2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

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2004年考研数学三真题与解析

2004 年考研数学（三）真题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）(1) 若 limsin xb)5 ，则 a =______， b =______.(cos xx 0exa(2) 设函数 f (u , v)由关系式 f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且 g(y) 0，则2 f.u vxe x21 1设 f (x),2x2，则 2 (3) 1 f (x 1)dx.1 , x122(4) 二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 )( x 1 x 2 )2 ( x 2 x 3 ) 2 (x 3 x 1 ) 2 的秩为.(5) 设随机变量 X 服从参数为λ的指数分布 ,则P{X DX } _______.(6) 设总体 X 服从正态分布 N ( μ, σ2), 总体 Y 服从正态分布 N ( μ , σ2),X , X 2, Xn 1 和 Y,Y,Y1211 2n 2分别是来自总体X 和 Y 的简单随机样本 , 则n 12n 22( X i X )(Y j Y)Ei 1n 1 n 2 j 1.2二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）函数 f (x)| x | sin( x 2)(7) x( x 1)( x2)2 在下列哪个区间内有界 .(A)( 1,0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3). [ ]1，则(8) 设 f (x)在 (, + )内有定义，且 lim f (x) a ， g( x)f ( x ) , xx0 , x(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点 . (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点 .(C) x = 0 必是 g(x)的连续点 .(D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关 .[](9) 设 f (x) = |x(1 x)|，则(A) x = 0 是 f (x)的极值点，但 (0 , 0) 不是曲线 y = f (x)的拐点 .(B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但 (0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点 .(C) x = 0 是 f (x)的极值点，且 (0 , 0) 是曲线 y = f (x)的拐点 . (D) x = 0 不是 f (x)的极值点， (0 , 0) 也不是曲线 y = f (x)的拐点 .[ ](10) 设有下列命题：(1) 若(u 2n 1 u 2n ) 收敛，则u n 收敛 .(2) 若u n 收敛，则u n 1000收敛.n 1n 1(3) 若 lim u n 1 1，则u 发散 .nu nnn 1(4) 若(u n v n ) 收敛，则u n ，v n 都收敛 .n 1n 1n 1则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [](11) 设 f ( x) 在 [a , b] 上连续，且 f ( a) 0, f (b) 0 ，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点 x 0 ( a,b) ，使得 f ( x 0 ) > f (a).(B) 至少存在一点 x 0(a, b) ，使得 f (x 0 ) > f (b).(C) 至少存在一点 x 0 (a, b) ，使得 f ( x 0 ) 0.(D) 至少存在一点 x 0 ( a,b) ，使得 f ( x 0 ) = 0.[ D](12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价 , 则必有(A) 当| A| a(a 0) 时, | B | a .(B) 当| A| a(a 0) 时, |B| a .(C) 当|A|0时, |B| 0.(D) 当|A| 0时 , | B | 0 .[](13) 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A *0, 若 ξ1,ξ2, ξ3, ξ4 是非齐次线性方程组Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax 0 的基础解系(A) 不存在 .(B) 仅含一个非零解向量 .(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量 .[ ](14) 设随机变量 X 服从正态分布N (0,1) , 对给定的 α (0,1) , 数 u α满足 P{ Xu α}α,若 P{| X | x} α, 则 x 等于(A)u α.(B) u α.(C)u 1 α.(D) u 1α.[]2122三、解答题 (本题共 9 小题，满分 94 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)(15) (本题满分 8 分)求 lim (1 cos2 x ) .x 0sin 2xx 2(16) ( 本题满分 8 分 )求( x 2 y 2y)d ，其中 D 是由圆 x2y 2 4 和 (x 1)2 y21 所围成的D平面区域 (如图 ).(17) (本题满分 8 分)设 f (x) , g( x)在 [a , b] 上连续，且满足x xg(t) dt ，x b b af (t )dt[a , b)，f (t) dtg(t) dt .aaab b证明：xf (x) dx xg(x)dx .aa(18) (本题满分 9 分)设某商品的需求函数为 Q = 100 5P ，其中价格 P (0 , 20) ，Q 为需求量 .(I) 求需求量对价格的弹性 E d ( E d > 0) ；(II)dR E d ) (其中 R 为收益 )，并用弹性 E d 说明价格在何范围内变化时，推导Q(1dP降低价格反而使收益增加 .(19) (本题满分 9 分)设级数x 4x6x 8(x)2 4 2 4 6 2 4 6 8的和函数为 S(x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式 .(20)( 本题满分 13 分 )α (1,2,0)Tα(1,α 2, 3α) Tα ( 1, b 2, α 2b) T,β (1,3, 3) T ,设 1, 2,3试讨论当 a,b 为何值时 ,(Ⅰ ) βα1, α2, α3线性表示 ;不能由(Ⅱ ) β可由 α1 ,α2 , α3 唯一地线性表示 , 并求出表示式 ;(Ⅲ ) β可由 α1 ,α2 , α3 线性表示 , 但表示式不唯一 , 并求出表示式 .(21) (本题满分 13 分)设 n 阶矩阵1bb Ab 1 b .bb1(Ⅰ ) 求 A 的特征值和特征向量 ;(Ⅱ ) 求可逆矩阵 P , 使得 P 1AP 为对角矩阵 .(22) ( 本题满分 13 分)设 A ， B 为两个随机事件 ,且 P( A)1P(B | A)1P(A|B)1 ,,, 令4321, 发生，1, 发生，XAYB，不发生，，不发生 .0 A0 B 求(Ⅰ ) 二维随机变量 ( X ,Y) 的概率分布 ;(Ⅱ ) X与 Y的相关系数XYρ ;(Ⅲ )Z X 2 Y 2 的概率分布 .(23) (本题满分 13 分) 设随机变量X 的分布函数为α β1 , x ，F ( x, α,β)x αx，，0 α其中参数 α 0, β 1. 设 X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本 , (Ⅰ) 当α 1时 , 求未知参数β的矩估计量 ;(Ⅱ ) 当 α 1 时 , 求未知参数 β的最大似然估计量 ;(Ⅲ ) 当 β 2 时 , 求未知参数α的最大似然估计量 .2004 年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）(1) sin x(cos x b) 5，则a =1 ， b =4.若 limax 0ex【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为 lim sin x (cos xb ) 5 ，且 lim sin x (cos x)0 ，所以abx 0exx0 lim (exa)0 ，得 a = 1. 极限化为x 0limsin x(cos x b) limx(cos xb) 1 b5，得 b =4.x 0exax0 x因此， a = 1， b = 4.【评注】一般地，已知 limf (x)＝ A ，g(x)(1) 若 g(x) 0，则 f (x)0；(2) 若 f ( x)0，且 A 0，则 g(x) 0.(2) 设函数 f (u , v)由关系式 f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且 g(y)0，2fg (v) .则g 2(v)u v【分析】令 u = xg(y)， v = y ，可得到 f (u , v)的表达式，再求偏导数即可 .【详解】令 u = xg(y)， v = y ，则 f (u , v) =ug(v) ，g(v)f 1，2fg (v)所以，u vg 2 .u g (v)(v)x 2,1x1xe 2 221(3) 设 f (x)，则1 f ( x 1) dx. 1 , x 1222【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可 .2 1 1【详解】令 x1 = t ， 1 f ( x 1)dx1 f (t )dt 1 f ( x)dt2 2212111 ＝ 21 xexdx 1 ( 1) dx 0 ( ).2222【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4) 二次型 f ( x , x, x ) ( x x 2) 2 (x2x ) 2( xx ) 2 的秩为 2 .1231331【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案 .【详解一】因为 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ( x 1x 2 ) 2(x 2 x 3 ) 2 ( x 3 x 1 ) 22x 2 2x 22x22x x 2 x x32 x x31 231 2122 1 1 于是二次型的矩阵为A1 2 1 , 1 1 21 12 1 1 2由初等变换得A0 3 3 0 3 3 ,33从而r ( A)2 , 即二次型的秩为 2.【详解二】因为 f ( x 1 , x 2 , x 3 )( x 1 x 2 ) 2 (x 2 x 3 ) 2 ( x 3 x 1 ) 22 x 1 2 2x 2 2 2x3 22x 1 x 2 2x 1 x 3 2x 2 x 32( x 11x 21x 3 )23(x 2 x 3 ) 22222 y 1 23 y 2 2 ,2 1 1y 1x 1x 3 ,y 2x 2x 3 .其中x 222. 2所以二次型的秩为(5) 设随机变量X服从参数为λ则 P{ X DX }1 .的指数分布 ,e【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于 DX1 X 的分布函数为2 ,λF ( x)1e λx , x0,0,x0.故P{ XDX} 1 P{XDX }1 P{X1} 1 F(1) 1 .λλ e【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查 , 属基本题型 .22X 1 , X 2 , X n 1 和 Y 1 ,Y 2 , Y n 2 分别是来自总体X 和 Y 的简单随机样本 , 则22n 1n 2( X i X )(Y j Y)i 1j 12Eσ .n 1 n 2 2【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.1n 1221 n 22E[ ] E[2] 【详解】因为1 i 1 ( X i X ) σ,n 2 1 j(Y j Y)σ,n 112故应填 σ .【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数 f (x)| x | sin( x2)x( x 1)( x2)2 在下列哪个区间内有界 .(A)( 1,0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).[ A ]【分析】如 f (x)在 (a , b)内连续，且极限lim f ( x) 与 lim f ( x) 存在，则函数 f (x)x ax b在 (a , b)内有界 .【详解】当 x0,1,2时， f (x)连续，而 lim f ( x)sin 3， lim f (x)sin 2 ，x118x 04lim f ( x)sin 2，lim f ( x)，lim f (x)，x 04x1x 2所以，函数 f (x)在 ( 1 , 0) 内有界，故选 (A).【评注】一般地，如函数 f (x)在闭区间 [ a , b]上连续，则 f (x)在闭区间 [a , b]上有界；如函数 f (x)在开区间 (a ,b)内连续，且极限lim f ( x) 与 lim f ( x) 存在，则函数f (x)在开区间 (a , b)内有界 .xax b(8) 设 f (x)在 (, + )内有定义，且lim f ( x) a ，x1g( x)f ( x ) , x，则0 , x(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点 . (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点 .(C) x = 0 必是 g(x)的连续点 .(D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与a 的取值有关 . [D ]【分析】考查极限 limg (x ) 是否存在，如存在，是否等于g(0) 即可，通过换元 1，ux 0x可将极限 lim g ( x) 转化为 lim f (x) .x 0x【详解】因为 lim g( x) limf ( 1 ) lim f (u) = a(令 u1 )，又 g(0) = 0 ，所以，x 0xx u x当 a = 0 时， lim g ( x) g(0) ，即 g(x)在点 x = 0 处连续，当 a0 时，xlim g( x) g(0) ，即 x = 0是 g( x)的第一类间断点，因此，g(x)在点 x = 0 处的连续性x 0与 a 的取值有关，故选 (D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9) 设 f (x) = |x(1x)|，则(A) x = 0 是 f (x)的极值点，但 (0 , 0) 不是曲线 y = f (x)的拐点 . (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但 (0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点 .(C) x = 0 是 f (x)的极值点，且 (0 , 0) 是曲线 y = f (x)的拐点 . (D) x = 0 不是 f (x)的极值点， (0 , 0) 也不是曲线y = f (x)的拐点 .[ C ]【分析】由于 f (x)在 x = 0 处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查 f (x)在 x = 0 的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设 0 < < 1 ，当 x(, 0)(0 , )时， f (x) > 0 ，而 f (0) = 0 ，所以 x = 0 是 f (x)的极小值点 .显然， x = 0 是 f (x)的不可导点 . 当 x(, 0)时， f (x) = x(1x)， f (x)2 0，当 x(0 , )时， f (x) = x(1x) ， f ( x) 2 0 ，所以 (0 , 0) 是曲线 y = f (x)的拐点 .故选 (C).【评注】对于极值情况，也可考查 f (x)在 x = 0 的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断 .(10) 设有下列命题：(1) 若(u 2n 1 u 2n ) 收敛，则u n 收敛 .n 1n 1(2) 若u n 收敛，则u n 1000收敛.n 1n 1(3) 若 lim u n 1 1，则u 发散 .nu nnn 1(4) 若(u n v n ) 收敛，则u n ，v n 都收敛 .n 1n 1n 1则以上命题中正确的是(A) (1) (2).(B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4).[B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明 4 个命题的正确性 .【详解】 (1)是错误的，如令u(1)n ，显然，u 分散，而(uu )收敛.nn 2 n 12nn 1 n 1(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由lim un 11可得到 u不趋向于零 (n)，所以u 发散.n u n n nn 1(4)是错误的，如令 un 1, vn1，显然，u ，v都发散，而n n n nn 1n 1(u n v n ) 收敛.故选(B).n 1【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设f ( x)在 [a , b] 上连续，且 f (a) 0, f (b)0 ，则下列结论中错误的是(A)至少存在一点 x0( a,b) ，使得 f ( x0 ) > f (a).(B)至少存在一点 x0(a, b) ，使得 f (x0 ) > f (b).(C)至少存在一点 x0 (a, b) ，使得 f ( x0 ) 0.(D) 至少存在一点x0( a,b) ，使得 f ( x0 ) = 0.[D]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知f( x) 在[a , b]上连续，且 f (a) 0, f (b)0 ，则由介值定理，至少存在一点x(a,b) ，使得 f(x) 0；00另外， f (a)lim f ( x) f (a)0，由极限的保号性，至少存在一点x0(a,b) x ax a使得f ( x)f ( a)0，即 f ( x ) f ( a) .同理，至少存在一点x(a,b)x0a00使得 f ( x0 ) f (b) .所以，(A) (B) (C)都正确，故选 (D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12)设 n 阶矩阵A与B等价,则必有(A)当| A |a(a 0) 时, | B | a .(B) 当| A |a(a 0) 时, | B | a .(C) 当|A|0时, |B| 0.(D) 当|A|0时, |B| 0.[ D]【分析】利用矩阵 A 与 B 等价的充要条件:r ( A)r ( B) 立即可得.【详解】因为当 | A | 0时, r ( A) n ,又 A 与 B 等价,故r (B)n ,即| B |0 ,故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型 .(13) 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A *0, 若 ξ,ξ, ξ, ξ 是非齐次线性方程组Axb 的12 34互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax 0 的基础解系(A) 不存在 .(B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量 . [ B]【分析】要确定基础解系含向量的个数 , 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩 .【详解】因为基础解系含向量的个数= nr ( A) , 而且n,r ( A) n,r ( A * )1, r ( A) n 1, 0, r ( A) n 1.根据已知条件 A *0, 于是 r ( A) 等于 n 或 n 1 . 又 Ax b 有互不相等的解 ,即解不惟一 , 故 r ( A)n 1. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选 (B).【评注】本题是对矩阵 A 与其伴随矩阵 A * 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的α (0,1), 数u α满足P{ Xα,u }α若P{| X | x} α, 则 x 等于(A)u α.(B) uα.(C)u 1 α.(D) u 1α.[ C ]2122【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】由P{| X|x} α, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得P{ Xx}1 α2 . 故正确答案为 (C)., 严格地说它的上分位数概念的考查.【评注】本题是对标准正态分布的性质三、解答题 (本题共 9 小题，满分 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)(15) (本题满分 8 分)求 lim (1cos 2x ) . x 0sin 2 x x 2【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】 lim (1 cos 2xx 2 sin 2 xcos 2 xsin 2xx 2) limx 2 sin 2 xx 0xx21sin 22x2x1sin 4 x1 cos4x 1(4 x)2= lim4lim2lim lim242.432【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) ( 本题满分 8 分 )求 ( x2y 2y)d，其中 D 是由圆 x2y24和 (x 1) 2 y 2 1 所围成的平面区域 (如图 ).D【分析】首先，将积分区域D 分为大圆 D 1{( x, y) | x2y24} 减去小圆D 2{( x, y) | (x1)2 y 2 1} ，再利用对称性与极坐标计算即可 .【详解】令 D{( x, y) | x2y24}, D2{( x, y) | ( x 1)2y21} ，1由对称性，yd0 .Dx 2y 2 dx 2y 2 dx 2y 2 dDD 1D 222 r 2dr 32cos r 2dr .d2 d2 016 32 16 (3 2)39 9所以，( x2y2y)d16 (32) .D9【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(17) ( 本题满分 8 分)设 f (x) , g( x)在 [a , b] 上连续，且满足x xg(t) dt ，x[a , b)，b b af (t )dtf (t) dtg(t) dt .aaab b 证明：xf (x) dx xg(x)dx .aa【分析】令 F(x) = f (x)g(x)， G(x) xF (t )dt ，将积分不等式转化为函数不等式即可.a 【详解】令 F(x) = f (x)g(x)， G(x)x F (t )dt ，a由题设 G(x) 0，x [a , b]，G(a) = G(b) = 0 ， G (x) F ( x) .b b xG(x)bbb 从而xF ( x)dxxdG( x)G(x)dxG( x)dx ，aaaaa由于 G(x) 0， x[a , b] ，故有b0，G( x) dxab0 .即xF( x)dxab b因此xf ( x)dx xg( x)dx .a a【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18)(本题满分 9 分)设某商品的需求函数为Q = 100 5P，其中价格 P (0 , 20) ，Q 为需求量 .(I)求需求量对价格的弹性 E d( E d>0) ；(II)dRQ(1E d ) (其中R为收益)，并用弹性E d说明价格在何范围内变化时，推导降低价格反而使dP收益增加 .【分析】由于 E> 0，所以E P dQ；由 Q=PQ 及EP dQ可推导d d Q dP d Q dP dRQ(1 E d ) .dP【详解】 (I) E dP dQ PQ dP .20 P (II)由R = PQ，得dR Q P dQ Q (1P dQ) Q (1 E d ) .dP dP Q dP又由 EP1，得P=10. d20P当 10<P<20dR0 ，时， E d> 1，于是dP故当 10<P<20时，降低价格反而使收益增加 .【评注】当 E d> 0时，需求量对价格的弹性公式为 E dP dQ P dQQ dP .Q dP 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：dR(1E d )Qdp ，dR(1E d )Q ，dR(11) p ，dp dQ E dEREp 1 E d(收益对价格的弹性).(19)(本题满分 9 分)设级数x 4x6x 8(x)2 4 2 4 6 2 4 6 8的和函数为 S(x). 求：(I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式 .【分析】对 S(x)进行求导，可得到 S(x)所满足的一阶微分方程，解方程可得S(x)的表达式 .【详解】 (I) S(x) x 4 x6x 8 ，2 42 46 246 8易见S(0) = 0，S (x)x 3 x 5 x 72 2 4 2 4 6x(x 2 x 4x 6)2 2 4 2 4 6x[ x 2 S( x)] .2因此 S(x)是初值问题yxyx 30的解.2 , y(0)(II) 方程 yxyx 3的通解为2y exdxx 3 xdxC ][ edx2x 2x 21 Ce2，2由初始条件 y(0) = 0 ，得 C = 1.x 2 x 2x 2x 2故 ye 21 ，因此和函数 S( x)e 21 . 22【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题， 2002 年考过类似的题 .(20)( 本题满分 13 分 )设α1 (1,2,0)T ,α2(1,α2, 3α)T ,α ( 1, b 2, α 2b) T,β (1,3, 3)T ,3试讨论当 a,b 为何值时 ,(Ⅰ )β不能由 α1, α2 , α3 线性表示 ;(Ⅱ )β可由α1,α2 , α3唯一地线性表示 , 并求出表示式 ;(Ⅲ )β可由α1,α2 , α3线性表示 , 但表示式不唯一 , 并求出表示式 .【分析】将可否由α1,α2,α3线性表示的问题转化为线性方程组k1α1 k2α2 k3α3ββ是否有解的问题即易求解.【详解】设有数 k1, k2 , k3 , 使得k1α kαk αβ(*)12 2 3 3.记 A(α1, α2 , α3 ) .对矩阵 ( A, β)施以初等行变换, 有1111( A, β)2a2b2303a a 2b3 (Ⅰ ) 当a0时,有1111(A, β)00b 1 .0001可知 r ( A)r ( A, β) .故方程组 (*) 无解 ,β不能由11110a b 1 .00 a b0α,α ,α 线性表示.123(Ⅱ ) 当a0 ,且 a b 时,有100111111a( A, β)0a b 10101 a00 a b00010 r ( A) r ( A, β) 3 ,方程组(*)有唯一解：k1 1 1,k 21, k30．a a此时β可由α1,α2,α3唯一地线性表示,其表示式为β(11 α1α2．a)1a(Ⅲ ) 当a b 0时 ,对矩阵 ( A, β) 施以初等行变换,有100111111a1( A, β)0a b 1011，a00 a b00000r ( A) r ( A, β) 2 ,方程组 (*) 有无穷多解，其全部解为k111,k21 c ,k3 c ，其中 c 为任意常数．a aβ 可由α1,α2,α3线性表示,但表示式不唯一 ,其表示式为β(11 α1c) α2cα3．a)1( a【评注】本题属于常规题型,曾考过两次 (1991, 2000).(21)(本题满分 13 分)设n 阶矩阵1b bA b1b.b b1(Ⅰ ) 求A的特征值和特征向量;(Ⅱ )求可逆矩阵 P ,使得 P 1 AP为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程| λE A |0和齐次线性方程组(λE A)x0来解决.【详解】(Ⅰ ) 1 当 b 0 时，λ 1b b| λE A |bλ 1bb bλ1＝ [ λ 1(n1)b][ λ (1 b)] n 1,得 A 的特征值为λ1(n1)b ，λλ1 b ．12n 对λ 1(n1)b ，1(n1)b b b( n1)11λ1E Ab(n1)b b1(n1)1b b(n1)b11(n 1)n11111111n1n 1111n 11111n1111n1100000000111 1 n10010n0n010100n n001100000000解得ξ (1,1,1,,1) T，所以A的属于λ的全部特征向量为11kξ1k (1,1,1,,1)T( k为任意不为零的常数) ．对λ 1 b ，2b b b111λ2E Ab b b000b b b000得基础解系为ξ2(1,1,0,,0)T，ξ3(1,0,1,,0)T，, ξn(1,0,0,, 1)T．故 A 的属于λ的全部特征向量为2k 2ξ2k3ξ3k nξn( k2, k3,, k n是不全为零的常数)．2 当 b0 时，λ 100| λE A |0λ10(λ 1)n,00λ 1特征值为λλ1，任意非零列向量均为特征向量．1n( Ⅱ ) 1 当 b 0 时，A 有 n 个线性无关的特征向量，令 Pξ ξ ξ ，则(1 ,2 , ,n )1(n 1)bP 1AP1 b1 b2当 b 0 时， AE ，对任意可逆矩阵 P , 均有P 1APE．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题 ,属于有一点综合性的试题. 另外 ,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数 , 从而一般要讨论其不同取值情况 .(22) ( 本题满分 13 分 )设 A ， B 为两个随机事件 ,且 P( A)1P(B | A) 11,, P(A|B), 令4321,发生，1,发生，XAYB，不发生，， B 不发生 .0 A求(Ⅰ ) 二维随机变量 ( X ,Y) 的概率分布 ;(Ⅱ )X 与 Y 的相关系数 ρXY ;(Ⅲ ) Z X 2Y 2 的概率分布 .【分析】本题的关键是求出 ( X ,Y) 的概率分布，于是只要将二维随机变量 ( X ,Y) 的各取值对转化为随机事件 A 和 B 表示即可．【详解】(Ⅰ ) 因为 P( AB)P( A)P( B | A)1 于是 P( B)P( AB) 1，P(A | B)，126则有P{ X1,Y 1}1P( AB)，12 1P{ X1,Y0} P( AB)P( A) P( AB)，6P{ X 0,Y1} P( AB)P(B) P( AB) 1 ，122P{ X 0,Y0} P( A B) 1P(AB) 1 [P(A) P( B) P( AB)]，1 112 3( 或P{ X0,Y 0}16 12)，123即 ( X ,Y) 的概率分布为：YX01021 312111 612(Ⅱ )方法一：因为EX P( A)11， E( XY)1， EY P(B)6，412EX 2P( A)1，EY2P(B) 1 ，436(EY)25DX EX 2(EX )2， DY EY 2，16116Cov ( X ,Y)E( XY)EXEY，24所以 X 与 Y 的相关系数ρCov( X ,Y)1 1 5．XY DX DY 1 5 1 5方法二：X, Y的概率分布分别为X01Y01P 31P51 4466则 EX 1,EY1， DX3， DY=5, E(XY)=1, 461613612故 Cov ( X ,Y )E(XY)EX EY，从而24XY Cov( X ,Y )15 .DX DY15 (Ⅲ ) Z的可能取值为：0，1， 2．P{ Z0}P{ X0,Y0}2，31P{ Z1}P{ X1, Y0}P{ X0,Y1}，41P{ Z2}P{ X1, Y1}，12即 Z 的概率分布为：Z012P2113412【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型(23) ( 本题满分13 分 )设随机变量X 的分布函数为β1αx，F ( x, α,β)αxx，α，其中参数α 0, β1.设 X1,X2,, X n为来自总体X的简单随机样本,(Ⅰ )当α 1时 ,求未知参数β的矩估计量 ;(Ⅱ )当α 1时 ,求未知参数β的最大似然估计量 ;(Ⅲ )当β 2 时,求未知参数α的最大似然估计量 .【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数,从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】当α 1 时, X 的概率密度为f(xβββ1 ,x1，,)xx1，0，(Ⅰ )由于ββEX xf ( x; β)dx1xx β 1dx,β 1令βX ,解得βX,β 1X1所以 , 参数β的矩估计量为βX. X1(Ⅱ )对于总体 X 的样本值x1, x2,, x n,似然函数为nnβL ( β) f (x i ;α)(x1x2x n)β 1,x i1(i 1,2, , n),i 10,其他.当 x i1(i1,2,, n) 时,L ( β)0,取对数得nln L( β)n ln β ( β 1)i 1ln x i,对β求导数，得d[ln L( β)]nnln x i ，d ββ i 1d[ln L ( β)]nn ln x i 0 ，n令解得 β n ，d ββ i 1ln xi i 1于是β的最大似然估计量为? βn n．ln x ii 1( Ⅲ ) 当 β2 时 , X 的概率密度为2α，f ( x, β)23 ,xxα， x，α对于总体 X 的样本值 x 1, x 2 ,, x n , 似然函数为n 2nn2 α, x i α(i 1,2, , n), L ( β)f (x i ; α)( x 1 x 2 x n ) 3 i 10, 其他 .当 x α(i1,2,, n)时 , ααi越大， L(α) 越大 , 即的最大似然估计值为α?m in{ x 1 , x 2 , , x n } ,于是 α的最大似然估计量为? , X 2 , , X n } ． α min{ X 1。

2004考研学三真题解析

2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若，则a =，b =. 【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为，且，所以，得a = 1. 极限化为，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0； (2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =，所以，，. (3) 设，则.【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数5)(cos sin lim 0=--→b x a e xx x 14-5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x 0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x 0)(lim 0=-→a e x x 51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x xb x a e x x x x )()(limx g x f )()(22v g v g vu f '-=∂∂∂)()(v g v g u+)(1v g u f =∂∂)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x 21)1(221-=-⎰dx x f的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，＝.【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为于是二次型的矩阵为 ,由初等变换得 ,从而 , 即二次型的秩为2.【详解二】因为, 其中 . ⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f 21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x 213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A 2)(=A r 213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=2322321)(23)2121(2x x x x x -+++=2221232y y +=,21213211x x x y ++=322x x y -=所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量服从参数为的指数分布, 则. 【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】由于, 的分布函数为故. 【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体服从正态分布, 总体服从正态分布,和分别是来自总体和的简单随机样本, 则.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 , , 故应填 .【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数在下列哪个区间内有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3).[ A ]X λ=>}{DX X P e121λDX =X ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=X ),(21σμN Y ),(22σμN 1,,21n X X X 2,,21n Y Y Y X Y 22121212)()(21σn n Y Y X X E n j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=2σ2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限与存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而，，，，，所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限与存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且，，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点.(B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.[ D ]【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元，可将极限转化为.【详解】因为= a (令)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).)(lim x f a x +→)(lim x f b x -→183sin )(lim 1-=+-→x f x 42sin )(lim 0-=-→x f x 42sin )(lim 0=+→x f x ∞=→)(lim 1x f x ∞=→)(lim 2x f x )(lim x f a x +→)(lim x f b x -→a x f x =∞→)(lim ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg )(lim 0x g x →xu 1=)(lim 0x g x →)(lim x f x ∞→)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→==xu 1=)0()(lim 0g x g x =→)0()(lim 0g x g x ≠→【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点.[ C ]【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点.显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，，所以(0 , 0)是曲线y = f(x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10) 设有下列命题：(1) 若收敛，则收敛.(2) 若收敛，则收敛.(3) 若，则发散.02)(>=''x f 02)(<-=''x f ∑∞=-+1212)(n n n u u ∑∞=1n n u ∑∞=1n n u ∑∞=+11000n n u 1lim 1>+∞→nn n u u ∑∞=1n n u(4) 若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令，显然，分散，而收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由可得到不趋向于零(n → ∞)，所以发散.(4)是错误的，如令，显然，，都发散，而收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设在[a , b]上连续，且，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点，使得> f (a ). (B) 至少存在一点，使得> f (b ). (C) 至少存在一点，使得. (D) 至少存在一点，使得= 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知在[a , b]上连续，且，则由介值定理，至少存在一点，使得；∑∞=+1)(n n n v u ∑∞=1n n u ∑∞=1n n v nn u )1(-=∑∞=1n n u ∑∞=-+1212)(n n n u u 1lim 1>+∞→nn n u u n u ∑∞=1n n u n v n u n n 1,1-==∑∞=1n n u ∑∞=1n n v ∑∞=+1)(n n n v u )(x f '0)(,0)(<'>'b f a f ),(0b a x ∈)(0x f ),(0b a x ∈)(0x f ),(0b a x ∈0)(0='x f ),(0b a x ∈)(0x f )(x f '0)(,0)(<'>'b f a f ),(0b a x ∈0)(0='x f另外，，由极限的保号性，至少存在一点使得，即. 同理，至少存在一点使得. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. (12) 设阶矩阵与等价, 则必有(A) 当时, . (B) 当时, . (C) 当时, . (D) 当时, . [ D ] 【分析】利用矩阵与等价的充要条件: 立即可得.【详解】因为当时, , 又与等价, 故, 即, 故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设阶矩阵的伴随矩阵若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ B ]【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为基础解系含向量的个数=, 而且根据已知条件于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ),(0b a x ∈0)()(00>--ax a f x f )()(0a f x f >),(0b a x ∈)()(0b f x f >n A B )0(||≠=a a A a B =||)0(||≠=a a A a B -=||0||≠A 0||=B 0||=A 0||=B A B )()(B r A r =0||=A n A r <)(A B n B r <)(0||=B n A ,0*≠A 4321,,,ξξξξb Ax =0=Ax )(A r n -⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r ,0*≠A )(A r n 1-n b Ax =1)(-=n A r【评注】本题是对矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足,若, 则等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ C ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】由, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求. 【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】=. 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算. (16) (本题满分8分) 求，其中D 是由圆和所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆减去小圆A *A X )1,0(N )1,0(∈ααu αu X P α=>}{αx X P =<}|{|x 2αu 21αu-21αu -αu -1αx X P =<}|{|21}{αx X P -=>)cos sin 1(lim 2220xxx x -→0xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→x x xx x x x x x x x x x x 00⎰⎰++Dd y y x σ)(22422=+y x 1)1(22=++y x }4|),{(221≤+=y x y x D，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令，由对称性，..所以，. 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足，x ∈ [a , b )，.证明：.【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，，由题设G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]， G (a ) = G (b ) = 0，.从而，由于 G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，故有}1)1(|),{(222≤++=y x y x D }1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D 0=⎰⎰Dyd σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d )23(916932316-=-=ππ)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x ⎰⎰≥xaxadt t g dt t f )()(⎰⎰=babadt t g dt t f )()(⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(⎰=xadt t F x G )()(⎰=xa dt t F x G )()()()(x F x G ='⎰⎰⎰⎰-=-==bab aba babadx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，即.因此.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性(> 0)；(II) 推导(其中R 为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【分析】由于> 0，所以；由Q = PQ 及可推导 . 【详解】(I) . (II) 由R = PQ ，得. 又由，得P = 10.当10 1，于是，故当10 0时，需求量对价格的弹性公式为.利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：0)(≤-⎰badx x G 0)(≤⎰ba dx x xF ⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(d E d E )1(d E Q dPdR-=d E d E dP dQ Q P E d =dPdQQ P E d =)1(d E Q dPdR-=PPdP dQ Q P E d -==20)1()1(d E Q dP dQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=120=-=PPE d d E 0<dPdRd E dPdQQ P dP dQ Q P E d -==，，， (收益对价格的弹性). (19) (本题满分9分)设级数的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) ，易见 S (0) = 0，.因此S (x )是初值问题的解.(II) 方程的通解为Qdp E dR d )1(-=Q E dp dR d )1(-=p E dQ dR d)11(-=d E EpER-=1)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S +⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S )642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x )](2[2x S x x +=0)0(,23=+='y x xy y 23x xy y +=']2[3C dx e x e y xdx xdx +⎰⎰=⎰-，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故，因此和函数.【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)设, , , , 试讨论当为何值时,(Ⅰ) 不能由线性表示;(Ⅱ) 可由唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) 可由线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】将可否由线性表示的问题转化为线性方程组是否有解的问题即易求解. 【详解】设有数使得. (*) 记. 对矩阵施以初等行变换, 有.(Ⅰ) 当时, 有. 可知. 故方程组(*)无解, 不能由线性表示.22212x Ce x +--=12222-+-=x e x y 12)(222-+-=x e x x S T α)0,2,1(1=T ααα)3,2,1(2-+=T b αb α)2,2,1(3+---=T β)3,3,1(-=b a ,β321,,αααβ321,,αααβ321,,αααβ321,,αααβαk αk αk =++332211,,,321k k k βαk αk αk =++332211),,(321αααA =),(βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a 0=a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA ),()(βA r A r ≠β321,,ααα(Ⅱ) 当, 且时, 有, 方程组(*)有唯一解： , , ．此时可由唯一地线性表示, 其表示式为．(Ⅲ) 当时, 对矩阵施以初等行变换, 有， , 方程组(*)有无穷多解，其全部解为 , , ，其中为任意常数．可由线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为．【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000). (21) (本题满分13分)设阶矩阵.0≠a b a ≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r a k 111-=ak 12=03=k β321,,ααα211)11(αaαa β+-=0≠=b a ),(βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a 2),()(==βA r A r ak 111-=c a k +=12c k =3c β321,,ααα321)1()11(αc αc aαa β+++-=n ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 b b b bb b A(Ⅰ) 求的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程和齐次线性方程组来解决. 【详解】 (Ⅰ) 当时，＝ ,得的特征值为，．对，解得，所以的属于的全部特征向量为 (为任意不为零的常数)．对，A P AP P 1-0||=-A E λ0)(=-x A E λ 10≠b 111||---------=-λbbbλb b b λA E λ1)]1(][)1(1[------n b λb n λA b n λ)1(11-+=b λλn -===12 b n λ)1(11-+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b n b b b b n b b b bn A E λ)1()1()1(1→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111111111n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111n n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001T ξ)1,,1,1,1(1 =A 1λT k ξk )1,,1,1,1(1 =k b λ-=12得基础解系为，，．故的属于的全部特征向量为(是不全为零的常数)．当时，,特征值为，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ) 当时，有个线性无关的特征向量，令，则当时，，对任意可逆矩阵, 均有．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)设，为两个随机事件,且, , , 令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111T ξ)0,,0,1,1(2 -=T ξ)0,,1,0,1(3 -=T n ξ)1,,0,0,1(,-= A 2λn n ξk ξk ξk +++ 3322n k k k ,,,32 20=b n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-11===n λλ 10≠b A n ),,,(21n ξξξP =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(1120=b E A =P E AP P =-1A B 41)(=A P 31)|(=AB P 21)|(=B A P ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量的概率分布; (Ⅱ) 与的相关系数 ; (Ⅲ) 的概率分布.【分析】本题的关键是求出的概率分布，于是只要将二维随机变量的各取值对转化为随机事件和表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为，于是，则有，，，， ( 或)，即的概率分布为：(Ⅱ) 方法一：因为，，，，， ),(Y X X Y XY ρ22Y X Z +=),(Y X ),(Y X A B 121)|()()(==A B P A P AB P 61)|()()(==B A P AB P B P 121)(}1,1{====AB P Y X P 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P 32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P 32121611211}0,0{=---===Y X P ),(Y X 41)(==A P EX 61)(==B P EY 121)(=XY E 41)(2==A P EX 61)(2==B P EY，，，所以与的相关系数．方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1 P P 则，，DY=, E(XY)=, 故，从而 (Ⅲ) 的可能取值为：0，1，2 ．，，，即的概率分布为：【评注函数的分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分) 设随机变量的分布函数为163)(22=-=EX EX DX 165)(22=-=EY EY DY 241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov X Y 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY 4341656161,41==EY EX 163=DX 365121241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov .1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρZ 32}0,0{}0{=====Y X P Z P 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P 121}1,1{}2{=====Y X P Z P Z X其中参数. 设为来自总体的简单随机样本,(Ⅰ) 当时, 求未知参数的矩估计量; (Ⅱ) 当时, 求未知参数的最大似然估计量; (Ⅲ) 当时, 求未知参数的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】当时, 的概率密度为(Ⅰ) 由于令, 解得 , 所以, 参数的矩估计量为 . (Ⅱ) 对于总体的样本值, 似然函数为当时, , 取对数得 ,对求导数，得，⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,(1,0>>βαn X X X ,,,21 X 1=αβ1=αβ2=βα1=αX ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX βX ββ=-11-=X Xββ1-=X XβX n x x x ,,,21 ∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βn ni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他 ),,2,1(1n i x i =>0)(>βL ∑=+-=ni i x ββn βL 1ln )1(ln )(ln β∑=-=ni i x βnβd βL d 1ln )]([ln令，解得，于是的最大似然估计量为．( Ⅲ) 当时, 的概率密度为对于总体的样本值, 似然函数为当时, 越大，越大, 即的最大似然估计值为, 于是的最大似然估计量为．2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限= . （2）微分方程满足初始条件的特解为______. （3）设二元函数，则________.（4）设行向量组，，，线性相关，且，则a=_____.0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ∑==ni ixnβ1ln β∑==ni ixnβ1ln ˆ2=βX ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32X n x x x ,,,21 ∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i nnn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他 ),,2,1(n i αx i =>α)(αL α},,,min{ˆ21n x x x α=α},,,min{ˆ21n X X X α=12sinlim 2+∞→x xx x 0=+'y y x 2)1(=y )1ln()1(y x xe z y x +++=+=)0,1(dz)1,1,1,2(),,1,2(a a ),1,2,3(a )1,2,3,4(1≠a（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则=______.（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件与相互独立，则a= ， b= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设,,,其中，则(A) . （B ）.(C) . (D) . [ ]（9）设若发散，收敛，则下列结论正确的是(A) 收敛，发散 . （B ）收敛，发散.(C) 收敛. (D) 收敛. [ ]（10）设,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，是极小值. （B ） f(0)是极小值，是极大值.X ,,2,1 }2{=Y P }0{=X }1{=+Y X a x x x x f -+-=1292)(23σd y x I D⎰⎰+=221cos σd y x I D⎰⎰+=)cos(222σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(}1),{(22≤+=y x y x D 123I I I >>321I I I >>312I I I >>213I I I >>,,2,1,0 =>n a n ∑∞=1n n a ∑∞=--11)1(n n n a ∑∞=-112n n a ∑∞=12n n a ∑∞=12n n a ∑∞=-112n n a )(1212∑∞=-+n n n a a )(1212∑∞=--n n n a a x x x x f cos sin )(+=)2(πf )2(πf（C ） f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值.[ ]（11）以下四个命题中，正确的是(A) 若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（B ）若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（C ）若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界. [ ]（12）设矩阵A= 满足，其中是A 的伴随矩阵，为A 的转置矩阵. 若为三个相等的正数，则为 (A) . (B) 3. (C) . (D) . [ ] （13）设是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A) . (B) . (C) . (D) . [ ]（14）设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为0.90的置信区间是(A) (B) (C)(D) [ ] 三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求（16）（本题满分8分）)2(πf )2(πf )(x f ')(x f )(x f ')(x f )(x f '33)(⨯ij a T A A =**A T A 131211,,a a a 11a 3331321,λλ21,αα1α)(21αα+A 01=λ02=λ01≠λ02≠λ),(2σμN 2,σμ)(20cm x =)(1cm s =μ)).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-)).16(4120),16(4120(1.01.0t t +-)).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-)).15(4120),15(4120(1.01.0t t +-).111(lim 0xe x x x --+-→设f(u)具有二阶连续导数，且，求（17）（本题满分9分）计算二重积分，其中.（18）（本题满分9分）求幂级数在区间(-1,1)内的和函数S(x). （19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,,.证明：对任何a ,有（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（i ）和（ii ）同解，求a,b, c 的值.（21）（本题满分13分）设为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为矩阵. (I) 计算，其中；（II ）利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.)()(),(y x yf x y f y x g +=.222222yg y x g x ∂∂-∂∂σd y x D⎰⎰-+122}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D ∑∞=-+12)1121(n n x n 0)(≥'x f 0)(≥'x g ]1,0[∈⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 010).1()()()()()(⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B CC AD T n m ⨯DP P T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE o C A E P 1C A C B T 1--（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度；（II ）的概率密度 ( III ) （23）（本题满分13分）设为来自总体N(0,)的简单随机样本，为样本均值，记求：（I ）的方差；（II ）与的协方差（III ）若是的无偏估计量，求常数c. .,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=)(),(y f x f Y X Y X Z -=2).(z f Z }.2121{≤≤X Y P )2(,,,21>n X X X n 2σX .,,2,1,n i X X Y i i =-=i Y n i DY i ,,2,1, =1Y n Y ).,(1n Y Y Cov 21)(n Y Y c +2σ。

历年考研数学三真题及答案解析

（2004-2014）历年考研数学三真题及答案解析20XX 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（）（A ）2n a a >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+（3）设23(x)a P bx cx dx =+++，当0x →时，若(x)tanx P -是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是（A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（）（A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式0000000ab a bcd cd =（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件（B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（）（A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ服从的分布为（A ）F （1,1）（B ）F （2,1）（C ）t(1）（D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

2004-2012考研数学三答案含解析

【答】C）【详解】设 0 < δ < 1，当 x ∈ (−δ , 0) ∪ (0 , δ)时，f (x) > 0，而 f (0) = 0，所以 x = 0 是 f (x)
的极小值点.
显然，x = 0 是 f (x)的不可导点. 当 x ∈ (−δ , 0)时，f (x) = −x(1 − x)， f ′′(x) = 2 > 0 ，
(8) 设 f (x)在(−∞ , +∞)内有定义，且 lim f (x) = a ，
x→∞
g(
x)
=
⎪⎧ ⎨
f
(
1 x
)
,
x
≠
0
，则
⎪⎩ 0 , x = 0
(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点.
(B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点.
(C) x = 0 必是 g(x)的连续点.
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系
(A) 不存在.
(B) 仅含一个非零解向量.
(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.
【答】（B）
【】
【详解】因为基础解系含向量的个数= n − r( A) , 而且
⎧n, r( A* ) = ⎪⎨1,
⎪⎩0,
x→0
1
−
cos 6x2
4x
.
=
lim
1 (4x)2 2
=
4
x→0 6x2
3
(16) (本题满分 8 分)
∫∫ 求 ( x2 + y2 + y)dσ ，其中 D 是由圆 x2 + y2 = 4 和 (x + 1)2 + y2 = 1 所围成的

2004年考研数学三真题

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 若()0sin lim cos 5x x xx b e a→-=-，则a =______，b =______.(2) 函数(),f u v 由关系式()(),f xg y y x g y =+⎡⎤⎣⎦确定，其中函数()g y 可微，且()0g y ≠，则2f u v∂=∂∂______.(3) 设()211,,2211,,2x xe x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 则()2121f x dx -=⎰_____.(4) 二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为______. (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{}P X DX >=______. (6) 设总体X 服从正态分布()21,N μσ，总体Y 服从正态分布()22,N μσ，112,,,n X X X 和212,,,n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则()()122211122n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦∑∑______. 二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 函数()()()()2sin 212x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界.（A ）()1,0- （B ）()0,1 （C ）()1,2 （D ）()2,3(8) 设()f x 在(),-∞+∞内有定义，且()lim x f x a →∞=，()1,0,0,0,fx g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩则（A ）0x =必是()g x 的第一类间断点（B ）0x =必是()g x 的第二类间断点（C ）0x =必是()g x 的连续点（D ）()g x 在点0x =处的连续性与a 的值有关.(9) 设()()1f x x x =-，则（A ）0x =是()f x 的极值点，但()0,0不是曲线()y f x =的拐点（B ）0x =不是()f x 的极值点，但()0,0是曲线()y f x =的拐点（C ）0x =是()f x 的极值点，且()0,0是曲线()y f x =的拐点（D ）0x =不是()f x 的极值点，()0,0也不是曲线()y f x =的拐点 (10) 设有以下命题：① 若()2121n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛② 若1n n u ∞=∑收敛，则10001n n u ∞+=∑收敛③ 若1lim 1n n nu u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散④ 若()1n n n u v ∞=+∑收敛，则1n n a ∞=∑，1n n v ∞=∑都收敛则以上命题中正确的是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④(11) 设()f x '在[],a b 上连续，且()()0,0f a f b ''><，则下列结论中错误的是（A ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f a > （B ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f b > （C ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x '=（D ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x = (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（A ）当()0A a a =≠时，B a = （B ）当()0A a a =≠时，B a =- （C ）当0A ≠时，0B = （D ）当0A =时，0B =(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*0A ≠，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系（A ）不存在（B ）仅含一个非零解向量（C ）含有两个线性无关的解向量（D ）含有三个线性无关的解向量(14) 设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，对给定的()0,1α∈，数n u 满足{}P X u αα>=，若{}P X x α<=，则x 等于（A ）2u α （B ）12uα-（C ）12u α- （D ）1u α-三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分8分）求22201cos lim sin x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭. （16）（本题满分8分）求()22Dx y y d σ++⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=和()2211x y ++=所围成的平面区域（如图）.（17）（本题满分8分）设()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()x xaaf t dtg t dt ≥⎰⎰，[),x a b ∈，()()b baaf t dtg t dt =⎰⎰证明：()()b baaxf x dx xg x dx ≤⎰⎰.（18）（本题满分9分）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中价格()0,20P ∈，Q 为需求量. （Ⅰ）求需求量对价格的弹性()0d d E E >；（Ⅱ）推导()1d dRQ E dP=-（其中R 为收益），并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.（19）（本题满分9分）设级数()468242462468x x x x +++-∞<<+∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 的和函数为()S x .求：（Ⅰ）()S x 所满足的一阶微分方程；（Ⅱ）()S x 的表达式.（20）（本题满分13分）设()()()1231,2,0,1,2,3,1,2,2TTTa ab a b ααα==+-=---+，()1,3,3Tβ=-. 试讨论当,a b 为何值时，（Ⅰ）β不能由123,,ααα线性表示；（Ⅱ）β可由123,,ααα唯一地线性表示，并求出表示式；（Ⅲ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.（21）（本题满分13分）设n 阶矩阵111b b b b A b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求A 的特征值和特征向量；（Ⅱ）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵.（22）（本题满分13分）设,A B 为两个随机事件，且()()()111,,432P A P B A P A B ===，令1,0,.A X A ⎧=⎨⎩发生，不发生 1,0,.B Y B ⎧=⎨⎩发生，不发生求：（Ⅰ）二维随机变量(),X Y 的概率分布；（Ⅱ）X 与Y 的相关系数XY ρ；（Ⅲ）22Z X Y =+的概率分布.（23）（本题满分13分）设随机变量X 的分布函数为()1,,;,0,.x F x x x βαααβα⎧⎛⎫->⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≤⎩其中参数0,1αβ>>. 设12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本. （Ⅰ）当1α=时，求未知参数β的矩估计量；（Ⅱ）当1α=时，求未知参数β的最大似然估计量；（Ⅲ）当2β=时，求未知参数α的最大似然估计量.。

2004年考研数学真题

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 若()0sin limcos 5x x xx b e a →-=-，则a =______，b =______.(2) 函数(),f u v 由关系式()(),f xg y y x g y =+⎡⎤⎣⎦确定，其中函数()g y 可微，且()0g y ≠，则2fu v ∂=∂∂______.(3) 设()211,,2211,,2x xe x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 则()2121f x dx -=⎰_____.(4) 二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为______.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{P X >=______.(6) 设总体X 服从正态分布()21,N μσ，总体Y 服从正态分布()22,N μσ，112,,,n X X X 和212,,,n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则()()122211122n n i j i j X X Y YE n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦∑∑______.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 函数()()()()2sin 212x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界.（A ）()1,0- （B ）()0,1 （C ）()1,2 （D ）()2,3(8) 设()f x 在(),-∞+∞内有定义，且()lim x f x a →∞=，()1,0,0,0,f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩ 则（A ）0x =必是()g x 的第一类间断点（B ）0x =必是()g x 的第二类间断点（C ）0x =必是()g x 的连续点（D ）()g x 在点0x =处的连续性与a 的值有关.(9) 设()()1f x x x =-，则（A ）0x =是()f x 的极值点，但()0,0不是曲线()y f x =的拐点（B ）0x =不是()f x 的极值点，但()0,0是曲线()y f x =的拐点（C ）0x =是()f x 的极值点，且()0,0是曲线()y f x =的拐点（D ）0x =不是()f x 的极值点，()0,0也不是曲线()y f x =的拐点(10) 设有以下命题：① 若()2121n n n uu ∞-=+∑收敛，则1nn u∞=∑收敛② 若1nn u∞=∑收敛，则10001n n u∞+=∑收敛③ 若1lim 1n n n u u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散④ 若()1nn n uv ∞=+∑收敛，则1nn a∞=∑，1nn v∞=∑都收敛则以上命题中正确的是（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④ (11) 设()f x '在[],a b 上连续，且()()0,0f a f b ''><，则下列结论中错误的是（A ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f a >（B ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()()0f x f b >（C ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x '= （D ）至少存在一点()0,x a b ∈，使得()00f x =(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有（A ）当()0A a a =≠时，B a= （B ）当()0A a a =≠时，B a=-（C ）当A ≠时，B = （D ）当A =时，B =(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*0A ≠，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系（A ）不存在（B ）仅含一个非零解向量（C ）含有两个线性无关的解向量（D ）含有三个线性无关的解向量 (14) 设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，对给定的()0,1α∈，数n u 满足{}P X u αα>=，若{}P X x α<=，则x 等于（A ）2u α（B ）12uα-（C ）12u α- （D ）1uα-三、解答题：本题共9小题，满分94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分8分）求22201cos lim sin x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭.（16）（本题满分8分）求()22Dx y y d σ++⎰⎰，其中D 是由圆224x y+=和()2211x y ++=所围成的平面区域（如图）.（17）（本题满分8分）设()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()x x aaf t dtg t dt ≥⎰⎰，[),x a b ∈， ()()b baaf t dtg t dt=⎰⎰证明：()()bba a xf x dx xg x dx≤⎰⎰.（18）（本题满分9分）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中价格()0,20P ∈，Q 为需求量.（Ⅰ）求需求量对价格的弹性()0d d E E >；（Ⅱ）推导()1d dRQ E dP =-（其中R 为收益），并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. （19）（本题满分9分）设级数()468242462468x x x x +++-∞<<+∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅的和函数为()S x .求：（Ⅰ）()S x 所满足的一阶微分方程；（Ⅱ）()S x 的表达式.（20）（本题满分13分）设()()()1231,2,0,1,2,3,1,2,2TTTa ab a b ααα==+-=---+，()1,3,3Tβ=-. 试讨论当,a b 为何值时，（Ⅰ）β不能由123,,ααα线性表示；（Ⅱ）β可由123,,ααα唯一地线性表示，并求出表示式；（Ⅲ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.（21）（本题满分13分）设n 阶矩阵111bb b b A b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求A 的特征值和特征向量；（Ⅱ）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵. （22）（本题满分13分）设,A B 为两个随机事件，且()()()111,,432P A P B A P A B ===，令 1,0,.A X A ⎧=⎨⎩发生，不发生1,0,.B Y B ⎧=⎨⎩发生，不发生求：（Ⅰ）二维随机变量(),X Y 的概率分布；（Ⅱ）X 与Y 的相关系数XY ρ；（Ⅲ）22Z X Y =+的概率分布. （23）（本题满分13分）设随机变量X 的分布函数为()1,,;,0,.x F x x x βαααβα⎧⎛⎫->⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≤⎩其中参数0,1αβ>>. 设12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（Ⅰ）当1α=时，求未知参数β的矩估计量；（Ⅱ）当1α=时，求未知参数β的最大似然估计量；（Ⅲ）当2β=时，求未知参数α的最大似然估计量.。

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试卷答案和评分参考

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试卷答案和评分参考2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试卷答案和评分参考一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填写在题中横线上.）（1）若0sin lim(cos )5xx x x b e a→-=-，则a = 1 ，b = -4 .（2）函数(,)f u v 由关系式[(),]()f xg y y x g y =+确定，其中函数()g y 可微，且()0g y ≠，则2f u v=??2()[()]g v g v '-.（3）设21,2,()21,2,x xe x f x x ?-≤-≥?则212(1)f x dx -=?12-.（4）二次型222123122313(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为 2 . （5）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{P X >=1e.（6）设总体X 服从正态分布21(,)N μσ，总体Y 从正态分布2 2(,)N μσ，112,,,n X X X 和212,,,n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==??-+-??+-∑∑= 2σ . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后面的括号内.）（7）函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界.(A)(1,0)-. (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3). 【 A 】（8）设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →+∞=，1(),0,()0,0,f xg x xx ?≠?=??=?则(A)0x =必是()g x 的第一类间断点. （B ）0x =必是()g x 的第二类间断点. （C ）0x =必是()g x 的连续点.（D ）()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关. 【 D 】（9）设()(1),f x x x =-则(A)0x =是()f x 的极值点，但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. (B)0x =不是()f x 的极值点，但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. (C)0x =是()f x 的极值点，且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.(D)0x =不是()f x 的极值点，(0,0)也不是曲线()y f x =的拐点. 【 C 】（10）设有以下命题：①若()2121n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞=∑收敛.②若1n n u ∞=∑收敛，则10001n n u ∞+=∑收敛.③若1lim1n n nu u +→+∞>收敛，则1n n u ∞=∑发散.④若()1n n n u v ∞=+∑收敛，则11,n n n n u v ∞∞==∑∑都收敛. 【 B 】（11）设()f x '在[,]a b 上连续，且()0,()0f a f b ''><，则下列结论中错误．．的是 (A)至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()()f x f a >. (B)至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()()f x f b >. (C)至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()0f x '=.(D)至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()0f x = 【 D 】（12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有(A)当(0)A a a =≠时，B a =.(B)当(0)A a a =≠时，B a =-. (C)当0A ≠时，0B =.(D)当0A =时，0B =. 【 D 】 (13)设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*0A ≠，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程0Ax =的基础解系(A)不存在. (B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量. (D)含有三个线性无关的解向量. 【 B 】 (14)设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ,对给定的(01)αα<<,数a u 满足{}a P X u α>=.若{}P X x α<=,则x 等于（A ）2a u . （B ）12-. （C ）12a u -. （D ）1a u - 【 C 】三、解答题（本题共9小题，满分94分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(15)(本题满分8分)求 22201cos lim sin x x x x →??-解 22201cos lim sin x x x x →??-22222sin cos limsin x x x xx x→-=22401sin 24limx x xx→-= ……2分01sin 44lim2x x xx→-= ……4分 201cos 4lim 6x x x→-= ……6分0sin 4lim 3x x x →= 4 3= ……8分 (16)(本题满分8分) 求)Dy d σ??，其中D 是由圆224x y +=和22 (1)1x y ++=所围成的平面区域（如图）.解法1)))DD D y d y d y d σσσ=-大圆小圆……2分)D y d σ+??大圆D D yd σσ=+大大（根据对称性）2220d r dr πθ=+?=163π ……4分)D y d σ+??小圆D D yd σσ=+小小32cos 2220d r dr πθπθ-=+??329=，……7分所以)16(32)9Dy d σπ=-??……8分解法 2 由积分区域对称性和被积函数的奇偶性0Dyd σ=?? ……1分原式0Dσ=+??12D D σσ??=+上上2……2分22222002cos 22d r dr d r dr πππθθθ-??=+……5分4462()339ππ??=+- 16(32)9π=- ……8分[注]：1D σ??上定限1分，计算1分.D σ??上2定限1分，计算1分.（17）（本题满分8分）设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且满足()(),[,)x x a a f t dt g t dt x a b ≥∈??, ()(),b b a af t dtg t dt =证明：()().bb a axf x dx xg x dx ≤证令()()(),()(),x aF x f x g xG x F t dt =-=?由题设知()0,[,]G x x a b ≥∈()()0,()(),G a G b G x F x '=== ……2分从而()(),b b aaxF x dx xdG x =()(),b baaxG x G x dx =-(),baG x dx =-? ……4分由于()0,[,]G x x a b ≥∈，故有()0,ba G x dx -≤? ……6分即 ()0baxF x dx ≤?.因此 ()()bb aaxf x dx xg x dx ≤……8分（18）（本题满分9分）设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中价格(0,20)P ∈，Q 为需求量. （I ）求需求量对价格的弹性(0);d d E E > （II ）推导(1)d dR Q E dP=-（其中R 为收益），并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.解 (I) 20d P P E Q Q P'==-. ……2分（II ）由,R PQ =得dR Q P Q dP'=+(1)P Q Q Q'=+(1)d Q E =-. ……4分又由 120d P E P==-，得10P =. ……5分当1020P <<时，1d E >，于是0dR dP<. ……7分故当1020P <<时，降低价格反而使收益增加. ……9分（19）（本题满分9分）设级数468()242462468xxxx +++-∞<<+∞的和函数为()S x .求：（I ）()S x 所满足的一阶微分方程；（II ）()S x 的表达式. 解（I ） 468(),242462468xxxS x =+++易见(0)0.S = ……1分357()224246xxS x '=+++246224246x x xx ??=+++……2分 2().2x x S x ??=+……4分因此()S x 是初值问题3,(0)02xy xy y '=+=的解. ……4分（II ）方程32xy xy '=+的通解为32xdx xdx x y e e dx c -=+222xxC e=--+, ……7分由初始条件(0)0y =，求的1C =. ……8分故22212xxy e=-+-，因此和函数222()12xxS x e=-+- ……9分（20）（本题满分13分）设123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2),(1,3,3)TTTTa ab a b αααβ==+-=---+=-. 试讨论当,a b 为何值时，（I ）β不能够由123,,ααα线性表示；（II ）β可由123,,ααα惟一线性表示，并求出表示式；（III ）β可由123,,ααα惟一线性表示，但表示式不惟一，并求出表达式. 解设有数123,,k k k ，使得112233k k k αααβ++= （*）……1分记123(,,)A ααα=.对矩阵()A β施以初等行变换，有111122230323A a b aa b β?-?+-- ? ?-+-?（）=010001a b ?→- ? ?-?……3分（I ）当0a b =，为任意常数时，有111101000A a b a b β?-?→- ? ?-?（）可知()()r A r A β≠，故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示.……5分（II ）当0,a ≠且a b ≠时，()()3r A r A β==，故方程组（*）有惟一解123111,,0k k k a a=-==，则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为12111a aβαα?=-+ ……7分（III ）当0a b =≠时，对A β（）施以初等行变换，有110011011000a A a β??-→- ?（）. ……9分可知()()2r A r A β==，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为123111,,k k c k c a a ??=-=+=，其中c 为任意常数. β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为……11分123111c c a a βααα?=-+++ ? ??. ……13分（21）（本题满分13分）设n 阶矩阵11b b A b b= ? ? ??（I ）求A 的特征值和特征向量；（II ）求可逆矩阵P ，使得1P AP -为对角矩阵. 解（I ）1? 当0b ≠时，111bb b b E A bbλλλλ-------=---1[1(1)][(1)]n n b b λλ-=----- ……3分故A 的特征值为121(1),1.n n b b λλλ=+-===-对于11(1)n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则1111[1(1)]1b b b bn b b bξξ?? ? ?=+- ? ? ??解得 1(1,1,,1)Tξ= ，所以全部特征向量为1(1,1,,1)Tk k ξ= （k 为任意非零常数）……5分对于21n b λλ===- ，解齐次线性方程组[(1)]0b E A x --=，由111000(1)000b b b b b b b E A b bb ----- ?--=→ ? ? ? ? ? ?---?，解得基础解系2(1,1,0,,0)Tξ=-3(1,0,1,,0)Tξ=-2(1,0,0,,1)Tξ=-故全部特征向量为2233n n k k k ξξξ+++ （2,,n k k 是不全为零的常数）. ......7分2?当0b =时，特征11n λλ=== ，任意非零列向量均为特征向量. (9)分（II ）1?当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n P ξξξ= ，则{}11(1),1,,1.P AP diag n b b b -=+--- ……11分2?当0b =时，A E =，对任意可逆矩阵P ，均有1P AP E -= ……13分[注]: 1(1,1,,1)Tξ= 也可由求解齐次线性方程组1()0E A x λ-=得出.（22）（本题满分13分）设A B 、为两个随机事件，且111432PP P （A）=，（B A）=，（A B）=，令1,0,A X A ?=?发生，不发生； 1,0,B Y B ?=??，发生不发生. 求：（I ）二维随机变量(,)X Y 的概率分布；（II ）X 与Y 的相关系数X Y ρ；（III ）22Z X Y =+的概率分布.解（I ）()()()1,12P A B P A P B A ==()()()1,6P A B P B P B A == ……2分则{}(){}()()(){}()()(){}()11,1,1211,0,610,1,120,0P X Y P A B P X Y P A B P A P A B P X Y P AB P B P A B P X Y P A B========-=====-====()()()()211[]3P A B P A P B P AB =-=-+-= ，（或{}11120,01126123P X Y ===---=），……6分即 (,)X Y 的概率分布为（II ）方法 1111(),(),(),4612EX P A EY P B E XY =====则1(,)()24C ov X Y E X Y E X E Y =-= 22222211(),4635(),(),1636E X P A E YP B D X E X E X D Y E Y E Y == ===-==-=(,)1XY C ov X Y ρ==……9分方法 2 ,X Y 的概率分布分别为X 01，Y 01.P3414P 5616则 111,,(),4612E X E Y E X Y ==而故 1(,)(),24C ov X Y E XY EX EY =-= 22222211,,4635(),(),1636E XE YD XE X E X D Y E Y E Y ===-==-=XY ρ==……9分（III ）Z 的可能取值为012，，，{}{}{}{}{}200,0,3110,11,04P Z P X Y P Z P X Y P X Y =========+===，{}{}121,1,12P Z P X Y =====……13分即Z 的概率分布为Z 012.P2314112（23）（本题满分13分）设总体X 的分布函数为1,(;;)0,x F x x x βαααβα->? ?=≤?其中参数0,1,αβ>>设12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本.（I ）当1α=时，求未知参数β的矩估计量；（II ）当1α=时，求未知参数β的最大似然估计量；（III ）当2β=时，求未知参数α的最大似然估计量. 解当1α=时，X 的概率密度为111,1,(;)0,1,x F x xx ββ+?->?=??≤?……1分（I ）由于11(;),1EX xf x dx x dx xβββββ+∞+∞+-∞===-?……2分令1X ββ=-，解得1X X β=-，所以参数β的矩估计量为1X X β=- ……4分（II ）对于总体X 的样本值12,,,n x x x ，似然函数为1121,1(1,2,,)()(;)()0,nni n i x i n L f x x x x βββα+=?>=?==??∏其他……6分当1(1,2,,)i x i n >= 时，()L β>0，取对数得1ln ()ln (1)ln ,ni i L n x βββ==-+∑两边对β求导，得1ln ()ln ,nii d L nx d βββ==-∑1ln ()0,ln nid xβββ===∑令，解得故β的最大似然估计量为1.ln nii nXβ==∑ ……9分（III ）当2β=时，X 的概率密度为232,(;)0,x f x x x αααα>?=??≤?对于总体X 的样本值12,,,n x x x ，似然函数为31212,(1,2,,)()(;)()0,n nni n i x i n L f x x x x αααα=?>=?==??∏，……11分当(1,2,,)i x i n α>= 时，α越大，()L α越大，因而的最大似然估计值为{}12m in ,,,n x x x α= 则的最大似然估计量为{}12m in ,,,n X X X α= ……13分。

2004数一数三考研数学真题及解析

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上.) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为.(2)已知x x xe e f -=')(,且(1)0f =,则()f x =.(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为 .(5)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100021012A ,矩阵B 满足E BA ABA +=**2,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则=B ＿＿＿＿.(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >=.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(7)把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A ) γβα,,.(B ) βγα,,.(C ) γαβ,,.(D ) αγβ,,.(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A ) ()f x 在(0,)δ内单调增加.(B ) ()f x 在)0,(δ-内单调减少.(C ) 对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >. (D ) 对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >.(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A ) 若lim n n na →∞=0,则级数∑∞=1n na收敛.(B ) 若存在非零常数λ,使得lim n n na λ→∞=,则级数∑∞=1n na发散.(C ) 若级数∑∞=1n na收敛,则2lim 0n n na →∞=.(D ) 若级数∑∞=1n na发散,则存在非零常数λ,使得lim n n na λ→∞=.(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A ) 2(2)f .(B ) (2)f .(C ) (2)f -.(D ) 0.(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为(A ) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010.(B ) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010.(C ) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010.(D ) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110.(12)设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵,则必有 (A ) A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (B ) A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. (C ) A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. (D ) A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.(13)设随机变量X 服从正态分布)1,0(N ,对给定的(01)αα<<,数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|,则x 等于(A ) 2αu .(B ) 21αu-.(C ) 21αu -.(D ) αu -1.(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ令∑==ni i X n Y 11,则(A ) 21(,).Cov X Y nσ=(B ) 21),(σ=Y X Cov . (C ) 212)(σnn Y X D +=+.(D ) 211)(σnn Y X D +=-.三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分12分)设2e b a e <<<,证明)(4ln ln 222a b ea b ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注kg 表示千克,km/h 表示千米/小时.)(17)(本题满分12分) 计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++= 其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程01=-+nx x n,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1>α时,级数∑∞=1n n x α收敛.(19)(本题满分12分)设),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数,求),(y x z z =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组)2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=51341321a A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.(22)(本题满分9分) 设,A B 为随机事件,且41)(=A P ,31)|(=AB P ,21)|(=B A P ,令 1,0A X A ⎧=⎨⎩发生，，不发生；⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求:(I )二维随机变量(,)X Y 的概率分布;(II )X 与Y 的相关系数XY ρ.(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为11,1,(;)1,0,x F x x x ββ⎧>-⎪=⎨≤⎪⎩ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,求:(I )β的矩估计量; (II )β的最大似然估计量.2004年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】即求曲线ln y x =上斜率为1的切线方程.解1'(ln )'1y x x=== 得1x =,因此所求切线方程为 1.y x =-(2)【分析】令ln '()xtt e f t t=⇒=⇒2111ln 1()(1)'()ln ln ln .2tt t s f t f f s ds ds sd s t s =+===⎰⎰⎰因此21()ln .2f x x =(3)【分析】已知L 的参数方程,,x t y t ==t 从0到2π.直接代入公式得原积分20)()]t t t t dt π=-⎰2220322sin 2.42dt tdt πππππ=+=+⋅=⎰⎰(4)【分析】求解欧拉方程的方法是:作自变量变换(ln )tx et x ==,将它化成常系数的情形:22(41)20d y dy y dt dt +-+=,即22320.d y dyy dt dt++= 相应的特征方程2320λλ++=,特征根121,2λλ=-=-,通解为212.t t y C e C e --=+因此,所求原方程的通解为122C C y x x =+,其中12,C C 为任意常数.(5)【分析】由于AA A A A E **==,易见3A =,用A 右乘矩阵方程的两端,有3363(2)32.AB B A A E B A A E B A =+⇒-=⇒-=又012101001A E -==-,故1.9B =(6)【分析】因X 服从参数为λ的指数分布,所以有21,{}(0)x DX P X x e x λλ-=>=>,111{{}P X P x ee λλ-⋅->=>==.二、选择题(7)【分析】分别求出,,αβγ关于x 的阶数较为方便.由洛必达法则α⇒是xβ⇒是x 的3阶无穷小.由洛必达法则γ⇒是x 的2阶无穷小.因此,应选(B ).(8)【分析】由导数定义知0()(0)(0)lim0.x f x f f x→-'=>再由极限的不等式性质⇒∃0>δ,当0x ≠,(,)x δδ∈-时,()(0)0.f x f x->⇒当),0(δ∈x ((,0))x δ∈-时,()(0)0(0).f x f -><因此应选(C ).(9)【分析】这实质上是正项级数∑∞=1n na的敛散性与无穷小n a 的阶的关系问题.结论(B )中,lim n n na λ→+∞=,即lim 0nn a nλ→+∞=≠,亦即n a 与1n 同阶,故∑∞=1n n a 发散.应选(B ).(10)【分析】转化为可用变限积分求导公式的情形.1()()t ty F t f x dx dy ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰1111111()()()(1)(),t t ty t ty f x dx dy f x dx dyf x dx dy t f x dx ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11'()()()(1)()(1)(),'(2)(2).ttF t f x dx f x dx t f t t f t F f =++-=-=⎰⎰应选(B ).(11)【分析】按题意,用初等矩阵描述,有010100,001A B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100011,001B C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即010*********.001001A C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦从而010100011100011100.001001001Q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以应选(D ).(12)【分析】若设(1,0),(0,1),TA B ==显然AB O =.但矩阵A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关;矩阵B 的行向量组线性相关,列向量组线性无关.由此就可断言选项(A )正确.(13)【分析】由于(0,1)X N :,故对任何正数0λ>,有1{}{}{}2P X P X P X λλλ>=<-=>. 若αx X P =<}|{|,则因01α<<,必有0x >且1111{}{}{}(1{}).2222P X x P X x P X x P X x α->=>=≥=-<= 由此可见12x u α-=.故应选(C ).(14)【分析】因12,,,n X X X L独立同分布且他们共同的方差为20σ>,因此有2222111,,(,)().0,,n n ni j i i i i i i i i i j Cov X X D a X a DX a i j σσ===⎧====⎨≠⎩∑∑∑对于(A ), 21111111111(,)(,)(,)(,),n n i i i i Cov X Y Cov X X Cov X X Cov X X n n n nσ======∑∑应选(A ). 有省略三、解答题(15)【分析与证明】即证222ln ln 4,()b a b a e->-这是适用于用拉格朗日中值定理的形式.令2()ln f x x =,在[,]a b 上用拉格朗日中值定理得22()()ln ln ln '()2,f b f a b a f b a b a ξξξ--===--其中2(,)(,).a b e eξ∈⊂注意ln (),x x x ϕ=则21ln '()0().xx x e x ϕ-=<> ()x ϕ⇒在(,)e +∞单调下降2222ln ln 2()().e e e e ξϕξϕξ⇒=>==因此,222ln ln 4.()b a b a e->-(16)【分析】从飞机接触跑到开始时(0)t =,设t 时刻飞机的滑行距离为()x t ,速度为()'().v t x t =按题设,飞机的质量9000m kg =,着陆时的水平速度0(0)'(0)700/,v x v km h t ===时刻所受的阻力为()kv t -,于是按牛顿第二定律得.dvmkv dt=-初始条件0(0).v v = 【解】求出()x x v =,再求0v x =.由于,dv dv dx vdx dt dx dtdv==于是微分方程可改写成,vmkv dx dv=-即.dx m dv k =- 相应的初值00.v v x==易求得此初值问题的解为0().mx v v k=-- 令0v =得飞机滑行的最长距离为01.05().mv x km k==(17)【分析与求解】直接把第二类曲面积分化为二重积分.S 的方程为221z xy =--(0)z ≥,它在xy 平面上的投影区域为22: 1.D xy +≤又''2,2,x y z x z y =-=-代公式得3'3'222[2()2()3((1)1)]x y DI x z y z x y dxdy =+-+-+---⎰⎰44442222422222[443(222)]86()3(),DDDDx y x y x y x y dxdyx dxdy x y dxdy x y dxdy =+++--+=-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中,44.DDx dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰作极坐标变换得122121543508cos 63I r dr d d r dr d r dr πππθθθθ=⋅-⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰2404431cos 343.33422d ππθθπππππ⋅=-+=⋅⋅⋅-+=-⋅⎰(18)【分析与证明】先证正根n x 的存在唯一性并估计n x .令()1(0)n n f x x nx x =+->,则1'()0(0).n n f x nx n x -=+>>()n f x ⇒在[0,)+∞单调上升.又11(0)10,()()0,n n n f f n n=-<=>则由连续函数的零点存在定理知,存在1(0,),()0.n n n x f x n∈=由于()n f x 在[0,)+∞单调上升,故()0n f x =在[0,)+∞存在唯一正根n x .由于有了n x 估计式110,0().n nx x n nαα<<⇒<<因1>α,11()n n α∞=∑收敛,由比较原理知∑∞=1n n x α收敛.(19)【分析与求解】先求),(y x z z =的驻点,这是隐函数求导问题.将方程两边分别对,x y 求导得26220,6202220.z z z zx y yz x y z y z x x y y∂∂∂∂---=-+---=∂∂∂∂ 由0,0,zx z y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩得30,3100,x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩即3,.x y z y =⎧⎨=⎩反之亦然(只要0z y ==).代入原方程得 22222918102180, 3.yy y y y y -+--+=⇒=±因此得驻点 (9,3),(9,3)--,相应的函数值为3, 3.-为判断驻点是否是极大(小)值点,需求驻点处的二阶偏导数.将下面两个方程30,3100,z z z zx y yz x y z y z x x y y∂∂∂∂---=-+---=∂∂∂∂ 分别对求,x y 导得2222222222221()0,30,10()0.z z zy z x x x z z z z z y z x x y y x x y z z z z z y z y y y y y∂∂∂---=∂∂∂∂∂∂∂∂----⋅-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-----=∂∂∂∂∂在驻点(9,3)处222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)22115,,,623z z zA B C xx yy∂∂∂====-==∂∂∂∂ ⇒210,0.36AC B A -=>> 按极值的充分判别法知,点(9,3)是),(y x z z =的极小值点,极小值为(9,3) 3.z =类似地可以算出,在驻点(9,3)--处222(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3)22115,,,623z z zA B C xx yy---------∂∂∂==-====-∂∂∂∂⇒210,0.36AC B A -=>< ⇒点(9,3)--是),(y x z z =的极大值点,极大值为(9,3) 3.z --=-(20)【分析】确定参数,使包含n 个未知量和n 个方程的齐次线性方程组有非零解,通常用两个方法:一是对其系数矩阵作初等行变换化成阶梯形;再就是由其系数行列式为零解出参数值.本题的关键是参数a 有两个值,对每个值都要讨论.【解】设齐次方程组的系数矩阵为A ,则11[(1)].2n A a n n a -=++那么,0Ax =有非零解00A a ⇔=⇔=或1(1).2a n n =-+当0a =时,对系数矩阵A 作初等变换,有1111111122220000,0000A nn n n ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L L L L M M M M M M M M LL故方程组的同解方程组为 120,n x x x +++=L 由此得基础解系为121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1).T T T n ηηη-=-=-=-L L L L于是方程组的通解为1111n n x k k ηη--=++L ,其中11,,n k k -L 为任意常数.当1(1)2a n n =-+时,对系数矩阵作初等行变换,有 11111111222220000aa a a a A n n n n a na a ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦L LL L M M M M M M M M L L1111000021002100.001001a n n+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦LL L L M M M M M M M M LL故方程组的同解方程组为1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩L L 由此得基础解系为(1,2,,),Tn η=L于是方程组的通解为,x k η=其中k 为任意常数.(21)【解】A 的特征多项式为2123220143143151511010(2)143(2)13315115(2)(8183),a aaa a λλλλλλλλλλλλλλλλ-----=--------=--=---------=--++(I )若2λ=是特征方程的二重根,则有22161830,a -++=解得 2.a =-当2a =-时,A 的特征值为2,2,6,矩阵1232123123E A -⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的秩为1,故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个,从而A 可相似对角化.(II )若2λ=不是特征方程的二重根,则28183a λλ-++为完全平方,从而18316a +=,解得2.3a =-当23a =-时,A 的特征值为2,4,4,矩阵32341032113E A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦的秩为2,故4λ=对应的线性无关的特征向量只有一个,从而A 不可相似对角化.(22)【解】此题解答与原书略有不同,参考2004数三22题(I )易见(,)X Y 的全部可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),并且各相应概率分别为1{1,1}()()(),121{1,0}()()(),6(){0,1}()()()()()P X Y P AB P A P B A P X Y P AB P A P AB P AB P X Y P AB P B P AB P AB P A B =========-=====-=-111,61212=-=312{0,0}()()(),4123P X Y P AB P A P AB ====-=-= 或 2{0,0}()1()()(),3P X Y P AB P AB P AB P AB ====---=或2{0,0}()1()()().3P X Y P AB P A P B P AB ====--+=即(,)X Y 的概率分布为(II )从(I )所求出(,)X Y 的概率分布容易得出随机变量X 与Y 分别服从参数为14与16的01-分布. 1315,,,,4166361(){1,1}(),121(,)().24EX DX EY DY E XY P X Y P AB Cov X Y E XY EXEY ==========-=因此X 与Y 的相关系数为XY ρ==(23)【解】X 的概率密度为1,1(;)01x f x x x βββ+⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，，.(I )11(;),1EX x f x dx xdx xββββμβ+∞+∞+-∞===-⎰⎰@解出被估计参数β与X 的期望μ之间的关系为1μβμ=-.因此β的矩估计量为µ1X X β=-,其中11n i i X X n ==∑.(II )对于总体X 的样本值12,,,n x x x L,似然函数为112,1()(,,,)0ni n x L x x x βββ+⎧>⎪=⎨⎪⎩L ，，其他.1,2,,.i n =L当1ix >(1,2,,)i n =L 时,()0L β>,取对数得1ln ()ln (1)ln ,ni i L n x βββ==-+∑对β求导数,得1ln ()ln ,ni i d L n x d βββ==-∑令ln ()0d L d ββ=,解得1ln nii nxβ==∑,因此参数β的最大似然估计量为1ln nii nxβ∧==∑.。

2004考研数三真题答案及详解

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2004 年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） (1) 若 lim x x 0
sin x (cos x b) 5 ，则 a = e a
1
，b =
4
.
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为 lim x x 0
n 1

(2) 若
n 1
un 收敛，则 un 1000 收敛.
n 1

(3) 若 lim

un 1 1 ，则 un 发散. n un n 1
(4) 若
n 1
(un vn ) 收敛，则 un ， vn 都收敛.
n 1 n 1

则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3).
(17) (本题满分 8 分) 设 f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足
a f (t )dt a g (t )dt ，x [a , b)， a f (t )dt a g (t )dt .
证明：
x
x
b
b
a
b
xf ( x)dx xg ( x)dx .
a
b
(18) (本题满分 9 分) 设某商品的需求函数为 Q = 100 5P，其中价格 P (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性 Ed ( Ed > 0)； (II) 推导
(A) x = 0 必是 g(x)的第一类间断点. (B) x = 0 必是 g(x)的第二类间断点. (C) x = 0 必是 g(x)的连续点. (D) g(x)在点 x = 0 处的连续性与 a 的取值有关. [ ] (9) 设 f (x) = |x(1 x)|，则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点.

2004年数三试题解析

2004年数学三试题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】因为5)(cos sin lim 0=--→b x ae x x x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以 0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim 00=-=-=--→→b b x xx b x a e x x x x ，得b = -4. 因此，a = 1，b = -4.【评注】一般地，已知)()(lim x g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可.【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u +，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. 【评注】本题属基本题型.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f ＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x . (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++= 323121232221222222x x x x x x x x x -++++=2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=, 其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=. 所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P e 1. 【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ 故 =>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=. 【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN , 1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X E n j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ] 【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim 1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ， 42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→. 【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时， )0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.(9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点.(B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ]【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点.显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. 故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛. (2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 发散. (4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛. 则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4).[ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令n n u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛. (2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim 1>+∞→n n n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞)，所以∑∞=1n n u 发散. (4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而 ∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B). 【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ).(C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f . (D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0. [ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项.【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈ 使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈ 使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ]【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型. 相关知识要点见《数学复习指南》P.284-286.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ]【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解,即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于(A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ] 【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xx x x -→. 【分析】先通分化为“00”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx x x x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→x x xx x x x x x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“00”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) (本题满分8分)求⎰⎰++D d y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D D d y x d y x d y x σσσ ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσD d y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x a x adt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=b a b a dt t g dt t f )()(. 证明：⎰⎰≤b a b a dx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=x a dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=x a dt t F x G )()(，由题设G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.从而 ⎰⎰⎰⎰-=-==b a b a b a b a b a dx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，由于 G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，故有0)(≤-⎰b a dx x G ，即 0)(≤⎰b a dx x xF . 因此 ⎰⎰≤ba b a dx x xg dx x xf )()(. 【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)； (II) 推导)1(d E Q dPdR -=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQ Q P E d =可推导 )1(d E Q dPdR -=. 【详解】(I) P P dP dQ Q P E d -==20.(II) 由R = PQ ，得 )1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PP E d ，得P = 10.当10 1，于是0<dP dR ，故当10 0时，需求量对价格的弹性公式为dP dQ Q P dP dQ Q P E d -==.利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式： Qdp E dR d )1(-=，Q E dp dR d )1(-=，p E dQ dR d)11(-=， d E EpER -=1(收益对价格的弹性). 这些公式在文登学校辅导材料系列之五《数学应用专题(经济类)》有详细的总结.(19) (本题满分9分)设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程；(II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ，易见 S (0) = 0， +⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S )642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x )](2[2x S x x +=. 因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解. (II) 方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x e y xdx xdx +⎰⎰=⎰-22212x Ce x +--=，由初始条件y(0) = 0，得C = 1. 故12222-+-=x e xy ，因此和函数12)(222-+-=x e xx S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题.(20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解.【详解】设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211. (*)记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a . (Ⅰ) 当0=a 时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解：a k 111-=, ak 12=, 03=k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为211)11(αaαa β+-=． (Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解，其全部解为a k 111-=, c ak +=12, c k =3，其中c 为任意常数． β 可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=．【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000).(21) (本题满分13分)设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程 0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ) 1当0≠b 时，111||---------=-λb b b λb bb λA E λ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ．对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b n b b b b n b b b b n A E λ)1()1()1(1 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111 n n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000110010101001 解得T ξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为Tk ξk )1,,1,1,1(1 = (k 为任意不为零的常数)．对b λ-=12， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++ 3322 (n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．2 当0=b 时，n λλλλA E λ)1(100010001||-=---=-, 特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ) 1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(11 2 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有E AP P =-1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况.(22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=A B P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布;(Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ;(Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ，于是 61)|()()(==B A P AB P B P ，则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ， 32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )，即),(Y X 的概率分布为：(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ， 163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ， 241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DY DX Y X Cov ρXY ．方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121, 故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而 .1515),(=⋅=DY DX Y X Cov XY ρ (Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ． 32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ，即Z【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型(23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量;(Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量;(Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数.【详解】当1=α时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ) 由于⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β 令 X ββ=-1, 解得 1-=X X β, 所以, 参数β的矩估计量为 1-=X X β. (Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βn ni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他当),,2,1(1n i x i =>时, 0)(>βL , 取对数得∑=+-=ni i x ββn βL 1ln )1(ln )(ln , 对β求导数，得 ∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ，令 0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ，解得 ∑==ni i xn β1ln ，于是β的最大似然估计量为∑==n i ixnβ1ln ˆ． ( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i n nn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他当),,2,1(n i αx i =>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为 },,,min{ˆ21n x x x α =, 于是α的最大似然估计量为},,,min{ˆ21n X X X α =．【评注】本题属于常规题型, 往年曾经考过多次.。

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以 0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x xb x a e x x x x ，得b =4.因此，a = 1，b = 4.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y )0，则)()(22v g v g vu f'-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .(4) 二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X En j jn i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A) (1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界. 【详解】当x0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在( 1 , 0)内有界，故选(A).(8) 设f (x )在(, +)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D). (9) 设f (x ) = |x (1 x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 【详解】设0 < < 1，当x ( , 0) (0 , )时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ( , 0)时，f (x ) = x (1 x )，02)(>=''x f ，当x(0 ,)时，f (x ) = x (1x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. 故选(C).(10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散. (4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim 1>+∞→nn n u u可得到n u 不趋向于零(n)，所以∑∞=1n n u 发散.(4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C).三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→=346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x x . (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . (17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥xa x a dt t g dt t f )()(，x[a , b )，⎰⎰=ba b a dt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可. 【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，由题设G (x ) 0，x[a , b ]，G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.从而⎰⎰⎰⎰-=-==bab aba babadx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，由于 G (x ) 0，x [a , b ]，故有0)(≤-⎰b adx x G ，即0)(≤⎰ba dx x xF .因此⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 5P ，其中价格P (0 , 20)，Q 为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10.当10 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ，易见 S (0) = 0，+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x)](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II) 方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x ey xdx xdx+⎰⎰=⎰- 22212x Ce x +--=，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222-+-=x e x y ，因此和函数12)(222-+-=x e x x S .(20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解. 【详解】设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a .(Ⅰ) 当0=a 时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解：a k 111-=, ak 12=, 03=k ．此时可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为 211)11(αaαa β+-=． (Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解，其全部解为a k 111-=, c ak +=12, c k =3，其中c 为任意常数．可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=． (21) (本题满分13分)设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b b b b b b A .(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ) 1当0≠b 时，111||---------=-λbbb λb b b λA E λ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ．对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b n b b b b n b b b b n A E λ)1()1()1(1 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111 n n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111111111 n n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111n n n n n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001解得Tξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 Tk ξk )1,,1,1,1(1 = (k 为任意不为零的常数)．对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++ 3322 (n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．当0=b 时，n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-,特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ)1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(11当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有E AP P =-1．(22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ，于是 61)|()()(==B A P AB P B P ，则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ， 32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )，即),(Y X 的概率分布为：(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ．方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ (Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ，即Z(23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】当1=α时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ) 由于⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β 令X ββ=-1, 解得 1-=X X β,所以, 参数β的矩估计量为 1-=X Xβ. (Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βnni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他当),,2,1(1n i x i =>时, 0)(>βL , 取对数得 ∑=+-=ni ixββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ，令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ，解得 ∑==ni ixnβ1ln ，于是β的最大似然估计量为∑==ni ixnβ1ln ˆ．( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i nnn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他当),,2,1(n i αx i =>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,m in{ˆ21n x x x α=,于是α的最大似然估计量为},,,m in{ˆ21n X X X α．。

2004-2012考研数学三真题下载

2004-2012考研数学三真题下载2012考研数学三真题1.选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）设函数2()(1)(2)x x nx f x e e e n =--…（-），其中n 为正整数，则(0)f '=（）（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -（3）设函数()f t 连续，则二次积分2222cos ()d f r rdr πθθ⎰⎰=（）（A）2220()dx x y dy +⎰ （B）2220()dx f x y dy +⎰（C）22201()dx x y dy +⎰⎰（D）22201()dx x y dy +⎰⎰（4）已知级数11(1)i n α∞=-∑绝对收敛，21(1)ni nα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t （C ）2(1)χ （D ）(1,1)F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）1cos sin 4lim(tan )x xx x π-→（10）设函数0ln 1(),(()),21,1x dy x f x y f f x dx x x =⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求___________.（11）函数(,)z f x y =满足010,x y →→=则(0,1)dz =_______.（12）由曲线4y x=和直线y x =及4y x =在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A 为3阶矩阵，|A |=3，A *为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则|BA *|=________. （14）设A,B,C 是随机事件，A,C 互不相容，11(),(),23P AB P C ==则C P AB （）=_________.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）计算222cos 40lim x xx e e x-→- （16）（本题满分10分）计算二重积分xDe xydxdy ⎰⎰，其中D为由曲线y y ==所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x (件)和y (件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y （万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos 1,1 1.12x x x x x x ++≥+-<<-（19）（本题满分10分）已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x "'+-=及()()2x f x f x e '+= 1）求表达式()f x 2）求曲线的拐点220()()xy f x f t dt =-⎰（20）（本题满分10分）设1001010100100010a a A b a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（I ）求|A|（II ）已知线性方程组Ax b =有无穷多解，求a ，并求Ax b =的通解. (21)（本题满分10分）已知1010111001A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x x T T =A A 的秩为2，（1）求实数a 的值；（2）求正交变换x=Qy 将f 化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X ,Y 以及XY 的分布律如下表所示：求（1）P (X =2Y );（2）cov(,)XY X Y Y -ρ与. （23）（本题满分10分）设随机变量X 和Y 相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度；（2）()E U V +.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

2004考研数学三真题

2004考研数学三真题2004年考研数学三真题一、选择题1. 设函数$f(x)=\frac{3}{2}x^2+\ln(x+1)-6\cos x$。

下列说法中正确的是（）。

A. 函数$f(x)$在$x=0$处取得极值。

B. 函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上是增函数。

C. 函数$f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处取得极小值。

D. 函数$f(x)$在$(-\infty,0)$上是减函数。

2. 设$\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{e^x\sin x + a\sin^2x}{\tan2x}}=1$，则$a$的值为（）。

A. $-4$B. $-\frac{1}{4}$C. $4$D. $\frac{1}{4}$3. 设函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}$，则$f(x)$的极限$\displaystyle{\lim_{x\to 0}f(x)}$的值为（）。

A. $0$B. $1$C. $-1$D. 不存在4. 函数$f(x)$在$\mathbb{R}$上可导，且$f(0)=0$，$f'(0)=1$。

若$f(x)+f'(x)\geq 0$，则$x$的取值范围是（）。

A. $x\in(-\infty,0]$B. $x\in[0,+\infty)$C. $x\in(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$D. $x=0$5. 函数$f(x)=\left(1+\sqrt{1+\sin^2x}\right)^{\cot^2x}$的定义域为（）。

A. $\{x\in\mathbb{R}:x\neq 2k\pi,k\in\mathbb{Z}\}$B. $\{x\in\mathbb{R}:-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\}$C. $\{x\in\mathbb{R}:x\neq 2k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\}$D. $\{x\in\mathbb{R}:x\neq k\pi,k\in\mathbb{Z}\}$二、填空题1. 已知函数$f(x)=|x-1|-3|x+2|-|x|\cos^2\left(\frac{\pi x}{2}\right)$，则$f(x)$的最小值是\blank{}。

2004年考研数学三真题答案

2004年考研数学三真题答案2004年考研数学三真题答案2004年的考研数学三真题是众多考生备战考研的重要资料之一。

在备考过程中，掌握往年真题的答案是提高解题能力和应对考试的有效方法之一。

本文将为大家提供2004年考研数学三真题的详细答案，帮助考生更好地理解和掌握这一年的考试内容。

第一题：已知函数f(x) = x^2 + ax + b满足f(1) = 2，f(2) = 3，求a和b的值。

解答：根据题意，我们可以列出方程组：f(1) = 1^2 + a × 1 + b = 2f(2) = 2^2 + a × 2 + b = 3解方程组可以得到：a +b = 14 + 2a + b = 3将第一个方程代入第二个方程，得到：4 + 2a + (1 - a) = 3解方程可以得到a = -2，将a的值代入第一个方程可以得到b = 3。

所以，a = -2，b = 3。

第二题：已知函数f(x) = log2(x + 1) + log2(x + 2) + log2(x + 3)，求f(x)的最小值。

解答：根据对数的性质，可以将f(x)化简为：f(x) = log2((x + 1)(x + 2)(x + 3))为了求f(x)的最小值，我们可以求其导数为0的点。

设g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)，则f(x) = log2(g(x))。

对g(x)求导可以得到：g'(x) = (x + 2)(x + 3) + (x + 1)(x + 3) + (x + 1)(x + 2)化简得到：g'(x) = 3x^2 + 12x + 14令g'(x) = 0，解方程可以得到：3x^2 + 12x + 14 = 0由此方程可知，g(x)的导数没有实数根，即g(x)在实数范围内没有极值点，所以f(x)在实数范围内没有最小值。

第三题：已知函数f(x) = e^x + e^(-x)，求f(x)的最小值。

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(B) (0 , 1). (C) (1 , 2).
) (D) (2 , 3).
(8) 设 f (x)在 ( , ) 内有定义，且 lim f ( x) a ， g ( x)
x
1 f( ), x 0 ，则( x 0 ,x0
)
(A) x 0 必是 g ( x) 的第一类间断点. (B) x 0 必是 g ( x) 的第二类间断点. (C) x 0 必是 g ( x) 的连续点. (D) g ( x) 在点 x 0 处的连续性与 a 的取值有关.
降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分 9 分) 设级数
x4 x6 x8 ( x ) 2 4 2 46 2 468
的和函数为 S ( x) . 求： (I) S ( x) 所满足的一阶微分方程；(II) S ( x) 的表达式. (20)(本题满分 13 分)
.
二、选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 函数 f ( x) (A) (1 , 0).
| x | sin( x 2) 在下列哪个区间内有界( x( x 1)( x 2) 2
2
)
给人改变未来的力量
(C) 含有两个线性无关的解向量.
(D) 含有三个线性无关的解向量.
(14)设随机变量 X 服从正态分布 N (0,1) , 对给定的 α (0,1) , 数 u α 满足 P{ X u α } α , 若 P{| X | x} α , 则 x 等于( (A) ) (C)
(
D
x 2 y 2 y )d ，其中 D 是由圆 x 2 y 2 4 和
( x 1) 2 y 2 1 所围成的平面区域(如图).
(17) (本题满分 8 分) 设 f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足
a
证明：
x
f (t )dt g (t )dt ，x [a , b)， f (t )dt g (t )dt .
5
则
2 f u v
.
1 1 x2 2 xe , 2 x 2 (3) 设 f ( x) ，则 1 f ( x 1) dx 1 2 1 , x 2
2 2 2
.
(4) 二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) ( x1 x 2 ) ( x 2 x3 ) ( x3 x1 ) 的秩为 (5) 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布, 则 P{ X
A发生， 1, X 0， A不发生，
求 (I) 二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布; (II) X 与 Y 的相关系数 ρ XY ; (III) Z X Y 的概率分布.
2 2
(23) (本题满分 13 分) 设随机变量 X 的分布函数为
1 , x ， F ( x; , ) x 0， x ，
给人改变未来的力量
2004 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 若 lim
sin x (cos x b) 5 ，则 a = x e x a
，b =
.
(2) 函数 f (u , v) 由关系式 f [ xg ( y ), y ] x g ( y ) 确定，其中函数 g ( y ) 可微，且 g ( y) 0 ，
n 1
(u2n 1 u2n ) 收敛，则 un 收敛.
n 1

② 若
n 1
un 收敛，则 un 1000 收敛.
n 1

③ 若 lim

un 1 1 ，则 un 发散. n un n 1
④ 若
n 1
(un vn ) 收敛，则 un ， vn 都收敛.
uα .
2
(B)
u
1
α 2
.
u 1α .
2
(D)
u1α .
三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 8 分) 求 lim (
x 0
1 cos 2 x ). sin 2 x x2
(16) (本题满分 8 分) 求
1 b b b 1 b A . b b 1
(I) 求 A 的特征值和特征向量; (22) (本题满分 13 分) 设 A ， B 为两个随机事件,且 P ( A) (Ⅱ) 求可逆矩阵 P , 使得 P AP 为对角矩阵.
1
1 1 1 , P ( B | A) , P ( A | B ) , 令 4 3 2 1, B发生， Y 0， B不发生.
a a a b b
x
b
b
a xf ( x)dx a xg ( x)dx .
(18) (本题满分 9 分) 设某商品的需求函数为 Q 100 5 P ，其中价格 P (0, 20) ， Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性 Ed ( Ed > 0)； (II) 推导
dR Q(1 Ed ) (其中 R 为收益)，并用弹性 Ed 说明价格在何范围内变化时， dP
1
给人改变未来的力量
(9) 设 f ( x) x(1 x) , 则 (
)
(A) x 0 是 f ( x) 的极值点, 但 (0, 0) 不是曲线 y f ( x) 的拐点. (B) x 0 不是 f ( x) 的极值点, 但 (0, 0) 是曲线 y f ( x) 的拐点. (C) x 0 是 f ( x) 的极值点, 且 (0, 0) 是曲线 y f ( x) 的拐点. (D) x 0 不是 f ( x) 的极值点, (0, 0) 也不是曲线 y f ( x) 的拐点. (10) 设有下列命题： ① 若
其中参数 α 0, β 1 . 设 X 1 , X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本, (I) 当 α 1 时, 求未知参数 β 的矩估计量; (II) 当 α 1 时, 求未知参数 β 的最大似然估计量;
4
给人改变未来的力量
(III) 当 β 2 时, 求未知参数 α 的最大似然估计量.
n 1 n 1

则以下命题中正确的是( (A)①② (B)②③
) (C)③④
(D)①④ )
(11) 设 f ( x) 在 [ a, b] 上连续，且 f ( a ) 0, f (b) 0 ，则下列结论中错误的是( (A) 至少存在一点 x0 ( a, b) ，使得 f ( x0 ) > f ( a ) . (B) 至少存在一点 x0 ( a, b) ，使得 f ( x0 ) > f (b) . (C) 至少存在一点 x0 ( a, b) ，使得 f ( x0 ) 0 . (D) 至少存在一点 x0 ( a, b) ，使得 f ( x0 ) = 0. (12) 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价, 则必有( (A) 当 | A | a ( a 0) 时, | B | a . (C) 当 | A | 0 时, | B | 0 .
*
) (B) 当 | A | a ( a 0) 时, | B | a . (D) 当 | A | 0 时, | B | 0 .
(13) 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A 0, 若 ξ1 , ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 是非齐次线性方程组 Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系( (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.
2
. .
DX }
2
(6) 设总体 X 服从正态分布 N ( μ1 , σ ) , 总体 Y 服从正态分布 N ( μ 2 , σ ) , X 1 , X 2 , X n1 和 Y1 , Y2 , Yn2 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本, 则
2 2 n2 n1 ( X i X ) (Y j Y ) j 1 E i 1 n1 n2 2
3
给人改变未来的力量
设 α1 (1,2,0) , α 2 (1, α 2,3α ) , α 3 ( 1,b 2, α 2b) , β (1,3,3) ,
T T T T
试讨论当 a, b 为何值时, (I) β 不能由 α1 , α 2 , α 3 线性表示; (II) β 可由 α1 , α 2 , α 3 唯一地线性表示, 并求出表示式; (III) β 可由 α1 , α 2 , α 3 线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分 13 分) 设 n 阶矩阵