人教版初中初二八年级数学上册 13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 精品导学案

第十三章轴对称
13．3 等腰三角形
13．3．2 等边三角形
第2课时含30°角的直角三角形的性质学习目标：1．探索含30°角的直角三角形的性质．
2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．重点：含30°角的直角三角形的性质．
难点：运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．
知识链接
1．等边三角形的性质有哪些？
2．如何判定一个三角形是等边三角形？
一、要点探究
探究点：含30°角的直角三角形的性质
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD，
△BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形．再
由AC△BD，可得BC=CD=1
2 AB．
要点归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的．
想一想：你还能用其他方法证明吗？
已知：如图，在Rt△ABC中，△C =90°，△A =30°．
求证：BC =1
2
AB．
自主学习
课堂探究
教学备注学生在课前完成自主学习部分
1．问题引入（见幻灯片3-4）
2．探究点新知讲授（见幻灯片5-19）
要点归纳：
含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
应用格式：△在Rt△ABC中，△C =90°，△A =30°，
△BC =1
2 AB．
判断下列说法是否正确：
（1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一
半．
（2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半．
（3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半．
（4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
典例精析
例1：如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，△B＝30°，CD是斜
边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是()
A．3 cm B．6 cm
C．9 cm D．12 cm
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
例2：如图，△AOP＝△BOP＝15°，PC△OA交OB于C，PD△OA于D，若PC＝3，
则PD等于()
A．3B．2
C．1.5D．1
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻
找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
例3：如图，在△ABC中，△C＝90°，AD是△BAC的平分线，过点D作DE△AB，DE
恰好是△ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
教学备注
A ．6米
B ．9米
C ．12米
D ．15米
第1
题图第2题图
2．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知△A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( ) A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元
3．如图，在△ABC中，△ACB =90°，CD是高，△A =30°，AB =4．则BD =．
第3题图第5题图
4．在△ABC中，△A∶△B∶△C=1∶2∶3，若AB=10，则BC =．
5．如图，Rt△ABC中，△C= 90°，△A= 30°，AB+BC=12 cm，则AB=______．6．在△ABC中，△C=90°，△B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，△BAC=120°，D是BC的中点，DE△AB于E点，求证：BE=3EA．
拓展提升：
8．如图，已知△ABC是等边三角形，D，E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ△AD于点Q，求证：BP=2PQ．
D
A
C
E
B
参考答案
自主学习
一、知识链接
1．等边三角形的三条边相等，三个角相等，且都是60°．
2．三条边相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形．
课堂探究
二、要点探究
探究点：含30°角的直角三角形的性质
要点归纳一半
想一想：证法1：证明：在△ABC中，∵∠ACB =90°，∠BAC =30°，∴∠B =60°．延长BC到D，使BD =AB，连接AD，则△ABD是等边三角形．
又∵AC⊥BD，∴BC =1
2
BD．∴BC =
1
2
AB．
证法2：证明：在BA上截取BE=BC，连接EC．
△△B=90°-△A= 60°，BE=BC，△△BCE是等边三角形，
△△BEC= 60°，BE=EC=BC．
△△A= 30°，△△ECA=△BEC－△A=60°－30°=30°．
△AE=EC=BE=BC，△AB=AE+BE=2BC．
判断下列说法是否正确（1）×（2）×（3）×（4）√
例1 D 解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°-∠A=∠B＝30°．在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm．故选D．
例2 C 解析：过点P作PE⊥OB于E．∵PC∥OA，∴∠PCE＝∠AOB＝∠BOP＋∠AOP ＝30°．又∵PC＝3，∴PE＝1.5．∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5．故选C．
例3 解：CD =1
2
DB．理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°．
△DE是△ADB的平分线，△△ADE＝△BDE．
又△DE＝DE，△△AED△△BED(ASA)，△AD＝BD，△DAE＝△B．△AD是△BAC的平分线，△△BAD＝△CAD＝△B．
△△BAD＋△CAD＋△B＝90°，△△B＝△BAD＝△CAD＝30°．
在Rt△ACD中，△△CAD＝30°，△CD＝1
2
AD＝
1
2
BD，即CD＝
1
2
DB．
例4 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，
∴BC=1
2
AB，DE=
1
2
AD．∴BC=
1
2
AB=
1
2
×7.4=3.7(m)．
又AD=1
2
AB，∴DE=
1
2
AD=
1
2
×3.7=1.85(m)．
答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m．
例5 解：过C作CD△BA，交BA的延长线于点D．
△△B=△ACB=15° (已知)，△△DAC= △B+ △ACB= 15°+15°=30°，
△CD=1
2
AC=
1
2
×20=10．。