金属塑性变形的力学基础
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在加速度较大的场合，体积力不能忽略。
内力
➢ 定义：内力是材料内部所受的力，它的 产生来自于外界作用和物体内维持自身 完整性的力。当外界作用于物体时，迫 使原子间距发生变化，而原子则以力的 形式与外界抗衡，以恢复稳定位置，保 持原有的间距。所以内力是物体抵抗外 界作用而产生于内部各部分之间相互平 衡的力。
1. 应力分析的截面法
应力：是单位面积上的内力，其定 义式为：
lim F
S= A 0 A
=
dF dA
2.三维坐标系的应力分量和应力 张量
3. 任意斜面上点的应力状态
现考察变形体内任一点M某一斜面上 的应力情况。设过M点三个坐标面上的应 力为已知。设斜面与三个坐标轴的截距 为dx、dy、dz，以四面体近似表示点， 从而斜面近似通过M点（见图1-3）。斜 面外法线n的方向余弦分别为：
2 2
S32
2 3
1
➢ 上式就是椭球面方程，其主半轴的长度分 别等于1,2,3 。这个椭球面称为应力球 椭球面，如图2-8所示。对一个确定的应 力状态，任意斜面上全应力矢量S的端点 必然在椭球面上。
➢ 在三个主应力中，如果有两个主应力为零， 叫单向应力状态。属圆柱应力状态。如果 一个主应力为零，则是两向应力状态，为 某个平面上的椭圆轨迹。如三个主应力都 相等，则为球应力。
其中
称作应力张量的第一、二、三不变量
上式称为应力状态特征方程。可以证明 该方程必然有一组唯一的三个实根，它的三 个实根就是三个主应力。将所得的主应力值 带入（2-11）中的任意两式，并与式（2-12） 联解，便可求出三个互相垂直的主方向。
以上分析表明，
一定，主应力与I1，I2，I3的大小就完全确定。因 此，一点的应力状态也可用主应力来表示。特别 是，当坐标轴与主轴相重合时，
一 般 ， z 方 向 有 应 变 ， 只 有 纯 剪 切 时
，(1 2 ,3 0 )z向既无应力也无应变。
平面应变状态的应力
变形物体在某一方向不产生变 形，称为平面变形，其应力状态称 为平面应变状态下的应力状态，发 生变形的平面称为塑性流平面。
平面应变的应力状态特点
① 不产生变形的方向为主方向，与该方向
力，因而不能在某一特定平面上表示出 来。 等效应力可以理解为代表一点应力状态 中应力偏张量的综合作用。
八、应力平衡微分方程
应力平衡微分方程就是物体任意无限 相邻二点间关系，可以通过微体沿坐标 轴力平衡来得到，一般应力平衡方程在 不同坐标系下有不同的表达形式。
ij(x dx,
yd,yzd)z
直角坐标下的平衡微分方程
主应力图
受力物体内一点的应力状态可用作 用在应力单元上的主应力来描述，只 用主应力的个数及符号来描述一点应 力状态的简图称为主应力图（见书本 图2-10）主应力图共有九种，各主应力 符号相同的称为同号主应力，符号不 同的，称为异号主应力图。
5. 主切应力和最大切应力
切应力也随着斜面上的方位而改变，当斜面 上的切应力为极大值时，该切应力称为主切应 力。主切应力作用的平面称为主切应力平面。 主切应力平面共有12个，它们分别与一个主 平面垂直，与另外两个主平面交成45°角。
垂直的平面没有切应力； zxzy0
② 在z方向有阻止变形的正应力；z1 2(xy)m
③ 所有应力分量沿z轴均匀分布，即与z轴 无关，对z的偏导数为零。
平面应变状态下的应力张量为：
ij
xxy0 xyy0
000z
x0y2xyx02xyy0000m 0m0m
在主轴坐标系中应力张量
ij
010200
0012
应力偏张量不变量
应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同
样有三个不变量，分别为
I
' 1
,
I
' 2
,
I
。'
3
I1' x' y' z' 0
I2' 16xy 2yz 2zx 26x2yy2zz2x
I3' i'j
I
' 1
0
表明应力偏张量已不含平均应力成份。I 2 '
与屈服准则有关 ，反映了物体形状变化的程度。
直角坐标下的应力平衡微分方程*
ij 0 i
(i, jx,y,z)
即
（不计体力）
x x
xy y
xz z
0
yx x
y y
yz z
0
zx
zy
z
0
x
y
z
物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应 力状态的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。
推导原理：
静力平衡条件：
假设物体为连续介质。无限邻近二点的应力
状态分别为，ij(x, y,z) ij(xdx, yd,yzd)z
（见图1-8）。假设的连续可导则有：
i( jx d x ,y d y ,z d z )i( jx ,y ,z ) x k id jx k (jik , ,x y z ,,)
图1-8 直角坐标系微体受力
若令：
sx x xy xz l ssy,ijyx y yz,Nm
sz zx zy z n
则有： sij •N
其中： ij 称为应力张量。
sxl sym szn xl2ym 2zn 2 2 (xlym ym z n zm x) l
2s22
若质点处于边界，设外力为F， 则有：
Fx
xl
了三个主切应力的综合效应，与应力
偏量第二不变量
J
' 2
有关。
用任意坐标系应力分量表示八面体应
力
8
1 3
x
y
z
8 1 3x y2 y z2 z x2 (x 2 y y 2 z z 2 x )
意义
Ⅰ：三组主平面，应力空间中构成平行六面体。 Ⅱ：六组主切平面，在应力空间构成十二面体。 Ⅲ：四组八面体面，构成正八面体。 总共有26个，这些平面上的应力值，对研究一点的
0
r
r
1 r
zr
z
2 r
r
0
rz 1 z z rz 0 r r z r
九、平面应力状态和轴对称应力 状态
在变形体为板料或薄壁件时，则认为某个 平面上没有应力的作用，这就是平面应 力状与某一方向
垂直的平面上没有应力作用,即 zzx zy0
yx
m
zx
n
Fy xyl ym zyn
Fz
xzl
yz
m
z
n
4. 主应力与应力张量不变量
主应力是指作用面上无切应力时 所对应的正应力，该作用面称作主平 面，法线方向为主轴或主方向。
设主应力为 ，当为主方向时，有
，
代入（式2.6），整理，有：
解
的非零解，必有系数行列式值为零，
最终可得
断面收缩率延伸率冲击韧性最大压缩率扭转角或扭转数弯曲次数塑性指标的测量方法塑性指标的测量方法拉伸试验法压缩试验法扭转试验法轧制模拟试验法拉伸试验法拉伸试验法拉伸试样破断处的断面积压缩试验法压缩试验法简单加载条件下压缩试验法测定的塑性指标用下式确定
第2章 金属塑性变形的力学基础
§2. 1 金属塑性成形过程的受力分析 §2. 2 变形体内一点的应力状态分析 §2. 3 变形体内质点的应变状态分析 §2. 4 屈服准则 §2. 5 塑性变形的应力应变关系 §2. 6 金属材料的实际应力——应变曲线
l mn
1 3
代入式（2-8a）和（2-9a）中，可求得八面
体正应力 8 和八面体切应力 8 ：
81312313J1
8 1 31 22 2 3 2 3 1 2
2 3
2 2 2 12 23 31
23J2'
由上面两式可以看出， 8 就是平均
应力，即球应力，是不变量。 8 则
是与应力球张量无关的不变量，反映
X 0 , Y 0 , Z 0
静力矩平衡条件： M x 0 , M y 0 , M z 0
泰勒级数展开：f(xd)x f(x)1 1 !f (xx)2 1 !2 fx(2x)...
f (x)f (x) x
xdxx
x
x
圆柱坐标下的应力平衡微分方程
r
r
1 r
r
zr
z
1 r
(
r
)
§2. 2 变形体内一点的应力状态 分析
1.应力分析的截面法 2.三维坐标系的应力分量和应力张
量 3.任意斜面上的应力 4.主应力和应力不变量
5. 主切应力和最大切应力 6. 应力球张量和应力偏张量 7. 八面体应力和等效应力 8. 应力平衡微分方程 9. 平面应力状态和轴对称应力状态 10. 应力莫尔圆
图1-3 四面体受力示意图
cos( n , x )令l
cos(
n,
y
)
令m
cos( n , z )令n
若斜面ABC的面积为dA，则dA在三个 坐标面上的投影面积分别为：
dAx=ldA；dAy=mdA；dAz=ndA 现设斜面ABC上的全应力为S，它 在三个坐标轴方向的分量为Sx、Sy、 Sz，由于四面体QABC出于平衡状态， 由静力平衡条件
2
1002y120020000m 0m 0m
平面应变的应力状态=纯剪切+应力球状态
轴对称应力状态
特征：
z0 z z0
应力状态有重要的作用。
图1-4 应力球与特殊面
2．等效应力
为了使不同应力状态具有可比性，
定义了等效应力 （应变能相同
的条件下），也称相当应力或应力强度。
328
1 2
(12)2(23)2(31)2
等效应力特点
等效应力是一个不变量 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸
（压缩）时的拉伸（压缩）应力。 等效应力并不代表某一实际表面上的应
塑性理论的几点假设
变形体是连续的 变形体是均质的和各向同性的 在变形的任意瞬间，力的作用是平衡
的 在一般情况下，忽略体积力的影响且
初应力为0 在变形的任意瞬间体积不变
§2. 1 金属塑性成形过程的受力 分析
作用于金属的外力可以分为两类：
1 作用在金属表面上的力，为 面力
2 作用在金属每个质点上的力， 为体积力。
上式右边的前一项称为应力偏张量，
它是由原来的应力张量分解出球张量 后得到的。由于被分解出的应力球张 量没有切应力，任意方向都是主方向 且主应力相等。因此，应力偏张量的 切应力分量、主切应力、最大切应力 以及应力主轴等都与原应力张量相同。
因而应力偏张量使物体产生形状的变 化，而不产生体积变化，材料的塑性 变形就是由应力偏张量引起的。
面力
➢ 面力可分为作用力、反作用力和摩擦力。 作用力：是由塑性加工设备提供的，用于使金 属坯料产生塑性变形。
反作用力：是工具反作用于金属坯料的力。
摩擦力：金属在外力作用下产生塑性变形时， 在金属与工具的接触面上产生阻止金属流动的 摩擦力
体积力
体积力是与变形体内各质点的质量 成正比的力，如重力、磁力和惯性力等。 对一般的塑性成形过程，由于体积力与 面力相比要小得多，可以忽略不计。但
的表现形式最为简洁。同样I1，I2，I3的形式也
可简化。不论坐标系怎样变化，一点的主应力 与应力张量不变量保持恒定。
应力椭球面
应力椭球面是在主 轴坐标系中点的应力 状态的几何表达。
l S1 ;m S2 ;n S3
1
2
3
有式（2-6a）可 l2 m2 n2 1
得
于是得
S12
12
S22
6. 应力球张量和应力偏张量
1. 应力张量的分解 塑性变形时体积变化为零，只有形状变
化。因此，可以把分解成与体积变化有 关的量和与形状有关的量。前者称应力 球张量，后者称应力偏张量。设为平均 应力，则有：
按照应力叠加原理， 具有可分解性。因此 有：
式中当
时，
；当
时，
上式中右边的后一项表示球应力 的状态，故称应力球张量。其任何 方向都是主方向，而且主应力相同， 均为平均应力。由于球应力状态在 任何斜面上都没有切应力，所以它 不能使物体产生形状变化（塑性变 形），只能产生体积变形。如胀性 成形。
Fx 0
sxxlym x zn x
则有：
s x d A x d A x y d A yz x d A z 0
sxxlym x zn x
sx xl yxm zxn
sy xyl ym zyn
sz
xzl
yzm
zn
于是可求得全应力为:
s2 sx2sy2sz2
全应力S在法线N上的投影就是斜面上的 正应力，它等于Sx、Sy、Sz在N上的投 影之和。
I 3
形；I
' 3
反映了变形的类型：I
' 3
0 表示广义拉伸变
0
表示广义剪切变形，I
' 3
0
表示广义
压缩变形。
7.八面体应力和等效应力
1．八面体应力
在主应力空间中，每一掛限中均有 一组与三个坐标轴成等倾角的平面， 八个掛限共有八组，构成正八面体， 简称八面体面。八面体表面上的应力 为八面体应力。
八面体的余弦：
② xyxy 沿z轴方向均匀分布，
即应力分量与z轴无关，对z轴的偏 导数为零。
平面应力状态的应力张量
x xy 0
ij
xy
y 0
或
100
ij
0
2 0
0
00
0 0 0
主应力为：
12 x
y
2
x
y
2
2x2y
平面应力状态下的主切应力为：
121 22x 2y2x2y223121
内力
➢ 定义：内力是材料内部所受的力，它的 产生来自于外界作用和物体内维持自身 完整性的力。当外界作用于物体时，迫 使原子间距发生变化，而原子则以力的 形式与外界抗衡，以恢复稳定位置，保 持原有的间距。所以内力是物体抵抗外 界作用而产生于内部各部分之间相互平 衡的力。
1. 应力分析的截面法
应力：是单位面积上的内力，其定 义式为：
lim F
S= A 0 A
=
dF dA
2.三维坐标系的应力分量和应力 张量
3. 任意斜面上点的应力状态
现考察变形体内任一点M某一斜面上 的应力情况。设过M点三个坐标面上的应 力为已知。设斜面与三个坐标轴的截距 为dx、dy、dz，以四面体近似表示点， 从而斜面近似通过M点（见图1-3）。斜 面外法线n的方向余弦分别为：
2 2
S32
2 3
1
➢ 上式就是椭球面方程，其主半轴的长度分 别等于1,2,3 。这个椭球面称为应力球 椭球面，如图2-8所示。对一个确定的应 力状态，任意斜面上全应力矢量S的端点 必然在椭球面上。
➢ 在三个主应力中，如果有两个主应力为零， 叫单向应力状态。属圆柱应力状态。如果 一个主应力为零，则是两向应力状态，为 某个平面上的椭圆轨迹。如三个主应力都 相等，则为球应力。
其中
称作应力张量的第一、二、三不变量
上式称为应力状态特征方程。可以证明 该方程必然有一组唯一的三个实根，它的三 个实根就是三个主应力。将所得的主应力值 带入（2-11）中的任意两式，并与式（2-12） 联解，便可求出三个互相垂直的主方向。
以上分析表明，
一定，主应力与I1，I2，I3的大小就完全确定。因 此，一点的应力状态也可用主应力来表示。特别 是，当坐标轴与主轴相重合时，
一 般 ， z 方 向 有 应 变 ， 只 有 纯 剪 切 时
，(1 2 ,3 0 )z向既无应力也无应变。
平面应变状态的应力
变形物体在某一方向不产生变 形，称为平面变形，其应力状态称 为平面应变状态下的应力状态，发 生变形的平面称为塑性流平面。
平面应变的应力状态特点
① 不产生变形的方向为主方向，与该方向
力，因而不能在某一特定平面上表示出 来。 等效应力可以理解为代表一点应力状态 中应力偏张量的综合作用。
八、应力平衡微分方程
应力平衡微分方程就是物体任意无限 相邻二点间关系，可以通过微体沿坐标 轴力平衡来得到，一般应力平衡方程在 不同坐标系下有不同的表达形式。
ij(x dx,
yd,yzd)z
直角坐标下的平衡微分方程
主应力图
受力物体内一点的应力状态可用作 用在应力单元上的主应力来描述，只 用主应力的个数及符号来描述一点应 力状态的简图称为主应力图（见书本 图2-10）主应力图共有九种，各主应力 符号相同的称为同号主应力，符号不 同的，称为异号主应力图。
5. 主切应力和最大切应力
切应力也随着斜面上的方位而改变，当斜面 上的切应力为极大值时，该切应力称为主切应 力。主切应力作用的平面称为主切应力平面。 主切应力平面共有12个，它们分别与一个主 平面垂直，与另外两个主平面交成45°角。
垂直的平面没有切应力； zxzy0
② 在z方向有阻止变形的正应力；z1 2(xy)m
③ 所有应力分量沿z轴均匀分布，即与z轴 无关，对z的偏导数为零。
平面应变状态下的应力张量为：
ij
xxy0 xyy0
000z
x0y2xyx02xyy0000m 0m0m
在主轴坐标系中应力张量
ij
010200
0012
应力偏张量不变量
应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同
样有三个不变量，分别为
I
' 1
,
I
' 2
,
I
。'
3
I1' x' y' z' 0
I2' 16xy 2yz 2zx 26x2yy2zz2x
I3' i'j
I
' 1
0
表明应力偏张量已不含平均应力成份。I 2 '
与屈服准则有关 ，反映了物体形状变化的程度。
直角坐标下的应力平衡微分方程*
ij 0 i
(i, jx,y,z)
即
（不计体力）
x x
xy y
xz z
0
yx x
y y
yz z
0
zx
zy
z
0
x
y
z
物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应 力状态的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。
推导原理：
静力平衡条件：
假设物体为连续介质。无限邻近二点的应力
状态分别为，ij(x, y,z) ij(xdx, yd,yzd)z
（见图1-8）。假设的连续可导则有：
i( jx d x ,y d y ,z d z )i( jx ,y ,z ) x k id jx k (jik , ,x y z ,,)
图1-8 直角坐标系微体受力
若令：
sx x xy xz l ssy,ijyx y yz,Nm
sz zx zy z n
则有： sij •N
其中： ij 称为应力张量。
sxl sym szn xl2ym 2zn 2 2 (xlym ym z n zm x) l
2s22
若质点处于边界，设外力为F， 则有：
Fx
xl
了三个主切应力的综合效应，与应力
偏量第二不变量
J
' 2
有关。
用任意坐标系应力分量表示八面体应
力
8
1 3
x
y
z
8 1 3x y2 y z2 z x2 (x 2 y y 2 z z 2 x )
意义
Ⅰ：三组主平面，应力空间中构成平行六面体。 Ⅱ：六组主切平面，在应力空间构成十二面体。 Ⅲ：四组八面体面，构成正八面体。 总共有26个，这些平面上的应力值，对研究一点的
0
r
r
1 r
zr
z
2 r
r
0
rz 1 z z rz 0 r r z r
九、平面应力状态和轴对称应力 状态
在变形体为板料或薄壁件时，则认为某个 平面上没有应力的作用，这就是平面应 力状与某一方向
垂直的平面上没有应力作用,即 zzx zy0
yx
m
zx
n
Fy xyl ym zyn
Fz
xzl
yz
m
z
n
4. 主应力与应力张量不变量
主应力是指作用面上无切应力时 所对应的正应力，该作用面称作主平 面，法线方向为主轴或主方向。
设主应力为 ，当为主方向时，有
，
代入（式2.6），整理，有：
解
的非零解，必有系数行列式值为零，
最终可得
断面收缩率延伸率冲击韧性最大压缩率扭转角或扭转数弯曲次数塑性指标的测量方法塑性指标的测量方法拉伸试验法压缩试验法扭转试验法轧制模拟试验法拉伸试验法拉伸试验法拉伸试样破断处的断面积压缩试验法压缩试验法简单加载条件下压缩试验法测定的塑性指标用下式确定
第2章 金属塑性变形的力学基础
§2. 1 金属塑性成形过程的受力分析 §2. 2 变形体内一点的应力状态分析 §2. 3 变形体内质点的应变状态分析 §2. 4 屈服准则 §2. 5 塑性变形的应力应变关系 §2. 6 金属材料的实际应力——应变曲线
l mn
1 3
代入式（2-8a）和（2-9a）中，可求得八面
体正应力 8 和八面体切应力 8 ：
81312313J1
8 1 31 22 2 3 2 3 1 2
2 3
2 2 2 12 23 31
23J2'
由上面两式可以看出， 8 就是平均
应力，即球应力，是不变量。 8 则
是与应力球张量无关的不变量，反映
X 0 , Y 0 , Z 0
静力矩平衡条件： M x 0 , M y 0 , M z 0
泰勒级数展开：f(xd)x f(x)1 1 !f (xx)2 1 !2 fx(2x)...
f (x)f (x) x
xdxx
x
x
圆柱坐标下的应力平衡微分方程
r
r
1 r
r
zr
z
1 r
(
r
)
§2. 2 变形体内一点的应力状态 分析
1.应力分析的截面法 2.三维坐标系的应力分量和应力张
量 3.任意斜面上的应力 4.主应力和应力不变量
5. 主切应力和最大切应力 6. 应力球张量和应力偏张量 7. 八面体应力和等效应力 8. 应力平衡微分方程 9. 平面应力状态和轴对称应力状态 10. 应力莫尔圆
图1-3 四面体受力示意图
cos( n , x )令l
cos(
n,
y
)
令m
cos( n , z )令n
若斜面ABC的面积为dA，则dA在三个 坐标面上的投影面积分别为：
dAx=ldA；dAy=mdA；dAz=ndA 现设斜面ABC上的全应力为S，它 在三个坐标轴方向的分量为Sx、Sy、 Sz，由于四面体QABC出于平衡状态， 由静力平衡条件
2
1002y120020000m 0m 0m
平面应变的应力状态=纯剪切+应力球状态
轴对称应力状态
特征：
z0 z z0
应力状态有重要的作用。
图1-4 应力球与特殊面
2．等效应力
为了使不同应力状态具有可比性，
定义了等效应力 （应变能相同
的条件下），也称相当应力或应力强度。
328
1 2
(12)2(23)2(31)2
等效应力特点
等效应力是一个不变量 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸
（压缩）时的拉伸（压缩）应力。 等效应力并不代表某一实际表面上的应
塑性理论的几点假设
变形体是连续的 变形体是均质的和各向同性的 在变形的任意瞬间，力的作用是平衡
的 在一般情况下，忽略体积力的影响且
初应力为0 在变形的任意瞬间体积不变
§2. 1 金属塑性成形过程的受力 分析
作用于金属的外力可以分为两类：
1 作用在金属表面上的力，为 面力
2 作用在金属每个质点上的力， 为体积力。
上式右边的前一项称为应力偏张量，
它是由原来的应力张量分解出球张量 后得到的。由于被分解出的应力球张 量没有切应力，任意方向都是主方向 且主应力相等。因此，应力偏张量的 切应力分量、主切应力、最大切应力 以及应力主轴等都与原应力张量相同。
因而应力偏张量使物体产生形状的变 化，而不产生体积变化，材料的塑性 变形就是由应力偏张量引起的。
面力
➢ 面力可分为作用力、反作用力和摩擦力。 作用力：是由塑性加工设备提供的，用于使金 属坯料产生塑性变形。
反作用力：是工具反作用于金属坯料的力。
摩擦力：金属在外力作用下产生塑性变形时， 在金属与工具的接触面上产生阻止金属流动的 摩擦力
体积力
体积力是与变形体内各质点的质量 成正比的力，如重力、磁力和惯性力等。 对一般的塑性成形过程，由于体积力与 面力相比要小得多，可以忽略不计。但
的表现形式最为简洁。同样I1，I2，I3的形式也
可简化。不论坐标系怎样变化，一点的主应力 与应力张量不变量保持恒定。
应力椭球面
应力椭球面是在主 轴坐标系中点的应力 状态的几何表达。
l S1 ;m S2 ;n S3
1
2
3
有式（2-6a）可 l2 m2 n2 1
得
于是得
S12
12
S22
6. 应力球张量和应力偏张量
1. 应力张量的分解 塑性变形时体积变化为零，只有形状变
化。因此，可以把分解成与体积变化有 关的量和与形状有关的量。前者称应力 球张量，后者称应力偏张量。设为平均 应力，则有：
按照应力叠加原理， 具有可分解性。因此 有：
式中当
时，
；当
时，
上式中右边的后一项表示球应力 的状态，故称应力球张量。其任何 方向都是主方向，而且主应力相同， 均为平均应力。由于球应力状态在 任何斜面上都没有切应力，所以它 不能使物体产生形状变化（塑性变 形），只能产生体积变形。如胀性 成形。
Fx 0
sxxlym x zn x
则有：
s x d A x d A x y d A yz x d A z 0
sxxlym x zn x
sx xl yxm zxn
sy xyl ym zyn
sz
xzl
yzm
zn
于是可求得全应力为:
s2 sx2sy2sz2
全应力S在法线N上的投影就是斜面上的 正应力，它等于Sx、Sy、Sz在N上的投 影之和。
I 3
形；I
' 3
反映了变形的类型：I
' 3
0 表示广义拉伸变
0
表示广义剪切变形，I
' 3
0
表示广义
压缩变形。
7.八面体应力和等效应力
1．八面体应力
在主应力空间中，每一掛限中均有 一组与三个坐标轴成等倾角的平面， 八个掛限共有八组，构成正八面体， 简称八面体面。八面体表面上的应力 为八面体应力。
八面体的余弦：
② xyxy 沿z轴方向均匀分布，
即应力分量与z轴无关，对z轴的偏 导数为零。
平面应力状态的应力张量
x xy 0
ij
xy
y 0
或
100
ij
0
2 0
0
00
0 0 0
主应力为：
12 x
y
2
x
y
2
2x2y
平面应力状态下的主切应力为：
121 22x 2y2x2y223121