2020版数学人教A版必修5课件：第二章 章末复习

第二章数列章末复习学习目标XUEXIMUBIAO1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握解决等差数列、等比数列问题的基本技能.3.依托等差数列、等比数列解决一般数列的常见通项、求和等问题.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究达标检测1知识梳理PART ONE1.等差数列和等比数列的基本概念与公式等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)递推公式a n＋1－a n＝d＝q中项由三个数a，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时A 叫做a 与b 的等差中项，并且A ＝如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝通项公式a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1q n －1前n 项和公式S n ＝ ＝na 1＋当q ≠1时，S n ＝ ＝，当q ＝1时，S n ＝na 1性质a m ，a n 的关系a m －a n ＝(m －n )d ＝q m －n m ，n ，s ，t ∈N *，m ＋n ＝s ＋t a m ＋a n ＝a s ＋a t a m a n ＝a s a t{k n}是等差数列，且k n ∈N *是等差数列 是等比数列n ＝2k －1，k ∈N *S 2k －1＝(2k －1)·a k a 1a 2·…·a 2k －1＝{}nk a {}n k a判断方法利用定义a n＋1－a n是同一常数是同一常数利用中项a n＋a n＋2＝2a n＋1 a n a n＋2＝利用通项公式a n＝pn＋q，其中p，q为常数a n＝ab n(a≠0，b≠0)利用前n项和公式S n＝an2＋bn (a，b为常数)S n＝A(q n－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或S n＝np(p为非零常数)2.数列中的基本方法和思想(1)在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法；(2)在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法.(3)等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想.(4)在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想.2题型探究PART TWO题型一　方程思想求解数列问题例1　等差数列{a n}各项为正整数，a1＝3，前n项和为S n，等比数列{b n}中，b1{}n a b＝1且b2S2＝64，是公比为64的等比数列，求{a n}，{b n}的通项公式.解　设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正整数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有1116122642,(6)64,n n n n a a d a a b q q b q b S q d ++--⎧====⎪⎨⎪=+=⎩①②由q (6＋d )＝64知q 为正有理数，又由 知d 为6的因子1,2,3,6之一，解①②得d ＝2，q ＝8，62dq =故a n ＝2n ＋1，b n ＝8n －1.反思感悟　在等比数列和等差数列中，通项公式a n和前n项和公式S n共涉及五个量：a1，a n，n，q(d)，S n，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，a n，n，q(d)，S n的方程组，通过方程的思想解出需要的量.跟踪训练1　记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求S n.解　设数列{a n}的公差为d，题型二　转化与化归思想求解数列问题例2　在数列{a n}中，S n＋1＝4a n＋2，a1＝1.(1) 设c n＝，求证：数列{c n}是等差数列；证明　∵S n＋1＝4a n＋2，①∴当n≥2，n∈N*时，S n＝4a n－1＋2.②①－②得a n＋1＝4a n－4a n－1.对a n＋1＝4a n－4a n－1两边同除以2n＋1，得即c n＋1＋c n－1＝2c n，∴数列{c n}是等差数列.由S n＋1＝4a n＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，则a2＝3a1＋2＝5，(2) 求数列{a n}的通项公式及前n项和的公式.设S n＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n－1)·2n－2，则2S n＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n－1)·2n－1，∴S n＝2S n－S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n－2)＋(3n－1)·2n－1＝－1＋3＋(3n－4)·2n－1＝2＋(3n－4)·2n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝(3n－1)·2n－2，n∈N*，反思感悟　由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出.跟踪训练2　设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*).(1)求a2，a3的值；解　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2)求证：数列{S n＋2}是等比数列.证明　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)S n－1＋2(n－1).②①－②得na n＝(n－1)S n－(n－2)S n－1＋2＝n(S n－S n－1)－S n＋2S n－1＋2＝na n－S n＋2S n－1＋2.∴－S n＋2S n－1＋2＝0，即S n＝2S n－1＋2，∴S n＋2＝2(S n－1＋2).∵S1＋2＝4≠0，∴S n－1＋2≠0，故{S n＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列.题型三　函数思想求解数列问题多维探究命题角度1　借助函数性质解数列问题例3　一个等差数列{a n}中，3a8＝5a13，a1>0.若S n为{a n}的前n项和，则S1，S2，…，S n中没有最大值？请说明理由.解　因为此等差数列不是常数列，所以其前n项和S n是关于n的二次函数，我们可以利用配方法，结合二次函数的性质求解.设{a n}的首项为a1，公差为d，故n＝20时，S n最大，即前20项之和最大.反思感悟　数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题.值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响.跟踪训练3　已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n－2 019，问这个数列前多少项的和最小？解　设a n＝2n－2 019，对应的函数为y＝2x－2 019，因此，数列{a n}为单调递增数列，a1 009<0，a1 010>0，故当1≤n≤1 009时，a n<0；当n>1 009时，a n>0.∴数列{a n}中前1 009项的和最小.命题角度2　以函数为载体给出数列(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令T n＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2n a2n＋1，求T n.解　T n＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2n a2n＋1＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)反思感悟　以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题.跟踪训练4　设y＝f(x)是一次函数，f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，2n2＋3n则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝ .解析　设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f(0)＝1，则b＝1，所以f(x)＝kx＋1(k≠0).又[f(4)]2＝f(1)f(13)，所以(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，解得k＝2.所以f(x)＝2x＋1，则f(2n)＝4n＋1.所以{f(2n)}是公差为4的等差数列.3达标检测PART THREE1.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于√A.6B.7C.8D.9解析　设等差数列{a n}的公差为d，∵a4＋a6＝－6，∴a5＝－3，故当等差数列{a n}的前n项和S n取得最小值时，n等于6.2.数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为√A.2100－101B.299－101C.2100－99D.299－99所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)3.等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝ .5解析　log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a54.已知数列{a n}的通项公式为a n＝，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由.当n<8时，a n＋1－a n>0，即a n＋1>a n；当n＝8时，a n＋1－a n＝0，即a n＋1＝a n；当n>8时，a n＋1－a n<0，即a n＋1<a n.则a1<a2<a3<…<a8＝a9>a10>a11>…，故数列{a n}有最大项，为第8项和第9项，课堂小结KETANGXIAOJIE1.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题.2.数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.3.在求通项求和的基础上，可以借助不等式、单调性等研究数列的最值、取值范围、存在性问题.。