人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元 易错题难题专项训练检测试题

人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元 易错题难题专项训练检测试题
一、平面向量多选题
1．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是
（ ） A ．21
2
AO AB AB ⋅
=
B ．OA OB OA O
C OB OC ⋅=⋅=⋅
C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则
1
1
3λ
μ
+
=
D ．AH 与
cos cos AB AC AB B
AC C
+
共线
【答案】ACD 【分析】
根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC =即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与BC 垂直，从而说明D 正确.
【详解】
如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM ∴∠=
()
21
·cos cos ?22
AB
AO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正
确；
··OAOB OAOC =等价于()
·0OA OB OC -=等价于·0OACB =,即OA BC ⊥，
对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中， 若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误；
设BC 的中点为D ,
则()
2111111
33333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλ
μ⎛⎫=
=+=+=+ ⎪⎝⎭， ∵E,F,G 三点共线，11133λμ∴
+=，即11
3λμ
+=,故C 正确； cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+
⋅=+ ⎪⎝⎭
()
cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB B
AC C
π⋅-⋅=
+
0BC BC =-+=,
∴
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与BC 垂直,又AH BC ⊥,∴
cos cos AB AC AB B
AC C
+
与AH
共线，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.
2．已知集合()(){}=
,M x y y f x =,若对于()1
1
,x y M ∀∈,()2
2
,x y M ∃∈,使得
12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集
合:(){}2
1,1M x y y x =
=+;(){}
2
,1M x y y x ==
+;(){}3,x
M x y y e =
=;
(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )
A ．1M
B ．2M
C ．3M
D ．4M
【答案】BD
【分析】
根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点
P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．
【详解】
由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点
P '，使得OP OP '⊥．
在2
1y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；
对y =
所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；
在x
y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点
集”集合；
对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】
本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．
3．已知a ，b 是平面上夹角为
23
π
的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）
A ．||1a b +=
B ．||3a b -=
C ．||3<c
D ．a b +，c 的夹角是钝角
【答案】ABC 【分析】
在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23
AOB π
∠=
，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：(
)
2
222+2||+cos
13
a b a b
a b a b π
+=
+=⨯⨯=，故A 正确；
对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23
AOB π
∠=
，则2
222+
c 3
2os
3AB O OA O A O B B π
-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，
c OC =的最大值为13
+
32
2
2+A b B O MC a M +=
=
+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．
【点睛】
思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出
OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．
4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（ ）
A ．0GA G
B G
C ++= B ．24AB AC HM MO +=- C ．3AH OM =
D ．OA OB OC ==
【答案】ABD 【分析】
向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A ；由12GO HG =
可得2
3
HG HO =，利用向量的线性运算()
266AB AC AM GM HM HG +===-，再结合HO HM MO =+集合判断选项B ；利用222AH AG HG GM GO OM =-=-=故选项C 不正确，利用外心的性质可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】
因为G 是ABC 的重心，O 是ABC 的外心，H 是ABC 的垂心， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以1
2
GO HG =
， 对于选项A ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =， 又因为2GB GC GM +=，所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，故选项A 正确；
对于选项B ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，
3AM GM =，因为12GO HG =
，所以2
3
HG HO =， ()
226663AB AC AM GM HM HG HM HO ⎛⎫
+===-=- ⎪⎝⎭
()
646424HM HO HM HM MO HM MO =-=-+=-，即24AB AC HM MO +=-，
故选项B 正确；
对于选项C ：222AH AG HG GM GO OM =-=-=，故选项C 不正确； 对于选项D ：设点O 是ABC 的外心，所以点O 到三个顶点距离相等，即
OA OB OC ==，故选项D 正确；
故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件12GO HG =得2
3
HG HO =，利用向量的线性运算结合2AG GM =可得出向量间的关系.
5．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b ⊥，则tan 2θ=B ．若b 在a 上的投影为12
-
，则向量a 与b 的夹角为23π
C ．存在θ，使得||||||a b a b +=+
D ．a b 3【答案】BCD
【分析】
若a b ⊥，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12
-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；
若b 在a 上的投影为1
2
-
，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；
2cos sin a b θθ+==)θϕ+， a b D 正确.
【详解】
若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12
-
，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2π
cos ,3a b 〈〉=，故B 正确；
若2()2a b a b a b =+2
2
++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C
正确；
2cos sin a b θθ+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π
02ϕ<<，则当π2
θϕ+=时，
a b ，故D 正确，
故选：BCD ． 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足
20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ B ．2133
BP BA BC =
+ C ．0PA PC ⋅< D ．2S =
【答案】BCD 【分析】
本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】
解：因为20PA PC +=，2QA QB =，
所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；
因为()
121
333
BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+
-=+，故选项B 正确； 因为
11
2223132
APQ ABC
AB h
S S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
7．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直
C ．a 与a b -的夹角为4
π D ．||1a b -=
【答案】BC 【分析】
(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；
||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.
【详解】
由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=
，所以A 选项错误；
因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=
，所以D 选项错误；
2()2
cos ,2||||122
a a
b a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯， 所以，a 与a b -的夹角为4
π
.所以C 选项正确； 故选：BC. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:
(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝
(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22
•a a a a ＝＝或
222
2
||)2?(a b a b a
a b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求
解．
判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a b
cos a b ＝＝求解出这两个
向量夹角的余弦值.
8．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b
B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-
【答案】AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A
选项正确，D 选项错误；
若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.
9．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =
B ．AB B
C =
C ．AB C
D AD BC -=+ D ．AD CD CD CB +=-
【答案】BCD 【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】
菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；
因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确； 因为AD CD BC CD BD +=+=，
||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.
故选：BCD 【点睛】
本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.
10．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）
A ．1-
B ．
113
C ．
32
+ D ．
32
【答案】BCD 【分析】
由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】
若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=
230k ∴+=解得23
k =-
若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=
()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--
2390k ∴-+-=解得113
k =
若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=
()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--
()130k k ∴-+-=解得32
k ±=
综合可得，k 的值可能为211,33-故选：BCD 【点睛】
本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.。