解排列组合问题的十七种常用策略
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例（2001年新课程卷） 某赛季足球比赛的计分规则是： 胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球 队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平 的情况共有
A 3种 B 4种 C 5种 D 6种.
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解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还
名称 定义
种数 符号 计算 公式 关系 性质
排列
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
Anm
C
m n
Anm
Anm
n(n 1) (n m 1)
n!
(n m)! Ann n! 0! 1
回目录
解题技巧
“特殊元素、特殊位置优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元 素，再考虑其它元素。
例2 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字
的三位数，其中偶C.40
D.60
分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优 先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；
原理，不同的站法有 A41 A41 A44 种。 再安排老师，有2种方法。
根据分步及分类计数原理，不同的站法共有
2( A55 A41 A41 A44 ) 1008 (种）.
回目录
把握分类原理、分步原理是基础
例1
F
E
D
如图，某电子器件是由三个电
阻组成的回路,其中有6个焊接 A
A. 6 种 B. 9种 C.11种 D.23种
（ 3×3×1= 9. 可用框图具体填写）
回目录
考点分析 从《考纲大纲》看：高考对这部分的要求还是比
较高的.要重视两个计数原理、排列、组合在解决实际 问题上的应用.值得提醒地是：计数模型不一定是排列 或组合.画一画，数一数，算一算，是基本的计数方法， 不可废弃.
（1）有两门课时间冲突,不能 同时学，有几种选法？
解法一： C24 C12 C14 14 解法二： C62 1 14
回目录
（2）有两门特别的课，至少 选学其中的一门，有几种选法？
解法一： C12 C14 C22 9 解法二： C62 C24 9
特殊元素（或位置）优先安排
例 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车 不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上， 那么不同的停放方法有（ ） （A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种
N=m1+m2 + +mn
种不同的方法．
回目录
2.分步计数原理（乘法原理） 回目录 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方 法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事共有：
种不同的方法．N=m1m2 mn
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法 都可以独立地完成这件事。
是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素.
※解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
回目录
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m 1)
n! m!
m!(n m)!
C
0 n
1
Anm Cnm Amm
Anm nAnm11
， C C m n
nm n
Cm n1
Cnm
C m1 n
回目录
教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类 计数原理。
1) 0排在末尾时，有 A24 个；
2) 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排
十位有 A12A13A13 个；
由分类计数原理，共有偶数 30 个.
回目录
学生要从六门课中选学两门： （1）有两门课时间冲突，不能
同时学，有几种选法？ （2）有两门特别的课，至少选
学其中的一门，有几种选法？
回目录
种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人
员__C_15C__13C__24 _种,只会唱的5人中只有2人
选上唱歌人员有_C_52_C_52种，由分类计数
原理共有___C__32C_32_+__C__15C__13C__24 +__C_52_C_52__种。
本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
排列组合应用题解法综述（目录）
基本概念和考点 合理分类和准确分步 特殊元素和特殊位置问题 相邻相间问题 定序问题
分房问题
实验法（枚举法） 其它特殊方法
构造模型策略 平均分组问题 先选后排问题
环排、多排问题
小集团问题
排列组合应用题解法综述
计数问题中排列组合问题是最常见的， 由于其解法往往是构造性的, 因此方法灵 活多样, 不同解法导致问题难易变化也较 大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏” 的错误较难自检发现。因而对这类问题归 纳总结，并把握一些常见解题模型是必要 的。
练习1
（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字 且能被五整除的五位数？
分类：个位数字为5或0： 个位数为0：A54 个位数为5：A41 A43
A54 A41 A43 216
回目录
（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数 字且大于31250的五位数？
分类： A21 A54 A31 A43 A21 A32 1 325
例1 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个 老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排 尾，共有多少种不同的排法？
解法1 分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类： 1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有 A55 种方法.
2) 若有甲A41在种第,2第、23、、36、、67、位7，位则的排排尾法的有排法A44有种A，41种根，据1分位步的计排数法
引申1：31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字的五位数中从小到大第几个数？
方法一：（排除法） A51 A54 325 275
方法二：（直接法）2 A54 A43 A32 2 A21 1 275
引申2：由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的
五位数中大于31250，小于50124的数共有多少个？ 2004 ·全国·12 在由数字1，2，3，4，5组成的所有 没有重复的5位数中，大于23145且小于43512的 数共有（ 58 ）个
回目录
知识结构网络图：
排列 基 本 原 理
组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
组合数性质
回目录
两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
分步原理
做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n个步骤，
定
义
第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法…， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
27
回目录
特殊元素和特殊位置问题
特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 位题置最排先分常,排以析用末免法也位不和是共合元最有要素基_求C_分本31_的析的元法方素是法占解,了若决这以排两元列个素组位分合置析问为 主,然需后先排安首排位特共殊有元_素C_41_,再处理其它元素.若以 位处考置理虑最由分其一后分析它个排步为位约其计主置束它数。条,位原需若件置理先有的共得满多同有足C个时31_特AC_约还4341_殊AC束要43位41 条兼=置2件顾8的8A，其43要往它求往条,是件再C31
回目录
（4）（2005·福建·理）从6人中选4人分别到巴黎、伦 敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一 人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人 不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ B ）
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
（直接法）分三种情况： 情况一,不选甲、乙两个去游览:则有 P44 种选择方案, 情况二:甲、乙中有一人去游览：有 C21C31C43 P33种选择方案; 情况三：甲、乙两人都去游览,有 C22C42C31P33 种选择方案, 综上不同的选择方案共有 P44 + C21C31C43P33 +C22C42C31P33 =240
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运 用解题策略解决简单的综合应用题。提高 学生解决问题分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组 合问题.
回目录
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不 同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有：
点的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
合理分类和准确分步
解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行
分类，分类标准明确，不重不漏；按事情的发生的
连续过程分步，做到分步层次清楚.
回目录
总的原则—合理分类和准确分步
解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行 分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准 明确，分步层次清楚，不重不漏。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法 完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
某校组织学生分4个组从3处风 景点中选一处去春游,则不同的 春游方案的种数是
A. C34 B. P34 C. 34 D. 43
（ 选 C）
回目录
将数字1、2、3、4 填入标号为1、2、3、 4 的四个方格里 , 每格填一个数字，则 每个方格的标号与所填的数字都不相同 的填法共有
（间接法）A64 A53 A53 240 (个）
回目录
练习题
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则
不同的选法共有__3_4____
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。
回目录
有不同的数学书7本，语文书5本， 英语书4本，由其中取出不是同一 学科的书2本，共有多少种不同的 取法？
（7×5 + 7×4 + 5×4 = 83）
回目录
合理分类与分步策略
回目录
例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能
能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人
唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞 3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否
选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱
的5人中没有人选上唱歌人员共有_C_32C__32
回目录
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和 英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题 (握4)手10相人互聚问会候，，见共面需后握每手两多人少之次间?要组合问题 (5)从4个风景点中选出2个安排游览, 组合问题 (6有)从多4少个种风不景同点的中方选法出?2个,并确定这2个风景
C B
点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，
整个电路就会不通。现发现电路不通了, 那
么焊接点脱落的可能性共有（ ）
63种 （B）64种 （C）6种 （D）36种
分析:由加法原理可知 C61 C62 C66 63 由乘法原理可知 2×2×2×2×2×2-1=63
回目录
做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法……， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法.
相同点 做一件事或完成一项工作的方法数
不同点 直接（分类）完成
间接（分步骤）完成
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1.排列和组合的区别和联系：
A 3种 B 4种 C 5种 D 6种.
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解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还
名称 定义
种数 符号 计算 公式 关系 性质
排列
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
Anm
C
m n
Anm
Anm
n(n 1) (n m 1)
n!
(n m)! Ann n! 0! 1
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解题技巧
“特殊元素、特殊位置优先安排法”
对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元 素，再考虑其它元素。
例2 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字
的三位数，其中偶C.40
D.60
分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优 先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；
原理，不同的站法有 A41 A41 A44 种。 再安排老师，有2种方法。
根据分步及分类计数原理，不同的站法共有
2( A55 A41 A41 A44 ) 1008 (种）.
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把握分类原理、分步原理是基础
例1
F
E
D
如图，某电子器件是由三个电
阻组成的回路,其中有6个焊接 A
A. 6 种 B. 9种 C.11种 D.23种
（ 3×3×1= 9. 可用框图具体填写）
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考点分析 从《考纲大纲》看：高考对这部分的要求还是比
较高的.要重视两个计数原理、排列、组合在解决实际 问题上的应用.值得提醒地是：计数模型不一定是排列 或组合.画一画，数一数，算一算，是基本的计数方法， 不可废弃.
（1）有两门课时间冲突,不能 同时学，有几种选法？
解法一： C24 C12 C14 14 解法二： C62 1 14
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（2）有两门特别的课，至少 选学其中的一门，有几种选法？
解法一： C12 C14 C22 9 解法二： C62 C24 9
特殊元素（或位置）优先安排
例 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车 不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上， 那么不同的停放方法有（ ） （A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种
N=m1+m2 + +mn
种不同的方法．
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2.分步计数原理（乘法原理） 回目录 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方 法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事共有：
种不同的方法．N=m1m2 mn
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法 都可以独立地完成这件事。
是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素.
※解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
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判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m 1)
n! m!
m!(n m)!
C
0 n
1
Anm Cnm Amm
Anm nAnm11
， C C m n
nm n
Cm n1
Cnm
C m1 n
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教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类 计数原理。
1) 0排在末尾时，有 A24 个；
2) 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排
十位有 A12A13A13 个；
由分类计数原理，共有偶数 30 个.
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学生要从六门课中选学两门： （1）有两门课时间冲突，不能
同时学，有几种选法？ （2）有两门特别的课，至少选
学其中的一门，有几种选法？
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种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人
员__C_15C__13C__24 _种,只会唱的5人中只有2人
选上唱歌人员有_C_52_C_52种，由分类计数
原理共有___C__32C_32_+__C__15C__13C__24 +__C_52_C_52__种。
本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
排列组合应用题解法综述（目录）
基本概念和考点 合理分类和准确分步 特殊元素和特殊位置问题 相邻相间问题 定序问题
分房问题
实验法（枚举法） 其它特殊方法
构造模型策略 平均分组问题 先选后排问题
环排、多排问题
小集团问题
排列组合应用题解法综述
计数问题中排列组合问题是最常见的， 由于其解法往往是构造性的, 因此方法灵 活多样, 不同解法导致问题难易变化也较 大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏” 的错误较难自检发现。因而对这类问题归 纳总结，并把握一些常见解题模型是必要 的。
练习1
（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字 且能被五整除的五位数？
分类：个位数字为5或0： 个位数为0：A54 个位数为5：A41 A43
A54 A41 A43 216
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（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数 字且大于31250的五位数？
分类： A21 A54 A31 A43 A21 A32 1 325
例1 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个 老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排 尾，共有多少种不同的排法？
解法1 分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类： 1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有 A55 种方法.
2) 若有甲A41在种第,2第、23、、36、、67、位7，位则的排排尾法的有排法A44有种A，41种根，据1分位步的计排数法
引申1：31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重 复数字的五位数中从小到大第几个数？
方法一：（排除法） A51 A54 325 275
方法二：（直接法）2 A54 A43 A32 2 A21 1 275
引申2：由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的
五位数中大于31250，小于50124的数共有多少个？ 2004 ·全国·12 在由数字1，2，3，4，5组成的所有 没有重复的5位数中，大于23145且小于43512的 数共有（ 58 ）个
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知识结构网络图：
排列 基 本 原 理
组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
组合数性质
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两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
分步原理
做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n个步骤，
定
义
第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法…， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
27
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特殊元素和特殊位置问题
特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 位题置最排先分常,排以析用末免法也位不和是共合元最有要素基_求C_分本31_的析的元法方素是法占解,了若决这以排两元列个素组位分合置析问为 主,然需后先排安首排位特共殊有元_素C_41_,再处理其它元素.若以 位处考置理虑最由分其一后分析它个排步为位约其计主置束它数。条,位原需若件置理先有的共得满多同有足C个时31_特AC_约还4341_殊AC束要43位41 条兼=置2件顾8的8A，其43要往它求往条,是件再C31
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（4）（2005·福建·理）从6人中选4人分别到巴黎、伦 敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一 人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人 不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ B ）
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
（直接法）分三种情况： 情况一,不选甲、乙两个去游览:则有 P44 种选择方案, 情况二:甲、乙中有一人去游览：有 C21C31C43 P33种选择方案; 情况三：甲、乙两人都去游览,有 C22C42C31P33 种选择方案, 综上不同的选择方案共有 P44 + C21C31C43P33 +C22C42C31P33 =240
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运 用解题策略解决简单的综合应用题。提高 学生解决问题分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组 合问题.
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1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不 同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有：
点的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
合理分类和准确分步
解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行
分类，分类标准明确，不重不漏；按事情的发生的
连续过程分步，做到分步层次清楚.
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总的原则—合理分类和准确分步
解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行 分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准 明确，分步层次清楚，不重不漏。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法 完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
某校组织学生分4个组从3处风 景点中选一处去春游,则不同的 春游方案的种数是
A. C34 B. P34 C. 34 D. 43
（ 选 C）
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将数字1、2、3、4 填入标号为1、2、3、 4 的四个方格里 , 每格填一个数字，则 每个方格的标号与所填的数字都不相同 的填法共有
（间接法）A64 A53 A53 240 (个）
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练习题
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则
不同的选法共有__3_4____
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。
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有不同的数学书7本，语文书5本， 英语书4本，由其中取出不是同一 学科的书2本，共有多少种不同的 取法？
（7×5 + 7×4 + 5×4 = 83）
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合理分类与分步策略
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例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能
能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人
唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞 3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否
选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱
的5人中没有人选上唱歌人员共有_C_32C__32
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(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和 英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题 (握4)手10相人互聚问会候，，见共面需后握每手两多人少之次间?要组合问题 (5)从4个风景点中选出2个安排游览, 组合问题 (6有)从多4少个种风不景同点的中方选法出?2个,并确定这2个风景
C B
点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，
整个电路就会不通。现发现电路不通了, 那
么焊接点脱落的可能性共有（ ）
63种 （B）64种 （C）6种 （D）36种
分析:由加法原理可知 C61 C62 C66 63 由乘法原理可知 2×2×2×2×2×2-1=63
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做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法……， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法.
相同点 做一件事或完成一项工作的方法数
不同点 直接（分类）完成
间接（分步骤）完成
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1.排列和组合的区别和联系：