河北省承德市第七中学高三数学理月考试题含解析

河北省承德市第七中学高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )
A．－ B．－ C. D.
参考答案：
B
2. 已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，S n为数列{a n}的前n项和，则S2017的值为
（）
A．2017n﹣m B．n﹣2017m C．m D．n
参考答案：
C
【考点】数列递推式．
【分析】a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，可得a n+6=a n．即可得出．
【解答】解：∵a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，
∴a3=n﹣m，a4=﹣m，a5=﹣n，a6=m﹣n，a7=m，a8=n，…，
∴a n+6=a n．
则S2017=S336×6+1=336×（a1+a2+…+a6）+a1=336×0+m=m，
故选：C．
【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3. 如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为
A. B.C. D.
参考答案：
由图可知阴影部分面积由几何概型可知概率为.
4. 直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）
A．[﹣，0] B．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C．[﹣，] D．[﹣，0]
参考答案：
A
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离等于1时，弦长等于2，故当弦长大于或等于2时，圆心到直线的距离小于或等于1，解此不等式求出k的取值范围．
【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，
由弦长公式得，MN=2≥2，
故d≤1，
即≤1，化简得 8k（k+）≤0，
∴﹣≤k≤0，
故k的取值范围是[﹣，0]．
故选：A
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，以及弦长公式的应用，属于中档题．
5. 设命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由q?p，反之不成立．例如取f（x）=（x﹣1）2不是偶函数，但是此函数在R上不单调．【解答】解：命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数，
则q?p，反之不成立．例如f（x）=（x﹣1）2不是偶函数，但是此函数在R上不单调．
则p是q的必要不充分条件．
故选：B．
6. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）
A．cm3 B．2cm3 C．3cm3 D．9cm3
参考答案：
A
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】该三棱锥高为3，底面为直角三角形．
【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直，
∴V=××3×1×3=．
故选A．
7. 若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（）
A．﹣2 B．﹣3 C．2或﹣3 D．﹣2或﹣3
参考答案：
C 【考点】两条直线平行的判定．
【分析】根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m的值．
【解答】解：∵直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，∴ =，
解得m=2或﹣3，
故选 C．
【点评】本题考查两直线平行的性质，两直线平行，它们的斜率相等或者都不存在．
8. 由曲线，直线所围成的平面图形的面积为( )
A.B．2－ln 3 C．4＋ln 3 D．4－ln 3
参考答案：
【知识点】定积分在求面积中的应用．B13
D 解析：由xy=1，y=3可得交点坐标为（，3），
由xy=1，y=x可得交点坐标为（1，1），由y=x，y=3可得交点坐标为（3，3），
∴由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为
（3﹣）dx+（3﹣x）dx=（3x﹣lnx）+（3x﹣x2）=（3﹣1﹣ln3）+（9﹣﹣3+）=4﹣ln3，故选：D．
【思路点拨】确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．
9. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
参考答案：
D
【考点】回归分析的初步应用．
【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．
【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；
对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；
对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；
对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确
故选D．
10. 在某项测量中，测量结果X服从正态分布，若X在（0，8）内取值的概率为
0.6，则X在（0，4）内取值的概率为
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.6
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 连掷两次骰子得到的点数分别为和,若记向量与向量的夹角为,则
为锐角的概率是
.
参考答案：
连掷两次骰子得到的点数记为
，其结果有36种情况，若向量与向量的
夹角为锐角，则，满足这个条件的有6种情况，所以为锐角的概率是。

12. 若，则=_____.
参考答案：
13. 已知函数，其中e 为自然对数的底数，则不等式的解集
为▲．
参考答案：
(－3,2)
∵，∴，即函数为奇函数，又
∵恒成立，故函数在上单调递增，不等式可转化为
，即，解得：，即不等式的解集为
，故答案为.
14.
如图，在等腰梯形中，为的中点，将与△分
别沿向上折起，使两点重合与点，则三棱锥的外接球的体积为_______．
参考答案：
答案：
15.
函数的反函数是________________________
参考答案：
答案：
16. 若{a n}是等比数列，且公比，，则a n =______．
参考答案：
【分析】
根据等比数列的通项公式先求出首项,即可求得.
【详解】因为是等比数列, 公比，,
故,
解得,
∴,
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式公式,考查了整体运算思想,属基础题．
17. 已知△ABC中，BC=2，G为△ABC的重心，且满足AG⊥BG，则△ABC 的面积的最大值
为．
参考答案：
【考点】正弦定理．
【分析】以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系，设AB=r，点C的坐标为（x，y），
可得G（，）．根据AG⊥BG建立x、y的关系式，化简整理得x2+y2=9r2，得到点C在以原点为圆心，半径为3r的圆上运动（x轴上两点除外）．可得当C点在y轴时y的值达到最大值，此时三角形面积最大，由此结合三角形面积公式即可得解．
【解答】解：设AB中点为O，连接AO，可得重心G在CO上且=，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立如图所示直角坐标系，
设AB=2r（r＞0），则A（﹣r，0），B（r，0），
设C（x，y），可得G（，）
∵AG⊥BG，
∴点G在以AB为直径的圆上运动（A、B两点除外）
由此可得（）2+（）2=r2，整理得x2+y2=9r2，
因此，点C在以原点为圆心，半径为3r的圆上运动（x轴上两点除外），
可得，当x=0时，y取得最大值3r，
∴此时，tan=，AC=BC=2，
∵r2+（3r）2=2，解得：r=，
∴此时，S△ABC==．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，△ABC为等边三角形，，
，PD与平面PAC所成角的正切值为
.
(Ⅰ)证明：BC∥平面PAD；
(Ⅱ)若M是BP的中点，求二面角的余弦值.
参考答案：
（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.
【分析】
(Ⅰ)先证明为与平面所成的角，于是可得，于是．又由题意得到，故得，再根据线面平行的性质可得所证结论．(Ⅱ) 取的中点，连接，可证得．建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，根据两个法向量夹角的余弦值得到二面角的余弦值．
【详解】(Ⅰ)证明：因为平面，平面，
所以
又,,
所以平面，
所以为与平面所成的角．
在中，，
所以
所以在中，,.
又，
所以在底面中，,
又平面，平面，
所以平面．
(Ⅱ)解：取的中点，连接，则,由(Ⅰ)知，
所以，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.
则，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
由，即，得，
令，则．
设平面的一个法向量为，
由，即，得，
令，则．
所以，
由图形可得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
【点睛】空间向量是求解空间角的有利工具，根据平面的法向量、直线的方向向量的夹角可求得线面
角、二面角等，解题时把几何问题转化为向量的运算的问题来求解，体现了转化思想方法的利用，不过解题中要注意向量的夹角和空间角之间的关系，特别是求二面角时，在求得法向量的夹角后，还要通过图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后才能得到结论．
19. 已知函数在处有极值10。

（1）求a，b。

（2）若方程在上有两个零点，求m的范围。

参考答案：
（1）解：，根据题意可得，即
易得此时，在x=1两侧附近符号相同，不合题意。

当时，，此时，在两侧附近符号相异，符合题意。

所以。

……………………6分
(2)解在上有两个零点
有两个根即，
函数与在有两个交点。

…………8分由（1）知，
所以函数
在单调递减，在单调递增………10分
………12分
20. （本小题满分14分）已知椭圆:的焦距为,离心率为,其右焦点为,过点作直线交椭圆于另一点.
(1)若,求外接圆的方程;
(2)若过点的直线与椭圆相交于两点、，设为上一点，且满足
（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.
参考答案：
(1)由题意知：，，又，
解得：椭圆的方程为：
可得：，,设，则，，
，，即
由，或即，或
1当的坐标为时，，
外接圆是以为圆心，为半径的圆，即
②当的坐标为时，，，所以为直角三角形，其外接圆是以线段
为直径的圆，圆心坐标为，半径为，
外接圆的方程为
综上可知：外接圆方程是，或
(2)由题意可知直线的斜率存在. 设，，，
由得：
由得：（）
，即
，结合（）得：
，
从而，
点在椭圆上，，整理得：
即，，或
21. （本小题满分12分）
已知是三内角，向量，且．（1）求角；
（2）若，求和tanc
参考答案：
解:（1）∵∴……2分
即
, ，……4分
∵∴
∴．
……6分
（2）由题知，
整理得．
∴∴，∴或．
而使，(舍去)
∴．……10分∴
．……12分
22. （本小题满分7分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系．求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的极坐标方程。

参考答案：
椭圆的普通方程为右焦点为（4，0），……2分
直线（为参数）的普通方程为，斜率为；……4分
所求直线方程为：
所以极坐标方程为……7分。