曲阜市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

曲阜市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P ∩（∁U Q ）=（ ） A ．{1，2，3，4，6} B ．{1，2，3，4，5} C ．{1，2，5}
D ．{1，2}
2． 已知函数()x e f x x
=，关于x 的方程2
()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的
取值范围是（ ）
A ．21(,)21e e -+?-
B ．21(,)21e e --?-
C ．21(0,)21e e --
D ．2121e e 禳-镲
睚
-镲铪
【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．
3． 已知实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A ．
B ．ln （x 2+1）＞ln （y 2+1）
C ．x 3＞y 3
D ．sinx ＞siny
4． 已知点P 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且
12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率
是（ ）
A.5
B.2 D.2
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力. 5． 与﹣463°终边相同的角可以表示为（k ∈Z ）（ ）
A ．k360°+463°
B ．k360°+103°
C ．k360°+257°
D ．k360°﹣257°
6． 若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =
-++-+-在02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A ．117⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
B ．117⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦，
C.1
(][1)7
-∞-+∞，，
D ．[1)+∞， 7． 正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 如图，设全集U=R ，M={x|x ＞2}，N={0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A ．{3}
B ．{0，1}
C ．{0，1，2}
D ．{0，1，2，3}
9． 某程序框图如图所示，则输出的S 的值为（ ）
A ．11
B ．19
C ．26
D ．57
10．已知圆O 的半径为1,,PA PB 为该圆的两条切线,,A B 为两切点,那么PA PB ∙ 的最小值为
A 、4-
B 、3-
C 、4-+
D 、3-+
11．如图，从点M （x 0，4）发出的光线，沿平行于抛物线y 2=8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线l ：x ﹣y ﹣10=0上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则x 0等于（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
12．如图，三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）
A．B．C．D．
二、填空题
13．在复平面内，记复数+i对应的向量为，若向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为．
14．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是．
15．数列{ a n}中，a1＝2，a n＋1＝a n＋c（c为常数），{a n}的前10项和为S10＝200，则c＝________．
16．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，则椭圆的短轴长为．
17．已知||=1，||=2，与的夹角为，那么|+||﹣|=．
18．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则的取值范围．
三、解答题
19．已知p：﹣x2+2x﹣m＜0对x∈R恒成立；q：x2+mx+1=0有两个正根．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．
20．如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，AA′⊥平面ABCD．（1）求证：A′C∥平面BDE；
（2）求体积V A′﹣ABCD与V E﹣ABD的比值．
21．已知函数()x
f x e x a =-+，21
()x g x x a e
=++，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，求的取值范围； （3）设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，求证：12
1x x e +<．
22．已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 是∠A=60°、边长为a 的菱形，又PD ⊥底ABCD ，且PD=CD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN ∥平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离．
23．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0
（Ⅰ）求实数a，b的值
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．
24．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获
胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于
体力原因，第7场获胜的概率为．
（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；
（Ⅱ）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．
曲阜市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，
∴∁U Q={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，
∴P∩（C U Q）={1，2}
故选D．
2．【答案】
D
第Ⅱ卷（共90分）
3．【答案】C
【解析】解：∵实数x、y满足a x＜a y（1＞a＞0），∴y＜x．
对于A．取x=1，y=0，不成立，因此不正确；
对于B．取y=﹣2，x=﹣1，ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立；
对于C．利用y=x3在R上单调递增，可得x3＞y3，正确；
对于D．取y=﹣π，x=，但是sinx=，siny=，sinx＞siny不成立，不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．
4．【答案】A.
【解析】
5．【答案】C
【解析】解：与﹣463°终边相同的角可以表示为：k360°﹣463°，（k∈Z）
即：k360°+257°，（k∈Z）
故选C
【点评】本题考查终边相同的角，是基础题．
6．【答案】D
【解析】
考点：1、导数；2、单调性；3、函数与不等式.
7．【答案】C
【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，
设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，
所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：
故选C
8．【答案】C
【解析】解：由图可知图中阴影部分所表示的集合∁M∩N，
∵全集U=R，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}，
∴∁M={x|x≤2}，
∴∁M∩N={0，1，2}，
故选：C
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键．
9．【答案】C
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
S=1，k=1
k=2，S=4
不满足条件k＞3，k=3，S=11
不满足条件k＞3，k=4，S=26
满足条件k＞3，退出循环，输出S的值为26．
故选：C．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的k ，S 的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
10．【答案】D.
【解析】设PO t =，向量PA 与PB 的夹角为θ，PA PB ==，1
sin
2
t θ
=
，
2
22cos 12sin 12t θ
θ=-=-
，∴2
2
2cos (1)(1)(1)PA PB PA PB t t t
θ==-->，2
22
3(1)PA PB t t t
∴=+->，依不等式PA PB ∴的最小值为3.
11．【答案】B
【解析】解：由题意可得抛物线的轴为x 轴，F （2，0）， ∴MP 所在的直线方程为y=4
在抛物线方程y 2
=8x 中，
令y=4可得x=2，即P （2，4） 从而可得Q （2，﹣4），N （6，﹣4）
∵经抛物线反射后射向直线l ：x ﹣y ﹣10=0上的点N ，经直线反射后又回到点M ， ∴直线MN 的方程为x=6 故选：B ．
【点评】本题主要考查了抛物线的性质的应用，解决问题的关键是要熟练掌握相关的性质并能灵活应用．
12．【答案】
D
【解析】
古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题；概率与统计．
【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得
结论．
【解答】解：从9个数中任取3个数共有C 93
=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；
∴所求的概率为=
故选D ．
【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较
简单．
二、填空题
13．【答案】 2i ．
【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为
（
+i ）（cos60°+isin60°）=（
+i ）（
）=2i
，故答案为 2i ．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（+i ）
（cos60°+isin60°），是解题的关键．
14．【答案】
．
【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有23
=8种方案， 而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种，
所以甲胜出的概率为
故答案为．
【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．
15．【答案】
【解析】解析：由a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c ，知数列{a n }是以2为首项，公差为c 的等差数列，由S 10＝200得 10×2＋10×9
2×c ＝200，∴c ＝4.
答案：4
16．【答案】 ．
【解析】解：椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，
可得c=2，2a=
=8，可得a=4，
b2=a2﹣c2=12，可得b=2，
椭圆的短轴长为：4．
故答案为：4．
【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．
17．【答案】．
【解析】解：∵||=1，||=2，与的夹角为，
∴==1×=1．
∴|+||﹣|====．
故答案为：．
【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【答案】[，1]．
【解析】解：设两个向量的夹角为θ，
因为|2﹣|=1，|﹣2|=1，
所以，，
所以，=
所以5=1，所以，所以5a2﹣1∈[]，
[，1]，
所以；
故答案为：[，1]．
【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：若p为真，则△=4﹣4m＜0，即m＞1 …
若q 为真，则，即m ≤﹣2 …
∵p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，则p ，q 一真一假
若p 真q 假，则，解得：m ＞1 …
若p 假q 真，则
，解得：m ≤﹣2 …
综上所述：m ≤﹣2，或m ＞1 …
20．【答案】
【解析】（1）证明：设BD 交AC 于M ，连接ME ． ∵ABCD 为正方形，∴M 为AC 中点， 又∵E 为A ′A 的中点， ∴ME 为△A ′AC 的中位线， ∴ME ∥A ′C ．
又∵ME ⊂平面BDE ，A ′C ⊄平面BDE ， ∴A ′C ∥平面BDE ．
（2）解：
∵V E ﹣ABD ==
=
=V A ′﹣ABCD ．
∴V A ′﹣ABCD ：V E ﹣ABD =4：1．
21．【答案】（１）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（２）1a >或0a <；（３）证明见解析． 【解析】
试
题解析： （1）'()1x
f x e =-．
令'()0f x >，得0x >，则()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；]
令'()0f x <，得0x <，则()f x 的单调递减区间为(,0)-∞． （2）记()()()F x f x g x =-，则2
1()2x
x F x e x a a e
=-
-+-， 1
'()2x x
F x e e =+
-．
∵1220x x e e +-≥=，∴'()0F x ≥， ∴函数()F x 为(上的增函数， ∴当[]0,2x ∈时，()F x 的最小值为2(0)F a a =-．
∵存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，
∴()F x 的最小值小于0，即2
0a a -<，解得1a >或0a <．1
（3）由（1）知，0x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点，即最小值为(0)1f a =+， 则只有1a <-时，函数()f x 由两个零点，不妨设12x x <， 易知10x <，20x >，
∴1222()()()()f x f x f x f x -=--22
22()()x
x e x a e x a -=-+-++2222x x e e x -=--，
令()2x x h x e e x -=--（0x ≥），
考点：导数与函数的单调性；转化与化归思想．
22．【答案】
【解析】解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，
因为M、N分别是棱AD、PC中点，
所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．
⇒DN∥平面PMB．
（2）⇒PD⊥MB
又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MB⊥AD．
又AD∩PD=D，
所以MB⊥平面PAD.⇒平面PMB⊥平面PAD．
（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．
过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．
故DH是点D到平面PMB的距离.．
∴点A到平面PMB的距离为．
【点评】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b
从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，
从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3
又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1
f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）
令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2
当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；
当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为A，B，
∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为，
∴，，
∴甲队以4：2，4：3获胜的概率分别为和．
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7，
∴，P（X=6）=，P（X=7）=，∴随机变量X的分布列为
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，独立重复试验概率的乘法公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．。