，命题p q ∨为真命题，q ⌝为假命题， 故选：C . 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中正确判定命题,p q 的真假，熟记复合命题的真假判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据必要不充分条件的判断方法，即可得出A 正确；写出原命题的否定命题，即可判断B ；写出原命题的逆否命题，即可判断C ；写出原命题的逆命题，即可判断D. 【详解】对于A ，()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->R ，故B 正确； 对于C ，命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x ≥，则1≥x 或1x ≤-”，故C 错误；对于D ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题是 “若方程20x x m +-=有实数根，则0m >”当方程20x x m +-=有实数根时，140m =+≥，即14m ≥-， 所以命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题为假命题，故D 正确. 故选：C. 【点睛】（1）从逻辑关系上看，若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. （2）含有一个量词的命题的否定：一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论；对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.（3）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论：将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题；将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题．否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词；先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题，也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.10．D解析：D 【分析】先分析函数的奇偶性，由导数得出函数的单调性，利用这两个性质求解． 【详解】()sin f x x x =，()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，()f x 是偶函数，()sin cos f x x x x '=+，在02x π≤<时，()0f x '≥，()f x 递增，所以22()()()()f a f b f a f b a b a b >⇔>⇔>⇒>． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，用函数的这两个性质求解不等式．本题还考查了导数与单调性的关系．掌握用导数研究不等式的方法是解题关键．11．B解析：B 【分析】画出平面区域D ，直线28x y +=和直线21x y +=-，根据图像判断出命题p 和命题q 的真假，从而得到答案. 【详解】平面区域为D 满足不等式()()22124x y -+-≤， 画出其图像如图所示，再画出直线28x y +=和直线21x y +=-，根据图像可得存在(),x y D ∈，在直线28x y +=的上方， 所以命题p ：()x y D ∀∈,，28x y +≤，是假命题， 不存在(),x y D ∈，在直线21x y +=-的下方 所以命题q ：(),x y D ∃∈，21x y +≤-，是假命题.所以①p q ∨为假命题；②p q ⌝∨为真命题；③p q ∧⌝为假命题；④p q ⌝∧⌝为真命题. 故选：B.【点睛】本题考查判断含有逻辑联结词命题的真假，根据不等式画可行域，判断点是否在可行域内，属于中档题.12．A解析：A 【分析】求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 若函数()y f x =为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，6π=ϕ. 因此，“6π=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】先整理为关于的不等式恒成立求出相应的最值后得不等式在时能成立分离参数整理为求出诉最大值可得结论【详解】由得∴当时取得最小值∴使成立即使成立设设则∴即∴在时是增函数∴在上有∴故答案为：【点睛】 解析：(,5]-∞【分析】先整理为关于1x 的不等式恒成立，求出相应的最值后，得不等式222222154x x x ax -+--+-在2[3,4]x ∈时能成立，分离参数整理为223414x a x ≤++，求出223414x x ++诉最大值可得结论． 【详解】由2211221225x x x x x ax ≥++-+，得2212122(2)5x x x x ax +-≥-+-， ∴当2112x x =-时，()21212x x x +-取得最小值()22222221211224x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴2[3,4]x ∃∈，使222222154x x x ax -+--+-成立，即2[3,4]x ∃∈，使223414a x x ++成立． 设3414t y t=++，设1234t t ≤<≤，则12120,316t t t t -<>， ∴12121212121233()(316)44444t t t t t t y y t t t t ---=+--=0<，即12y y <， ∴3414t y t=++在[3,4]∈时，是增函数． ∴223414x y x =++在[3,4]上有max 5y =，∴5a ≤． 故答案为：(,5]-∞． 【点睛】思路点睛：本题考查双变量不等式恒成立求参数范围．解题方法是先整理为以1x 为变量的不等式恒成立，又转化为关于2x 的不等式能成立，分离参数后求得函数的最值．14．②③④【分析】①直接利用命题的否定判断；②函数的最小值和必要不充分条件的应用；③对数的运算关系式的应用；④根据基本不等式可得答案；【详解】①命题对任意的有的否定为存在有故①错误；②对于任意的总解析：②③④ 【分析】①直接利用命题的否定判断；②函数的最小值和必要不充分条件的应用； ③对数的运算关系式的应用； ④根据基本不等式可得答案； 【详解】①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x >，有21x ≤”，故①错误； ②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”由于没有说明0x D ∈()0f x M =，所以“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”不一定成立；函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ，总有()f x M ≥（M 为常数）成立，故②正确；③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()1212log log log a a a x x x x =+， 所以()()()1212f x f x f x x +=成立，故③正确；④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，()()1212,33x x f x f x ==，1212232x xx x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()30xf x =>，所以()()1212122322x x f x f x x x f +++⎛⎫>=== ⎪⎝⎭，故④正确．故答案为：②③④.【点睛】本题考查了命题的否定、函数的最小值和充分条件和必要条件的应用、对数的运算关系、不等式比较大小的问题.15．【分析】由题意可知恒成立结合二次函数的性质可求的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】原命题否定为真命题即∴因为图象开口向上对称轴为则∴故答案为:【点睛】本题考查了由不等式恒成立求参数的取值范围考查 解析：(],1-∞-【分析】由题意可知22a x x ≤-恒成立，结合二次函数的性质可求22x x -的最小值，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】原命题否定，x ∀∈R ，220x x a --≥为真命题，即22a x x ≤-，∴()2min2a x x≤-，因为22y x x =-图象开口向上，对称轴为1x =，则()2min2121x x-=-=-，∴1a ≤-，故答案为: (],1-∞-.本题考查了由不等式恒成立求参数的取值范围，考查了已知命题的真假性求参数的取值范围.本题的关键是由已知得不等式恒成立.16．充分不必要【分析】当时对任意的正数x 均有反过来当对任意的正数x 均有时通过讨论有成立即可判断【详解】当时对任意的正数x 均有当且仅当时等号成立；当对任意的正数x 均有时当时令此时不符合题意；当时显然不满足解析：充分不必要 【分析】当14a =时，对任意的正数x ，均有141a x x x x+=+≥，反过来，当对任意的正数x ，均有1a x x +≥时，通过讨论有14a ≥成立，即可判断.【详解】 当14a =时，对任意的正数x ，均有141a x x x x +=+≥==， 当且仅当12x =时等号成立； 当对任意的正数x ，均有1ax x+≥时，当0a <时，令0x =>，此时0ax x+=，不符合题意； 当0a =时，1≥x ，显然不满足题意；当0a >时，有1ax x+≥， 解得有14a ≥， 所以“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x +≥”的充分不必要条件故答案为：充分不必要 【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断，属于一般题.17．3【分析】根据2011被5除的余数为1可判断①；将=可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为01234可判断③；令根据类的定理可证明④的真假【详解】①由2011÷5=402…1所以2011∈1故①解析：3根据2011被5除的余数为1，可判断①；将3-=52-+，可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4，可判断③；令115a n m =+，225b n m =+，根据“类”的定理可证明④的真假． 【详解】①由2011÷5=402…1，所以2011∈[1]，故①正确； ②由()3512-=⨯-+ 所以[]33-∉，故②错误；③整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的整数构成，③正确； ④假设115a n m =+，225b n m =+，()12125a b n n m m -=-+-，,a b 要是同类. 则 12m m =，即120m m -=，所以[]0a b -∈，反之若[]0a b -∈，即120m m -=，所以12m m =，则,a b 是同类. ④正确； 故答案为：3 【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解新定义“类”是解答的关键，以及进行简单的合情推理．属中档题．18．④【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断②利用充分条件和必要条件的定义判断③利用特称命题的否定判断④利用逆否命题的等价性进行判断【详解】解：①根据否命题的定义可知命题若则的否命题为若则所以解析：④ 【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的否定判断．④利用逆否命题的等价性进行判断． 【详解】解：①根据否命题的定义可知命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，所以①错误．②由2560x x --=得1x =-或6x =，所以②“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以②错误．③根据特称命题的否定是全称命题得命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x +-”，所以③错误．④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，所以④正确．故答案为④． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础．19．（3）（4）【分析】利用充要条件不等式性质两直线垂直的充要条件等比数列为递增数列的条件逐一判断即可【详解】对于（1）求得所以是的充分不必要条件所以错误对于（2）不成立所以错误对于（3）直线与直线相互解析：（3）（4） 【分析】利用充要条件、不等式性质、两直线垂直的充要条件、等比数列为递增数列的条件，逐一判断即可. 【详解】对于（1）22"log log "a b >求得0a b >>，所以"1"a b >>是22"log log "a b >的充分不必要条件，所以错误对于（2）0c <不成立，所以错误对于（3）直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互垂直，12m =或2m =-，所以正确 对于（4）1"0a >且1"q >可以推出对任意n N +∈,都有1n n a a +>，反之不成立，如数列16,8,4,2----，所以正确故答案为（3）（4） 【点睛】本题考查了命题真假的判断，涉及到不等式性质、充要条件、等比数列的单调性等知识，属于中档题.20．②③④【分析】命题的判断一一进行判断即可对于①显然为假命题；对于②逆否命题条件和结论都否定正确；对于③若x ＞1则|x|＞0若|x|＞0则x 不一定大于1；对于④f （x ）＝|x+1|+|x ﹣3|表示数轴解析：②③④ 【分析】命题的判断，一一进行判断即可．对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；对于④，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣3|表示数轴上点x 到﹣1和3的距离之和． 【详解】对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；对于④，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣3|表示数轴上点x 到﹣1和3的距离之和,最小为4,所以m 4≤.故答案为②③④． 【点睛】本题考查命题真假的判断，综合考查了不等式性质及绝对值的意义，属于中档题．三、解答题21．（1）[)2,3；（2）12a <<. 【分析】（1）当1a =时，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用p q ∧为真可得x 的取值范围； （2）由题可得q 是p 的充分不必要条件，得Q P ,从而可得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，由()()130x x --<，得p :13x <<， 由428x ≤≤，得:q 23x ≤≤，由p ∧q 为真，即p ，q 均为真命题，因此x 的取值范围是[)2,3． （2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件，由题可得命题p 对应的集合{}3P x a x a =<<，命题q 对应的集合{}23Q x x =≤≤， 所以Q P ，因此2a <且33a <，解得12a <<． 即实数a 的取值范围是12a <<. 【点睛】本题考查充分必要条件的定义和应用，考查复合命题的真假判断，考查分析解决问题的能力，属于基础题.22．（1）2m ≥-；（2）2m <-. 【分析】（1）由题意知，q 是真命题等价于方程2210x x m +--=有实根，利用判别式0∆≥即可求解；（2）由题意知，分别求出p 、q ⌝为真命题时实数m 的取值范围，然后再取交集即可. 【详解】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题， 所以方程2210x x m +--=有实根， 所以判别式()4410m ∆=++≥， 所以实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<， 若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立， 当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有2440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-， 由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-， 又()p q ∧⌝为真，故p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-，所以实数m 的取值范围为2m <-. 【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题. 23．（1）{}3|1x x <<（2）()3,+∞ 【分析】（1）分解因式得()()130x x --<,进而求解即可；（2）先将命题q 中不等式分解为()()10x m x --<,所以讨论m 与1的大小,当1m 时，不等式()210x m x m -++<的解是1x m <<,由q 是p 的必要不充分条,则2430x x -+<的解集是()210x m x m -++<（1m ）解集的真子集,即可求解,同理讨论当1m <与1m =时的情况.【详解】解：（1）因为2430x x -+<,所以()()130x x --<,所以13x <<, 所求解集为{}|13x x <<.（2）因为q ：()()210x m x m m R -++<∈,则()()10x m x --<当1m 时,不等式()210x m x m -++<的解是1x m <<,因为q 是p 的必要不充分条件,所以2430x x -+<的解集是()210x m x m -++<（1m ）解集的真子集,所以3m >；当1m <时,不等式()210x m x m -++<的解是1m x <<,因为{}{}||131x x x m x <<⋂<<=∅,不合题意； 当1m =时,不等式2430x x -+<的解集为∅,不合题意. 综上,m 的取值范围是()3,+∞． 【点睛】本题考查含参数的一元二次不等式的解法,考查由充分必要条件求参数的范围,考查运算能力与分类讨论思想.24．充分不必要条件，证明见解析. 【分析】利用给出的定义、向量共面定理即可判断出关系． 【详解】p ：空间三个非零向量a ，b ，c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出．q ：空间三个非零向量a ，b ，c 共面．p 是q 的充分不必要条件．证明如下：若空间三个非零向量a ，b ，c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出， 不妨设c xa yb =+,则由向量共面定理知，a ，b ，c 共面， 即p q ⇒，反之不成立，例如，三个非零向量a ，b ，c 共面，且//a b ，而c 与a ，b 不共线，则c 无法用a ，b 线性表示． p ∴是q 的充分不必要条件．【点睛】本题考查了向量共线共面定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．（1）{2,3}；（2）{3}． 【分析】（1）解方程确定集合,A B ，再根据命题p 为真求得a ； （2）题意说明x C ∈是x A ∈的充分条件，由此可求得m 值． 【详解】 由题意{1,2}A =，（1）2a =时，{1}B =满足题意，2a ≠时，{1,1}B a =-， 则∵x B ∀∈，都有x A ∈，∴12a -=，3a =， ∴a 的取值集合是{2,3}；（2）∵“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，∴x C x A ∈⇒∈．若280m ∆=-=，即m =±C =或{C =均不合题意， 又C ≠∅，∴0∆>，因此12{,}C x x =，又12,x A x A ∈∈， 因此不妨设11x =，22x =，则123m x x =+=．∴m 的取值集合是{3}．【点睛】关键点点睛：本题考查由充分必要条件求参数，解题方法是根据充分条件，必要条件的定义得出集合中元素的性质，从而得出结论．也可由充分必要条件与集合包含之间的关系确定集合的关系，从而得出结论． 26．（1）(3,0)-；（2）(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【分析】（1）只需24120m m ∆=+<，然后求解m 的取值范围； （2）分p 真q 假、p 假q 真两种情况讨论求解. 【详解】解：（1）若命题p 为真命题，则24120m m ∆=+<，解得30m -<<，故实数m 的取值范围(3,0)-（2）若命题q 为真命题，则21640m ∆=->，解得12m <-或12m > ∵命题,p q 中恰有一个为真命题， ∴命题,p q 一真一假①当p 真q 假时，301122m m -<<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，解得：102m -≤<②当p 假q 真时，301122m m m m ≤-≥⎧⎪⎨-⎪⎩或或，解得：3m ≤-或12m >.综上，实数m 的取值范围(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，考查二次不等式恒成立与有解问题，难度一般.。
苏教版高中数学选修2-1巩固练习_常用逻辑用语全章复习巩固(理)_基础
【巩固练习】一、选择题1. 与命题“若m M ∈，则n M ∉”等价的命题是（ ）A ．若m M ∉，则n M ∉B ．若n M ∉，则m M ∈C ．若m M ∉，则n M ∈D ．若n M ∈，则m M ∉2. 命题“若p 不正确，则q 正确”的逆命题的等价命题是（ ）A 、若q 不正确，则p 不正确B 、若q 不正确，则p 正确C 、若p 正确，则q 不正确D 、若p 正确，则q 正确3. 用反证法证明命题“若m ＋n 是偶数，则m 、n 都是偶数”时，正确的假设是（）A ．假设m 、n 都不是偶数B ．假设m 、n 不都是偶数C ．假设m 、n 都是偶数D ．假设m 、n 都是奇数4. 若p ，q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有（ ）A 、p 真q 真B 、p 假q 假C 、p 真q 假D 、p 假q 真5. 下列四个命题中，其中为真命题的是（ ）A ．2,30x R x ∀∈+<B ．2,1x N x ∀∈≥C ．,x Z ∃∈使51x <D ．2,3x Q x ∃∈=6．设命题甲为：0<x<5，命题乙为：|x-2|<3，那么（ ）。
A 、甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B 、甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C 、甲是乙的充要条件D 、甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件7．已知a,b,c 为非零的平面向量.甲：⋅=⋅a b a c ，乙：=b c ，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件二、填空题8．给出下列命题①若ac ＝bc ，则a ＝b ；②方程x 2－x ＋1＝0有两个实根；③对于实数x ，若x －2＝0，则x －2≤0；④若p >0，则p 2>p ；⑤正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．9．命题“若x ＝3，y ＝5，则x ＋y ＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________；逆否命题是____________________．10．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．三、解答题11.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；(2)奇数不能被2整除．12.把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)当ac >bc 时，a >b ；(2)已知x 、y 为正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2；(3)当14m >时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (4)当abc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0； (5)当x 2－2x －3＝0时，x ＝3或x ＝－1.13．命题“若m >0，则2x 2＋3x －m ＝0有实根”是真命题吗？证明你的结论．14.写出下列命题的否定和否命题．(1)正n (n ≥3)边形的n 个内角全相等；(2)0的平方等于0.15.设原命题为“已知a 、b 是实数，若a ＋b 是无理数，则a 、b 都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．【答案与解析】1.【答案】D ；【解析】互为逆否命题的真假性等价，原命题与命题D 互为逆否命题，故选D.2.【答案】C ；【解析】互为逆否的命题等价；和逆命题等价的是否命题.3.【答案】B ；【解析】“都是”的否定词语是“不都是”，而不是“都不是”.4.【答案】B ；【解析】“p 或q ”为假命题.5.【答案】C ；【解析】由于x R ∀∈，都有20x ≥，因而233x +≥，所以选项Ａ为假命题；由于0N ∈，当0x =时，21x ≥不成立，故选项B 为假命题；由于1Z -∈，当1x =-时，51x <，所以选项C 为真命题；由于使23x =成立的数只有 因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以选项D 为假命题.6.【答案】A ；【解析】命题甲为x ∈{x|0<x<5}；命题乙为x ∈{x|-1<x<5}。
2020版高中数学高二选修2-1教案及练习归纳整理06巩固练习简单的逻辑联结词提高
【巩固练习及参考答案解析】一、选择题1.“xy ≠0”是指( )A.x ≠0且y ≠0B.x ≠0或y ≠0C.x ,y 至少一个不为0D.不都是02.下列命题:①5>4或4>5;②9≥3;③命题“若a >b ,则a ＋c >b ＋c ”;④命题“菱形的两条对角线互相垂直”,其中假命题的个数为( )A.0B.1C.2D.33.若命题p :0是偶数,命题q :2是3的约数,则下列结论中正确的是( )A.“p ∨q ”为假B.“p ∨q ”为真C.“p ∧q ”为真D.以上都不对4.(2015 北京市海淀区高三二模数学(理))已知命题p,q,那么“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知命题p:x AB ∈, 则非p 是( ) A.x A B ∉ B.x A ∉或x B ∉ C.x A ∉且x B ∉ D.x A B ∈6.(2015 北京市西城区高三二模数学(理))设命题p :函数1(x)e x f -=在R 上为增函数;命题q :函数()cos()f x x π=+为奇函数,则下列命题中真命题是( )A.p ∧qB.(┐p)∨qC.(┐p)∧(┐q )D.p ∧(┐q )二、填空题7.已知命题p :不等式x 2＋x ＋1≤0的解集为R ,命题q :不等式201x x -≤-的解集为{x |1<x ≤2},则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”“¬q ”中正确的是命题________.8.设命题p :3≥2,q :)⎡+∞⎣;则复合命题“p ∨q ”,“p ∧q ”中真命题的个数是________.9.命题p :2不是质数,命题q 是无理数,在命题“p ∧q ”、命题“p ∨q ”“¬p ”“¬q ”中,假命题是________,真命题是________.10.已知命题{}:0p ∅⊆,{}:1,2q ∅∈.由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”和“¬p ”形式的复合命题中,为真命题的是________.三、解答题11.命题p :二次函数2y x x =++的图象与x 轴相交,命题q :二次函数y ＝－x 2＋x －1的图象与x 轴相交,判断由p 、q 组成的新命题p ∧q 的真假.12.写出下列命题的否定:(1)a 、b 、c 都相等;(2)y ＝cos x 是偶函数且是周期函数;(3)(x －2)(x ＋5)>0.13.已知命题p :方程2230x -+=的两根都是实数;q :方程2230x -+=的两根不相等,试写出由这组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题,并指出其真假.14.已知命题p :x 2－5x ＋6≥0;命题q :0<x <4.若p 是真命题,q 是假命题,求实数x 的取值范围.15.已知命题p :|x 2－x |≥6,q :x ∈Z ,若“p ∧q ”与“¬q ”都是假命题,求x 的值.【答案与解析】1.【参考答案】 A【试题解析】 xy ≠0当且仅当x ≠0且y ≠0.2.【参考答案】 A【试题解析】 ①②为“p 或q ”形式的命题,都是真命题,③为真命题,④为“p 且q ”形式的命题,为真命题,故选A.3.【参考答案】 B【试题解析】 命题p 为真命题,命题q 为假命题,故“p ∨q ”为真命题.4.【参考答案】 A【试题解析】“p ∧q 为真命题”推出命题p ,q 均为真命题;“p ∨q 为真命题”推出p ,q 中至少有一个为真命题,可能有一个假命题。
高二数学选修2-1第一章常用逻辑用语-知识点+习题+答案
第一章 常用逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假第一章常用逻辑用语测试题一、 选择题（每道题只有一个答案，每道题5分，共60分）1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ） A 、真命题与假命题的个数相同 B 真命题的个数一定是奇数C 真命题的个数一定是偶数D 真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2、下列命题中正确的是（ ）①“若220x y +≠，则,x y 不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题 ③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题 ④“若3x -是有理数，则x 是无理数”的逆否命题A 、①②③④B 、①③④C 、②③④D 、①④3、“用反证法证明命题“如果x y <，那么1155x y <”时，假设的内容应该是（） A 、1155x y=B 、1155x y>C 、1155x y =且1155x y>D 、1155x y =或1155x y >4、“1a ≠或2b ≠”是“3a b +≠”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要 5、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要 6、函数()||f x x x a b =++是奇函数的充要条件是（ ）A 、0ab =B 、0a b +=C 、a b =D 、220a b += 7、“若x a x b ≠≠且，则2()0x a b x ab -++≠”的否命题（） A 、若x a x b ==且，则2()0x a b x ab -++= B 、若x a x b ==或，则2()0x a b x ab -++≠ C 、若x a x b ==且，则2()0x a b x ab -++≠ D 、若x a x b ==或，则2()0x a b x ab -++=8、“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y ++--=相互垂直”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要9、命题p ：存在实数m ，使方程210x mx ++=有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ） A 、存在实数m ，使得方程210x mx ++=无实根 B 、不存在实数m ，使得方程210x mx ++=有实根 C 、对任意的实数m ，使得方程210x mx ++=有实根D 、至多有一个实数m ，使得方程210x mx ++=有实根10.若"a b c d ≥⇒>"和"a b e f <⇒≤"都是真命题,其逆命题都是假命题，则"c d ≤"是"e f ≤"的( )A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 11.在下列结论中，正确的是（ ）①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件 ②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件 ③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件 ④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④12.设集合(){}(){}(){}0,,02,,,,≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x u ，那么点(2,3)P ()B C A u ⋂∈的充要条件是（ ）A ．1,5m n >-<B ．1,5m n <-<C ．1,5m n >->D ．1,5m n <-> 二、填空题（每道题4分，共16分）13、判断下列命题的真假性: ①、若0m >，则方程20x x m -+=有实根 ②、若1,1x y >>,则2x y +>的逆命题③、对任意的{|24},|2|3x x x x ∈-<<-<的否定形式④、0∆>是一元二次方程20ax bx c ++=有一正根和一负根的充要条件 14、“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是 否命题是15、若把命题“A B ⊆”看成一个复合命题，那么这个复合命题的形式是__________，构成它的两个简单命题分别是_____________________________________。
高二数学选修2-1课件：常用逻辑用语习题课
2、"|a|> 3 "是“方程x2 ax 1 0 (a R)的两实根的平方和大于3”的 必要条件吗？这个条件充分吗？为 什么？
3、求方程ax2 2x 1 0至少有一个 负实根的充要条件。
第五页，编辑于星期一：一点 二十二分。
4、设a、b、c为ABC的三边，求证： 方程x2 2ax b2 0与x2 2cx b2 0 有公共根的充要条件是A=90 .
q :" x2 2x 1 m2 0", (m 0) 若p是q的必要不充分条 件，求实数m的取值范围。
第三页，编辑于星期一：一点 二十二分。
2、充分条件与必要条件的判定，首先要弄清 哪个是命题的条件，哪个是结论，然后利用 （1）定义；（2）等价的逆否命题；（3）集 合的包含关系等来判定。
第四页，编辑于星期一：一点 二十二分。
高中数学选修 2-1
第一章 常用逻辑用语
习题课
第一页，编辑于星期一：一点 二十二分。
复习巩固：
已知命题p :"x R, 使x2 2ax a 0", 若命题p为假命题， 求实数a的取值范围。
第二页，编辑于星期一：一点 二十二分。
1、 p与q的关系，可利用等价关系 转化q与p的关系：
1、已知p :" |1 x 1 | 2", 3
第六页，编辑于星期一：一点 二十二分。
3、简易逻辑的应用： 需将题中的逻辑关系转化为集合的 交、并、补运算。
《学海》第8课时例2
第七页，编辑于星期一：一点 二十二分。
Hale Waihona Puke 业 ：1、编写本章知识结构网；
2、教材30页所有题；
3、《学海》单元检测卷一.
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数学精选练习选修2-1苏教版第1章常用逻辑用语章末复习含答案
章末复习学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．1．命题及其关系(1)判断一个语句是否为命题，关键是：①为陈述句；②能判断真假．(2)互为逆否命题的两个命题的真假性相同．(3)四种命题之间的关系如图所示．2．充分条件、必要条件和充要条件(1)定义若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p ⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p⇒q，q ⇒r，则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．3．简单的逻辑联结词与量词(1)常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．(2)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“∀x ”表示“对任意x ”．(3)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“∃x ”表示“存在x ”．(4)含有全称量词的命题叫做全称命题，含有存在量词的命题叫做存在性命题．1．已知命题p ：∀x ＞0，x 3＞0，那么綈p ：∃x ＞0，x 3≤0.(√) 2．命题“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”的否命题是假命题．(√) 3．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件．(×)4．“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题是真命题．(×)类型一 命题及其关系 例1 (1)有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”． 其中是真命题的是________．(填序号) 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 ①③(2)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )． 考点 “p ∨q ”形式的命题 题点 判断“p ∨q ”形式命题的真假 答案 ①解析 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故①为真命题．反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同．(2)“p 与綈p ”一真一假，“p ∨q ”一真即真，“p ∧q ”一假就假．跟踪训练1 (1)命题“若x 2>1，则x <－1或x >1”的逆否命题是________． 考点 四种命题题点 四种命题概念的理解 答案 若－1≤x ≤1，则x 2≤1(2)设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．(填序号) ①p 为真；②q 为真；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真． 考点 “p ∧q ”形式的命题 题点 判断“p ∧q ”形式命题的真假 答案 ③解析 由题意知p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确． 类型二 充分条件与必要条件例2 已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a ，若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 由p 得1≤x <3，∵q ：x 2－ax ≤x －a ，∴x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0， 即(x －1)(x －a )≤0， ①当a <1时，a ≤x ≤1； ②当a ＝1时，x ＝1； ③当a >1时，1≤x ≤a .∵綈p 是綈q 的充分条件，∴q 是p 的充分条件． 设q 对应集合A ，p 对应集合B ，则A ⊆B ， 当a <1时，A ⊈B ，不合题意； 当a ＝1时，A ⊆B ，符合题意；当a >1时，1≤x ≤a ，要使A ⊆B ，则1<a <3. 综上所述，a 的取值范围为[1,3)．反思与感悟 若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，即q 的充分条件是p ，p 的必要条件是q .如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p 的必然结果是q ，q 是p 的必然结果．则p ⇏q 易表述为以下几种说法： p 是q 的不充分条件，q 的不充分条件是p ；q 是p 的不必要条件，p 的不必要条件是q .跟踪训练2 已知命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 由(4x －3)2≤1，得－1≤4x －3≤1，即12≤x ≤1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得(x －a )(x －a －1)≤0，即a ≤x ≤a ＋1. 因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.即实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，12 类型三 等价转化思想的应用例3 已知c >0且c ≠1，设p ：函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上是减少的；q ：不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题，求c 的取值范围． 解 函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上是减少的⇔0<c <1. 不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R ⇔函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.∵x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x <2c ，∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c ， ∴2c >1且c ≠1，得c >12且c ≠1.如果p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<c <1，0<c ≤12，解得0<c ≤12； 如果q 真p 假，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＞1，c >12且c ≠1，解得c ＞1.∴c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)． 反思与感悟 等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．跟踪训练3 已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围．解 (1)由命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，解得－1≤x ≤5. 命题q ：1－m ≤x <1＋m (m >0)．∵p 是q 的充分条件，∴[－1,5]⊆[1－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－1，5≤1＋m ，解得m ≥4， 则实数m 的取值范围为[4，＋∞)． (2)∵m ＝5，∴命题q ：－4≤x ≤6. ∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， ∴命题p ，q 为一真一假．当p 真q 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x <－4或x ＞6，无解；当q 真p 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >5，－4≤x ≤6，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.因此x 的取值范围是[－4，－1)∪(5,6]． 类型四 分类讨论思想的应用例4 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围． 解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2. 又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数， ∴3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围 为(－∞，－2]∪[1,2)．反思与感悟 分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点．这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题相联系．解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想．跟踪训练4 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围． 解 方法一 由题意知，p 和q 有且只有一个为真．p 为真时，0＜a ＜1；∵y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a －3)2－4＞0，得a ＜12或a ＞52，即q 为真时，0<a ＜12或a ＞52. (1)当p 为真，且q 为假时，a ∈(0,1)∩⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎦⎤1，52，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1. (2)当p 为假，且q 为真时，a ∈(1，＋∞)∩⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞，即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 综上，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. 方法二 ∵A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1}，B ＝{a |q (a )}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0<a <12或a >52， ∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈A ∪B 且a ∉A ∩B ， 故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.1．设命题p ：∃n ∈N *，n 2>2n ，则綈p 为_______________． 答案 ∀n ∈N *，n 2≤2n解析 将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”．2．已知命题p ：|x ＋1|>2，命题q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 綈p 是綈q 的充分不必要条件的等价命题为q 是p 的充分不必要条件，即q ⇒p ，而p ⇏q ，命题p 化简为x >1或x <－3，所以当a ≥1时，q ⇒p . 3．给出以下四个判断：①若“p 或q ”为真命题，则p ，q 均为真命题；②命题“若x ≥4且y ≥2，则x ＋y ≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6，则x ＜4且y ＜2”；③若x ≠300°，则cos x ≠12；④命题“∃x ∈R ，e x ≤0”是假命题． 其中是真命题的是________．(填序号) 考点 命题真假性的判断 题点 命题的真假性判断 答案 ④解析 若“p 或q ”为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题，故①错误；命题“若x ≥4且y ≥2，则x ＋y ≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6，则x ＜4或y ＜2”，故②错误；若x ≠300°，则cos x ≠12，错误，如x ＝60°≠300°，但cos 60°＝12；由指数函数的值域可知，命题“∃x ∈R ，e x ≤0”是假命题．4．对任意x ∈[－1,2]，x 2－a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 考点 全称命题的真假性判断 题点 恒成立求参数的取值范围 答案 (－∞，0]解析 由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，故a ≤(x 2)min ，得a ≤0.5．分别指出下列各组命题的“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式的新命题的真假． (1)p ：2>2，q ：2＝2；(2)p ：∅是{0}的真子集，q ：0∈∅；(3)p ：函数y ＝x 2＋2x ＋5的图象与x 轴有公共点，q ：方程x 2＋2x ＋5＝0没有实数根． 考点 “或”“且”“非”的综合问题 题点 判断复合命题的真假解 (1)∵p ：2>2，是假命题，q ：2＝2，是真命题， ∴命题p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，綈p 是真命题． (2)∵p ：∅是{0}的真子集，是真命题，q ：0∈∅，是假命题， ∴命题p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，綈p 是假命题． (3)∵p ：函数y ＝x 2＋2x ＋5的图象与x 轴有公共点，是假命题， q ：方程x 2＋2x ＋5＝0没有实数根，是真命题，∴命题p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，綈p 是真命题．1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．2．判断命题真假的步骤：确定复合命题的构成形式⇒判断其中简单命题的真假⇒根据真值表判断复合命题的真假3．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断，如下表：4.含有一个量词的命题的否定：特别提醒：(1)全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．(2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念．对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论．一、填空题1．命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是________．答案∃x∈R，x2＝x解析全称命题的否定是存在性命题，所以“∀x∈R，x2≠x”的否定为“∃x∈R，x2＝x”．2．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∀x∈R,2x－1>0；②∀x∈N*，(x－1)2>0；③∃x∈R，lg x<1；④∃x∈R，tan x＝2.答案②解析①中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；②中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；③中命题是存在性命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；④中命题是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题．3．已知直线l1：ax＋y＝1和直线l2：9x＋ay＝1，则“a＋3＝0”是“l1∥l2”的________条件．答案充分不必要解析因为两直线平行，所以有a2－9＝0，解得a＝±3，当a＝±3时，显然两条直线平行，故“a＋3＝0”是“l1∥l2”的充分不必要条件．4．下列命题中，为真命题的全称命题是________．(填序号)①对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0；②菱形的两条对角线相等；③∃x，x2＝x；④对数函数在定义域上是单调函数．答案④解析①中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；②④在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；③是存在性命题，④正确．5．命题p：若ac＝b，则a，b，c成等比数列，则命题p的否命题是________命题．(填“真”“假”)答案假解析其原命题的否命题是：若ac≠b，则a，b，c不成等比数列．若b＝－ac，则b2＝ac，此时a，b，c也可以成等比数列，故为假命题．6．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②a2＝b2；③a2＝a·b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的是________．(填序号)答案①②③解析由a＝b可以推得①，②，③均成立，而由①，②或③都推不出a＝b.7．下列有关命题的叙述，①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1<0，则綈p：∀x∈R，使得x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”．其中错误的个数为________．答案 2解析若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，所以p∧q不一定为真，所以①错误；x2－4x－5>0得x>5或x<－1，所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件，②正确；根据存在性命题的否定是全称命题知③正确；“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2. 8．有下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③若直线m ，n 与同一个平面所成的角相等，则m ，n 互相平行； ④若直线m ，n 是异面直线，则与m ，n 都相交的两条直线是异面直线． 其中假命题的个数是________． 答案 3解析 ①垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确； ②垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，错误；③若直线m ，n 与同一个平面所成的角相等，则m ，n 互相平行或相交或异面，错误； ④若直线m ，n 是异面直线，则与m ，n 都相交的两条直线是异面直线或相交直线，错误． 9．命题p ：若a >0，b >0，则ab ＝1是a ＋b ≥2的必要不充分条件，命题q ：函数y ＝log 2x －3x ＋2的定义域是(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则以下四个命题中正确的是________．(填序号) ①“p ∨q ”为假；②“p ∧q ”为真；③p 真q 假；④p 假q 真． 答案 ④解析 由命题p ：a >0，b >0，ab ＝1得a ＋b ≥2ab ＝2，所以p 为假命题； 命题q ：由x －3x ＋2>0得x <－2或x >3，所以q 为真命题．10．已知命题p ：若a ＝(1,2)与b ＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q ：任意k ∈R ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0相交．则下面结论正确的是________．(填序号) ①(綈p )∨q 是真命题；②p ∧(綈q )是真命题；③p ∧q 是假命题；④p ∨q 是假命题． 答案 ①解析 命题p 为真，命题q ：圆心(0,1)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝0k 2＋1<1，命题q 是真命题．故(綈p )∨q 是真命题．11．定义f (x )＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________．(填序号)①f (2x )＝2f (x )；②若f (x )＝f (y )，则x －y <1；③任意x ，y ∈R ，f (x ＋y )≤f (x )＋f (y )；④f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )； ⑤函数f (x )为奇函数．答案 ②③解析 根据新定义“取上整函数”的意义f (2x )＝2f (x )不一定成立，如x 取1.5；f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )不一定成立，如x 取0；函数f (x )不满足奇函数的关系，如f (1.6)＝2，f (－1.6)＝－1.故答案为②③.二、解答题12．对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， 又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．13．已知命题p ：“存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解 若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，∴0<a ≤1. 若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根，∴Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32. ∵命题“p ∧q ”为真命题，∴命题p ，q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a ≤1，12<a <32，∴12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1.三、探究与拓展14．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的________条件． 考点 充分、必要条件的概念及判断题点 充分不必要条件的判断答案 充分不必要解析 由直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，易知k ≠0，且圆心O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2＜1，所以|AB |＝21－d 2＝21－11＋k 2 ＝2k 21＋k 2. 若k ＝1，则|AB |＝2，d ＝22， 所以△OAB 的面积为12×2×22＝12. 反过来，若△OAB 的面积为12， 则S ＝12×11＋k 2×2k 21＋k 2＝k 21＋k 2＝12， 解得k ＝±1.故“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．15．设命题p ：a ＞1；命题q ：不等式－3x ≤a 对一切正实数x 均成立．(1)若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵x ＞0，∴3x ＞1，∴－3x ＜－1，∵－3x ≤a ，∴a ≥－1，∴实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)由命题“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，得命题p ，q 一真一假．①当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＜－1，无解； ②当p 假q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥－1， 解得－1≤a ≤1，∴实数a 的取值范围是[－1,1]．。
【配套K12】高中数学人教A版选修2-1习题：第一章常用逻辑用语1.2
1.2充分条件与必要条件课时过关·能力提升基础巩固1若{a n}是等比数列,则“a1<a2<a3”是“数列{a n}是递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件{a n}为递增数列,则有a1<a2<a3;{a n}是等比数列,若a1<a2<a3,则数列{a n}为递增数列.2已知条件p:y=lg(x2+2x-3)的定义域,条件q:5x-6>x2,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件:x2+2x-3>0,则x>1或x<-3;q:5x-6>x2,即x2-5x+6<0,则2<x<3.故q⇒p,但p q.3若φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件φ=0时,f(x)=cos x,f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(0)=±1,即cos φ=±1.故φ=kπ(k∈Z).故选A.4已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5已知p:x2-x<0,则p成立的一个充分条件是()A.1<x<3B.-1<x<1C.<x<D.<x<56不等式x2-3x+2<0成立的充要条件是.2-3x+2<0⇔(x-1)(x-2)<0⇔1<x<2.<x<27条件p:1-x<0,条件q:x>a,若p是q的充分条件,则a的取值范围是.-∞,1]8分别判断“x=1”“x=2”“x=1或x=2”是“方程x2-3x+2=0”的充分条件还是必要条件.x=1时,方程成立,所以“x=1”是方程的充分条件,同理“x=2”“x=1或x=2”都是方程的充分条件.当方程成立时,x=1或x=2,所以“x=1”与“x=2”是方程的充分条件,但不是必要条件,“x=1或x=2”既是方程的充分条件,也是方程的必要条件.9已知p:2x2-3x-2≥0,q:x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0.若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围..分别求出集合M与N的范围,利用M⫋N构成a的不等式求解:.M={x|2x2-3x-2≥0}={x|(2x+1)(x-2)≥0}=-或,N={x|x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0}={x|(x-a)[x-(a-2)]≥0}={x|x≤a-2或x≥a},由已知p⇒q,且q p,得M⫋N.--或--故即≤a<2或<a≤2,于是≤a≤2,即所求a的取值范围是.能力提升1设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a ⊥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2对于数列{a n},“a n+1>|a n|(n=1,2,…)”是“{a n}为递增数列”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件{a n}为单调递增数列,则a n+1>|a n|(n=1,2,…)不一定成立,如数列{a n}为-n,-(n-1),…,-2,-1,显然不满足a n+1>|a n|;如果a n+1>|a n|>0,那么一定能够得到{a n}为单调递增数列;故“a n+1>|a n|”是“{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件.3若数列{a n}满足=p(p为正常数,n∈N*),则称{a n}为“等方比数列”.甲:数列{a n}是等方比数列;乙:{a n}是等比数列.则甲是乙的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:若数列{a n}是等方比数列,则数列{a n}不一定是等比数列.例如,-1,-1,1,-1,-1,1,…,=1(正常数)是等方比数列,但不是等比数列,故甲乙;若{a n}是等比数列,=q(非零常数),则=q2(常数),即{a n}为等方比数列,故乙⇒甲.4在平面直角坐标系xOy内,直线x+(m+1)y=2-m与直线mx+2y=-8互相垂直的充要条件是m=.(m+1)y=2-m与mx+2y=-8互相垂直⇔1·m+(m+1)·2=0⇔m=-.-5已知α,β是不同的两个平面,直线a⊂α,直线b⊂β,p:a与b无公共点,q:α∥β,则p是q的.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)解析:p q,例如,当α与β相交时,也能满足条件a⊂α,b⊂β,a与b无公共点,即a与b异面;若α∥β,而a⊂α,b⊂β,则a与b一定无公共点,即q⇒p.6设A=∈,B=∈[-1,1],记p:“x∈A”,q:“x∈B”,若p是q的必要不充分条件,则m的取值范围是.,A=(0,1),B=-,又p是q的必要不充分条件,故B⫋A,即-解得<m<.7已知数列{a n}的前n项和S n=p n+q(p≠0,p≠1),求数列{a n}是等比数列的充要条件.1=S1=p+q.当n≥2时,a n=S n-S n-1=p n-1(p-1).∵p≠0,p≠1,∴---=p(n≥2).若{a n}为等比数列,则=p,故-=p.又p≠0,∴p-1=p+q,∴q=-1.这是{a n}为等比数列的必要条件.下面证明q=-1是{a n}为等比数列的充分条件.当q=-1时,S n=p n-1(p≠0,p≠1),a1=S1=p-1.当n≥2时,a n=S n-S n-1=p n-p n-1=p n-1(p-1),故a n=(p-1)p n-1(p≠0,p≠1),即-----=p(为常数).于是当q=-1时,数列{a n}为等比数列,故数列{a n}是等比数列的充要条件为q=-1.★8已知条件p:A={x|2a≤x≤a2+1},条件q:B={x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0},若条件p是条件q的充分条件,求实数a的取值范围.{x|2a≤x≤a2+1},B={x|(x-2)·[x-(3a+1)]≤0},当a≥时,B={x|2≤x≤3a+1}.当a<时,B={x|3a+1≤x≤2}.由p是q的充分条件,知A⊆B.于是有解得1≤a≤3,或解得a=-1.故a的取值范围是{a|1≤a≤3或a=-1}.。
高中数学 一 常用逻辑用语课后训练巩固提升 新人教A版高二选修2-1数学试题
一 常用逻辑用语[A 基础达标]1．(2018·河南八市联考)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >bD.若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：选A.否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.2．(2018·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R ，1<f (x 0)≤2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，1<f (x )≤2 B ．∃x ∈R ，1<f (x )≤2 C ．∃x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2 D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2解析：选 D.根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2”．故选D.3．设p ：log 2x <0，q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1>1，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.p ：log 2x <0⇔0<x <1；q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1>1⇔x <1，所以p ⇒q 但q ⇒/p ，所以p 是q 的充分不必要条件，故选B.4．下列表述错误的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．命题“若a ∈M ，则b ∉M ”的等价命题是“若b ∈M ，则a ∉M ”C ．“x >2”是“x 2>4”的充分不必要条件D ．对任意的φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 解析：选D.当α＝0，β＝π3时，tan ⎝⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3成立，故选项A 正确．对于选项B 、C ，显然正确．在D 中，存在φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝sin(2x ＋φ)是偶函数，D 错误．5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(¬q )是真命题 D ．命题p ∨(¬q )是假命题解析：选C.当x ＝10时，x －2＝8，lg x ＝lg 10＝1，故命题p 为真命题，令x ＝0，则x 2＝0，故命题q 为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，可知命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，¬q 是真命题，进而得到命题p ∧(¬q )是真命题，命题p ∨(¬q )是真命题．故选C.6．写出命题“若方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根都大于0，则ac ＞0”的一个等价命题：________________．解析：一个命题与其逆否命题是等价命题．答案：若ac ≤0，则方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根不都大于0 7．给出下列三个命题：①当m ＝0时，函数f (x )＝mx 2＋2x 是奇函数； ②若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列；③已知x ，y 是实数，若x ＋y ≠2，则x ≠1或y ≠1. 其中为真命题的是________(填序号)．解析：①中，当m ＝0时，f (x )＝mx 2＋2x ＝2x 是奇函数，故①是真命题；②中，取a ＝b ＝0，c ＝1，满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列，故②不是真命题；③的逆否命题为“已知x ，y 是实数，若x ＝1且y ＝1，则x ＋y ＝2”是真命题，所以原命题也是真命题，即③是真命题．答案：①③8．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0.若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：p ：－4＜x －a ＜4，即a －4＜x ＜a ＋4；q ：(x －2)(3－x )＞0，即2＜x ＜3，所以¬p ：x ≤a －4或x ≥a ＋4，¬q ：x ≤2或x ≥3；而¬p 是¬q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3.解得－1≤a ≤6.答案：[－1，6]9．指出下列命题中，p 是q 的什么条件： (1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数；(3)p ：0<m <13；q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．解：(1)因为{x |x >－2或x <3}＝R ，{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，所以{x |x >－2或x <3}⃘ {x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}{x |x >－2或x <3}．所以p 是q 的必要不充分条件．(2)因为a 、b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数⇒/ a 、b 都是奇数，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不等实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，3m >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4－12m >0，m >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <13，m >0⇔0<m <13. 所以p 是q 的充要条件．10．命题p ：∀x ∈R ，sin x cos x ≥m .若命题p 是真命题，求实数m 的取值范围． 解：设函数f (x )＝sin x cos x ，x ∈R ，则f (x )＝12sin 2x ，所以函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.由于命题p 是真命题，即对任意x ∈R ，sin x cos x ≥m 恒成立， 所以对任意x ∈R ，f (x )≥m 恒成立． 又函数f (x )的最小值为－12，所以只需m ≤－12，所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12. [B 能力提升]11．(2018·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x <0，m －x 2，x ≥0，给出两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D.(¬p )∧(¬q )解析：选B.因为3x>0，当m <0时，m －x 2<0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0，所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(¬p )∧q 为真命题，故选B.12．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，若∀x 1∈[－1，2]，∃x 2∈[－1，2]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3 C ．(0，3]D.[3，＋∞)解析：选D.由函数的性质可得函数f (x )＝x 2－2x 的值域为[－1，3]，g (x )＝ax ＋2的值域是[2－a ，2＋2a ]．因为∀x 1∈[－1，2]，∃x 2∈[－1，2]，使得f (x 1)＝g (x 2)，所以[－1，3]⊆[2－a ，2＋2a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤－1，2＋2a ≥3，解得a ≥3.13．设有两个命题：p ：关于x 的不等式sin x cos x >m 2＋m2－1的解集是R ；q ：幂函数f (x )＝x 7－3m 在(0，＋∞)上是减函数．若“p 且q ”是假命题，“p 或q ”是真命题，求m 的取值范围．解：因为“p 且q ”是假命题，所以p ，q 中至少有一个是假命题． 因为“p 或q ”是真命题，所以p ，q 中至少有一个是真命题． 故p 和q 两个命题一真一假．若p 真，则2m 2＋m －2<－1，即2m 2＋m －1<0，所以－1<m <12.若q 真，则7－3m <0，所以m >73.p 真q 假时，－1<m <12；p 假q 真时，m >73.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞. 14．(选做题)已知函数f (x )＝4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －23cos 2x －1.给定p ：x <π4或x >π2，x ∈R .q ：－2<f (x )－m <2.若¬p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：由q 可得⎩⎪⎨⎪⎧m >f （x ）－2m <f （x ）＋2.因为¬p 是q 的充分条件，所以在π4≤x ≤π2的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧m >f （x ）－2m <f （x ）＋2恒成立．又f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －23cos 2x －1 ＝2sin 2x －23cos 2x ＋1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， 由π4≤x ≤π2，知π6≤2x －π3≤2π3， 所以当x ＝5π12时，f (x )max ＝5，当x ＝π4时，f (x )min ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧m >5－2m <3＋2，即3<m <5.所以m 的取值范围是(3，5)．。
人教A版高中数学选修2-1课后习题 模块复习课第1课时 常用逻辑用语
模块复习课第1课时常用逻辑用语课后篇巩固提升基础巩固A.∃x0∈R,x02-2x0+1≥0B.∃x0∈R,x02-2x0+1>0C.∀x∈R,x2-2x+1≥0D.∀x∈R,x2-2x+1<0A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;但反过来不成立,即m∥α不一定有m∥n,m与n还可能异面.故选A.A.若x2≠1,则x=1或x=-1B.若x2=1,则x≠1且x≠-1C.若x2≠1,则x≠1或x≠-1D.若x2≠1,则x≠1且x≠-1作出函数y=2x,y=x2的图象,如图,由图象知两函数有3个交点,①∀x∈R,不等式x2+2x>4x-3成立;②若log2x+log x2≥2,则x>1;A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④,x2+2x>4x-3⇒(x-1)2+2>0恒成立,①真.②中,由log2x+log x2≥2,且log2x与log x2同号,③中,易知“a>b>0且c<0时,ca >cb”.7.已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,若q 是p 的充分条件,则a 的取值范围为 .因为q 是p 的充分条件,建立不等关系{-4+a ≤2,4+a ≥3,解得{a ≤6,a ≥-1,故a 的取值范围为[-1,6]. (2)若p 是q 成立的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 由|4x-3|<a,得-a<4x-3<a,∴3-a 4<x<3+a 4.∴A={x |3-a 4<x <3+a 4,a >0}.由x 2+2x-8<0,解得-4<x<2, ∴B={x|-4<x<2}.(2)∵p 是q 成立的充分不必要条件,∴A ⫋B.∴{3-a 4≥-4,3+a4<2,a >0或{3-a 4>-4,3+a4≤2,a >0.解得0<a<5或0<a≤5.经检验a=5时成立,∴实数a 的取值范围是(0,5].能力提升A.若a+c≤b+c,则a≤bB.若a≤b,则a+c≤b+cC.若a+c>b+c,则a>bD.若a>b,则a+c≤b+c2.“x>2”是“x>1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件当p 真,q 假时,有{a <2,a 2≤16,解得-4≤a<2;当p 假,q 真时,有{a ≥2,a 2>16,解得a>4.综上,实数a 的取值范围是[-4,2)∪(4,+∞).∪(4,+∞) ①双曲线x 225−y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点;②过点P(2,1)的抛物线的标准方程是y 2=12x; ③已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1,若它的离心率为√5,则双曲线C 的一条渐近线方程为y=2x; ④椭圆x 2m+1+y 2m=1的两个焦点为F 1,F 2,P 为椭圆上的动点,△PF 1F 2的面积的最大值为2,则m 的值为2.x 轴上,半焦距c 相等都是√34,所以双曲线x 225−y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点,正确;②过点P(2,1)的抛物线的标准方程有两条,除了y2=12x,还有一条焦点在y轴上的抛物线,不正确;③已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1,若它的离心率为√5,则ca=√5,所以ba=2,所以双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,正确;④由解析式知,半焦距为1,△PF1F2的面积的最大值为2,即bc=2,可得b=2,故m=4,不正确.。
北师大版数学选修2-1巩固提升：第一章 4.1 逻辑联结词“且” 4.2 逻辑联结词“或”
[A 基础达标]1．若“p 或q ”是假命题，则( )A ．p 是真命题，q 是假命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 至少有一个是假命题D ．p ，q 至少有一个是真命题解析：选B.“p 或q ”为假命题⇔p ，q 均为假命题．2．已知命题p ：若ab ＝0，则a ＝0；命题q ：若a ＝0，则ab ＝0，则( )A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真解析：选D.由条件易知：命题p 为假命题，命题q 为真命题，故p 假q 真．从而“p 或q ”为真，“p 且q ”为假．3．已知p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在直线y ＝－3x ＋2上，则使命题“p 且q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1，2)C ．(1，－1)D ．(－1，1)解析：选C.因为p 且q 为真命题，所以p ，q 均为真命题，即点P 为直线y ＝2x －3与y＝－3x ＋2的交点，故有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－3x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，选C. 4．命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A > sin B ”的充要条件，则( )A ．p 真q 假B ．p 且q 为真C ．p 或q 为假D ．p 假q 真解析：选D.命题p ：x >0⇒x 2>0，但x 2>0⇒/x >0，故p 为假命题；命题q ：在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B ，故q 为真命题，易得“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题．5．命题p ：“方程x 2＋2x ＋a ＝0有实数根”；命题q ：“函数f (x )＝(a 2－a )x 是增函数”，若“p 且q ”为假命题，且“p 或q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a ≥0C ．a >1D ．a ≥1解析：选B.若p 为真⇔Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1；若q 为真⇔a 2－a >0，即a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．由题意可得p，q一真一假．若p真q假，a∈[0，1]；若p假q真，a∈(1，＋∞)，综上所述，a∈[0，＋∞)．6．给定下列命题：p：0不是自然数，q：2是无理数，在命题“p且q”“p或q”中，真命题是________．解析：因为0是自然数，2是无理数，所以p是假命题，q是真命题，故“p且q”为假命题，“p或q”为真命题．答案：p或q7．已知命题p：不等式|x|≥m的解集是R，命题q：f(x)＝2－mx在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p或q”为真，则实数m的范围是________．解析：p为真，则m≤0；q为真，则2－m＞0，即m＜2.由于“p或q”为真，所以p为真或q为真，或p、q都为真，故m的取值范围是(－∞，2)．答案：(－∞，2)8．对于命题p和命题q，给出下列说法，其中正确说法的序号是________(填序号)．①“p且q为真”是“p或q为真”的充分条件；②“p且q为假”是“p或q为真”的充分条件；③若“p或q”为真，“p且q”为假，则q为假．解析：利用“且”命题中全真为真，一假为假，“或”命题中一真为真，全假为假．可得：“p且q”为真⇒p为真，q为真⇒“p或q”为真，可知①正确．答案：①9．分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题，并判断其真假．(1)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分；(2)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1＞0恒成立．解：(1)p或q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题．p且q：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．(2)p或q：函数y＝x2－2x＋2没有零点或不等式x2－2x＋1＞0恒成立，真命题．p且q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x＋1＞0恒成立，假命题．10．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足x2－5x＋6≤0.(1)若a＝1，且“p且q”为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)·(x－a)<0，又a>0，所以a<x<3a，当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3，由x 2－5x ＋6≤0得2≤x ≤3，所以q 为真命题时实数x 的取值范围是2≤x ≤3.若“p 且q ”为真，则2≤x <3，所以实数x 的取值范围是[2，3)．(2)设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2≤x ≤3}，由题意可知q 是p 的充分不必要条件，则B A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <2，3a >3⇒1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1，2)． [B 能力提升]11．已知命题p ：不等式⎪⎪⎪⎪x x －1>x x －1的解集为{x |0<x <1}．命题q ：“a ＝b ”是“a 2＝b 2”成立的必要不充分条件，则( )A ．p 真q 假B ．“p 且q ”为真C ．“p 或q ”为假D ．p 假q 真解析：选A.对于p ：⎪⎪⎪⎪x x －1>x x －1，可得x x －1<0，即x ∈(0，1)，故p 为真命题； 对于q ：a ＝b ⇒a 2＝b 2，但a 2＝b 2⇒/a ＝b ，故q 为假命题，易得“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题．12．命题p ：1是集合{x |x 2<a }中的元素；命题q ：2是集合{x |x 2<a }中的元素．若“p 且q ”是真命题，则a 的取值范围为________．解析：由p 为真命题，可得a >1，由q 为真命题，可得a >4.当“p 且q ”为真命题时，p ，q 都为真命题，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >4，解得{a |a >4}． 答案：{a |a >4}13．设命题p ：a ∈{y |y ＝－x 2＋2x ＋8，x ∈R }，命题q ：关于x 的方程x 2＋x －a ＝0有实根．(1)若p 为真命题，求a 的取值范围；(2)若“p 且q ”为假命题，且“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．解：(1)由题意得，y ＝－x 2＋2x ＋8＝－（x －1）2＋9∈[0，3]，故p 为真命题时，a 的取值范围为[0，3]．(2)当q 为真命题时a 的取值范围为a ≥－14，由题意得，p 与q 一真一假，从而当p 真q 假时有⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤3，a <－14，a 无解； 当p 假q 真时有⎩⎪⎨⎪⎧a <0或a >3，a ≥－14， 所以a >3或－14≤a <0.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－14，0∪(3，＋∞)． 14．(选做题)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①对任意x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②存在x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，求m 的取值范围．解：将①转化为g (x )<0的解集的补集是f (x )<0解集的子集求解；②转化为f (x )>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．若g (x )＝2x －2<0，则x <1.又因为对任意x ∈R ，g (x )<0或f (x )<0，所以[1，＋∞)是f (x )<0的解集的子集．又由f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)<0知，m 不可能大于或等于0，因此m <0.当m <0时，f (x )<0，即(x －2m )(x ＋m ＋3)>0.当2m ＝－m －3，即m ＝－1时，f (x )<0的解集为{x |x ≠－1}，满足条件．当2m >－m －3，即－1<m <0时，f (x )<0的解集为{x |x >2m 或x <－m －3}．依题意2m <1，即m <12，所以－1<m <0. 当2m <－m －3，即m <－1时，f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}．依题意－m －3<1，即m >－4，所以－4<m <－1.因此满足①的m 的取值范围是－4<m <0.②中，因为当x ∈(－∞，－4)时，g (x )＝2x －2<0，所以问题转化为存在x ∈(－∞，－4)，f (x )>0，即f (x )>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．又m <0，则(x －2m )(x ＋m ＋3)<0.由①的解法知，当－1<m <0时，2m >－m －3，即－m －3<－4，所以m >1，此时无解．当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2恒小于或等于0，此时无解．当m <－1时，2m <－m －3，即2m <－4，所以m <－2.综合①②可知满足条件的m 的取值范围是－4<m <－2.由Ruize收集整理。
苏教版高中数学选修2-1知识讲解_常用逻辑用语全章复习巩固(理)_基础
常用逻辑用语全章复习巩固（理）： ：【学习目标】1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.了解命题“若p,则q ”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【知识网络】【要点梳理】要点一：命题的四种形式如果用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用⌝p 和⌝q 分别表示p 和q 的否定，则命题的四种形式为：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若⌝p 则⌝q ； 逆否命题：若⌝q 则⌝p. 四种命题的关系常用逻辑用语命题四种命题及其关系充要条件全称量词、存在量词互为逆否命题等价逻辑联结词简单命题与复合命题充分、必要、充要、既不充分也不必要或、且、非①原命题⇔逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. ②逆命题⇔否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系. 要点三：充分条件、必要条件、充要条件 对于“若p 则q ”形式的命题：①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ③若既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）. 判断命题充要条件的三种方法 （1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒；B A ⇒与A B ⌝⌝⇒；A B ⇔与B A ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断，比如A ⊆B 可判断为A ⇒B ；A=B 可判断为A ⇒B ，且B ⇒A ，即A ⇔B.如图：“ÜA B ”⇔“x A ∈⇒x B ∈，且x B ∈⇒/x A ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.“A B =”⇔“x A ∈⇔x B ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分必要条件.要点诠释：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.要点三：逻辑联结词“或”“且”“非” “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.（1）不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.（2）复合命题的构成形式：①p 或q ；②p 且q ；③非p （即命题p 的否定）. （3）复合命题的真假判断（利用真值表）：①当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； ②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。
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【巩固练习】
一、选择题
1. 与命题“若m M
∉”等价的命题是（）
∈，则n M
A．若m M
∉，则n M
∉ B．若n M
∈
∉，则m M
C．若m M
∉
∈，则m M
∉，则n M
∈ D．若n M
2. 命题“若p不正确，则q正确”的逆命题的等价命题是（）
A. 若q不正确，则p不正确
B. 若q不正确，则p正确
C. 若p正确，则q不正确
D. 若p正确，则q正确
3. 用反证法证明命题“若m n+是偶数，则m n
、都是偶数”时，正确的假设是（）
A．假设m n
、不都是偶数
、都不是偶数 B．假设m n
C．假设m n
、都是奇数
、都是偶数 D．假设m n
4. 若p，q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（）
A. p真q真
B. p假q假
C. p真q假
D. p假q真
5. 下列四个命题中，其中为真命题的是（）
A ．230x x ∀∈+<，R
B ．21x x ∀∈≥，N
C ．x ∃∈Z ，使51x <
D ．23x x ∃∈=，Q
6．设命题甲为：05x <<，命题乙为：23x -<，那么（ ）
A 、甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
B 、甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
C 、甲是乙的充要条件
D 、甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
7．已知，，a b c 为非零的平面向量，甲：a b =a c g g ，乙：
b =
c ，则（ ）
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、填空题
8．给出下列命题
① 若ac=bc ，则a=b ；
② 方程210x x+=－有两个实根；
③ 对于实数x ，若x －2＝0，则x －2≤0；
④ 若0p >，则2p p >；
⑤正方形不是菱形．
其中真命题是________，假命题是________．
9．命题“若35x=y=，，则8x y +=”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．
10．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．
三、解答题
11.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．
(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；
(2)奇数不能被2整除．
12. 把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假．
(1)当ac bc >时，a b >；
(2)已知x y 、为正整数，当1y=x+时，32y=x=，；
(3)当14
m >时，210mx x+=－无实根； (4)当0abc=时，0a=或b ＝0或c ＝0；。