离散数学 关系的闭包(共18张PPT)

设R是A上的二元关系，x∈A，将所有(x,x)R的有序对
加到R上去，使其扩充成自反的二元关系，扩充后的自反 关系就是R的自反闭包r(R)。
例如，A={a,b,c,d},R={(a,a),(b,d),(c,c)}。
R的自反闭包r(R)={ (a,a),(b,d),(c,c),(b,b),(d,d)}。
s(R)={<a,a><a,b><b,a>},
t
或者也可以保存为：pdf、图片格式等
证明略，因为由闭包定义即可得。
⑵ R是对称的，则r(R)和t(R)也对称。
⑵ R是对称的，则r(R)和t(R)也对称。
因s(R)对称，得ts(R) 也对称，得sts(R)=ts(R)
所以有st(R) ts(R) 。
Ms = M + M’
格式后缀名为：ppt、pptx；或者也可以保存为： 自反（对称，传递）性质的“最小”的关系。
因s(R)对称，得ts(R) 也对称，得sts(R)=ts(R) = IA∪R (R传递t(R)=R)
pdf、图片格式等 ⑶ R是传递的，当且仅当 t(R)=R.
= IA∪R∪R2∪.
Ms = M + M’
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s(R) = R∪R1={<a,b>,<b,a>,<b,c>, <c,b>,<c,d>,<d,c>},
t(R) = R∪R2∪R3∪ R4
R2={<a,a>, <a,c>, <b,b>, <b,d>}
R3= {<a,b>, <a,d>, <b,a>, <b,c>}
R4= {<a,b>, <a,c>, <b,b>, <b,d>} = R2 于是 t(R) = R∪R2∪R3= {<a,a>, <a,b>, <a,c>, <a,d>, <b,a>,
证明： ⑴ sr(R)=r(R)∪(r(R)-1=(R∪IA)∪(R∪IA)-1 = (R∪IA)∪(R-1∪IA-1) =R∪IA∪R-1∪IA = (R∪R-1)∪IA= s(R)∪IA=rs(R)
⑵的证明用前边证明的结论：
(R∪IA)k= IA∪R∪R2∪...∪Rk 很容易证明，这里从略。
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R的对称闭包s(R) = { (a,a), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b), (d,e), (e,d)}。
由逆关系的定义可知：
定理: R是A上二元关系， R~是其逆关系， 则R的对称闭包s(R)=R∪ R~。
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3.构造R的传递闭包的方法。
设R 是A上的二元关系，每当(a,b)∈R和(b,c)∈R而(a,c)R时，将有序对(a,c)加 到R上使其扩充成R1，并称R1 为R的传递扩张， R1 如果是传递关系，则R1 是R的传递闭包；如果R1不是传递关系，继续求R1的的传递扩张R2， 如果R2 是传递关系时，则R2是R的传递闭包； 如果R2不是传递关系时，继续求R2 的的传递扩张R3…，如果A是有限集，R经过有限次扩张后，定能得到R的传 递闭包。扩张后的传递关系就是R的传递闭包t(R)。
定理 R是A上关系，则 ⑴R是自反的，当且仅当 r(R)=R. ⑵ R是对称的，当且仅当 s(R)=R. ⑶ R是传递的，当且仅当 t(R)=R. 证明略，因为由闭包定义即可得。 定理 R是A上关系，则 ⑴R是自反的，则s(R)和t(R)也自反。 ⑵ R是对称的，则r(R)和t(R)也对称。 ⑶ R是传递的，则r(R)也传递。 证明: ⑴因为R自反,得r(R)=R,即 R∪IA=R, r(s(R))=s(R)∪IA=(R∪R-1)∪IA = (R∪IA)∪R-1=r(R)∪R-1 =R∪R-1 =s(R)∴s(R)自反
⑶ 因 Rs(R) ，得 t(R)ts(R) ； st(R)sts(R) 因s(R)对称，得ts(R) 也对称，得sts(R)=ts(R) 所以有st(R)ts(R) 。 证明完毕。 通常将t(R) 记成R+， tr(R)记成R*，即
t(R)= R+=R∪R2∪...∪Rn∪…= ∪∞ Ri
tr(R)=rt(R) =R*= R0∪R∪R2∪...∪Rni=∪1 …=
=t(R) 所以t(R)也对称。
类似可以证明r(R)也对称。
证明⑶. 证明r(R)传递:先用归纳法证明下面结论:
(R∪IA)i= IA∪R∪R2∪...∪Ri ①i=1时 R∪IA= IA∪R 结论成立。 ②假设i≤k 时结论成立，即
(R∪IA)k= IA∪R∪R2∪...∪Rk
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③当i=k+1时
s(R)
t(R)
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Microsoft Office PowerPoint，是微软公司
的演示文稿软件。用户可以在投影仪或者计算机 每当(a,b)∈R，而(b,a) R时，将有序对(b,a)加到R上去，
上进行演示，也可以将演示文稿打印出来，制作 ②假设i≤k 时结论成立，即
r(R),s(R),t(R)就是R本身。 R∪IA=R, r(s(R))=s(R)∪IA=(R∪R-1)∪IA
s(R)= { a , b , b , a , b , c , c , b , c , a , a , c }
t(R)={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<b,a>,<c,b>,<a,a>,<b,b>,<c,c>}
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三、闭包的构造方法
1.构造R的自反闭包的方法。
(R∪IA)k+1=(R∪IA)k (R。∪IA) = (IA∪R∪R2∪...∪Rk） (I。A∪R) = (IA∪R∪R2∪...∪Rk)∪(R∪R2∪...∪Rk+1) = IA∪R∪R2∪...∪Rk∪Rk+1 所以结论成立.
t(r(R))=t(R∪IA) = (R∪IA)∪(R∪IA)2∪(R∪IA)3∪... =(IA∪R)∪(IA∪R∪R2)∪(IA∪R∪R2∪R3)∪... = IA∪R∪R2∪R3∪...= IA∪t(R) = IA∪R (R传递t(R)=R) =r(R) 所以r(R)也传递。
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由闭包的定义可知，
R的自反（对称，传递）闭包是含有R并且具有
自反（对称，传递）性质的“最小”的关系。
如果R已是自反的二元关系，显然有：R= r(R)。 同样，当R是对称的二元关系时R= s(R)； 当R是传递的二元关系时，R= t(R)，且反之亦然。
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二、关系的闭包运算
（1）已知一个集合中的二元关系R，则 r(R),s(R),t(R)是唯一的，它是包含R的 最小的自反（对称，传递）关系；
s(R)={<a,a><a,b><b,a>}, t(R)={<a,a><a,b>}=R
例：设Ａ={a,b,c},R={<a,b>,<b,c>,<c,a>}，求r(R),s(R),t(R)。 解：r(R)= { a , b , b , c , c , a , a , a , b , b , c , c }
定理: 设R为A上的关系, 则有t(R) = R∪R2∪R3∪…
说明：
• 对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, 上式中的并最多不超过 Rn.
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思考：设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}, 求 r(R), s(R), t(R). 解: r(R) = R∪R0={<a,a>, <a,b>,<b,a>, <b,b>, <b,c>, <c,c>, <c,d>,<d,d>},
成胶片，以便应用到更广泛的领域中。利用 类似可以证明r(R)也对称。
(R2)-1=(R R)-1
Microsoft t(r(R))=t(R∪IA)
类似可以证明t(R)也自反。
Office
PowerPoint不仅可以创建演示文
Mt(rs(R=))M=t(+RM∪’I稿A) ，还可以在互联网上召开面对面会议、远程会议
<b,b>, <b,c>, <b,d> ,<c,d> }.
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闭包的构造方法（续）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr, Ms 和 Mt , 则
Mr = M + E Ms = M + M’ Mt = M + M2 + M3 + … E 是和 M 同阶的单位矩阵, M’是 M 的转置矩阵. 注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
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类似可以证明t(R)也自反。
证明⑵. 证明t(R)对称: (t(R))-1=(R∪R2∪...∪Rn∪...)-1
= R-1∪(R2)-1 ∪...∪(Rn)-1∪...
(R2)-1=(R R)-1
=R-1 R-1 =(R-1)2
= R-1∪(R-1)2 ∪...∪(R-1)n∪...
=R∪R2∪...∪Rn∪... (∵R对称，∴R-1 =R)
于是可得：
定理: R是A上的二元关系，则பைடு நூலகம்的自反闭包r(R)=R∪IA。
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2.构造R的对称闭包的方法。
每当(a,b)∈R，而(b,a)R时，将有序对(b,a)加到R上去，
使其扩充成对称的二元关系，扩充后的对称关系就是
R的对称闭包s(R)。
例如，A={a,b,c,d,e},R={ (a,a), (a,b), (b,a), (b,c), (d,e)}。
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, Mr, Ms 和 Mt , 则
Mr = M或+ E在网上给观众展示演示文稿。
例：设Ａ={a,b,c},R={<a,b>,<b,c>,<c,a>}，求r(R),s(R),t(R)。
Microsoft
⑵构造R是 R的对传称递的闭O，包则f的rf(R方i)c和法et。(R)也P对o称。werPoint做出来的东西叫演示文稿，其
最小的自反（对称，传递）关系；
R ⑴R是自反的，当且仅当 r(R)=R.
= (R∪IA)∪(R∪IA)2∪(R∪IA)3∪.
r(R)
②假设i≤k 时结论成立，即
= IA∪R∪R2∪.
所以有st(R) ts(R) 。
证明⑴ r(R1)=IA∪R1 IA∪R2= r(R2)
t(r(R))=t(R∪IA)
（2）若R是自反（对称，传递）的，则 r(R),s(R),t(R)就是R本身。
（3）若R不是自反（对称，传递）的，则 可以补上最少序偶，使之变为自反、对称、 传递关系，从而得到r(R),s(R),t(R)；
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例：设Ａ={a,b},R={<a,a><a,b>}， 则r(R)={<a,a><a,b><b,b>},
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定理 设R1、R2是A上关系，如果R1R2 ，则 ⑴ r(R1) r(R2) ⑵ s(R1) s(R2) ⑶ t(R1)t(R2)
证明⑴ r(R1)=IA∪R1IA∪R2= r(R2) ⑵，⑶类似可证。
定理 设R是A上关系，则 ⑴ sr(R)=rs(R) ⑵ tr(R)=rt(R) ⑶ st(R)ts(R)
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实例
例1 设A={a,b,c,d}, 如果R已是自反的二元关系，显然有：R= r(R)。
定理 设R1、R2是A上关系，如果R1 R2 ，则
R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,
类似可以证明r(R)也对称。
<d,b>}, R ( ), (R), (R)的关系图如下图所示. 和 r R s 例如，A={a,b,c,d},R={(a,a),(b,d),(c,c)}。
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闭包的构造方法（续）
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, Gr, Gs, Gt , 则 Gr, Gs, Gt 的顶点集与G 的顶点集相等. 除了G 的边以外, 以 下述方法添加新边：
考察G的每个顶点, 如果没有环就加上一个环，最终得到 Gr . 考察G的每条边, 如果有一条 xi 到 xj 的单向边, i≠j, 则在G 中加一条 xj 到 xi 的反方向边，最终得到Gs. 考察G的每个 顶点 xi, 找从 xi 出发的每一条路径，如果从 xi 到路径中任何 结点 xj 没有边，就加上这条边. 当检查完所有的顶点后就 得到图Gt .
4.4 关系的闭包
闭包定义 闭包的构造方法
集合表示 矩阵表示 图表示
闭包的性质
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一、闭包定义
定义 设R是非空集合A上的关系, R的自反（对称或传递 ）闭包是A上的关系R, 使得R满足以下条件： （1）R是自反的（对称的或传递的） （2）RR （3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系 R 有 RR. 一般将 R 的自反闭包记作 r(R), 对称闭包记作 s(R), 传递 闭包记作 t(R).