关于正交矩阵和正交变换新的引入方法

关于正交矩阵和正交变换新的引入方法
作者：李满朱玉清
来源：《课程教育研究·上》2015年第11期
【摘要】本文运用实际生活中的例子引入正交矩阵和正交变换的课程内容，这可以有效的提高学生对知识点的兴趣，并且较好的学习正交矩阵和正交变换的基本概念和了解这个知识点的应用。

【关键词】正交矩阵 ;正交变换 ;向量组
【中图分类号】TP391.41 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）11-0108-01
1.引言
正交变换是欧氏空间中的一种重要的变换，是保持内积及长度不变的线性变换，因而不会改变曲线或曲面的形状。

正交变换不仅在高等代数、数学分析及其它数学分支中起着独到的作用，而且在自动化技术、计算机技术、物理等领域都有十分广泛的应用。

2.正交矩阵和正交变换
理解正交矩阵和正交变换概念，会判断一个矩阵是否为正交矩阵，了解正交变换的分类。

定义1：如果n阶方阵A满足AAT=E，则称是A正交矩阵，也可简称为正交阵。

由AA-1=E，即AT=A-1。

定理：A为正交矩阵的充分必要条件为A的列（行）向量组为正交单位向量组。

这个定理主要用来判断一个矩阵是否为正交矩阵，例如判断下面两个矩阵是否是正交矩阵。

例：（1）A=-1 0 ;00 ; 1 ;00 ; 0 ;1 ; ; ; （2）A=cosθ ;-sinθ ;0sinθ ; cosθ ; 00 ; ; ; 0 ; ; ;1
解：（1）把A按列分块A=（a1，a2，a3），由于每个向量是单位向量，且任意两向量正交，a1，a2，a3为正交单位向量组，即A为正交矩阵。

同样的可得（2）也是正交矩阵。

性质：如果A，B为正交矩阵，AT也是正交矩阵，A-1=AT也是正交矩阵;AB也是正交矩阵;|A|=1，|A|=-1。

即，例（1）中|A|=-1 ;0 ;00 ; ;1 ;00 ; ;0 ;1=-1，例（2）中|A|=cosθ ;-sinθ ; 0sinθ ; ;cosθ ; 0
0 ; ; ; ;0 ; ; 1=1。

定义2：如果线性变换的系数矩阵为正交矩阵，则称y=Px这个变换为正交变换。

3.新的引入方法
如y=Px为正交变换，对其中一个向量y1求长度
||y1||======||x||，对其中两个向量y1，y2求内积。

[y1，y2]=yT1y2=（Px1）T（Px2）=xT1PTPx2=xT1（PTP）x2=xT1x2=[x1，x2]
因此，正交变换不改变向量的长度和内积，即不改变图形的几何形状。

这是正交变换的优良特性。

3.1小猫照镜子
运用小猫照镜子的图片（图1），在图片中以脖子中的铃铛为原点做出空间直角坐标系（图2）。

镜子中小猫的影像相当于与小猫之间存在如下的线性变换x'y'z'=-1 ;0 ; 0 ;0 ;1 ;
0 ;0 ;0 ; 1xyz。

图1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图2
由第2节中的例子可知，这个线性变换x'y'z'=-1 ;0 ; 0 ;0 ;1 ; 0 ;0 ;0 ; 1xyz系数矩阵A为正交矩阵，则这个变换为正交变换。

又因为|A|=-1 ;0 ;0 0 ; 1 ;0 0 ; 0 ;1=-1，这个线性变换也称为反射变换。

3.2 美女旋转图
运用美女旋转的动态图片（图3），做出空间直角坐标系（图4），转动的图片相当于在xoy面上旋转一个角度θ，令x=rcosαy=rsinαz=z，则x'=rcos（α+θ）=xcosθ-ysinθy'=rsin（α+θ）=xsinθ+ycosθz'=z，即旋转相当于做线性变换x'y'z'=cosθ ;-sinθ ;0sinθ ; cosθ ; 00 ; ; ; 0 ; ; ;1xyz。

图3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图4
同样的，美女旋转图的线性变换x'y'z'=cosθ ;-sinθ ;0sinθ ; cosθ ; 00 ; ; ; 0 ; ; ;1xyz也是正交变换，因为|A|=cosθ ;-sinθ ; 0sinθ ; ;cosθ ; 0 0 ; ; ; ;0 ; ; 1=1，这个线性变换也称为旋转变换。

通过这两个有趣的引例，采用启发式教学法，运用动画、视频和多媒体相结合的教学手段，引入正交矩阵和正交变换的基本概念。

使得学生在学习新知识的同时，形象的理解了这个知识点在实际生活中的应用。

4.小结
由这两张图片可以发现正交变换不改变向量的长度和内积，即不改变图形的几何形状。

由于正交变换的这个优良特性，反射变换和旋转变换经常被应用于工程中。

参考文献：
[1]王萼芳，石生明. 高等代数[M] . 3 版. 北京：高等教育出版社， 2007.
[2]赵兴杰. 高等代数教学研究[M] . 重庆：西南师范大学出版社， 2007.
[3]朱玉清. 线性代数[M] . 北京：科学出版社， 2012.
[4]纪永强. 三维内积空间中正交变换的特征向量的几何意义[J]. 湖州师范学院学报vol.36，2014.
作者简介：
李满（1982.11.25-），女，河南人，汉族，硕士研究生，南阳理工学院数理学院，助教，应用数学、系统控制。