北京市2021-2022年高一上学期第一次月考数学试题

上学期第一次月考试题
高一数学（文理）
一、选择题（共60 分，每小题 5分）
1. 在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形；③方程的实数解”中，能够表示成集合的是
A. ②
B. ③
C. ②③
D. ①②③
【答案】C
【解析】高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.
2. 若，则；
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】并集是两个集合所有元素组成，故.
【点睛】
............
3. 若，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意得，故。

4. 下列四个函数：①，②，③，④，其中定义域与值
域相同的是（）
A. ①② B ①②④ C. ②③ D. ①③④
【答案】B
【解析】①②的定义域和值域都为；③的定义域为，值域为；④的定义域和值域都为.
5. 设集合A和集合B都是实数集R，映射是把集合中的元素映射到集合中的元素
，则在映射下，B中的元素2在A中所对应的元素组成的集合是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，解得，故选.
6. 已知，若，则的值是（）
A B或 C D或
【答案】D
【解析】时，，时，，当
时，舍去.故选,
7. 已知全集，，，则
集合( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意,，故.
8. 已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是( )
A. 减函数且f(0)＜0
B. 增函数且f(0)＜0
C. 减函数且f(0)＞0
D. 增函数且f(0)＞0
【答案】A
【解析】∵y＝ax和y＝－在(0，＋∞)都是减函数，∴a＜0，b＜0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a＜0，故选A
9. 已知函数在(0,2)上是增函数,函数是偶函数,则( )
A. <
B. <
C. <<
D. <<
【答案】C
【解析】因为函数上是增函数，函数是偶函数，那么f(x)关于直线x=2对称，所以,选D
10. 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时
的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为
( )
A. 36万件
B. 18万件
C. 22万件
D. 9万件
【答案】B
【解析】利润函数为二次函数，对称轴为，开口向下，故当时取得最大值.
【点睛】
本题主要考查了应用问题求最优解.在现实生活中很多时候需要求利润的最大值，这个时候需要我们先阅读理解清楚题意，将利润的表达式求解出来.利润等于售价减去成本.在求出利润函数的表达式后，根据表达式的结构来选择求最优解的方法.本题由于函数为二次函数，故利用对称轴来求得最大值.
11. 若和都是奇函数，且在(0，＋∞)上有最大值8，则
在 (－∞，0)上有 ( )
A. 最小值－8
B. 最大值－8
C. 最小值－6
D. 最小值－4
【答案】D
【解析】试题分析：根据题意有f（x）＋g（x）在（0，＋∞）上有最大值6，又因为f（x）和g（x）都是奇函数，所以f（x）＋g（x）在（－∞，0）上有最小值-6，则F（x）在（－∞，0）上也有最小值-6+2=-4，故正确选项为D．
考点：基函数的性质．
12. 符号表示不超过的最大整数，如，定义函数．给
出下列四个结论：①函数的定义域是R，值域为[0,1]；②方程有无数个解;③函数是增函数．其中正确结论的序号有（）
A. ①③
B. ③
C. ②
D. ②③
【答案】C
【解析】若，则，不符合题意，故①错误.由于
，故函数不是增函数，③错误.，故选. 【点睛】
本题主要考查新定义函数性质的判断.是一个常见的新定义的形式，按照新定义，符号
表示不超过的最大整数，由此可以得到函数的性质.又定义函数，当时，表示的小数部分.由于①③是错误的，利用排除法，可以选出选项.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效）
13. 如果集合A＝{x|ax2－2x－1＝0}只有一个元素则a的值是_____________
【答案】0或－1
【解析】当时，符合题意；当时，一元二次方程判别式
.
14. U＝{1,2}，A＝{x|x2＋px＋q＝0}，∁U A＝{1}，则p＋q＝________.
【答案】0
【解析】由于，故，故
，所以.
15. 设是定义在R上的偶函数，若在[0,+∞）上是增函数，且，则不等式
的解集为___________________．
【答案】
【解析】试题分析：由题意，，解得，故答案为：
.
考点：单调性与奇偶性的应用.
16. 已知函数是R上的奇函数，且为偶函数，若，则____. 【答案】1
【解析】奇函数图像关于原点对称，且是偶函数，则关于直线对称.由此可知，函数是周期函数，周期为，故. 【点睛】
本题主要考察函数的奇偶性，考查函数图像变换，考查函数对称性与周期性.已知一个函数是奇函数，则其图像关于原点对称，且当函数在原点有定义时，有.函数与函数的图像关系是函数图像整体向左平移个单位，得到的图像.
三、解答题：(共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤).
17. 设函数, 求的值
【答案】2021
【解析】试题分析：复合函数求值从内部函数求起，故先计算，然后计算
，然后计算，将代入得到最终结果. 试题解析：，故
.
18. 已知集合A=，B=，若B A，求实数m的取值范围。

【答案】m≤3
【解析】试题分析：本题已知集合是集合的子集，所以首先考虑集合为空集的情况，对于区间来说，要取得空集，则需左端点大于右端点.当不是空集时，利用子集列出不等式，由此求得实数的取值范围.
试题解析：当时，满足，此时，即.当时，根据
有，即.综上.
19. 用函数的单调性的定义证明函数在上是增函数.
【答案】见解析
【解析】试题分析：本题考查函数单调性的证明.首先在定义域上任取两个，然后计算，由此判断出函数为区间上为增函数.
试题解析：令，且，
，由于，，所以，；故，所以函数在区间上为增函数.
20. 已知二次函数的最小值为1，且。

（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调
．．．，求实数的取值范围；
（3）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围。

【答案】（1）（2）（3）
【解析】试题分析：（1）题目所给函数为二次函数，首先根据两个相同函数值对应的求出对称轴为，所以，函数的顶点为，由此设出二次函数的顶点式，代入可求得函数的表达式.（2）要在某个区间上不单调，则这个区间包括对称轴，故，由此求得的取值范围.（3）将图像在直线下方表示为不等式，化简得，其对应二次函数对称轴为，故在上为减函数，最小值，解得.
试题解析：
解：（1）由已知，设，
由，得，故
（2）要使函数不单调，则，则
（3）由已知，即，化简得
设，则只要，
而，得
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数的解析式.考查二次函数单调性的有关问题.考查不等式的求解.已知条件给了二次函数的最小值和两个相等的函数值，由此可求得二次函数顶点坐标，故可设函数的顶点式，代入一个点求得函数的表达式.二次函数单调性主要由对称轴来判断. 21. 已知函数为定义域在上的增函数，且满足，
（1）求，的值；
（2）如果，求x的取值范围.
【答案】（1）0,2（2）
【解析】试题分析：（1）令，可得，再令，得；（2）原不等式即，由（1）知，原不等式即，由单调性得求得不等式的解集即可.
试题解析：
（1）∵，∴令，则，即，
令，则.
（2），即，即，即
，
∵函数为定义域在上的增函数，
∴即∴，
故的取值范围是.
考点：1、抽象函数及其应用；2、函数的基本性质.
【方法点睛】（1）通过赋值求，的值；（2）借助抽象函数的性质将问题转化为具体的不等式求解. 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数.解决抽象函数问题时，常可采用赋值法、借助模型函数分析法、直接推证法和数形结合法，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，本题考查函数的单调性的应用，注意函数的定义域，考查不等式的解法，属于中档题.
22. 若非零函数对任意实数均有，且当时，；（1）求证：
（2）求证：为减函数
（3）当时，解不等式
【答案】（1）见解析（2）见解析(3)
【解析】试题分析：（1）根据题目条件并结合反证法，即可证明所需结论；（2）根据题目条
件并结合函数单调性的定义，即可证明结论；（3）根据（1）的结论先求出，再利用（2）的结论即可求得不等式的解集.
试题解析：（1）
又若, 则与已知矛盾，
故
（2）设则又为非零函数
, 为减函数分
（3）由
原不等式转化为，结合（2）得：
故不等式的解集为；
考点：（1）抽象函数的单调性；2、解关于抽象函数的不等式.。