九年级数学下册28.2.1解直角三角形课件(新版)新人教版
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人教版数学九年级下册《 解直角三角形》PPT课件
∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，
人教版数学九年级下册28.2.1《解直角三角形(2)》课件(共23张PPT)
铅
视线
垂 线 仰角
水平线
俯角
视线
例1:热气球的探测器 显示,从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部 的俯角为60°,热气球 与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高?
Bα=30°A 1 Nhomakorabea0 Dβ=60°
C
合作与探究
例2：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB 的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上， 在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
a
(3)边角之间的关系:
sinA＝
a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
如图，Rt△ABC中，∠C=90°， （1）若∠A=30°，BC=3，则AC= （2）若∠B=60°，AC=3，则BC=
温故而知新
B
┌
A
C
在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
P
45°
30°
O
B 400米 A
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
答案: (100 3 300 ) 米
O
30° A
45°
200米
B
L
U
D
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
25
5
答案：空中塔楼AB高
人教版九年级数学下册 28.2.1 解直角三角形 上课课件
1.已知一边和一锐角：①一直角边和一锐 角；②斜边和一锐角. 2.已知两边：①两直角边；②一直角边和斜边.
新课进行时 【变式训练一】
1.如图，河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测 得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m， 则河宽AB为多少米？（结果保留根号）
解：∵∠ACB=30°∠ADB=60°，
2
方法一：∵tanA=
BC AC
6 2
3,
∴∠A 60，
∠B=9060=30，
6
B
AB=2AC =2 2.
方法二： 由勾股定理可得AB= 2 2.
sinA BC 3 ,A 60，B 90 A 30. AB 2
新课进行时
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
个直角三角形（精确到0.1）
新课进行时
【变式训练二】
1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=4 3 ,b= 2 3 ,则c=
；
（2）若a=10，c= 10 2，则∠B=
；
（3）若b=35，∠A=45°，则a=
；
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解 直角三角形 （1）c=30，b=20； （2）∠B=72°，c=14； （3）∠B=30°，a= 7 .
∴∠CAD=30°，AD=CD=60m.
∴AB=AD·sin∠ADB=60×
3 2
30
3(m).
新课进行时
2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
解：如图，作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，
∴∠∴ACCDD==19A0°C -∠2, A=60°， 2
新课进行时 【变式训练一】
1.如图，河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测 得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m， 则河宽AB为多少米？（结果保留根号）
解：∵∠ACB=30°∠ADB=60°，
2
方法一：∵tanA=
BC AC
6 2
3,
∴∠A 60，
∠B=9060=30，
6
B
AB=2AC =2 2.
方法二： 由勾股定理可得AB= 2 2.
sinA BC 3 ,A 60，B 90 A 30. AB 2
新课进行时
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
个直角三角形（精确到0.1）
新课进行时
【变式训练二】
1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=4 3 ,b= 2 3 ,则c=
；
（2）若a=10，c= 10 2，则∠B=
；
（3）若b=35，∠A=45°，则a=
；
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解 直角三角形 （1）c=30，b=20； （2）∠B=72°，c=14； （3）∠B=30°，a= 7 .
∴∠CAD=30°，AD=CD=60m.
∴AB=AD·sin∠ADB=60×
3 2
30
3(m).
新课进行时
2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
解：如图，作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，
∴∠∴ACCDD==19A0°C -∠2, A=60°， 2
人教版九年级数学下册28.2.1解直角三角形课件1(共35张PPT))
sinA=___54_____． 4、在△ABC中，∠C=90°，sinA= 3 ，则cosA的
5
值是（ B ）
3
4
A. 5
B. 5
9 C. 25
16 D. 25
1、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、 ∠A、∠B这五个元素间的等量关系：
（1）三边之间的关系：___a2_+_b_2_=_c_2__________
分析: 从飞船上能直接看到的地球上最 远的点，应该是视线与地球相切时的_切__点__.
如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置， FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时 的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间 的距离.为计算弧PQ的长需先求出 （即 ）
解:在上图中，FQ是⊙O的切线， 是直角三角形，
∴ ______ ∴弧PQ的长为 _2_0_7_1__ 由此可知，当飞船在p点正上方时， 从飞船观测地球时的最远点距离P点 约_2_0_7_1__ km.
如下左图，某人想沿着梯子
爬上高4米的房顶，梯子的倾斜
角（梯子与地面的夹角）不能 32
大于60°，否则就有危险，那
么梯子的长至少为多少米.
解：如图所示，依题意
如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA= 4
5
AB=15，求△ABC的周长和tanA的值
解：∵sinA= BC 4
B
AB 5
∴ BC 4 AB 4 15 12
55
AC AB2 BC2
152 122
81 9
A
C
∴△ABC的周长=15+12+9=36
tan A BC 12 4 AC 9 3
5
值是（ B ）
3
4
A. 5
B. 5
9 C. 25
16 D. 25
1、直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、 ∠A、∠B这五个元素间的等量关系：
（1）三边之间的关系：___a2_+_b_2_=_c_2__________
分析: 从飞船上能直接看到的地球上最 远的点，应该是视线与地球相切时的_切__点__.
如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置， FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时 的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间 的距离.为计算弧PQ的长需先求出 （即 ）
解:在上图中，FQ是⊙O的切线， 是直角三角形，
∴ ______ ∴弧PQ的长为 _2_0_7_1__ 由此可知，当飞船在p点正上方时， 从飞船观测地球时的最远点距离P点 约_2_0_7_1__ km.
如下左图，某人想沿着梯子
爬上高4米的房顶，梯子的倾斜
角（梯子与地面的夹角）不能 32
大于60°，否则就有危险，那
么梯子的长至少为多少米.
解：如图所示，依题意
如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA= 4
5
AB=15，求△ABC的周长和tanA的值
解：∵sinA= BC 4
B
AB 5
∴ BC 4 AB 4 15 12
55
AC AB2 BC2
152 122
81 9
A
C
∴△ABC的周长=15+12+9=36
tan A BC 12 4 AC 9 3
28.2.1 解直角三角形 课件 2024-2025学年数学九年级下册人教版
tan A＝∠∠AA 的的对邻边边＝ab
知1－讲
图示
感悟新知
知1－练
例 1 根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两
直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和
斜边.
A. ②③
B. ②④
C. 只有②
D. ②④⑤
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行 解答. 解：①③④⑤能够求解，②不能求解. 答案：C
知2－练
解：在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝2 3，BC＝6， ∴AB＝ AC2＋BC2＝4 3， tan B＝ABCC＝263＝ 33， ∴∠B＝30°.∴∠A＝90°－30°＝60°.
感悟新知
例 3 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A，∠B，∠C所对的边
对乘正切.
“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，
对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，
那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他的意思可类推.
感悟新知
例 2 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边
分别为a，b，c，a＝20，c＝20 2；
续表 图形
Rt△ABC
知2－讲
已知条件
解法
一 边 和 一
一直 角边 和一 锐角
一锐角与邻边 (如∠A，b)
一锐角与对边 (如∠A，a)
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； a ＝
b·tan A；c＝cosb A
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； b ＝
知1－讲
图示
感悟新知
知1－练
例 1 根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两
直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和
斜边.
A. ②③
B. ②④
C. 只有②
D. ②④⑤
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行 解答. 解：①③④⑤能够求解，②不能求解. 答案：C
知2－练
解：在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝2 3，BC＝6， ∴AB＝ AC2＋BC2＝4 3， tan B＝ABCC＝263＝ 33， ∴∠B＝30°.∴∠A＝90°－30°＝60°.
感悟新知
例 3 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A，∠B，∠C所对的边
对乘正切.
“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，
对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，
那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他的意思可类推.
感悟新知
例 2 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边
分别为a，b，c，a＝20，c＝20 2；
续表 图形
Rt△ABC
知2－讲
已知条件
解法
一 边 和 一
一直 角边 和一 锐角
一锐角与邻边 (如∠A，b)
一锐角与对边 (如∠A，a)
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； a ＝
b·tan A；c＝cosb A
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； b ＝
新人教版九年级数学下册 28.2.解直角三角形 课件 (20张PPT)
a ∵ s in A c c s i n A 4 0 0 . 6 4 3 2 5 . 7 ∴a b ∵ s in B c s i n 5 0 4 0 0 . 7 6 6 3 0 . 6 ∴b c
1.在下列直角三形中,不能求解的是 （ D） A.已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角 C.已知两边 D.已知两角 2.在Rt△ABC中∠C=90°，已知a边及∠A，则斜边应为（ A ） a a A.a sin A C. acos A B. D. s in A cos A 3.有一个角是30°的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高 为 （C ） 1 1 3 3 A . cm B . cm C. cm D. cm 4 2 4 2 4.等腰三角形底边与底边上的高的比是2:3，则底角的余弦值 为 （D）
b a b 2 0 2 8 . 6 ∴ a t a n B t a n 3 5
∵ ta n B
一直角边和一锐角，合理选
b ∵ s in B c
b 2 0 3 4 . 9 ∴ c s i n B s i n 3 5
类型四.已知直角三角形的斜边长和一锐角，解直角三角形.
c 40 ; 解这个直角 例. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=40°， 三角形.(结果保留小数点后一位). 分析： 本题已知的是斜边长和锐角，可以先利用互余关系求出另一个锐 角，求余下的两个未知元素的路径比较多，合理的选择一种“锐角 函数”进行解答即可. 还有其 略解：在Rt△ACB中, ∠C=90° 它方法求 B 9 0A 9 0 4 0 5 0 a,b边吗？
B C 3 3 ∵ sinA A B 23 2
∴ A60
B 9 0 6 0 3 0 ∴ 1 1 C A B 23 3 ∴A 2 2
1.在下列直角三形中,不能求解的是 （ D） A.已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角 C.已知两边 D.已知两角 2.在Rt△ABC中∠C=90°，已知a边及∠A，则斜边应为（ A ） a a A.a sin A C. acos A B. D. s in A cos A 3.有一个角是30°的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高 为 （C ） 1 1 3 3 A . cm B . cm C. cm D. cm 4 2 4 2 4.等腰三角形底边与底边上的高的比是2:3，则底角的余弦值 为 （D）
b a b 2 0 2 8 . 6 ∴ a t a n B t a n 3 5
∵ ta n B
一直角边和一锐角，合理选
b ∵ s in B c
b 2 0 3 4 . 9 ∴ c s i n B s i n 3 5
类型四.已知直角三角形的斜边长和一锐角，解直角三角形.
c 40 ; 解这个直角 例. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=40°， 三角形.(结果保留小数点后一位). 分析： 本题已知的是斜边长和锐角，可以先利用互余关系求出另一个锐 角，求余下的两个未知元素的路径比较多，合理的选择一种“锐角 函数”进行解答即可. 还有其 略解：在Rt△ACB中, ∠C=90° 它方法求 B 9 0A 9 0 4 0 5 0 a,b边吗？
B C 3 3 ∵ sinA A B 23 2
∴ A60
B 9 0 6 0 3 0 ∴ 1 1 C A B 23 3 ∴A 2 2
九年级数学下册28.2解直角三角形教学课件(新版)新人教版
A 90 72 18
解决有关比萨斜塔倾斜的问题．
设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A， 过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m
CB
sin A BC 5.2 0.0954 AB 54.5
1
60°
3 2
1 2
3
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大；（带正） 对于cosα，角度越大，函数值越小。
AB的长
太阳光线
A
30°
60°
B 10 C
地面
D
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
a b c （1）三边之间的关系 2
2
2（勾股定理）
A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
b
c
（3）边角之间的关系
Ca
B
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
B的对边 斜边
b c
2. 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离 地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在 折断之前高多少？
解 利用勾股定理可以求
出折断倒下部分的长度为:
102 + 242 = 26
26＋10＝36（米）. 答:大树在折断之前高为36 米.
3. 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树 AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长 为10m,请你求出大树的高.
AB 2AC 2 2
例2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，b=20，解这个直角三角形 （精确到0.1）
人教版九年级数学下册 28-2-1 解直角三角形 课件
直角三角形中的边角关系
如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A，∠B，∠C
所对的边分别为 a，b，c，那么除直角∠C 外的五个
B
元素之间有如下关系：
1.三边之间的关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理)；
c
2.两锐角之间的关系：∠A +∠B =90°；
A
a
b
C
3.边角之间的关系：
∠A的对边
角形的其他元素吗？
B
A
C
解直角三角形：一般地，直角三角形中，除直角外，
共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中
的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角
三角形.
1.解直角三角形时，已知其中的两个元素中，至少
有一个是边.
2.在解直角三角形时,先画出一个直角三角形，标明
已知元素，然后确定锐角，再确定它的对边和邻边.
(2)在 Rt△ABC 中，∠C =90°，a =2 3，b =2.
解：(2)在 Rt△ABC 中，∠C =90°，a =2 3，b =2，
∴ c = 2 + 2 = 12 + 4 = 4.
∵ tan A =
=
2 3
2
= 3 ，∴ ∠A =60° .
∴ ∠B =90°-∠A =90°-60°=30°.
tan A
1
= = ，
2
BC =1
∠A≠30° ,AC =2
AB= 5
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，BC =2，AB =4，
解这个直角三角形.
2
1
解： ∵ sinA =
= = ，∴ ∠A =30°，
九年级数学下册解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形课件(新版)新人教版
解: 在 Rt△ABC 中,∠C=90°, (1)∵sin A=������ , ∴a=c· sin A. ∵cos A=������ ,∴b=c· cos A. ∵∠A+∠B=90°, ∴∠B=90°-∠A.
������ ������
1
2
3
4
5
6
(2)∵tan A= ,查表求出∠A,
������
1
2
3
4
5
6
1.在△ABC中,∠C=90°,∠A=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到 0.1)( ) A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5
关闭
在 Rt△ABC 中,cos A=
������������ ������������
=
������������ =cos 10
72°,
∴AC=10cos 72°≈3.1.
28.2.1
解直角三角形
1.在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐 角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫 做解直角三角形. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点D,∠ACD=30°,对Rt△ABC ∠A,∠B,边长AB,BC,AC , 来说,未知元素有 5 个,分别是 边长 若要解Rt△ABC,还需知一个 条件. 3.在△ABC中,∠C=90°,b,c分别为∠B,∠C的对边,且已知b和∠B,下 列求c的表达式正确的是( C ) A.c=bcos B B.c=bsin B
������������ ������������
3 3
因为 AB=DB+DA=CD+ 3 CD=8, 所以 CD=12-4 3. 所以
1 1 S△ABC=2AB· CD=2× 8× (12-4
人教版数学九年级下册28.2.1 解直角三角形课件
∴a
b tanB
20 tan35
28.6.
∵ sinB
b c
,
∴c
b sinB
20 sin35
34.9.
还有别的 解法吗？
练习
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解 直角三角形： （1）c=30，b=20； （2）∠B=72°，c=14； （3）∠B=30°，a= 7 .
(1)a=10 5 ,A 481124，B 414836； (2)A 18，a 4，b 13；
学习目标： 1.知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直 角以外的五个元素之间的关系. 2.能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余 及锐角三角函数解直角三角形.
推进新课
知识点1 解直角三角形的定义
已知：Rt△ABC中，∠C=90°， C B BC=5.2 m，AB=54.5 m.
求问：∠A的度数.
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。 ►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。 因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
人教版九年级下册数学28.2.1 解直角三角形课件
30
3(m).
知识点2 解直角三角形 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=
2 ，BC= 6 ，解这个直角三角形．
提问
需求的未知元素： 斜边AB、锐角A、锐角B.
方法一：∵tanA=
BC AC
6 2
3,
∴∠A60，
∠B=9060=30，
AB=2AC=2 2.
方法二：由勾股定理可得AB= 2 2.
学习目标： 1.知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直 角以外的五个元素之间的关系. 2.能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余 及锐角三角函数解直角三角形.
推进新课
知识点1 解直角三角形的定义
已知：Rt△ABC中，∠C=90°， C B BC=5.2 m，AB=54.5 m.
求问：∠A的度数.
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
∴a
b tanB
20 tan35
28.6.
∵ sinB
b c
,
∴c
b sinB
20 sin35
34.9.
还有别的 解法吗？
练习
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解 直角三角形： （1）c=30，b=20； （2）∠B=72°，c=14； （3）∠B=30°，a= 7 .
(1)a=10 5 ,A 481124，B 414836； (2)A 18，a 4，b 13；
人教版数学九年级下册-28.2.1 解直角三角形-课件
视线
铅
仰角
直
线 俯角
水平线
视线
【例2】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高 楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
【分析】我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水 平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，ɑ =30°,β=60°.
【分析】从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是 视线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，
切点Q是从飞船观测地球时的最远点．弧PQ 的长就是地面
上P、Q两点间的距离，为计算弧PQ的长需先求出∠POQ
（即a）.
F
P Q
α O·
【解析】在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
所以BC=40（米）.
【答案】40
3. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶 部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度 （精确到0.1m）
【解析】在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m，
在Rt△ACD中：
A
tan ADC AC
B
DC
AC tan ADC DC
30°
60°
【解析】如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°,
AB=50m.设CD=x,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,
tan ADC AC , tan BDC BC ,
x
x
AC x tan 60, BC x tan30.
xtan60 xtan30 50.
x
50
50 25 3 43m.
铅
仰角
直
线 俯角
水平线
视线
【例2】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高 楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
【分析】我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水 平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，ɑ =30°,β=60°.
【分析】从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是 视线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，
切点Q是从飞船观测地球时的最远点．弧PQ 的长就是地面
上P、Q两点间的距离，为计算弧PQ的长需先求出∠POQ
（即a）.
F
P Q
α O·
【解析】在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
所以BC=40（米）.
【答案】40
3. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶 部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度 （精确到0.1m）
【解析】在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m，
在Rt△ACD中：
A
tan ADC AC
B
DC
AC tan ADC DC
30°
60°
【解析】如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°,
AB=50m.设CD=x,则∠ADC=60°,∠BDC=30°,
tan ADC AC , tan BDC BC ,
x
x
AC x tan 60, BC x tan30.
xtan60 xtan30 50.
x
50
50 25 3 43m.
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A α C
利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底端距离墙面2.4m时， 梯子与地面
所成的角大约是66° 由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是 安全的．
解直角三角形
解直角三角形: 在直角三角形中，由已 知元素求未知元素的过程．
事实上，在直角三角形的六
个元素中，除直角外，如果 再知道两个元素（其中至少 有一个是边），这个三角形 就可以确定下来，这样就可 以由已知的两个元素求出其 余的三个元素．
C
a A c
b
B
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面 一些关系： A
（1）三边之间的关系 a2 +b2 =c2 (勾股定理) （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系 b c
C
a
B
A的对边 a sin A 斜边 c A的邻边 b cosA 斜边 c
A的对边 a tan A A的邻边 b
b 20 20 c 34.9 sin B sin 35 0.57
你还有其 他方法求 出c吗？
补偿提 高 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AC=6AD ， ∠ 4 BAC 3 的平分线 这个直角三角形。
AC 6 3 cos CAD 解 AD 4 3 2
B
2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这 个直角三角形（精确到0.1） 解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55° A c B 35 ° a b 20 C
b tan B a
b 20 20 a 28.6 tan B tan 35 0.70
b sin B c
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与 地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知 ∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的 B
长．
BC 由sin A 得 AB
BC AB sin A 6 sin 75
A
α
C
A
，解
：
CAD 30
因为AD平分 ∠BAC CAB 60, B 30
6
C
4 3
D B
AB 12, BC 6 3
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三 角形； （1）a = 30 , b = 20 ; 解：根据勾股定理
B
c
c a 2 b 2 302 202 10 13 a 30 3 tan A 1.5 b 20 2 A 56.3 B 90 56.3 33.7
由计算器求得 sin75°≈0.97 所以 BC≈6×0.97≈5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约 是5.8m
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地 面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC ＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
由于
B
AC 2.4 cos a 0 .4 AB 6
c=1 4 B
b a C
解决有关比萨斜塔倾斜 的问题．
设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心 线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂 足为点C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC＝5.2m，AB＝54.5m CB
BC 5.2 sin A 0.0954 AB 54.5 利用计算器可得A 5 28'
a=30
A b=20 C
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角 三角形； (2) ∠B＝72°，c = 14. 解： b
A
sin B
c b c sin B 14 sin 72 13.3 a cos B c a c cos B 14 cos72 4.34 A 90 72 18
28.2.1解直角三角形
这样的问题怎么解决
问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与 地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多 少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
尝试运 1 如图，在 ＝ 90°， 2, BC 用 Rt△ABC中，∠CAC
解这个直角三角形
A
6
BC 6 1.解： tan A 3, AC 2 A 60 , B 90 A 90 60 30 , AB 2 AC 2 2.
2
C
6
A 可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的 夹角． 你愿意试着计算一下吗？
解直角三 直角三角形 角形： 中， 由已知元素求未知元 素的过程
∠A＋ ∠ B＝ 90°
归纳小 结
斜边 c
B
∠A的对 边a
a2+b2=c2
解直角 三角形
三角函 数 关系式
┌ A ∠A的邻 C a b 边b sin A ,sin B c c b a cos A ,cos A c c a b tan A , tan B b a
由锐角求三角 函数值 由三角函数值求 锐角
计算 器谢谢大 家源自
利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底端距离墙面2.4m时， 梯子与地面
所成的角大约是66° 由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是 安全的．
解直角三角形
解直角三角形: 在直角三角形中，由已 知元素求未知元素的过程．
事实上，在直角三角形的六
个元素中，除直角外，如果 再知道两个元素（其中至少 有一个是边），这个三角形 就可以确定下来，这样就可 以由已知的两个元素求出其 余的三个元素．
C
a A c
b
B
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面 一些关系： A
（1）三边之间的关系 a2 +b2 =c2 (勾股定理) （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系 b c
C
a
B
A的对边 a sin A 斜边 c A的邻边 b cosA 斜边 c
A的对边 a tan A A的邻边 b
b 20 20 c 34.9 sin B sin 35 0.57
你还有其 他方法求 出c吗？
补偿提 高 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AC=6AD ， ∠ 4 BAC 3 的平分线 这个直角三角形。
AC 6 3 cos CAD 解 AD 4 3 2
B
2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这 个直角三角形（精确到0.1） 解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55° A c B 35 ° a b 20 C
b tan B a
b 20 20 a 28.6 tan B tan 35 0.70
b sin B c
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与 地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（1）可以归结为：在Rt △ABC中，已知 ∠A＝75°，斜边AB＝6，求∠A的对边BC的 B
长．
BC 由sin A 得 AB
BC AB sin A 6 sin 75
A
α
C
A
，解
：
CAD 30
因为AD平分 ∠BAC CAB 60, B 30
6
C
4 3
D B
AB 12, BC 6 3
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三 角形； （1）a = 30 , b = 20 ; 解：根据勾股定理
B
c
c a 2 b 2 302 202 10 13 a 30 3 tan A 1.5 b 20 2 A 56.3 B 90 56.3 33.7
由计算器求得 sin75°≈0.97 所以 BC≈6×0.97≈5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约 是5.8m
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地 面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC ＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
由于
B
AC 2.4 cos a 0 .4 AB 6
c=1 4 B
b a C
解决有关比萨斜塔倾斜 的问题．
设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心 线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂 足为点C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°， BC＝5.2m，AB＝54.5m CB
BC 5.2 sin A 0.0954 AB 54.5 利用计算器可得A 5 28'
a=30
A b=20 C
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角 三角形； (2) ∠B＝72°，c = 14. 解： b
A
sin B
c b c sin B 14 sin 72 13.3 a cos B c a c cos B 14 cos72 4.34 A 90 72 18
28.2.1解直角三角形
这样的问题怎么解决
问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与 地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多 少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
尝试运 1 如图，在 ＝ 90°， 2, BC 用 Rt△ABC中，∠CAC
解这个直角三角形
A
6
BC 6 1.解： tan A 3, AC 2 A 60 , B 90 A 90 60 30 , AB 2 AC 2 2.
2
C
6
A 可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的 夹角． 你愿意试着计算一下吗？
解直角三 直角三角形 角形： 中， 由已知元素求未知元 素的过程
∠A＋ ∠ B＝ 90°
归纳小 结
斜边 c
B
∠A的对 边a
a2+b2=c2
解直角 三角形
三角函 数 关系式
┌ A ∠A的邻 C a b 边b sin A ,sin B c c b a cos A ,cos A c c a b tan A , tan B b a
由锐角求三角 函数值 由三角函数值求 锐角
计算 器谢谢大 家源自