2019年上海高中数学·第三轮复习讲义 第03讲 基本函数

第03讲 基本函数
一、考点剖析：
1．九个基本函数必须熟练掌握：强调函数图象和性质．．．．．．．．．
正比例函数， 反比例函数， 一次函数， 二次函数， 幂、指、对函数， 三角函数，反三角函数。

2．反函数：当且仅当函数是一一对应函数时才具有反函数。

① 求反函数的步骤掌握了吗？
ⅰ．解方程，用y 表示x ；ⅱ．交换x 与y ，写成反函数的形式； ⅲ．注明反函数的定义域。

② 你还记得反函数的四个性质吗？
ⅰ．互换性；； ⅱ．对称性； ⅲ．单调一致性； ⅳ ．还原性。

例1 函数()x f y =过点()1,1，则()x f -4的反函数的图象一定经过点
③ 若原函数()y f x =在定义域上单调，则一定存在反函数；但一个函数存在反函数，则此函数不一定单调。

你能写出一个具体的函数吗？
例如：分段函数：()⎪⎩
⎪⎨⎧<+-≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=010121x x x x f x
或()x x f 1=等。

3．函数的要素：定义域、值域、对应法则
① 定义域：
ⅰ．给出函数解析式，求函数的定义域（即求使函数解析式有意义的x 的范围）
(1) 0)()]([0≠⇒=x f x f y ； (2) 0)()()
(≠⇒=x Q y x Q x P ； (3) 0)()(2≥⇒=x P x P y n ； (4)0)(,1)(,0)(log )()(>≠>⇒=x Q x P x P y x Q x P ； (5) Z k k x P x P tg y ∈+≠⇒=,2)()]([π
π； (6)Z k k x P x P ctg y ∈≠⇒=,)()]([π；
(7) 1)(1)](arcsin[≤≤-⇒=x P x P y ； (8) 1)(1)](arccos[≤≤-⇒=x P x P y ；
ⅱ．使实际问题有意义的自变量的范围。

ⅲ．求复合函数的定义域：
若()x f 的定义域为[]b a ,，则()[]x g f 的定义域由不等式()b x g a ≤≤解出；
若()[]x g f 的定义域为[]b a ,，则()x f 的定义域相当于[]b a x ,∈时()x g 的值域；
例2 函数)
3lg()4()(--=x x x x f 的定义域为 例3 若函数()x f y =的定义域为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡2,2
1，则函数()x f 2log 的定义域为 例4 若函数()
12+x f 的定义域为[)1,2-，则函数()x f 的定义域为
② 值域：函数的值域（或最值）有哪几种常用解题方法？
ⅰ．二次函数型或可化为二次函数型；ⅱ．单调性；ⅲ．基本不等式； ⅳ．换元法；ⅴ．数形结合；
例5 函数1cos 3sin 22--=x x y 的值域为
例6 设x ,1a ,2a ,y 成等差数列，x ,1b ,2b ,y
成等比数列，则()21221b b a a +的取值范围是
例7 函数2
cos 4sin )(++=
x x x f 的值域为
例8 函数)(x f 为一次函数，且14))((-=x x f f ，则=)(x f
4、复合函数：
（1）求复合函数恒过定点：代入法
例9 函数)1(x f y -=恒过定点（-1,2），则)21(x f -恒过点
（2）求复合函数的定义域：
例10 已知函数)12(-x f 的定义域为]1,1[-，则)1(x f -的定义域为
5．常见的抽象函数模型：
① 正比例函数模型：()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=±。

② 幂函数模型：()2x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ⋅=；()
()y f x f y x f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。

③ 指数函数模型：()x a x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ⋅=+；()()()
y f x f y x f =-。

④ 对数函数模型：()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=；()()y f x f y x f -=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛。

⑤ 三角函数模型：()x x f tan =┄┄┄()()()()()
y f x f y f x f y x f ⋅-+=+1。

例10 设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。

（1）求证：1)0(=f ；
（2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ；
（3）求证：)(x f 在R 上是减函数；
（4）若
1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的范围。

二、满分提醒：
1、函数的概念理解吗？是否注意到在B A f →:中，A 中元素的任意性和B 中元素的唯一性？
2、记住函数的几个重要性质。

（1）关于对称性
（2）关于奇偶性
a.判断函数的奇偶性，要注意定义域是否关于原点对称；
b.若奇函数)(x f 在0=x 处有定义，则0)0(=f ；
c.任何一个定义域关于原点对称的函数）（x F ，总可以表示为一个奇函数)(x f 和一个偶函数)(x g 的和，其中2
)()()(,2)()()(x F x F x g x F x F x f -+=--= （3）关于单调性
（4）关于奇偶性与单调性的关系
（5）关于反函数
3、解对数函数问题时注意到真数以及底数的限制
4、指数运算法则（★★★）
5、对数运算法则（★★★）
6、是否掌握了指数函数和对数函数的性质和图像？在解指数函数和对数函数的有关问题时要注意“底”的要求。

在解对数函数有关问题时，要注意定义域。

三、满分精练：
1、已知函数)(x f 的定义域为[3,6],则函数)2(log )
2(5.0x x f y -=的定义域为
2、已知函数)0(1)]([,21)(22≠-=-=x x x x g f x x g ，则=)2
1(f 3、对R b a ∈,，记⎩⎨⎧≥<=b
a b b a a b a ,,},min{，函数)}(2|1|,21min{)(R x x x x f ∈+--=的最大值为 4、设集合]1,21[),5.0,0[==B A ,函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+=B
x x A x x x f ),1(2,21)(，若A x ∈0,且A x f f ∈)]([0,则0x 的取值范围是。