【百强校】四川省成都外国语学校2018届高三下学期3月月考数学(理)试题(含答案解析)

四川省成都外国语学校2018届高三下学期3月月考数学（理）试题
一：选择题。

1.i 为虚数单位，则2(1)i -的虚部为( ) A. 2 B. 2-
C. 2i
D. 2i -
【答案】B 【解析】 【分析】
化简已知复数，由复数的基本概念易得虚部．
【详解】化简可得()2
21121212i i i i i -=-+=--=-
∴复数的虚部为2-
本题正确选项：B
【点睛】本题考查复数的运算法则，涉及复数的基本概念．需要注意a bi +的虚部为b ，不要误写为bi ． 2.抛物线2
14
x y =的焦点到准线的距离为（ ） A.
18
B. 12
C. 2
D. 8
【答案】C 【解析】 【分析】
抛物线方程化为标准方程，利用抛物线的标准方程可得2p =，由焦点到准线的距离为p ，得到结果． 【详解】将抛物线2
14
x y =
整理为24y x = 由标准方程2
2y px =可得2p =
根据抛物线性质可知，焦点到准线的距离为2p = 本题正确选项：C
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为p 是解题的关键． 3.数列{}n a 满足3OA OB ⋅=-u u u v u u u v
2,()n n N ≥∈是数列{}n a 为等比数列的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
分析：由反例得充分性不成立，再根据等比数列性质证必要性成立.
详解：因为0n a =满足2
11n n n a a a -+=，所以充分性不成立
若数列{}n a 为等比数列，则1
1n n n n
a a
a a +-=211 n n n a a a -+=，，即必要性成立. 选B.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 4.如图所示的程序框图，若输出的41S =，则判断框内应填入的条件是( )
A. 3k >？
B. 4k >？
C. 5k >？
D. 6k >？
【答案】C 【解析】
【详解】执行循环得2,2;3,437;4,14418;5,36541;k S k S k S k S ====+===+===+= 结束循环，输出41S =，所以判断框内应填入的条件是4?k >，选B.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明
确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 5.设函数()sin 23f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象为C ，下面结论中正确的是( ) A. 函数()f x 的最小正周期是2π B. 函数()f x 在区间,122ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上是增函数 C. 图象C 可由函数()sin2g x x =的图象向右平移
3
π
个单位得到 D. 图象C 关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 【答案】D 【解析】 【分析】
利用正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性以及()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，依次排除，得到正确结果．
【详解】函数()sin 23πf x x ⎛
⎫=-
⎪
⎝
⎭的最小正周期为22
π
π=，可得A 错误； 在区间,122ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上，22,
323x πππ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
，根据sin x 图像可知，()f x 在,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭不单调，可得B 错
误；
把函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位，可得2sin 23y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象，
与()f x 不符，可得C 错误； 令6x π
=
，可得sin 006f π⎛⎫== ⎪⎝⎭
，图象C 关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，可得D 正确．
本题正确选项：D
【点睛】判断()sin y A ωx φ=+的基本性质，往往采用整体代入的方法，对应sin x 的图像，来判断结论是否正确；图像左右平移时，需要注意左右平移的单位是针对x 的变化．
6.已知,,l m n 为三条不同直线,,,αβγ为三个不同平面,则下列判断正确的是( ) A. 若//,//m n αα,则//m n
B. 若,//,m n αβαβ⊥⊥,则m n ⊥
C. 若,//,//l m m αβαβ=I ,则//m l
D. 若,,,m n l m l n αβαγ==⊥⊥I I ,则l α⊥
【答案】C 【解析】 【分析】
根据直线与直线平行与垂直的判定定理一一进行判断可得答案.
【详解】解： A 项,若//,//m n αα,则//m n ,则m 与n 可能平行,可能相交,也可能异面,故A 项错误； B 项,若αβ⊥ ，m α⊥则直线m 可能在平面β内,也可能//m β, //n β若则直线m 和直线n 可能异面、相交或 平行,故B 项错误:
C 项,若,//,//l m m αβαβ⋂=.则直线m 平行于两平面的交线,即//m l ,故C 项正确；
D 项，,m n αβαγ⋂=⋂=, 则m 可能平行于n ,此时若,l m l n ⊥⊥,不能说明l α⊥,故D 项错误. 故选C.
【点睛】本题主要考查空间中直线与平面间的位置关系及直线与直线平行与垂直的判定，牢记各定理并灵活运用是解题的关键.
7.已知(),P x y 为区域22
40
0y x x a -≤⎧≤≤⎨⎩
内的任意一点，当该区域的面积为2时，2z x y =+的最大值是( )
A. 5
B. 0
C. 2
D. 【答案】A 【解析】
试题分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为2的a 值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
2240{0y x x a
-≤≤≤作出可行域如图, 由图可得22A a a B a a -（，），（，）
，1
421122
OAB S a a a B ∆=⨯⨯=∴=∴Q ，，（，）， 目标函数可化为122z y x =-+，∴当122
z
y x =-+，过A 点时，z 最大，z=1+2×
2=5，故选A ．
考点：简单的线性规划
8.五个人站成一排照相，其中甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同的站法有( ) A. 24种 B. 60种 C. 48种 D. 36种
【答案】D 【解析】
试题分析：由题意知本题可以采用间接法来解，首先做出五个人全排列的排列数为5
5A ，不合条件的排列是甲和乙相邻，甲和丙相邻，甲和乙相邻有2424A A ，甲和丙相邻有24
24A A ，这两组数中有一部分重复计数要减
去，所以甲与乙不相邻，且甲与并也不相邻的不同排法数是52423
52423236A A A A A -+=，故选D.
考点：排列、组合及简单计数问题.
【方法点晴】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，其中站队问题是排列、组合总的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用分步计数原理得到结果，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中，首先做出五个人全排列数，再把不符合条件的减去，即可得到结果.
9.函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可以是( )
A. ()sin f x x x =+
B. ()cos x
f x x =
C. ()cos f x x x =
D. ()322f x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=⋅-
⋅- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
【答案】C 【解析】
观察图象知，f (x )为奇函数，排除D ；又函数在x ＝0处有定义，排除B ；取x ＝2π，得f 2π⎛⎫
⎪⎝⎭
＝0，A 不适合，故选C.
10.直线1l ：y x =、2l ：2y x =+与C e ：22220x y mx ny +--= 的四个交点把C e 分成的四条弧长相等，则(m = ) A .
0或1
B. 0或1-
C. 1-
D. 1
【答案】B 【解析】
试题分析：直线l 1：y=x 与l 2:y=x+2
，⊙C ：22
220x y mx ny +--=的圆心为（m ，m ），
半径r 2=m 2+m 2
，由题意可得22222222{
(
)2
m n m n +=++=+解得 m=0或m=-1，故选B.
考点：1.直线与圆的
位置关系；2.点到直线的距离.
11.设O 是ABC V 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，已知2220b b c -+=，则BC AO ⋅u u u r u u u r
的范围是( ) A. [
)0,+∞ B. [
)0,2
C. 1,4⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
D. 1,24⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
将BC AO →
→
⋅进行线性拆解，可知需要求出AB →，AC →与AD →
的夹角的余弦值；通过O 为ABC ∆外接圆圆心，利用外接圆表示出两个需求的余弦值，从而将BC AO →
→
⋅转化为关于b 的二次函数，通过求解二次函数值域得到最终结果．
【详解】O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，故O 是三角形外接圆的圆心，如图所示：
连接AO 并延长交外接圆于D ，AD 是O e 的直径，并连接BD ，CD ； 则90ABD ACD ∠=∠=o
，cos AB BAD AD ∠=
，cos AC
CAD AD
∠=；
()221111cos cos 2
222BC AO AC AB AD AC AD CAD AB AD BAD b c →
→
→→→
→→→→⎛⎫∴⋅=-⋅=∠-∠=- ⎪⎝⎭()2
221112224b b b b ⎛
⎫=-+=-- ⎪⎝⎭； 2220c b b =->Q 02b ∴<<
设()()2
11,0224f b b b ⎛⎫=--<< ⎪⎝
⎭；
当12b =
时，()f b 取最小值14-，又()22f =
()1,24f b ⎡⎫
∴∈-⎪⎢⎣⎭
BC AO →
→
∴⋅的范围是1,24⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
本题正确选项：D
【点睛】处理向量数量积范围求解问题主要有两个思路：1.将所求向量进行线性拆解，变成已知向量的数量积问题；2.建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解．本题易错点，在于最后利用二次函数求值域时，忽略了b 的取值范围，导致求解错误．
12.已知函数()f x 的导数为()'f x ，且()()()1'0x f x xf x ++≥对[
)0,x ∈+∞恒成立，则下列不等式一定成立的是( ) A. ()()122f ef < B. ()()12ef f < C. ()10f < D. ()()22ef e f <
【答案】A 【解析】 【分析】
通过()()()10x f x xf x +'+≥构造出函数()()x
F x xe f x =，可求得()F x 在[)0,+∞上的单调性；再通过
()1F 与()2F 的大小关系，得到最终结果．
【详解】构造函数()()x
F x xe f x =，可得()()()()1x
F x e x f x xf x ''=++⎡⎤⎣⎦
()()()10x f x xf x '++≥Q ，0x e > ()0F x '∴≥对[)0,x ∈+∞恒成立
可得：函数()()x
F x xe f x =在[)0,+∞上单调递增
()()12F F ∴<，即()()122f ef <
本题正确选项：A
【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性问题，难点在于构造函数()()x
F x xe f x =．构造函数是导数考
查的重难点知识，要注意选项中函数形式所给的提示，同时要利用好x e 的导函数与原函数一致的特点．
二：填空题。

13.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为______．
【答案】
1
5
【解析】 【分析】
根据三视图还原，得到正方体被截去四面体后的直观图，再利用体积公式求解出两个部分的体积，最终得到比值．
【详解】由三视图得，原几何体为在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，直观图如图所示：
设正方体棱长为a ，则11111123111113326
A A
B D A B D V S AA a a a -∆=⋅=⨯⨯= 故剩余几何体体积为3
331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15
本题正确结果为：1
5
本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答．
【点睛】本题考查三视图与几何体的体积问题，关键是正确还原几何体；再利用体积公式求解各部分体积；需要注意的是，对于不规则几何体的体积，经常利用割补进行求解．
14.过双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点
分别为B 、.C 若12
AB BC =u u u r u u u r
，则双曲线的离心率是______．
5【解析】 【分析】
求出直线l 和两个渐近线的交点，进而表示出AB u u u r 和BC uuu
r ，进而根据12
AB BC =u u u r u u u r 求得a 和b 的关系，根据
c 2﹣a 2=b 2，求得a 和c 的关系，则离心率可得．
【详解】直线l ：y=﹣x+a 与渐近线l 1：bx ﹣ay=0交于B （2
a a
b +，ab a b +），
l 与渐近线l 2：bx+ay =0交于C （2
a a
b -，ab a b
--），
∵A （a ，0），
∴AB u u u r =（﹣ab a b +，ab a b +），BC uuu r =（2222a b a b -，﹣222
2a b a b
-）， ∵12
AB BC =u u u r u u u r
，
∴﹣ab a b +=222
a b a b -，
∴b=2a ， ∴c 2﹣a 2=4a 2，
∴e 2
=2
2c a
=5，∴
【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．
15.洛萨⋅科拉茨(Lothar Collatz ，1910.7.61990.9.26)-是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半(即)2
n
；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即31)n +，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1.对科拉茨(Lothar )Collatz 猜想，目前谁也不能证明，更不能否定.现在请你研究：如果对正整数(n 首项)按照上述规则施行变换(注：1可以多次出现)后的第八项为1，则n 的所有可能的取值为______． 【答案】{}2,3,16,20,21,128 【解析】 【分析】
从第八项为1出发，按照规则，逆向逐项推导，即可求出n 的所有可能的取值． 【详解】如果正整数n 按照上述规则施行变换后的第8项为1， 则变换中的第7项一定是2；变换中的第6项一定是4； 变换中的第5项可能是1，也可能是8；
当第5项是1时，变换中的第4项是2；当第5项是8时，变换中的第4项是16； 当第4项是2时，变换中的第3项是4；当第4项是16时，变换中的第3项是32或5
当第3项是4时，变换中的第2项是8或1；当第3项是32时，变换中的第2项是64；当第3项是5时，变换中的第2项是10；
当第2项是8时，变换中的第1项是16；当第2项是1时，变换中的第1项是2；当第2项是64时，变换中的第1项是128或21；当第2项是10时，变换中的第1项是20或3 则n 的所有可能的取值为2，3，16，20，21，128
本题正确结果为：{}2,3,16,20,21,128
【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，充分考查了学生的推理能力；关键是利用变换规则，进行逆向验证，在验证中注意多个可能取值的影响．
16.若3)n
x
展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为______． 【答案】－15． 【解析】
试题分析：3n x ⎫⎪⎭Q 展开式的各项系数绝对值之和与3n
x ⎫⎪⎭展开式的各项系数和相等，令1x =，
得()131024,5n
n +=∴=．设5
3x ⎫⎪
⎭展开式中含x 的项为第1r +项，则
()()
51
531
22
155
33r
r r
r
r r r T C x x C x
---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
．令
5312
r -=，得1r =，∴含x 项的系数为1
5
315C -=-． 考点：二项式定理的应用．
三：解答题。

17.已知ABC V 的面积为S ，且AB AC S ⋅=u u u r u u u r
．
()1求tan2A 的值； ()2若4
B π
=
，3CB CA u u u r u u u r
-=，求ABC V 的面积S ． 【答案】(1)4
3
- (2)3 【解析】 【分析】
（1）根据向量数量积的定义结合三角形的面积公式建立方程求出tan A ，结合正切的倍角公式进行计算即可；（2）利用两角和差的正弦公式求出sin C 的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）设ABC
∆角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c
AB AC S →
→
⋅=Q 1
cos sin 2bc A bc A ∴= 1
cos sin 2
A A ⇒=，即tan 2A =
2
2tan 44
tan 21tan 143
A A A ∴===---
（2）33CB CA AB c →→→
-=⇒==
tan 20A =>Q 0
2
A π
∴<<
25
sin 5
A ∴=
，5cos 5A =
()25252310
sin sin sin cos cos sin 22C A B A B A B ∴=+=+=
⨯+⨯=
由正弦定理知：sin sin c b C B
=得2
3sin 25sin 310c B b C ⨯
=
== 三角形的面积1125sin 53322S bc A =
=⨯⨯⨯= 【点睛】本题主要考查正弦定理、两角和差公式、二倍角公式以及三角形面积的计算，属于基础变换问题，考查学生的计算能力．求解时要注意在求解A 的同角三角函数值时，A 的范围对三角函数值符号的影响．
18.某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[)40,50、[
)50,60、⋯、[]90,100后得到如图部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
()1求分数在[)70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；
()2统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
()3若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[)40,60记0分，在[)60,80记1分，在[]80,100记2
分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】(1)见解析；(2) 平均分为71(3)见解析 【解析】 【分析】
()1根据概率之和为1，即频率分布直方图的面积之和为1．
()2根据题意同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，所以用每一组数据的中点值代表这一组数的平均数，即可求得．
()3从60名学生中随抽取2人，根据题意总记分可能为0、1、2、3、4.求出相应的概率，即可求得分布列
和期望．
【详解】()1设分数在[
)70,80内的频率为x ，根据频率分布直方图，
有()0.010.01520.0250.005101x +⨯++⨯+=， 可得0.3x =，所以频率分布直方图如图所示
()2平均分为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()3学生成绩在[)40,60的有0.256015⨯=人，
在[
)60,80的有0.456027⨯=人， 在[
)80,100的有0.36018⨯=人，
ξ的可能取值是0，1，2，3，4
则()21526070118C P C ξ===，()111527260271118C C P C ξ===，()112
1518272
60207
2590C C C P C ξ+===，()112718*********C C P C ξ===，()2182
6051
4590
C P C ξ=== 所以ξ的分布列为：
1
2
3
4
ξ
P
7
118
27
118
207
590
81
295
51
590
7272078151
01234 2.1
118118590295590
Eξ
∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】本题考查了频率分布直方图的知识，考查了离散型随机变量的分布列，考查了平均数的求法，考查了学生的计算能力，属于基础题．
19.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．
（1）求PA的长；
（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．
【答案】（1）2（2）
【解析】
（1）如图，连接BD交AC于点O
∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD
以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，
建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．
又∵OD=CDsin=，
∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）
由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）
∵F 为PC 边的中点，∴F （0，﹣1，），由此可得=（0，2，），
∵=（，3，﹣z ），且AF ⊥PB ， ∴
•
=6﹣
=0，解之得z=2
（舍负）
因此，=（0，0，﹣2
），可得PA 的长为2；
（2）由（1）知=（﹣
，3，0），
=（
，3，0），=（0，2，），
设平面FAD 的法向量为=（x 1，y 1，z 1），平面FAB 的法向量为=（x 2，y 2，z 2）， ∵•
=0且•
=0，∴
，取y 1=
得=（3，
，﹣2），
同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣
，2），
∴向量、的夹角余弦值为cos ＜，＞=
=
=
因此，二面角B ﹣AF ﹣D 的正弦值等于=
20.已知椭圆E:2213
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两
点，点N 在E 上，MA ⊥NA.
（Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449
；（Ⅱ）)
3
2,2.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN V 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，
同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22
143
x y +=，()2,0A -.
由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为
4
π
.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22
143
x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.
因此AMN V 的面积AMN S V 11212144
227749
=⨯
⨯⨯=
. （Ⅱ）由题意3t >，0k >
，()
A .
将直线AM
的方程(y k x =+代入2213
x y t +=得(
)
22222
330tk x x t k t +++-=.
由(221233t k t
x tk -⋅=+
得)
21233tk x tk
-=+
，故
1AM x ==
.
由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得
AN ==，
由2AM AN =得22
233k tk k t
=++，即()
()3
2321k t k k -
=-. 当k =
因此()3
3212
k k t k -=
-.3t >等价于()()
23233
2122022
k k k k k k k -+-+-=<--， 即
3
2
02
k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -
<->2k <
. 因此k 的取值范围是
)
2.
【考点】椭圆性质，直线与椭圆的位置关系
【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．
21.设函数()ln bx
f x ax x
=
- ()1若函数()
f x 图象在点()(
)2
2
,e f e
处的切线方程为2
340x y e
+-=，求实数a 、b 的值；
()2当1b =时，若存在1x ，2
2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12'f x f x a ≤+成立，求实数a 的最小值．
【答案】（1）1a b ==（2）211
24e
-． 【解析】 【分析】
()()()2
ln 11'(0ln b x f x a x x
-=
->，且1)x ≠，可得()
2
3'44b f e
a =-=-，()
22
22122
be f e ae e =-=-，联立解得a ，b ．
()2当1b =时，()ln x f x ax x =
-，()2
ln 1
'ln x f x a x
-=-，可得()22ln 11111'()(ln )ln 244x f x a x x -+==--+≤，()1[']4
max f x a +=，2,.x e e ⎡⎤∈⎣⎦存在1x ，22,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12'f x f x a ≤+成立2
,x e e ⎡⎤⇔∈⎣⎦，1
()'()4
min
max f x f x a ≤+=，对a 分类讨论解出即可．
【详解】()()()2
ln 11'(0ln b x f x a x x
-=
->，且1)x ≠，
Q 函数()f x 的图象在点()()22
,e f e 处的切线方程为2
340x y e
+-=，
()
2
3'44b f e
a ∴=-=-，()
22
22122
be f e ae e =-=-， 联立解得1a b ==．
()2当1b =时，()ln x f x ax x =
-，()2ln 1
'ln x f x a x
-=-， 2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦Q ，[]ln 1,2x ∴∈，
11,1ln 2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
． ()22
ln 11111
'()(ln )ln 244
x f x a x x -∴+=
=--+≤， ()1[']4
max f x a ∴+=
，2
,.x e e ⎡⎤∈⎣⎦ 存在1x ，2
2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12'f x f x a ≤+成立 2
,x e e ⎡⎤⇔∈⎣⎦，1
()'()4
min max f x f x a ≤+=
， ①当14
a ≥
时，()'0f x ≤，()f x 在2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上为减函数，
则221
()24
min
e f x ae =-≤，解得21124a e ≥-．
②当14a <
时，由()2111'()ln 24f x a x =--+-在2
,e e ⎡⎤⎣⎦上的值域为1,.4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
()i 当0a -≥即0a ≤时，()'0f x ≥在2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立， 因此()f x 在2
,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上为增函数，
()1
()min f x f e e ae e e
∴==-≥>，不合题意，舍去．
()ii 当0a -<时，即104
a <<时，由()'f x 的单调性和值域可知：
存在唯一(
)2
0,x e e
∈，使得()0
'0f x =，
且满足当[
)0,x e x ∈，()'0f x <，()f x 为减函数； 当(
)2
0,x x e
∈时，()'0f x >，()f x 为增函数．
()000011()ln 44
min x f x f x x x ∴==
-≤，()
20,x e e ∈ 20011111ln 4ln 44a x x e e ∴≥
->->，与104
a <<矛盾． 综上可得：a 的最小值为：
2
11
24e -． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22.在直角坐标系xOy 中，曲线sin cos :1sin 2x C y αα
α=+⎧⎨
=+⎩
（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，直线l
的方程为：)
()sin 0a a R ρ
θθ--=∈
()1当极点O 到直线l
时，求直线l 的直角坐标方程；
()2若直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求实数a 的取值范围
【答案】（1
30y -±= (2)1 0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
（1）将直线l 的方程化为直角坐标方程，由点到直线的距离公式求出a 值，可得直线的方程；（2）曲线C 中消去参数α，得出普通方程，并根据三角函数的有界性求出x 的取值范围，将直线l 与曲线C 有两个不同的交点，转化为直线y a =与二次函数()f x 有两个不同的交点，通过二次函数图象可得出a 的取值范围．
【详解】（1）直线l ()cos sin 0a a R θρθ--=∈
0y a --=
极点O 到直线l =3a =±
故直线l 30y -±=
（2）曲线C 的普通方程为(
2
x y x =≤≤
直线l 0y a --=
联立曲线C 与直线l 的方程，消去y 可得(
2
0x a x +=≤≤
即y a =与()2
y f x x ==-在x ≤≤
上有两个不同的交点
()
f x 的最大值为122f ⎛= ⎝⎭；且0f
=；(4f =-
∴实数a 的范围为10,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，以及函数与方程思想的应用．求解直线与曲线交点类问题时，通常转化为y t =与函数的交点，通过函数图像来进行求解；易错点为：参数方程化普通方程时，忽略自变量的取值范围．
23.已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R （I ）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集； （II ）若函数()f x 的最小值为1，证明：149
18a b b c c a
++≥+++（a b c ++） 【答案】(Ⅰ) (2,2)-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】
（I ）代入a,b,c 的值，结合x 取不同范围，去掉绝对值，解不等式，即可．（II ）计算()f x 的最小值，得到a,b,c 的等式，利用基本不等式，证明不等式，即可．
【详解】（I ）1a b c ===，不等式()5f x <，即114x x -++< 当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤- 当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<< 当1x ≥时，11412x x x -++<⇒≤<
∴解集为()2,2-
（II ）()f x x b x c a =-+++ ()()x c x b a ≥+--+ b c a =++
a 0,
b 0,
c 0Q >>> ()min 1f x a b c ∴=++=
149a b b c c a ∴
++=+++ 1
49a b b c c a ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭ ()a b c ++
11492a b b c c a ⎛⎫
=
++ ⎪+++⎝⎭
()a b b c a c +++++
222
12⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2
2
2
⎡⎤++⎢⎥⎣
⎦
2
12≥ ()1818a b c ==++ 【点睛】考查了含绝对值不等式的解法，考查了基本不等式，考查了不等式的证明，难度偏难．。