2019届甘肃省武威市第六中学高三第六次诊断考试数学(文)试题(PDF版)

武威六中2018-2019学年度高三第六次诊断考试
文 科 数 学 试 卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知集合A ={1，2，3}，B ={x |11≤≤-x }，则A ∩B =（ ）
A. (]1,0
B . []1,1- C. {}1 D. {}1,1-
2．已知复数z 满足（1+i ）z =3+i ，则复数z 的模是（ ）
A. 1
B. 5
C. 2
D. 4
3．已知函数
⎩
⎨⎧=≥-+<+)1(32
)1)(1lg(2)(x x
x x x x f ，则f （f （-3））的值为（
）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4．若抛物线y =ax 2
的焦点坐标是（0，1），则a =（ ）
A. 1
B.
2
1 C.
2 D.
4
1 5．“x ＜1”是“log 2x ＜0”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 6．已知角α在第二象限，若5
3
sin =
α，则tan2α=（ ） A. 32 B.724 C.724- D.4
3-
7. 在等差数列{}n a 中，已知1071=+a a ，则=+53a a （ ）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10 8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为
A. 21
3log 32+
B. 2log 3
C. 2
D. 3
9．已知点P 的坐标（x ，y ）满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≥+-≥-+062020
2y x y x y x ，则1+x y 的最大值（ ） A. 2
B.
2
1 C.
3
4 D. 8
10．在平面直角坐标系中，经过点P ）
，（2-22，渐近线方程为y =x 2±的双曲线的标准方程为（ ） A. 1242
2=-y x
B. 114722=-y x
C.16322=-y x
D.17
1422=-x y 11．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将△ABC 折成直二面角B -AD -C ，则过
A ，
B ，
C ，
D 四点的球的表面积为（ ）
A.π3
B.π4
C.π5
D.π6
12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 在区间[]2,1--上是减函数，且满足()()2f x f x -=-．令
()()()ln 2ln3ln5
,,,,235
a b c f a f b f c =
==，则的大小关系为 A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f a f b f c >> D ．()()()b f c f a f >> 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1312
n
n S =-，则4a =______． 14.曲线x y =
在点（4，2）处的切线的斜率为______．
15.将函数f （x ）=2cos （2x +
6
π
）的图象向左平移t （t ＞0）个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为______． 16.若lg a +lg b =0，则
b
a 1
2+的最小值是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. （本小题满分12
分）已知函数()cos 22x x f x =21cos 22
x -+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；
（Ⅱ）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1()2
f A =
，a =sin 2sin B C =，
求c .
18．（本小题满分12分）在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是邻边相等的矩形，
侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =2，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：PB ⊥ED ；
（Ⅱ）求三棱锥A -PBE 的体积．
19．（本小题满分12分）某市第三中学高三年级统计学生的最近20次数
学周测成绩（满分150分），现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示；
（Ⅰ）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整； （Ⅱ）根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度（不要求计算出具体值，给出结论
即可）；
（Ⅲ）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分
别属于不同的同学”，求事件A 发生的概率。

20．（本小题满分12分）已知直线2:1+=kx y l 与椭圆C ：12
82
2=+y x 交于A ，B 两点，直线1l 与直线224:0l x y +-=交于点M .
（Ⅰ）证明：直线2l 与椭圆C 相切.
（Ⅱ）设线段AB 的中点为N ，且||||AB MN =，求直线1l 的方程.
21.（本小题满分12分）已知()2ln 1f x ax b x =+-，设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为0y =。

（Ⅰ）求实数,a b 的值；
（Ⅱ）设函数2()()2x g x mf x mx =+-，若13m <<，求证：当[1,]x e ∈时，2
()22
e g x <-. 请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4— 4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为3cos 42sin
4
x t y t ππ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）
．以坐标原点O 为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度， 曲线2C 的极坐标方程为2
4cos sin θ
ρθ
=
． （Ⅰ）求直线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）过点(3,2)P 作直线1C 的垂线交曲线2C 于M ，N 两点，求||||PM PN ∙. 23．选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)
已知函数()|2|2|1|f x x x =++-. （Ⅰ）求()f x 的最小值；
（Ⅱ）若不等式()0f x x a +-<的解集为(,)m n ，且6n m -=，求a 的值.
答案和解析
一、选择题
1.C
2.B
3.A
4.D
5.B
6. C
7. D
8.C
9.A 10.B 11.C 12.A
二、填空题 13. 27 14.41 15.6
π 16.
22
三、解答题
17.解：（Ⅰ） 1()cos 2f x x x =-sin()6
x π
=-.……………………………2分 由
226k x π
π
π+≤-
322k ππ≤
+，k Z ∈，得223k x ππ+≤523
k ππ≤+，k Z ∈.4分
∴函数()f x 的单调递减区间为25[2,2]33k k ππ
ππ++，k Z ∈.……………………6分
（Ⅱ）∵1()sin()62f A A π=-=，(0,)A π∈，∴3
A π
=.…………………………8分
∵sin 2sin B C =，∴由正弦定理sin sin b c
B C
=
，得2b c =.………………………9分
又由余弦定理222
2cos a b c bc A =+-，a =22213442
c c c =+-⨯.解得1c =.…12分
18.解：（Ⅰ）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC ． 同理可证PD ⊥BC …………（3分）
∵PD =DC 可知△PDC 是等腰直角三形，而E 是斜边PC 的中点，∴DE ⊥PC ． ∵底面ABCD 是邻边相等的矩形，即四边形ABCD 为正方形． ∴BC ⊥DC ，又PD ⊥BC ，PD ∩DC =D ，
∴BC ⊥平面PDC ，又DE ⊂平面PDC …………（5分） ∴BC ⊥DE ，又DE ⊥PC ，且PC ∩BC =C ， ∴DE ⊥平面PBC ，又PB ⊂平面PBC ∴PB ⊥ED …………（7分） （Ⅱ）因为E 为PC 中点，所以
…………（8分）
又PD ⊥底面ABCD ，而底面ABCD 是邻边相等的矩形，
即底面ABCD 是正方形 …………（9分） 故…………（12分）
19.解：（I ）甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128， …………2分
…………4分
（II ）从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中 . …………6分 （III ）甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a ，b ，
乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c ，d ，e …………8分
现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有：(a ，b )，(a ，c )(a ，d )(a ，e )(b ，c )(b ，
d )(b ，
e )(c ，d )(c ，e )(d ，e )共10种， …………9分
其中2个成绩分属不同同学的情况有： (a ，c )(a ，d )(a ，e )(b ，c )(b ，d )(b ，e )共6种 因此事件A 发生的概率P(A)= 63
105
= .…………12分
20.（Ⅰ）证明：由22
182
240x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩
消去x 整理得2
210y y -+=，∵440∆=-=，∴2l 与C 相切． …………3分 （注：消去y 得到关于x 的一元二次方程，根据判别式等于0一样得分）
（Ⅱ）解：由2
240y kx x y =+⎧⎨+-=⎩
，得M 的坐标为（0,2）. …………4分
由22
1822x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去整理得()22
141680k x kx +++=，…………5分 因为直线1l 与椭圆交于A ,B 两点， 所以(
)2
2
2
(16)3214128320k k
k
∆=-+=->，解得21
4
k >
．…………7分
设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ，
则1221614k x x k +=-
+，122814x x k =+，所以1202
8214x x k
x k
+==-+．…………9分
∵||||AB MN =1200x -=-，
0x =，即2814k k =+，解得2
12
k =
，…………11分
满足21
4
k >
．∴2k =±1l 的方程为22y x =±+． ………12分
21. 解：（Ⅰ）由已知()2b
f x a x
'=+
， 依题意(1)0f =，且(1)0f '=
所以21020
a a
b -=⎧⎨
+=⎩ 解得1
,12a b ==- …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得()ln 1,0f x x x x =-->
所以()2()ln 02x g x m x m x =-->，2()m x m
g x x x x
-'=-=
…………6分
当0m >时，由()0g x '>得x >
()0g x '<得0x <<
所以()g x 在区间上是减函数，在区间)+∞上是增函数 …………8分
当13m <<，[1,]x e ∈[1,]e ，
()g x 在区间上是减函数，在区间]e 上是增函数
所以()g x 最大值为max((1),())g g e …………10分
又因为13m <<，22
()2222
e e g e m =-<-， 2
1(1)0222
e g m =-<<-
所以当13,[1,]m x e <<∈时，2
()22
e g x <- …………12分
【解析】：（Ⅰ）直线1C 的参数方程为3tcos 42tsin 4
x y ππ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩（其中为参数）
消去可得：10x y --=， …………2分 由2
4cos sin θ
ρθ
=
得22sin 4cos ρθρθ=，得24(0)y x x =≠. …………4分 （Ⅱ）过点(3,2)P 与直线1C
垂直的直线的参数方程为：3222
x y t ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数）
，代入24y x =
可得
2160t +-=，…………6分
设M ，N 对应的参数为1t ，2t ，则1216t t =-，…………8分 所以12||||16PM PN t t ==.…………10分
【解析】：（1）3,2()|2|2|1|4,213,1x x f x x x x x x x -≤-⎧⎪
=++-=-+-<≤⎨⎪>⎩
，…………2分
则()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，…………4分 所以min ()(1)3f x f == .…………5分
因为2,2
()()4,214,1x a x g x f x x a a x x a x --≤-⎧⎪
=+-=--<≤⎨⎪->⎩
，
令20x a --<，则2a x >-
；令40x a -<，则4
a x < 所以不等式()0f x x a +-<的解集为,24a a ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭， .…………7分 又不等式()0f x x a +-<的解集为(,)m n ，且6n m -=，
所以
642a a ⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
， .…………9分 故8a = .…………10分。