二项式练习题

二项式练习题
1． (4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )．
A ．－20
B ．－15
C ．15
D ．20
2．若二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )． A ．6 B ．10 C ．12 D ．15
3．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )．A ．－154 B.154 C ．－38 D.38 4．已知⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )． A ．28 B ．38 C ．1或38 D ．1或28
5．设⎝
⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )．A ．－150 B ．150 C ．300 D ．－300
6． (1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________． 7．⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示) 8．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 9．(11分)已知二项式⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 的展开式中各项的系数和为256. (1)求n ；(2)求展开式中的常数项．
10．在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．
(1)试用组合数表示这个一般规律：
(2)在数表中试求第n 行(含第n 行)之前所有数之和；
(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论． 第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
… …
综合创新备选
1．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )． A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40
2．在(x －2)2 006的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于( )．
A ．23 008
B ．－23 008
C ．23 009
D ．－23 009
3．已知(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x 3n 的展开式中没有常数项，n ∈N *且2≤n ≤8，则n ＝________.
4．设二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．
5．(10分)已知等差数列2,5,8，…与等比数列2,4,8，…，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{C n }的通项公式．
6．已知f (x )＝2x －12x ＋1
. (1)试证：f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数；
(2)若n ∈N *，且n ≥3，试证：f (n )＞
n n ＋1
.
二项式练习题答案
1．(2011·陕西)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )．
A ．－20
B ．－15
C ．15
D ．20
解析 T r ＋1＝C r 6(22x )6－r (－2－x )r ＝(－1)r C r 6·
(2x )12－3r ，r ＝4时，12－3r ＝0，故第5项是常数项，T 5＝(－1)4C 46＝15.
答案 C
2．(2012·泰安月考)若二项式⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )． A ．6 B ．10 C ．12 D ．15
解析 T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r n x n －3r 2，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，∴n ＝12. 答案 C
3．(2011·天津)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )． A ．－154 B.154 C ．－38 D.38 解析 在⎝
⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 6⎝
⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r x 3－r (－2)r ，当r ＝1时，为含x 2的项，其系数是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(－2)＝－38. 答案 C
4．(2012·临沂模拟)已知⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )．
A ．28
B ．38
C ．1或38
D ．1或28
解析 由题意知C 48·
(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38. 答案 C
5．设⎝
⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )．
A ．－150
B ．150
C ．300
D ．－300
解析 由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，
T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x r ＝(－1)r 54－r C r 4x 4－3r 2，
令4－3r 2＝1，得r ＝2，T 3＝150x .
答案 B
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010·辽宁)(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________． 解析 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 6的一般项为T r ＋1＝C r 6(－1)r x 6－2r ，当r ＝3时，T 4＝－C 36＝－20，当r ＝4时，T 5＝C 46＝15，因此常数项为－20＋15＝－5.
答案 －5
7．(2011·湖北)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示) 解析
T r ＋1＝C r 18x 18－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝(－1)r C r 18⎝ ⎛⎭⎪⎫13r x 18－32r ，令18－32r ＝15，解得r ＝2.所以所求系数为
(－1)2C 218⎝ ⎛⎭
⎪⎫132＝17. 答案 17
8．(2012·天津质检)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，
∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.
令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.
答案 364
三、解答题(共23分)
9．(11分)已知二项式⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 的展开式中各项的系数和为256. (1)求n ；(2)求展开式中的常数项．
解 (1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝256，即2n ＝256，解得n ＝8.
(2)该二项展开式中的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x r ＝C r 8·x 8－4r 3，令8－4r 3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28.
10．(12分)(2012·厦门质检)在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的
两数之和．
(1)试用组合数表示这个一般规律：
(2)在数表中试求第n 行(含第n 行)之前所有数之和；
(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论． 第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
… …
解 (1)C r n ＋1＝C r n ＋C r －1n
(2)1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1
(3)设C r －1n ∶C r n ∶C r ＋1n ＝3∶4∶5
由C r －1n C r n ＝34，得r n －r ＋1＝34
即3n －7r ＋3＝0①
由C r
n C r ＋1n ＝45，得r ＋1n －r ＝45
即4n －9r －5＝0②
解①②联立方程组得
n ＝62，r ＝27
即C 2662∶C 2762∶C 2862＝3∶4∶5.
B 级 综合创新备选
(时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2011·全国新课标)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(
)． A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40
解析 令x ＝1，由已知条件1＋a ＝2，则a ＝1
⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＋C 25(2x )3⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1x 2＋C 35(2x )2⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1x 3＋C 45(2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5
＝32x 5－80x 3＋80x －401x ＋101x 3－1x 5，则常数项为40.
答案 D
2．(2012·杭州质检)在(x －2)2 006的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S 等于
( )．
A ．23 008
B ．－23 008
C ．23 009
D ．－23 009
解析 (x －2)2 006＝x 2 006＋C 12 006x 2 005(－2)＋C 22 006x 2 004(－2)2＋…＋(－2)2 006，由已知条件S ＝－
C 12 006(2)2 006－C 32 006(2)2 006－…－C 2 0052 006(2)
2 006＝－22 005·21 003＝－2
3 008. 答案 B
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．(2012·大同调研)已知(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x 3n 的展开式中没有常数项，n ∈N *且2≤n ≤8，则n ＝________. 解析 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x 3n 展开式中的通项为 T r ＋1＝C r n x n －r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 3r ＝C r n x
n －4r (r ＝0,1,2，…，8)， 将n ＝2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知
n ＝5.
答案 n ＝5
4．(2011·浙江)设二项式⎝
⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．
解析 此题主要考查二项式定理中的特定项的计算，解题的关键是理解通项，结合方程便可求解．
对于T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a x 12r ＝C r 6(－a )r x 6－32r ， B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a ＞0，∴a ＝2.
答案 2
三、解答题(共22分)
5．(10分)已知等差数列2,5,8，…与等比数列2,4,8，…，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列
{C n }的通项公式．
解 等差数列2,5,8，…的通项公式为a n ＝3n －1，
等比数列2,4,8，…的通项公式为b k ＝2k ，令3n －1＝2k ，n ∈N *，k ∈N *，
即n ＝2k ＋13＝(3－1)k ＋13
＝C 0k 3k －C 1k 3k －1＋…＋C k －1k 3(－1)k －1＋C k k (－1)k ＋13
， 当k ＝2m －1时，m ∈N *，
n ＝C 02m －132m －1－C 12m －132m －2＋…＋C 2m －22m －133
∈N *， C n ＝b 2n －1＝22n －1(n ∈N *)．
6．(12分)(2012·三门峡月考)已知f (x )＝2x －12x ＋1
. (1)试证：f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数；
(2)若n ∈N *，且n ≥3，试证：f (n )＞n n ＋1
. 证明 (1)任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)．设x 1＜x 2，
f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1
＝
(2x 1－1)(2x 2＋1)－(2x 2－1)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1) ＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1)
， 由x 1＜x 2则2x 1＜2x 2，∴2x 1－2x 2＜0.因此f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 因此f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．
(2)当n ∈N *且n ≥3，要证f (n )＞n n ＋1，即2n －12n ＋1＞n n ＋1
，只须证2n ＞2n ＋1， ∵2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＞C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＝2n ＋1.
∴f (n )＞n n ＋1
.。