高考数学一轮总复习教学课件第一章 集合与常用逻辑用语、不等式第5节 二次函数与一元二次方程、不等式

(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时,有时还需对两根的大小进行讨论.
[针对训练]
(1)(角度一)已知集合M={x|x2+x-6<0},集合N={x|
M∪N等于(
+
>0},则
-
)
A.{x|-3<x<1} B.{x|-4<x<1}
√
C.{x|-4<x<2} D.{x|-3<x<2}
a=0,即a=1,则∃x∈R,使-x+1≥0;若1-a<0,即a>1,要使得命题为真


命题,则Δ=(1-2a)2-4(1-a)≥0,即4a2-3≥0,解得 a≤- 或 a≥ ,
又因为a>1,所以此时a>1;若1-a>0,即a<1,则满足命题“∃x∈R,
(1-a)x2+(1-2a)x+1≥0”为真命题.综上,a∈R.故选D.
|x|>a(a>0)的解集为 (-∞,-a)∪(a,+∞)
为 (-a,a) .
,|x|<a(a>0)的解集
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)不等式ax2-x-1>0表示一个一元二次不等式.(
× )
(2)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解
集为R.(



+ + 成立.记 f(a)= (a+ )+ ,由对勾函数的性质可知 f(a)在






[2,4]上单调递增,所以 f(a)max=f(4)= ×(4+ )+ = ,故 m≤ .



给定参数范围的恒(能)成立问题,一般采用变换主元法,即求谁的
(x+2)(x-4)+a<0(a<0)的解集是(x1,x2)(x1<x2),则(
A.x1+x2=2
√
B.x x <-8
√
1 2
C.-2<x1<x2<4
√
D.x2-x1>6
)
解 析 : 因 为 关 于 x 的 不 等 式 (x+2)(x-4)+a<0(a<0) 的 解 集 是
(x1,x2)(x1<x2),
一元二次不等式与相应的函数、方程的联系.
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1.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),不
等式ax2+bx+c>0(a>0)的解的对应关系
判别式
Δ=b2-4ac
二次函数
的图象
Δ>0
Δ=0
Δ<0
方程的根
不等式
的解集
有两个不相等的实 有两个相等的实数
√
C.a+b+c>0


D.不等式 cx -bx+a<0 的解集为(-∞,- )∪( ,+∞)


√
2
)
2
解析:不等式 ax +bx+c>0 的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则-2,3 是方


程 ax +bx+c=0 的根,且 a>0,则- =1, =-6,即 b=-a,c=-6a,A 错误;
则这两个整数为-1,0,所以-2≤a<-1.综上,3<a≤4或-2≤a<-1.
故选A.
考点二
三个“二次”关系的应用
[例3] (多选题)(2024·黑龙江模拟)已知关于x的不等式ax2+bx+
c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则下列选项中正确的是(
A.a<0
B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
× )
(3)ax2+bx+c>0的解集可能是(m,+∞).(
√ )
(4)“x2-5x-6<0”是“|x-2|<3”的充分不必要条件.( ×
)
2.不等式x2+2x-3>0的解集为(
)
A.{x|-3<x<1}
B.{x|-1<x<3}
C.{x|x<-3或x>1}
D.{x|x<-1或x>3}
√
解析:根据题意,方程x2+2x-3=0有两个根,即-3和1,则x2+2x-3>0的
(1)若f(x)>0在集合A中恒(能)成立,即集合A是不等式f(x)>0的解
集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).
(2)转化为函数值域问题,即:已知函数f(x)的值域为[m,n],则
f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a,
即n≤a.则f(x)≥a能成立⇔f(x)max≥a,即n≥a;f(x)≤a能成立⇔
第
一
章
[课程标准要求]
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性
及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.2.经历从实际背
景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实
意义,能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集
合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象,了解
f(x)min≤a,即m≤a.
角度三
给定参数范围的情况
[例6] 已知x∈R,∃a∈[2,4],使得x2+ax+a2≥x+am-1成立,则m的取

(-∞, ]

值范围为
2
2
.
2
2
解析:由 x +ax+a ≥x+am-1,得 x +(a-1)x+a -am+1≥0.由题意可得
2
2
∃a∈[2,4],使得(a-1) -4(a -am+1)≤0 成立,即∃a∈[2,4],使得 m≤
解析:(1)M={x|-3<x<2},N={x|-4<x<1},M∪N={x|-4<x<2}.故选C.
(2)(角度二)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有2个整数,
则实数a的取值范围是(
A.[-2,-1)∪(3,4]
√
B.[-2,-1]∪[3,4]
C.(-1,0)∪(2,3)
D.[-1,0]∪[2,3]
即不等式(m-2)x2+(m-2)x-3<0对任意实数x均成立,
当m-2=0,即m=2时,有-3<0恒成立,满足题意;
当m-2≠0,即m≠2时,
- < 0,
则有

= (-) + (-) < ,
解得-10<m<2.
综上所述,实数m的取值范围为(-10,2].故选B.
(2)(角度二)(2024·四川雅安统考三模)对任意的x∈(1,4),不


2
不等式 bx+c>0 化为-ax-6a>0,解得 x<-6,即不等式 bx+c>0 的解集
是{x|x<-6},B 正确;a+b+c=-6a<0,C 错误;
2
2
2
不等式 cx -bx+a<0 化为-6ax +ax+a<0,即 6x -x-1>0,



2
解得 x<- 或 x> ,所以不等式 cx -bx+a<0 的解集为(-∞,- )∪
一元二次不等式在R上恒成立的条件
不等式类型
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c≥0
ax2+bx+c<0
ax2+bx+c≤0
一元二次不等式在R上能成立的条件:
恒成立条件
a>0,Δ<0
a>0,Δ≤0
a<0,Δ<0
a<0,Δ≤0
当ax2+bx+c>0时,若a<0,则Δ>0,若a>0,则恒成立;当ax2+bx+c<0




( ,+∞),D 正确.故选 BD.

(1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一
元二次不等式的解集的端点值.
(2)给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应一元二次函数
的图象开口方向及与x轴的交点的横坐标,可以利用代入根或根与
系数的关系求待定系数.
[针对训练](多选题)(2024·山东枣庄模拟)已知关于x的不等式
解集为{x|x<-3或x>1}.故选C.
3.不等式ax2+bx+2>0的解集是(

- ,

),则a+b的值是 -14
.

2
解析:由题意知 a<0,且- , 是方程 ax +bx+2=0 的两根,由根与系

-

=- ,
则 a=-12,b=-2.所以 a+b=-14.
数的关系得
范围,谁就是参数.
[针对训练]
(1)(角度一)(2024·江苏连云港模拟)若不等式mx2+mx-4<2x2+
2x-1对任意实数x均成立,则实数m的取值范围是(
A.(-2,2)
B.(-10,2]
√
C.(-∞,-2)∪[2,+∞)
D.(-∞,-2)
)
解析:(1)因为不等式mx2+mx-4<2x2+2x-1对任意实数x均成立,
A.[-3,-1]
B.[-3,-1)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,-1]
√
)
+
解析:依题意,A={x|
≤0}={x|-3≤x<-1},
+

方程 2x -(2a+1)x+a=0⇔(2x-1)(x-a)=0⇔x= 或 x=a.

2


当 a> 时,B=[ ,a],此时 A∩B= ,不合题意;
所以x1,x2是一元二次方程x2-2x-8+a=0的两个根.所以x1+x2=2,
故A正确;
x1x2=a-8<-8,故B正确;

x2-x1= ( + ) - =2 ->6,故 D 正确;
由x2-x1>6,x1+x2=2,可得x1<-2,x2>4,故-2<x1<x2<4是错误的,
故C错误.故选ABD.
考点三
一元二次不等式恒成立、能成立问题
角度一
在R上的情况
[例4] (2024·山东青岛模拟)若命题“∃x∈R,(1-a)x2+(1-2a)x+
1≥0”为真命题,则实数a的取值范围为(
A.(-∞,1]
B.(1,+∞)


C.(-∞,- ]∪[ ,+∞)


√
D.R
)
解析:因为命题“∃x∈R,(1-a)x2+(1-2a)x+1≥0”为真命题,若1-
上有解,即a≥x2-2x在x∈[0,3]上有解,记f(x)=x2-2x,x∈[0,3],
则a≥f(x)min,因为f(x)=x2-2x在[0,1]上单调递减,在(1,3]上单
调递增,所以f(x)min=f(1)=-1,所以a≥-1,所以实数a可取的最小
整数值是-1.故选A.
在给定区间上的恒(能)成立问题的求解方法
由|x-1|≤3,解得-2≤x≤4,则N={x∈R|-2≤x≤4},则M∩N=
[-2,-
角度二
含参数不等式的解法
+
2
[例 2] (2024·广东模拟)若集合 A={x|
≤0},B={x|2x -(2a+1)x+
+
a≤0},且 A∩B≠ ,则实数 a 的取值范围为(




当 a= 时,B={ },此时 A∩B= ,不合题意;




当-1≤a< 时,B=[a, ],此时 A∩B= ,不合题意;



当 a<-1 时,B=[a, ],此时 A∩B≠ ,符合题意.

综上,a<-1.故选 C.
对含参数的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有:
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
时,若a<0,则恒成立,若a>0,则Δ>0.
角度二
在给定区间上的情况
[例5] 若命题“∀x∈[0,3],x2-2x-a>0”为假命题,则实数a可取
的最小整数值是(
A.-1
B.0
C.1
D.3
√
)
解析:因为命题“∀x∈[0,3],x2-2x-a>0”为假命题,所以命题
“∃x∈[0,3],x2-2x-a≤0”为真命题,即x2-2x-a≤0在x∈[0,3]


=- ,


4.(必修第一册P58复习参考2 T6改编)已知对任意x∈R,x 2 +

(a-2)x+
≥0恒成立,则实数a的取值范围是 [1,3] .


解析:∀x∈R,x2+(a-2)x+ ≥0,则Δ≤0⇒(a-2)2-1≤0⇒1≤a≤3.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
一元二次不等式的解法
角度一
不含参数不等式的解法
[例1] (2024·浙江模拟)已知集合M={x∈R|(1-x)(1+x)<0},
N={x∈R||x-1|≤3},则M∩N等于(
A.(1,4)
√
B.[-2,4]
C.[-2,-1)∪(1,4] D.(1,4]
)
解析:由(1-x)(1+x)<0解得x<-1或x>1,则M={x|x<-1或x>1},
数根x1,x2(x1<x2)
{x|x<x1或x>x2}
根x1=x2=
{x|x≠




}
没有实数根
R
2.分式不等式与整式不等式
()
(1) ()>0(<0)⇔
(2)
()
()
f(x)g(x)>0(<0)
;
≥0(≤0)⇔ f(x)g(x)≥0(≤0),且g(x)≠0
.
3.简单的绝对值不等式
)
解析:(2)由x2-(a+1)x+a<0可得(x-1)(x-a)<0.若a=1,则不等式的
解集为空集;若a>1,则不等式的解集为{x|1<x<a},此时要使不等