矩阵力学基础I

第三章矩阵力学基础(I)
—力学量和算符
上一章，中我们系统地介绍了波动力学。

它的着眼点是波函数),(t x ψ。

薛定谔从粒子的波动性出发，用波函数),(t x ψ猫述粒子的运动状态。

通过在波函数的运动方程中引入 的方法进行量子化，在一定的边界条件下，求解定态薛定谔方程，证明对于束缚态，会出现量子化的、分立的本征谱。

在本章和下一章中，我们将介绍另一种量子化的方案。

它是海森伯（Heisenberg ）、玻恩、约丹(Jordan)、坎拉克(Dirac)提出和实现的。

着眼点是力学量和力学量的测量。

他们将力学量看成算符。

通过将经典力学运动方程中的坐标和动量都当作算符的方法，引入r 和p 的对易关系.将经典的泊松括号改为量子的泊松括号，实现量子化。

这种量子化，通常称为正则量子化。

在选定了一定的“坐标系”或称表象后，算符用矩阵表示。

算符的运算归结为矩阵的运算。

本章将首先讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示，证实量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。

在选取特定的表象即“坐标系”后，这些算符对应线性厄米矩阵。

然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。

我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。

在矩阵力学中，算符的运动方程起着和波动力学中波函数的运动方程—薛定谔方程—同样的作用。

§3. 1力学量的平均值
在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述。

一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态.于是自然要问，所谓“确定”是什么意思，在什么意义下讲“确定”?在本章中我们将看到:所谓“确定”，是在能给出几率和求得平均值意义下说的。

一般说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。

当给定描述这一运动状态的波函数ψ后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。

利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。

例如处于基态的氢原子。

其电子的坐标和动量不同时具有确定的数值。

但电子坐标具有某一确定值0x 的概率，或电子动量具有某一确定值0p 的概率，却完全可由氢原子的基态波函数给出。

相应地，坐标x 的平均值和动量p 的平均值也完全确定。

既然一切力学量的平均值原则上均可由ψ给出，而且这些平均值就是在ψ所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下一般认为，波函数描写了粒子的运动状态。

在§2.3讨论薛定愕方程时曾指出，力学量动量用算符来表示的对应关系
是:∇-→∧
i p ，动能是2
22∇-=∧
m
T ，定态薛定愕方程就是能量算符的本征方程。

现在问:这种力学量用算符来表示的对应关系，是否仅是一种类比，其中是否还存在着更深刻的物理内涵?另外，是否任何力学量，均可用算符表示?而且除能量算符外，其他算符是否也有相应
的本征方程?如果一切力学量均可用算符表示的命题成立，其逆命题，即一切算符均对应力学量是否也成立?比方说，开方就是个算符，它是否也对应力学量?量子力学中能对应力学量的算符是否有某种限制?本章将回答这些问题。

为此，先讨论力学量的平均值。

对以波函数),(t r ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，()r r d t 2
,ψ表示在t 时刻在r r r d +→中找到粒子的概率,因此坐标r 的平均值显然是
r r r r r r r r d t t d t ),(,(),(*2
ψψψ）⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-== (3. 1.I)
坐标r 的函数)(r f 的平均值是
r r r r r d t f t f ),()(),()(*ψψ⎰∞
∞
-= （3.1.2）
这里已经假定，波函数),(t x ψ满足归一化条件(2. 1 .6)式。

现在讨论动量算符的平均值。

显然,p 的平均值p 不能简单地写成
r p r d t 2
),(⎰
∞
∞
-ψ因
为r r d t 2
),(ψ只表示在r r r d +→中的概率而不代表在p p p d +→中找到粒子的概率。

要计算p ，应该先找出在t 时刻，在p p p d +→中找到粒子的概率p p d t C 2
),(按§2.2的讨论，这相当于对),(t r ψ作傅里叶变换，而),(t C p 由公式
⎰∙-=r r p d t t C r p Er i
)(2/3),()
2(1),(
ψπ （3.1.3） 给出，动量p 的平均值可表示为
p p p p p d t C t C ),(),(*⎰= （3.1.4）
这里已经用了若),(t r ψ归一，则),(t C p 也归一的结论。

但是上面这种作法，却不但间接，而且麻烦。

应该找出一种直接从),(t x ψ计算动量平均值的方法。

为此，我们先计算动量p 在
x 方向的分量x p 的平均值。

由(3.1.4)式得
()()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰
⎰⎰⋅-⋅r r r r p r p .r p d t e p d t e d p h i x i
x
,21,2123*23ψπψπ ()()()()⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡''=⎰⎰⎰'-⋅-p r r r r r r p d e
p t d t d h
i
x
2
3*
*21,, πψψ (3.1.5) 利用公式
)'()()
2(1)2(13)'(3)'(3
r r p p -∂∂-=∂∂-=⎰⎰-∙-∙δππx i d e x i d e
p r r p i
r r p i
x
(3.1.6)
可将(3.1.5)式改写为
()()()[]
r r r r r r '-''⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂-=⎰⎰3*,,δψψt d x i t d p x
()()r r r d t x i t ,,*ψψ⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛
∂∂-= (3.1.7)
同理有
⎰∂∂
-=r r r d t y
i t p y ),())(,(*ψψ
(3.1.8)
⎰∂∂
-=r r r d t z
i t p y ),())(,(*ψψ
(3.1.9) 由此得出结论:要在状态),(t x ψ中求动量p x 、p y 、p z 的平均值，只需以相应的微分算符
x
i ∂∂-
、y i ∂∂- 、z i ∂∂- ，作用在),(t r ψ上，然后乘以),(*
t r ψ,再对全空间积分就可求
得。

将(3. 1. 7)、(3.1.8)及(3.1.9)式写成矢量式，得
⎰∇-=r r r d t i t ),())(,(*ψψ （3.1.10）
记动量算符为
∇-=∧
i p (3 .1.11)
可将(3.1.10)式写成
r r p r p d t t ),(),(*
ψψ⎰∧
= (3 .1.12)
同理，不难证实，当n 为正整数时解的平均值可写成
r r r d t x
i t p n
n
x ),())(,(*ψψ∂∂-=⎰ (3.1.13) 同理还可给出对n
y p 、n
z p 的平均值。

对于任何动量p 的解析函数()p f ，总可将()p f 按p 作
泰勒展开并逐项积分，然后利用平均值公式(3.1.12)和(3.1.13)式求得它的平均值，从而有
r r p r p d t f t f ),()(),()(*
ψψ∧
⎰= (3. 1.14)
比方，动能的平均值是
⎰∇-==r d m
m p ψψ)2(222*
2 (3.1.15)
角动量L 的平均值是
[]r r p r L d i ψψ⎰∇-⨯=⨯=)()* (3.1.16)
(3. 1. 10)式表明:动量的平均值依赖于波函数的梯度ψ∇。

这正是波粒二象性的反映。

按
德布罗意关系(1.4.3)式，波长λ越短，动量越大。

显然，若ψ∇越大，则λ越短;因而动量的平均值越大。

综合上述我们得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。

在用坐标表象中的波函数),(t r ψ计算动量平均值时，需要引进动量算符。

除动量算符∇-=∧
i p 外，能量算符和角动量算符分别为
)
()
,(22
2∇-⨯=+∇-=∧
∧
i t U m
H r L r (3.1.17)
)
()
()(x y y x i p y p x L z
x x z i p x p z L y
z z y
i p z p y L x y z z x y y z x ∂∂-∂∂-=-=∂∂-∂∂-=-=∂∂-∂∂-=-=∧∧∧∧∧∧∧
∧
∧
(3.1.18)
体系的任何一个力学量O 的平均值总可以表示为
r d O ψψ∧
⎰=*
(3.1.19)
∧
O 是与力学量O 相应的算符。

在本章中，算符在它的顶上用“∧”表示。

在对算符比较熟
悉以后，为避免书写麻烦，我们将略去记号“∧”。

在§2.2中曾指出，同一量子态既可用坐标表象中的波函数),(t r ψ表示，也可用动量表象中的波函数),(t C p 表示。

与在坐标表象中，动量用算符来表示相似，在动量表象中，坐标也必须用算符来表示。

可以证明，在动量表象
中的坐标算符是
,ˆx
p i x
∂∂
= p i ∇= r
ˆ (3.1.20) 平均值是
p
p p d t C i t C p ),())(,(*∇=⎰ (3.1.21)
()⎰∇=p p p r d t C i F t C F p ),((),(* (3.1.22)
相应地，在动量表象中的定态薛定愕方程是
)()((22p p EC C i U m p p =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∇+ (3.1.23)
请读者自己证明动量表象中的这些结论。

§3.2算符的运算规则
若某一运算将函数υ二变为函数u ,记作
∧
=υF u （3.2.1）
则表示这一运算的符号∧
F 称为算符。

若算符∧F 满足
22112211ˆˆ)(ˆυυυυF C F C C C F +== （3.2.2）
其中1υ、2υ 是任意函数，C 1、C 2是常数，则∧
F 称为线性算符。

动量算符、积分算符等均为线性算符。

若算符∧
I 满足
υυ=I ˆ （3.2.3）
υ为任意函数，则称∧
I 为单位算符。

在数学上，若存在映照F ˆ，将集合1F 中的元素)(111F x x ⊂,映照到集合2F 之中的元素)(222F x x ⊂，记作F ˆ：21x x →或21ˆx x F =。

若集合1
F 和2F 均为数集，则称F ˆ为函数;若1F 是一般的集合而2F 是数集，则称F ˆ为泛函；若1
F 和2F 均为一般集合，则称F ˆ为算子或算符。

1.算符的运算规则
算符的一般运算规则如下: （1）算符之和
算符∧A 和∧B 之和(∧A 十∧
B )，定义为
ψψψ∧
∧∧∧+=⎪⎭
⎫
⎝⎛+B A B A (3.2.4) ψ必为任意函数。

显然，算符之和满足交换律和结合律
∧
∧∧∧+=+A B B A
∧
∧∧∧∧∧
+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++C B A C B A
而且，线性算符之和仍为线性算符。

（2）算符之积
算符∧A 和∧B 之积∧
∧B A ，定义为
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∧
∧∧∧ψψB A B A (3.2.5) 算符∧∧B A 对任意函数ψ的运算，等于先用∧B 对ψ运算，得出ψ∧B ，然后再用算符∧A 对ψ∧
B 进行运算得到的结果。

一般说来，算符之积与算符的前后次序有关，不满足交换律
∧
∧∧∧≠A B B A (3 .2.6)
比如，取x A =∧
；x
i p B x ∂∂
-==∧
∧
，则 x
x
i p x x ∂∂-=∧
ψ
ψ 但
()x
x i i x x i x p x ∂∂--=∂∂
-=∧
ψψψψ
因此有
ψψ i x p p x x x =⎪⎭
⎫
⎝⎛-∧∧ (3.2.7) 由于ψ是任意函数，从(3.2.7)式得
i x p p x x x =-∧
∧ (3.2.8)
从(3.2.8)式可见x p p x x x ∧
∧
≠。

记∧
∧B A 和∧
∧A B 之差为
∧
∧∧∧∧∧-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡A B B A B A , (3.2.9)
称为算符∧
A 、∧
B 的对易关系或对易子。

(3.2.8)式表明，x 与x p ∧
的对易子 i p x x =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∧∧,。

若
算符∧A 和∧B 的对易子为零，则称算符∧A 和∧B 对易。

这时∧A 、∧B 之积∧
∧B A 满足交换律：
∧∧∧∧=A B B A 。

例如，x p ∧
与y 就是相互对易的算符。

利用对易子的定义(3.2.9)式，容易证明，存在下列恒等式：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧∧∧A B B A ,, 0,=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∧∧A A
0,=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∧C A （若C 为常数） ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∧∧∧∧∧∧∧C A B A C B A ,,, ∧
∧∧∧∧∧∧∧∧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C A C A B C B A ,,, (3.2.10) ∧∧∧∧∧∧∧∧∧⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡C B A C A B C B A ,,, 0,,,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡∧∧∧∧∧∧∧∧∧B A C A C B C B A
最后一式称为雅可比恒等式。

作为例子，我们讨论角动量算符∧
∧
⨯=p r L ，它的三个分量分别是
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-∂∂-=-=∧
∧
∧
y z z y i p z p y L y z x
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂
-=-=∧
∧
∧
z x x
z i p x p z L z x y (3. 2.11)
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=-=∧
∧
∧
x y y x i p y p x L x y z 它们和坐标算符的对易子是
0,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧x L x ，z i y L x =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∧,，y i z L x -=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∧, z i x L y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧,，0,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧y L y ，x i z L y =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∧, (3.2.12)
(3.2.12)式可表示为
r x i x L αβγβαε=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∧, (3.2.13) 上式中3,2,1=αβγ表示相应的分量，αβγε称为列维一斯维塔（Levi －Civita ）记号，满足
1123=ε
αγββαγαβγεεε-=-= (3. 2.14)
任意两个相邻下脚标的对换。

αβγε改变正负号。

因此，若任意两个下脚标相同。

则为零。

比如有0121112==εε。

同理.可以证明角动童算符和动量算符的对易子是
r p i p L ∧
∧∧=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ αβγβαε, (3. 2.15) 角动量算符各个分量之间的对易子是
r L i L L ∧∧∧=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ αβγβαε, (3.2.16) (3.2.16)式表明，角动量算符的三个分量x L ∧、y L ∧、z L ∧
之间，彼此互不对易。

(3.2.16)式中不为零的等式也可写成
∧
∧∧=⨯L L L i (3.2.17)
而坐标和动量的对易子(3.2.8)式也可写成
αββαδ i p x =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∧, (3.2.18) 其中
()()
⎪⎩
⎪⎨⎧≠==βαβαδαβ
01 (3.2.19)
（3）算符的乘幂 算符∧
A 的n 次幂定义为
n
n
A A A A ∧
∧∧∧⋅= (3.2.20) 例如，若dx
d A =∧
，则n
n n
dx d A =∧
，算符之乘幂显然满足 ∧∧∧
+⋅=n
m n
m A A A
0=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅∧
∧n m A A 作为例子，考察∧
2
L 。

由
∧∧∧∧++=2222
z
y x L L L L (3.2.21)
显然有
,,,,,,,,222222=++⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧
∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧
∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧z y y z y z z y z
x z x z z y x y x y y x z x y x z y x x L L i L L i L L L L i L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 由于坐标轴z y x ,,的选择本来就是任意的;只须保持右旋坐标系，（z y x ,,）的顺序不变，定义哪个轴是x 轴，哪个轴是y 轴，不影响计算结果。

因此有
0,2=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∧αL L (3.2.22) 即角动量的平方算符与任何一个角动量的分量算符均对易。

事实上，(3.2.13), (3.2.15)和(3.2.16)式中的αβγε，正是表征了上述右旋坐标系的性质。

（4）算符的函数
若()x F 是x 的解析函数，则算符∧
A 的函数⎪⎭
⎫
⎝⎛∧A F 一般可定义为
()
()∧
∞=∧∑
=⎪⎭⎫ ⎝⎛n
n n A n F A F 0!
0 (3.2.23) 例如，算符∧
A 的指数函数的定义是
∑
∞
=∧=∧
!
n n
A n A
e (3.2.24) （5）算符之逆 若算符∧
A 满足
υ=∧
u A
且能从上式中唯一地解出u 来，则定义算符∧
A 的逆算符∧-1
A
为
u A
=∧-υ1
(3 .2.25)
并非所有算符都有逆算符存在。

但若∧-1
A
存在，则必有
∧
∧-∧
∧∧-==I A A A A 1
1
(3.2.26)
0,1=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∧-∧A A
(3.2.26)式中，∧
I 是单位算符。

2.算符的矩阵表示
算符所满足的上述运算规则使我们想起了一种数学工具—矩阵，因为算符运算和矩阵运算完全一样。

为了解算符的矩阵表示，先讨论普通的矢量空间。

(1)矢量空间
以二维矢量空间为例。

选()21,e e 为二维矢量空间中的一组正交标准基，满足
ij j i δ=e e ,
记A 为二维矢量空间中的一个矢量
2211e e A A A +=
()θ∧R 为二维矢量空间中一个转角为θ的转动算符，经()θ∧
R 作用后，矢量A 变为矢量B ，
()A B θ∧
=R (3 .2.27)
或写成
()()22112211e e e e B θθ∧
∧+=+=R A R A B B (3.2.28)
(3.2.28)式中的()()21,e e θ∧
R ，就是将坐标系()21,x x 中的基矢转动θ角后变成新坐标系
()2
1,x x ''中的基矢()21,e e ''，由图3.2.1可见， ()2111
sin cos e e e e θθθ+=='∧
R (
)2122cos sin e e e e θθθ+-=='∧
R (3.2.29) 式中：()111
1cos e e e e θθ∧
⋅='⋅=R 是新基矢1e '在旧坐标系1x 方向的基矢1e 上的投影；()121
2sin e e e e θθ∧
⋅='⋅'=R 是新基态1e '在旧坐标系2x 方向的基矢2e 上的投影。

将(3.2.29)式代入(3.2.28)式，得
θθsin cos 211A A B -=
θθcos sin 212A A B -= (3.2.30)
或写成矩阵形式
(3 .2.31)
因此，算符()θ∧
R 可以用矩阵表示
()⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-=θθθθθcos sin sin cos R (3.2.32) 相应地，新、旧坐标系中基矢的变化也可用矩阵表示为
()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''212121cos sin sin cos e e e e e e θθθ
θθT
R （3.2.33） ()θT R 是()θR 的转置矩阵。

由(3.2.32)及(3.2.33)式，有
I R R T =
即
()()θθ1-=R R T (3.2.34)
()θR 是正交矩阵。

由此得出结论：在矢量空间中的一个转动，或者说一个算符，对应一个矩阵。

这个矩阵的列向量为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθsin cos 2111R R ；⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθcos sin 2212R R
分别由新坐标系中的基矢()11e e θ∧
='R ，()22e e θ∧
='R 在旧坐标中的投影排列而成，是新基矢
在旧基中的表示(3.2.31)和(3.2.33)式亦可写成
∑=j
j ij i A R B (3.2.35)
1e e ∑='j
ij i R (3.2.36)
(2)希尔伯特(Hilbert)空间
现在将上述讨论推广到量子力学。

比较矢量A 在坐标系{}i e 中的公式 ∑=i
i
i A e
A (3.2.37)
和
()()()⎰'-=
'dx x x x x δψψ (3.2.38)
可见，若将()x x '-δ视为基矢i
e ，对x 的积分⎰dx 视为对基矢的求和∑i
，则()x ψ可
视为态基矢()x 'ψ在基矢为()x x '-δ的坐标系中的分量。

与A 的各个分量组成一个列矩阵
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛ 21A A 相似，
()x ψ也对应一个列矩阵。

所不同的，仅在于{}i e 是组分立的基矢，而()x x '-δ是个x 的函数。

{}i A 是个分立的矩阵元为实数的列矩阵，而()x ψ是个连续的无限维的矩阵，而且它的矩阵元可以是复数。

严格说来，以前的所谓波函数()x ψ，实际上是态矢量在以
()x x '-δ为基底的“坐标系”，或称x 表象中的分量或投影。

在这种意义下，任何一个使态
矢量ψ变为另一个态矢量ψ'的算符运算，与()θR 相似均对应一个矩阵。

这个矩阵和原来描述态矢量ψ分量的矩阵()x ψ的乘积，给出新的态矢量ψ'矩阵。

但是这里要注意，由于一般说来，ψ是复数，因此描述ψ的矢量是个复矢量，这个矢量所在的空间，是个复的函数空间。

它的基矢是个函数。

而且空间的维数既可以是有限的，也可以是无限的，对于连续谱的情况，甚至可以是不可数的。

这种函数空间，称为希尔伯特空间。

.
记{}() ,2,1=i i e 为希尔伯特空间中的一组基，则任一态矢量x 在{}i e 中可表示为
∑=
i
i
i x e
x (3.2.39)
以算符∧
O 作用于态矢量x 后得
∑∑∧
∧∧==='i
i i i
i i O x x O O e e x x
∑∑'==
j
j j ij
i
ji i x O
x e e (3.2.40)
即有
∑='i
i ji
j x O
x (3.2.41)
(3.2.40)式可写成矩阵形式，为
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''
21222112112
1
x x O O O O x x (3.2.42)
综合上述，我们得出结论：
（i ）体系的一个量子态，在希尔伯特空间中用一个矢量表示，这个矢量称为态矢量。

（ii ）在希尔伯特空间中给定了一组基矢{}() ,2,1=i i e 后，态矢量可以用它在基矢中
的投影，即用分量表示，从而表示为一个列矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛ 21x x ，即波函数。

在量子力学中，给定了
一组基矢，称为给定了一个表象。

给定表象后，量子态用波函数表示。

（iii ）算符是在希尔伯特空间中从一个矢量到另一个矢量的运算。

给定表象，即给定一组基矢后，一个算符对应一个矩阵，表示为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ 22211211O O O O 其它的矩阵元ij O 由算符占作用后的新基矢j j O e e ∧
='在旧基矢i e 上的投影给出。

（iv ）一般说来，在量子力学中的希尔伯特空间，是复的函数空间。

相互正交的基矢的
数目，既可以是有限的，也可以是无限的。

关于量子态和算符的矩阵表示，我们在下一章讨论表象理论时，还会作更详细的阐述。

§3.3厄米算符的本征值和本征函数
为说明量子力学中能表示力学量的算符的性质，本节将介绍一种具有非常重要性质的算符—厄米算符。

为此，先引进一些定义：
1.希尔伯特空间中矢量的内积
希尔伯特空间中的两个态矢量，在选定基矢后的两个波函数ψ和ϕ的内积为
⎰*=r d ϕψϕψ (3 .3.1)
它具有下述性质：
(i) ⎰≥=02
r d ψψψ。

(3 .3.2)
(ii)
ψϕϕψ= (3 .3.3)
(iii)若1C 、2C 为常数，则有
22112211ϕψϕψϕϕψC C C C +=+ (3. 3 .4)
ϕψϕψϕψψ22112211C C *
*+=+C C (3 .3.4)＇
2.转置算符~∧
O 若算符~∧
O 满足
*∧
*
∧
ψϕ
ϕψO O ~
＝ (3.3.5)
r r d O d O *
∧
∧
*
⎰
⎰=ψϕϕψ~
(3 .3.5)＇
则称~∧O 为转置算符。

转置算符~∧
O 具有下述性质：
(i)转置算符~∧
O 所对应的矩阵为∧
O 的转置矩阵，其矩阵元满足
nm mn O O =~
(3.3.6)
(ii)转置算符的乘积满足
A B AB ~
~= (3.3.7)
因为
()()()∑∑====l
nm l
lm
nl ml mn nm A B A B B A AB AB ~
~~~ln 3.复共轭算符∧
*
O
将算符∧O 中的所有复量均换成它的共辘复量，称为∧
O 的复共轭算符∧
*
O 。

例如算符
x
i p x ∂∂-=∧
的复共轭算符∧
∧*
-=∂∂=x x p x i p 。

4.厄米共轭算符∧+
O 定义厄米共轭算符∧+
O 为
~∧
*∧+
=O O (3.3.8)
有
*
*
∧
*∧
*∧+
=ϕψϕψϕψ~~O O O ＝
ϕψψ
ϕ∧
*
∧
==
O O (3.3.9)
容易看出x p ∧
的厄米共扼算符∧+x
p 就是它自己，∧
∧+=x x
p p ，哈密顿算符的厄米共扼算符
也是它自己，即∧
∧
+
=H H
，厄米共轭算符的乘积满足
∧
+
∧+∧++
∧∧∧=⎪⎭
⎫ ⎝⎛A B C C B A (3.3.10) 5.厄米算符
若∧
∧+
=O O ，则称算符∧
O 为自厄米共扼算符，简称厄米算符。

由(3.3.9)式，按定义，厄
米算符满足
ϕψϕψ∧
∧=O O (3.3.11)
或写成
r r d O d O ϕψϕψ⎰⎰*
∧∧
*
⎪⎭
⎫
⎝⎛= (3.3.12) 厄米算符具有下述性质：
（i ）两厄米算符之和仍为厄米算符.
(ii) 当且仅当两厄米算符∧A 和∧
B 对易时，它们之积才为厄米算符。

因为
∧
∧∧
+
∧
++
∧∧==⎪⎭
⎫ ⎝⎛A B A B B A 只在0,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧B A 时，∧∧∧∧=B A A B ，才有∧∧+
∧∧=⎪⎭
⎫ ⎝⎛B A B A ，即∧
∧B A 仍为厄米算符。

(iii)无论厄米算符∧
A 、∧
B 是否对易，算符⎪⎭⎫ ⎝⎛+∧∧∧∧A B B A 21及⎪⎭
⎫
⎝⎛-∧∧∧∧A B B A i 21必为厄米算
符，因为
∧+∧+∧+∧++
∧∧∧∧+-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛-B A i A B i A B B A i 212121
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∧+∧+∧+∧+A B B A i 21 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∧∧∧∧A B B A i 21
(iV)任何算符总可分解为
∧
-+∧
∧
+=O i O O (3.3.13)
令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∧+∧+∧
O O O 21，⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=∧+∧-∧O O i O 21，则∧+O 和∧-O 均为厄米算符。

在引进厄米算符的定义后，现在进一步讨论厄米算符的本征值和本征函数。

在第二章中
讨论的主要是能量算符的本征值和本征函数，现在把它推广到任意算符。

任意算符∧
F ，若作用于一函数u 后，所得结果等于一常数λ和u 的乘积：
u u F λ=∧
(3.3. 14)
则称λ是∧F 的本征值，u 为∧F 的本征函数，方程(3.3. 14)式是∧
F 的本征方程。

一般说来，本征值入既可以是实数，也可以是复数。

它的个数既可以有限，也可以无限。

本征值既可以分立取值，也可以连续取值。

因此，由全部本征值构成的本征值谱，既可以是连续谱，也可 以是分立谱。

本征值和本征函数除决定于算符乡外，还决定于本征方程满足的边界条件。

对应于一个本征值，既可能只有一个本征函数，也可能有g 个相互独立，彼此线性无关的本征函数。

若对应于本征值λ有g 个本征函数，且不能找到百个常数g C C C ,,21，使等式
0221=+++g g u C u C u C
成立，则称本征值λ简并，简并度为g 。

现在证明，厄米算符的平均值、本征值、本征函数等具有下述重要性质： ①厄米算符的平均值是实数，因为
**
∧**
∧∧
*
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰O d O d O d O O r r r ψψψψψψ (3. 3.15)
②在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。

证：*
=O 得
ψψψψψψ∧
*
∧
∧=O O O ＝ (3. 3.16)
但由(3.3. 16)式不足以说明算符∧O 厄米，因为ψ是同一个态。

要证明∧
O 厄米，必须按厄米算
符的定义，证明2121ψψψψ∧
∧
O O ＝成立。

而且1ψ、2ψ为两个任意的波函数。

为此，
令21ψψψ＋＝，利用算符∧
O 在任何状态，包括ψ态的平均值为实数，即由(3.3. 16)式得
()()()()
21212121ψψψψψψψψ＋＋＝＋＋∧
∧O O (3. 3. 17)
又因∧
O 在1ψ、2ψ态中的平均值也是实数，因此(3.3.17)式可改写为
12211221ψψψψψψψψ∧
∧∧∧O O O O ＋＝＋ (3.3.18)
对1ψ和2ψ作变换，令
ib
ia
e e 2211,ψψψψ→→ (a 、b 为任意实数)
代入(3.3.18)式后得
()[]()[]
1
2122121ˆˆˆˆψψψψψψψψO O e O O e a b i a b i -=--- (3.3.19) 因为a,b 任意，(3.3.19)式成立的充要条件为
2121ψψψψ∧
∧O O ＝
1212ψψψψ∧
∧
O O ＝
因此，∧
O 必为厄米算符。

得证。

由于力学量的观测值应为实数，而一般地，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态
下的平均值，由性质①、②得。

量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必为厄米算符。

另外，在量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。

综合上述，我们得出结论:在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。

③厄米算符的本征值为实数。

厄米算符在本征态中的平均值就等于本征值。

由本征方程λψψ＝∧
O 得
λψψλψψ===⎰
⎰
*
∧
*
r r d d O O (3.3.20)
因此，利用性质①，②得λ必为实数。

④厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。

证： n n n O O ψψ＝∧
m m m O O ψψ＝∧
且()n m O O n m ≠≠，因为∧
O 是厄米算符，它的本征值是实数，*
≠m m O O 。

本征方程的共
扼方程为
***=m
m m O O ψψˆ 由
n m m n m O O ψψψψ＝∧
及∧
O 的厄米性质， n m n m O O ψψψψ∧
∧
＝及
n
m n n m O O ψψψψ＝ˆ 得
()0=-n
m n m O O ψψ
又因n m O O ≠
0=n m ψψ (3.3.21)
得证。

若本征函数是归一化的，则有
()
()
⎩⎨⎧≠===n m n m mn
n m 0
1δψψ (3.3.22)
厄米算符属于不同本征值的本征函数正交归一。

⑤厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化。

假定本征值n O 有g 度简并
()g i O O ni
n ni ,,2,1ˆ ==ψψ (3.3.23)
由于ni ψ和j n ψ对应同一个n O ，前面的证明不适用。

这些简并的本征函数并不相互正交。

但我们总可以把g 个本征函数汽()g i ni ,,2,1 =ψ重新线性组合为个另外g 个新的函数
()g i a g
i ni
ij nj ,,2,11
==∑=ψψ (3.3.24)
使得这些新函数、相互正交。

的确，nj υ的正交归一条件
()g j j d a a d g
i g
i j j i n ni i j ji j n nj
,,2,1,11 ='==∑∑⎰⎰==''
'*
''*'*δψψυυr r (3.3.25)
中，归一化条件，j j '=有g 个，正交条件j j '≠有
()2
1-g g 个，共有()()2121+=
-+g g g g g 个。

但待定系数ji a 有2g 个。

当1 g 时，()2
12
+g g g ，待定系数ji a 的数目大于ji a 所应满足的方程的数目。

因此可以有许多种方法选择ji a ，使简并的本征函数正交归一化。

综合性质③，④得出结论:无论是否简并，厄米算符的本征函数系正交归一。

⑥厄米算符的本征函数系具有完备性。

设(){
}x n ψ是某一厄米算符的本征函数系，n 取值既可以是连续的，也可以是分立的。

可以证明，任何与(){
}x n ψ满足同徉边界条件且在同样区域内定义的波函数价()x ψ，都可按(){
}x n ψ展开。

由于厄米算符的本征函数系具有正交、归一和完备性，因此可以用它作为一组基矢，以构成希尔伯特空间。

任何在这个空间中定义的波函数，都可按(){
}x n ψ展开，得
()()∑=n
n n x C x ψψ (3.3.26)
若本征值，连续，(3.3.26)式改为
()()dn x C x n n ⎰=ψψ (3.3 .27)
n 的取值部分连续，部分分立，则()x ψ可表示为(3.3.26)及（3.3.27)式的叠加。

叠加系数可
由(){
}x n ψ的正交归一性给出。

以()x m *
ψ乘(3.3.26)式的两端并对变数的整个区域作积分后，得
()()()()∑∑⎰⎰====n
m mn m mn n n
n m n m C C C dx x x C dx x x δδψψψψ*
* (3.3.28)
本书不拟对厄米算符的本征数系的完备性作严格的证明，有兴趣的读者可参阅有关专著。

⑦厄米算符的本征函数系具有封闭性。

取(){
}x n ψ为某一厄米算符的本征函数系。

由(){}x n ψ的完备性，利用(3.3.26)及(3.3.28)式得
()()()()[]
()x x d x x x C x n n
n
n
n n ψψψψψ∑⎰∑'''==*
()()()x d x x x n n n '⎥⎦
⎤⎢⎣⎡''=∑⎰ψψψ*
(3.3.29)
因为()x ψ是任意函数，因此当且仅当
()()()x x x x n
n
n
'-='∑δψψ*
(3.3.30)
(3.3.29)式才能成立。

公式(3.3.30)表示本征函数系具有封闭性。

当本征值为连续谱时，(3.3.30)式可改为
()()()x x d x x '-='⎰δλψψλλ* (3.3.30)′
若本征值既有分立潜，又有连续谱，则封闭性表示为
()()()()()x x d x x x x n
n
n
'-=''⎰∑δλψψψψλλ*
*
＋ (3.3.30)″
厄米算符本征函数系的封闭性在实际运算中是非常重要的。

在量子力学、量子统计乃至量子场论的实际运算过程中经常要插入“中间态”进行运算，就是利用{3. 3.30)式。

§3.4连续谱本征函数
鉴于厄米算符的本征函数系具有正交、归一、完备、封闭等极命重要的性质，可以用它作为希尔伯特空间的基矢;而且在量子力学中，可观测量对应线性厄米算符，因此在本节中我们将先罗列一些线性厄米算符的本征函数系，然后再讨论若本征函数为连续谱本征函数时，如何进行归一化。

1.线性厄米算符的本征函数示例
(1)坐标算符x
ˆ
由本征方程
()()x x x x x x
'-'='-δδˆ (3.4.1) 可知算符x
ˆ在自身表象中的本征函数是()x x '-δ。

而了连续取值，是连续谱的本征函数。

(2)动量算符x
i p
x ∂∂-= ˆ 由本征方程
x x x ip x x ip e p e x
i
=∂∂- (3.4.2) 可知在以x
ˆ的本征函数为基矢的x ˆ表象中，算符x p ˆ的本征函数是平面波
x ip x e ，本征值x
p 也连续取值。

(3)角动量()∇-⨯=⨯= i r p r L
ˆˆˆˆ 引入球坐标
θ
ϕθϕ
θcos cos sin cos sin r z r y r x === 对角动量算符作坐标变换，得出在球坐标中的角动量算符是
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=ϕϕθθϕϕϕθθϕsin cot cos ˆcos cot sin ˆ i L i L y x (3.4.3)
()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-=++=∂∂-=22
22
222
2
sin 1sin sin 1ˆˆˆˆˆϕθθθθϕ
z
y
x
z
L L L L i L (3.4.4)
相应的本征方程是
ϕπ
im m
m m z e m L 21,ˆ=ΦΦ=Φ (3.4.5)
或
()()ϕθϕθ,,ˆlm
lm z Y m Y L = (3.4. 6) 而2
ˆL
的本征方程是 ()()()ϕθϕθ,1,ˆ22lm
lm Y l l Y L += (3.4.7) 2ˆL 与z L ˆ有共同的本征函数()ϕθ,lm Y ，球谐函数()ϕθ,lm
Y 是正交归一的，相应的本征值
()21 +l l 和 m 为分立谱。

问题1求x
L ˆ和y L ˆ的本征函数和相应的本征值。

（4)动能算符
在直角坐标系中，动能算符表示为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∇-==2222222222222ˆˆz y x m m m p T (3.4.8) 它的本征函数是平面波。

在球坐标中，动能算符为
mr L
m p r r r mr T
r 2ˆ2ˆsin 1sin sin 12ˆ2222222
2
+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂∂∂-=ϕθθθθθ (3.4.9) 其中⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂-=r r r r p r
2222ˆ ，2ˆr p
是动量算符的径向分量。

2.连续谱本征函数的归一化 (1))无穷空间的归一化
以平面波为例。

x p
ˆ的本征函数()
x ip p x x e x ⋅=πψ21不能用普通的方法归一化，因为
它的模不是平方可积的，
()
()()⎰⎰
∞
∞
-∞
∞
-*∞→=dx x dx x x x
x
x
p p p 2
ψψψ 不能使它归一化为1。

在数学上，它只能归一化为δ函数。

利用公式
()()⎰
∞
∞
-'-=
-'dk e x x x x ik π
δ21
(3.4.10)
得
()()x x x p p i p p p p dx e x x x
x
'-''==
⎰∞∞-'-'''''δπψψ
21 (3.4.11) 事实上，()x x p ψ的系数()
2
12 π就是通过归一化为δ函数得来的。

同样，x
ˆ的本征函数()x x '-δ也可以用同样的方式归一化。

x
ˆ的本征函数()()x x x x '-='δψ满足 ()()()x x dx x x x x x x ''-'=-''-'=⎰'''δδδψψ (3.4.12)
事实上，凡连续谱的本征函数都可用δ函数的方式归一化。

(2)箱归一化
如果我们仍然要求按通常的方式对动量本征函数归一化，即仍然要归一化为1而不是δ函数，就必须放弃无穷空同的积分，采用箱归一化的方法。

先以一维情况为例。

设一维平面波只能在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2L L －的区间中运动，且满足周期性边界条件：波函数在2L －和2
L
处的数值相同
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫
⎝⎛22L L ψψ－ (3 .4.13) 则这时的本征值二将分立，且相应的本征函数可按通常的方式归一化。

事实上，对于厄米算
符，周期性边界条件是最自然的边界条件。

比如，由x p
ˆ的厄米性，有 dx x i dx x i dx x i L L L L L L ψϕψϕψϕ⎰⎰⎰-*
*
--*
∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂22222
2 即
()
22222
20L L L L L L L L i
dx x i dx
x i dx x
i -*-*
-*
-*
⎰⎰⎰=∂∂=∂∂+∂∂
=ψϕψϕψϕψϕ 得
C L L L L =⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪
⎭⎫ ⎝⎛****2222ϕϕϕϕ (3.4.14)
其中C 为常数，由于ϕ和ψ任意，因此(3.4.14)式只能是个常数。

考虑到波函数本身可以差个常数因子，不失普遍性，可将(3.4. 14)式中的常数选为1，这就是周期性的边界条件(3.4. 13)
式。

利用(3.4.13)式及()
x ip p x x e
x =ψ得
22L ip L ip x x e
e -=
1=
x ip x e
即
()
,1,02±==n n L
p x π
L
n L n p x
=
=
π2 (3.4.15) 因此x p
ˆ分立取值，构成分立谱。

取分立谱时的平面波为 ()L nx i p e L
x n
πψ21=
(3.4.16)
它的正交归一条件是
mn p L L pn dx m
δψϕ=⎰
-*2
2
(3.4.17)
显然，若∞→L ，即箱的体积为无穷大时，由(3.4.15)式可知，
()01→=-+=
∆L
h L
n L
n p x ，本征谱变成连续谱，回到无穷空间归一化的情况。

在从分
立谱过渡到连续谱时，存在如下对应关系：
x dp L
h
→ (3.4.18) ∑⎰+∞-∞=∞
∞-→n x dp h
L 11 (3.4.19) 易将上述结果推广到三维情况。

取体积3
L V =，则箱归一化后的波函数为
()h i p e V
r p ⋅=
1ψ (3.4.20)
() ,1,0,,,,±====
z y
x
z z y y x x n n
n n L
h
p n L h p n L h p (3.4.21)
p d L h →3
3
(3.4.22) ()⎰
⎰
∑∑∞
∞
-∞
∞
-∞
-∞
=∞
-∞==
→=p p d d h V L z y x z y x n n n n n n 3
3,,,,3
21
111 π (3.4.23)
从(3.4.23)式可见，每个量子态在以粒子的动量、坐标为基底的相空间(称为μ空间)中对应3
h 体积元。

这正是量子统计中熟知的结果。

三维情况下，箱归一化的正交归一条件是
z z y y x x p p p p p p L L p p L L L L dz dy dx '''=⎰
⎰
⎰
-'--δδδψψ2
2
2
2
2
(3.4.24)
其中p 及p '按(3.4.21)式的分立方式取值。

在连续谱情况下，正交归一条件是
()r r p r r p '-=⎰⎰⎰
'-δd e h i )(3
1
(3.4.25) §3.5量子力学中力学量的测量值
在量子力学中，力学鱼的测量是个比较复杂的问题。

它不仅涉及物理学，而且涉及哲学。

本
节只讨论侧量过程中的物理学间题。

I.力学11有确定值的条件
记与某一力学量F 相应的算符为F 。

按§3.3，F
必为线性厄米算符.现在问，是否在任何一个状态ψ中，测量力学量F 都有确定值?为回答这个问题，先看一个特例。

例如在平面波所描述的状态中，测量动量p ，必有确定值，因为平面波具有确定的动量。

但若测量坐标
r 则必无确定值，因为在平面波描述的状态中，粒子出现在空间各点的几率相同。

因此显然
不可能在任何状态中，测量任何力学量都同时具有确定的值。

问题的关健在于，找出测量特定约力学量F ，使它能有确定值的状态。

为此，先给“确定值”以严格的定义。

在量子力学中，在某一状态ψ中测量力学量F 具有确定值的充要条件是在该状态中力学量F 的平方平均偏差为零.即
()02
>=∆<F （3.5.1）
()
()
()
⎰><->=>
<->=<∆<*
r F F F F F d 2
2
2
ψψ
由于F 厄米，F 的平均值><F 是个数，因此-F ><F 也必厄米，利用-F
><F
厄米的条件可将上式写成
()(
)[](
)
⎰
><-><->=∆<*
r F F F F F d 2
ψψ
(
)
0d 2
≥><-=
⎰r F F ψ （3.5.2）
于是得出：()
02
>=∆<F 的充要条件是()
0=><-ψF F
，即
ψψ>=<F F
(3.5.3)
由此得出结论：当且仅当ψ是力学量F 的本征态时，在F 的本征态ψ中测量F
才有确定值。

而且这个确定值，就是F 在这个态的平均值.(3-5.3)式实际上就是F 的本征方程，F
在态ψ的平均值><F 等于它的本征值。

正因为F
相应于态ψ的本征值就是它的平均值，也是它的实验测量得到的准确值，因此本征值和平均值都必须是实数。

若1ψ和2ψ是属于ψ同一本征值的两个不同的简并态，则显然在它们的线性组合给出
的态2211ψψψC C +=中测量F ，
也有确定值。

而且这个确定值就是它的本征值，也等于F
在ψ态中的平均值.
问题1 若1ψ和2ψ:是属于F
两不同本征值的本征态，在2211ψψψC C +=（2
1C C ，是常数）中测量F
，结果如何?
2.在非F 的本征态中测量F 设F
所满足的本征方程为
n n n F F ψψ=
(3.5.4)
现在在一个非F 的本征态φ中测量F 。

因为线性厄米算府F
的本征函数系{
}n ψ正交归。