江苏省张家港市崇真中学2017届高三数学一轮复习导学案31 等差数列(一)

学案31 等差数列㈠
一、课前准备： 【自主梳理】
1．等差数列的有关定义
⑴ 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 等于同一个常数，则该数列就叫做等差数列．符号表示为 ，这个常数叫做等差数列的 ，记作 ． ⑵ 数列,,a A b 成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫做,a b 的 ． 2．等差数列的有关公式 设等差数列{}n a 的公差为d ，
⑴ 通项公式：+=1a a n ； ⑵ 通项公式推广：+=m n a a ． 3．等差数列通项公式与函数的关系
()d a dn a n -+=1，数列{}n a 是等差数列的充要条件是其通项公式=n a ．
4．等差数列的常用性质
⑴ 若{}n a 为等差数列，且q p n m +=+ ()
*
∈N q p n m ,,,，则,,,,q p n m a a a a 之间的等量关系
为 ．特别地，当 时，2m n p a a a +=．
⑵ 当0d >时，{}n a 单调 ；当0d =时，{}n a 为常数列；当0d <时，{}n a 单调 ． 5．证明数列{}n a 是等差数列的常用方法
方法一： ； 方法二： ． 【自我检测】
1．已知a ，1，2成等差，则=a ．
2．已知数列{}n a ，1a =1，21+=+n n a a ，*
∈N n ，则n a =____ ．
3．已知n n n a a a a a a 21321,,,,,,, +是公差为d 的等差数列，则 ⑴ n a a a a 2642,,,, 是公差为 的等差数列； ⑵ {}b ka n +是公差为 的等差数列．
4．在等差数列{}n a 中，已知28,1093==a a ，则=12a ；=15a ． 5．等差数列{}n a 中，已知1234520a a a a a ++++= 那么=3a ______． 6．等差数列{}n a 中，已知1a =1
3
，254a a +=，33=n a ，则=n ________．
二、课堂活动： 【例1】填空题：
⑴ 已知a ，b ，﹣10，c ，﹣20成等差，则=a ，=b ，=c ．
⑵ 等差数列{}n a 中，已知3
1
-=d ，87=a ，则=n a ．
⑶ 已知数列{}a n 中， 1111
3,5,n n
a n N a a *+=-=∈，则=n a ．
⑷ 在等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -的值为 ．
【例2】已知数列{}n a 的通项公式()R q p qn pn a n ∈+=,2，且q p ,为常数． ⑴ 当p 和q 满足什么条件时，数列{}`n a 是等差数列； ⑵ 求证：对任意实数p 和q ，数列{}n n a a -+1是等差数列．
【例3】已知等差数列{}`n a 中，14715a a a ++=，24645a a a =，求数列{}n a 的通项公式．
课堂小结
三、课后作业
1．已知等差数列{}`n a 满足15-=a ，4=d ，则=n a ． 2．在等差数列{}`n a 中，22=a ，43=a ，则=10a ． 3．在等差数列{}`n a 中，1261=+a a ，74=a ，则=3a ． 4．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++= ．
5．等差数列的前三项依次是
151
,,,16x x x
+则这个数列的第101项是 _． 6．数列{}n a 中，23=a ，17=a ，且数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+11n a 是等差数列，则=11a ． 7．首项为-24的等差数列，从第十项其开始为正数，则公差的取值范围是 ． 8．在等差数列{}`n a 中，已知q a p =，()q p p a q ≠=，则=+q p a ．
9．在数列{}`n a 中，21=a ，6617=a ，通项公式是项数n 的一次函数． ⑴ 求数列{}`n a 的通项公式
⑵ 88是否是否是数列{}`n a 中的项，若是，是第几项？
10．在数列{}n a 中，11=a ，()
*++∈=-+N n a a a a n n n n 0311． ⑴ 求证：数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列； ⑵ 求数列{}n a 的通项．
四、纠错分析
学案31 等差数列㈠
一、课前准备： 【自主梳理】
1．等差数列的有关定义
⑴ 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则该数列就叫做等差数列．符号表示为 ()
*+∈=-N n d a a n n 1，这个常数叫做等差数列的公差，记作d ． ⑵ 数列,,a A b 成等差数列的充要条件是 A b a 2=+，其中A 叫做,a b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 设等差数列{}n a 的公差为d ，
⑴ 通项公式：+=1a a n ()d n 1-； ⑵ 通项公式推广：+=m n a a ()d m n -*∈N m n ,． 3．等差数列通项公式与函数的关系
()d a dn a n -+=1，数列{}n a 是等差数列的充要条件是其通项公式=n a ．
4．等差数列的常用性质
⑴ 若{}n a 为等差数列，且q p n m +=+ ()
*
∈N q p n m ,,,，则,,,,q p n m a a a a 之间的等量关系
为 ．特别地，当 时，2m n p a a a +=．
⑵ 当0d >时，{}n a 单调 ；当0d =时，{}n a 为常数列；当0d <时，{}n a 单调 ． 5．证明数列{}n a 是等差数列的常用方法
方法一： ； 方法二： ． 【自我检测】
1．已知a ，1，2成等差，则a
2．已知数列{}n a ，1a =1，21+=+n n a a ，*
∈N n ，则n a =___12-n _ ．
3．已知n n n a a a a a a 21321,,,,,,, +是公差为d 的等差数列，则 ⑴ n a a a a 2642,,,, 是公差为 d 2 的等差数列； ⑵ {}b ka n +是公差为 kd 的等差数列．
4．在等差数列{}n a 中，已知28,1093==a a ，则=12a 37 ；=15a 46 ． 5．等差数列{}n a 中，已知1234520a a a a a ++++= 那么=3a __4__．
6．等差数列{}n a 中，已知1a =1
3
，254a a +=， 33=n a ，则=n __100_． 二、课堂活动： 【例1】填空题：
⑴ 已知a ，b ，﹣10，c ，﹣20成等差，则=a 0 ，=b ﹣5 ，=c ﹣15 ．
⑵ 等差数列{}n a 中，已知2-=d ，87=a ，则n a n 222- ．
⑶ 已知数列{}a n 中，311=a ，()
*+∈=-N n a a n n 5111，则=n a 2
51-n ．
⑷ 在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ，则9102a a -的值为 24 ．
【例2】已知数列{}n a 的通项公式()R q p qn pn a n ∈+=,2，且q p ,为常数． ⑴ 当p 和q 满足什么条件时，数列{}`n a 是等差数列； ⑵ 求证：对任意实数p 和q ，数列{}n n a a -+1是等差数列． ⑴ 解：{}`n a 是等差数列⇒n n a a -+1是一个常数；
由题得：()()q p pn qn pn n q n p a a n n ++=--+++=-+21122
1是一个常数；
可知0=p ，R q ∈．
⑵ 证明：由⑴知：q p pn a a n n ++=-+21
则()()()p q p pn q p n p a a a a n n n n 2212112=---+++=---+++是一个常数 所以，对任意实数p 和q ，数列{}n n a a -+1是等差数列．
【例3】已知等差数列{}`n a 中，14715a a a ++=，24645a a a =，求数列{}n a 的通项公式． 解：951536244741=⇒=⇒==++a a a a a a a ，
又102462==+a a a ，则有⎩⎨⎧==⇒⎩⎨
⎧=+=91109626262a a a a a a 或⎩⎨⎧==19
6
2a a ，
当12=a ，96=a 时，2=d ，则32-=n a n ； 当92=a ，16=a 时，2-=d ，则n a n 213-=； 综上，32-=n a n 或n a n 213-= 课堂小结
三、课后作业
1．已知等差数列{}`n a 满足15-=a ，4=d ，则n a 54-n ． 2．在等差数列{}`n a 中，22=a ，43=a ，则=10a 18 ． 3．在等差数列{}`n a 中，1261=+a a ，74=a ，则=3a 5 ． 4．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++= 21 ．
5．等差数列的前三项依次是
151
,,,16x x x
+则这个数列的第105项是 9_． 6．数列{}n a 中，23=a ，17=a ，且数列⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧+11n a 是等差数列，则=11
a 21
． 7．首项为-24的等差数列，从第十项其开始为正数，则公差的取值范围是 ⎥⎦
⎤ ⎝⎛3,38 ． 8．在等差数列{}`n a 中，已知q a p =，()q p p a q ≠=，则=+q p a 0 ． 9．在数列{}`n a 中，21=a ，6617=a ，通项公式是项数n 的一次函数． ⑴ 求数列{}`n a 的通项公式
⑵ 88是否是否是数列{}`n a 中的项，若是，是第几项？ 解：⑴ 设b kn a n +=
由题知⎩
⎨
⎧⎩⎨⎧-=⇒-==⇒=+=+2424
66172n a b k b k b k n ；
⑵ 假设88是数列{}`n a 中的项，则*∉=
⇒=-N n n 2
45
8824，所以假设不成立，即88不是数列{}`n a 中的项．
10．在数列{}n a 中，11=a ，()
*++∈=-+N n a a a a n n n n 0311，且0≠n a ． ⑴ 求证：数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列； ⑵ 求数列{}n a 的通项． 解：⑴ 法一：
331111111==-=-+++++n n n
n n n n n n n a a a a a a a a a a 为常数，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等差数列； 法二：0311=-+++n n n n a a a a ，0≠n a ，则两边同时除以n n a a 1+，可得
31
11
=-
+n
n a a 为常数， 则数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列． ⑵ 2
31
-=
n a n
四、纠错分析。